Maths A

# X‑ENS — Mathématiques A — Filière MP (XLSR) — 2022

## En‑tête

**Thème et fil directeur.**

Le problème construit et étudie le *plongement de Plücker* des grassmanniennes orientées $\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E)$ : à un sous‑espace orienté de dimension $p$ d'un espace euclidien $E$, on associe une forme $p$‑linéaire alternée de norme $1$.

La **Partie I** établit la géométrie euclidienne des « angles principaux » entre deux $p$‑plans (déterminant de Gram $\le 1$).

La **Partie II** introduit l'application $\Omega_p$, qui à une famille $e$ associe la forme alternée $u\mapsto\det(\mathrm{Gram}(e,u))$, et le $p$‑volume.

La **Partie III** munit $\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ d'une structure euclidienne canonique.

La **Partie IV** assemble le tout pour montrer que l'image de $\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E)$ est une partie compacte de la sphère unité, connexe par arcs **si et seulement si** $p\le d-1$.

## Carte stratégique

- **Statistiques (rapport).**

Moyenne $8{,}06/20$ (français), écart‑type $3{,}70$, sur $2272$ copies ; une centaine de copies au‑dessus de $14/20$, dont $12$ copies à $20/20$.

- **Pondération.** « La pondération des questions est généralement proportionnelle à leur difficulté » ; aucun barème chiffré n'est donné. Le rapport martèle qu'il faut **rédiger correctement même les résultats élémentaires** et **citer explicitement** les questions réutilisées.
- **Ordre de traitement conseillé.** Parties I et II d'abord (« largement traitées »), puis le début de la Partie III (10b, 11). Les questions III‑10a, 12 et toute la Partie IV sont rentables uniquement si les notations sont parfaitement assimilées.

- **Questions discriminantes.** $2$, $3\mathrm b$, $6\mathrm c$, $9\mathrm b$, $10\mathrm a$, $12$ et l'intégralité de la Partie IV (13–15).

- **Pièges récurrents signalés.**

Confondre $p$ (nombre de vecteurs) et $d=\dim E$ ; remplacer $E$ par $\mathbb R^n$ ; utiliser une caractérisation de « alterné » différente de celle de l'énoncé sans la justifier ; oublier de justifier qu'une borne supérieure est **atteinte**.

---

# Partie I

Dans toute cette partie, $V$ et $V'$ sont deux sous‑espaces de $E$ de dimension $p\ge 1$.

## Question 1.a
**Stratégie.** L'existence du maximum n'est pas gratuite : il faut une borne supérieure **atteinte**. On invoque la compacité des sphères unités en dimension finie et la continuité du produit scalaire.

**Rédaction.**

Notons $S=\{a\in V:\|a\|=1\}$ et $S'=\{a'\in V':\|a'\|=1\}$.

Comme $\dim V=\dim V'=p\ge 1$, ces ensembles sont non vides.

Ce sont des parties fermées et bornées des espaces de dimension finie $V$ et $V'$, donc compactes ; le produit $S\times S'$ est compact.

L'application $\varphi:(a,a')\mapsto\langle a,a'\rangle$ est continue (bilinéaire sur un produit d'espaces de dimension finie).

D'après le théorème des bornes atteintes, $\varphi$ atteint sa borne supérieure sur le compact $S\times S'$ : il existe $(u_1,u_1')\in S\times S'$ tel que $$\langle u_1,u_1'\rangle=\sup\{\langle a,a'\rangle\mid (a,a')\in V\times V',\ \|a\|=\|a'\|=1\}. \qquad\square$$

**Commentaire du correcteur.** « Question abordée dans toutes les copies ». Le rapport sanctionne précisément les copies « contentées de justifier l'existence d'une borne supérieure sans justifier qu'elle était atteinte » : la compacité et la continuité doivent figurer explicitement.

## Question 1.b
**Stratégie.** On reproduit 1.a par récurrence sur $k$, en restreignant à chaque étape les sphères aux orthogonaux des vecteurs déjà construits. L'orthonormalité est *automatique* puisqu'imposée par les contraintes.

**Rédaction.**

Construisons $(u_1,\dots,u_p)$ dans $V$ et $(u_1',\dots,u_p')$ dans $V'$ par récurrence.

*Initialisation.* $k=1$ : on prend $(u_1,u_1')$ donné par 1.a.

*Hérédité.*

Soit $2\le k\le p$ ; supposons $(u_1,\dots,u_{k-1})$ orthonormée dans $V$ et $(u_1',\dots,u_{k-1}')$ orthonormée dans $V'$.

Posons $$V_k=V\cap\{u_1,\dots,u_{k-1}\}^{\perp},\qquad V_k'=V'\cap\{u_1',\dots,u_{k-1}'\}^{\perp}.$$
Comme $(u_1,\dots,u_{k-1})$ est orthonormée dans $V$ avec $k-1<p=\dim V$, on a $\dim V_k=p-(k-1)\ge 1$ ; de même $\dim V_k'\ge 1$.

L'ensemble $$A_k=\{(a,a')\in V_k\times V_k':\|a\|=\|a'\|=1\}$$ est le produit des sphères unités de $V_k$ et $V_k'$ : non vide et compact.

Par continuité de $(a,a')\mapsto\langle a,a'\rangle$, le théorème des bornes atteintes fournit $(u_k,u_k')\in A_k$ réalisant le maximum.

Par appartenance à $A_k$, on a $\|u_k\|=\|u_k'\|=1$, $\langle u_k,u_l\rangle=0$ et $\langle u_k',u_l'\rangle=0$ pour $l<k$ : les familles restent orthonormées, et la contrainte de $A_k$ est exactement celle de la condition (ii).

La récurrence aboutit à deux familles orthonormées $u,u'$ vérifiant (i) et (ii). $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Il suffisait essentiellement de reprendre la question précédente mais il fallait faire attention à préciser sur quels sous‑espaces vectoriels on le faisait » : la clé est de bien identifier $V_k,V_k'$ et de vérifier que leur dimension reste $\ge1$, ce qui garantit la non‑vacuité des sphères.

## Question 2
**Stratégie.**

On montre par récurrence que $\langle u_k,u_k'\rangle=1$ pour $k\le \dim(V\cap V')$, en exhibant un vecteur unitaire de $V\cap V'$ admissible, puis on conclut par le cas d'égalité de Cauchy‑Schwarz.

**Rédaction.** Posons $r=\dim(V\cap V')\ge 1$.

Montrons par récurrence sur $k\in\llbracket 1,r\rrbracket$ que $u_k=u_k'$.

Pour tout $k\le r$, supposons $u_l=u_l'$ pour $l<k$ (hypothèse vide si $k=1$).

Alors $u_1,\dots,u_{k-1}\in V\cap V'$ (car $u_l=u_l'\in V$ et $\in V'$) et forment une famille orthonormée.

Le sous‑espace $$W=(V\cap V')\cap\{u_1,\dots,u_{k-1}\}^{\perp}$$ vérifie $\dim W=r-(k-1)\ge 1$ ; choisissons $w\in W$ unitaire.

Alors $w\in V$, $w\in V'$, $\langle w,u_l\rangle=0$ et $\langle w,u_l'\rangle=\langle w,u_l\rangle=0$ pour $l<k$ : donc $(w,w)$ est admissible dans le supremum (ii) définissant $\langle u_k,u_k'\rangle$, d'où $$\langle u_k,u_k'\rangle\ \ge\ \langle w,w\rangle=1.$$
Par ailleurs Cauchy‑Schwarz donne $\langle u_k,u_k'\rangle\le\|u_k\|\,\|u_k'\|=1$.

Ainsi $\langle u_k,u_k'\rangle=1=\|u_k\|\,\|u_k'\|$ : c'est le cas d'égalité de Cauchy‑Schwarz, donc $u_k$ et $u_k'$ sont positivement colinéaires ; étant unitaires, $u_k=u_k'$.

La récurrence est établie. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Première question vraiment filtrante : « bon nombre de candidat n'ont soit pas fourni de réponse soit présenté une rédaction manquant de soin ».

Les trois ingrédients attendus apparaissent : la récurrence (pour pouvoir affirmer $u_l\in V\cap V'$), la justification que **le maximum vaut $1$** (vecteur $w$ admissible), et le cas d'égalité de Cauchy‑Schwarz.

## Question 3.a
**Stratégie.** L'orthonormalité est acquise ; il ne reste que le cardinal.

**Rédaction.**

Par construction (1.b), $u=(u_1,\dots,u_p)$ est une famille orthonormée de vecteurs de $V$.

Une famille orthonormée est libre ; elle a $p$ éléments, et $\dim V=p$.

C'est donc une base de $V$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Beaucoup plus facile […] il suffisait de justifier que le cardinal […] était bien celui de la dimension de V ». Quelques lignes, mais celles‑là.

## Question 3.b
**Stratégie.**

Pour $l>k$, on perturbe $u_k$ dans la direction $u_l$ tout en restant unitaire et admissible : la fonction $t\mapsto\langle u_k(t),u_k'\rangle$ admet alors un maximum en $0$, et l'annulation de sa dérivée donne $\langle u_l,u_k'\rangle=0$.

**Rédaction.**

Fixons $k\in\llbracket 1,p-1\rrbracket$ et $l\in\llbracket k+1,p\rrbracket$.

Comme $u_k,u_l$ sont orthonormés, $\|u_k+t u_l\|^2=1+t^2>0$, et $$\phi(t)=\frac{u_k+t u_l}{\sqrt{1+t^2}}\quad(t\in\mathbb R)$$ est bien définie, de classe $\mathcal C^1$, à valeurs dans $V$, avec $\|\phi(t)\|=1$.

Pour $m<k$ : $\langle\phi(t),u_m\rangle=\dfrac{\langle u_k,u_m\rangle+t\langle u_l,u_m\rangle}{\sqrt{1+t^2}}=0$ (car $m\ne k$ et $m\ne l$, $u$ orthonormée).

Donc $\phi(t)$ vérifie les contraintes de la condition (ii) au rang $k$, et le couple $(\phi(t),u_k')$ est admissible.

Par maximalité de $\langle u_k,u_k'\rangle$, $$g(t):=\langle\phi(t),u_k'\rangle\le\langle u_k,u_k'\rangle=g(0)\quad\text{pour tout }t,$$ donc $g$ atteint un maximum en $0$.

Or $g(t)=\big(\langle u_k,u_k'\rangle+t\,\langle u_l,u_k'\rangle\big)(1+t^2)^{-1/2}$ est dérivable, et un calcul direct donne $g'(0)=\langle u_l,u_k'\rangle$.

Comme $0$ est un extremum intérieur, $g'(0)=0$, soit $\langle u_l,u_k'\rangle=0$.

Ceci valant pour tout $l\in\llbracket k+1,p\rrbracket$, on a $u_k'\in\mathrm{Vect}(u_{k+1},\dots,u_p)^{\perp}$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Question difficile traitée correctement dans peu de copies ».

Le rapport note que « beaucoup de copies ont cherché à calculer une dérivée, sans avoir réfléchi à l'utilisation qui pourrait en être faite » : l'idée n'est pas le calcul mais l'**argument d'extremum** ($g$ maximale en $0\Rightarrow g'(0)=0$), rendu possible par le **caractère maximal** de $u_k'$.

## Question 3.c
**Stratégie.** Conséquence directe de l'orthonormalité de $u$ et de 3.b.

**Rédaction.**

Soit $k\in\llbracket 1,p-1\rrbracket$ et $m\le k$.

- $\langle u_{k+1},u_m\rangle=0$ car $u$ est orthonormée et $m\ne k+1$.

- Comme $m\le k\le p-1$, la question 3.b appliquée au rang $m$ donne $u_m'\in\mathrm{Vect}(u_{m+1},\dots,u_p)^{\perp}$.

Or $k+1\in\llbracket m+1,p\rrbracket$, donc $u_{k+1}\in\mathrm{Vect}(u_{m+1},\dots,u_p)$, d'où $\langle u_{k+1},u_m'\rangle=0$.

Ainsi $u_{k+1}$ est orthogonal à tous les $u_m$ et $u_m'$ pour $m\le k$, c'est‑à‑dire $$u_{k+1}\in\big(\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_k)+\mathrm{Vect}(u_1',\dots,u_k')\big)^{\perp}. \qquad\square$$

**Commentaire du correcteur.** « Souvent bien traitée à partir du résultat de la précédente ».

## Question 3.d
**Stratégie.**

Pour $j<k$ on vérifie les quatre produits scalaires entre $\{u_j,u_j'\}$ et $\{u_k,u_k'\}$ ; deux viennent de l'orthonormalité, un de 3.b, le dernier de la **version symétrique** de 3.b (rôles de $V$ et $V'$ échangés).

**Rédaction.** Soit $j<k$.

Comme tout est symétrique sous l'échange $(V,u_l)\leftrightarrow(V',u_l')$ (le supremum définissant les familles l'est), la démonstration de 3.b se transpose : pour tout $k\le p-1$, $u_k\in\mathrm{Vect}(u_{k+1}',\dots,u_p')^{\perp}$.

On a alors :

- $\langle u_j,u_k\rangle=0$ ($u$ orthonormée) ;

- $\langle u_j',u_k'\rangle=0$ ($u'$ orthonormée) ;

- $\langle u_j',u_k\rangle=0$ : par 3.b au rang $j$ ($j\le p-1$), $u_j'\perp\mathrm{Vect}(u_{j+1},\dots,u_p)\ni u_k$ ;

- $\langle u_j,u_k'\rangle=0$ : par la version symétrique de 3.b au rang $j$, $u_j\perp\mathrm{Vect}(u_{j+1}',\dots,u_p')\ni u_k'$.

Comme $W_j=\mathrm{Vect}(u_j,u_j')$ et $W_k=\mathrm{Vect}(u_k,u_k')$, on obtient $W_j\perp W_k$ pour tous $j\ne k$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Souvent traitée, mais parfois avec une rédaction insuffisante » : il fallait, comme le souligne le rapport, exploiter « la symétrie des rôles de $u_k$ et $u_k'$ » pour obtenir la quatrième orthogonalité, que 3.b seule ne fournit pas.

## Question 4.a
**Stratégie.**

On encadre $\langle u_k,u_k'\rangle\in[0,1]$ (Cauchy‑Schwarz pour le haut, symétrie $a'\mapsto -a'$ du domaine pour le bas) et on note la décroissance en $k$ via l'emboîtement des domaines.

**Rédaction.**

Pour chaque $k$, le domaine $A_k$ du supremum (ii) est non vide (cf. 1.b).

Pour $(a,a')\in A_k$, le couple $(a,-a')$ appartient aussi à $A_k$ ($\|-a'\|=1$, mêmes orthogonalités), donc $\langle u_k,u_k'\rangle\ge\max(\langle a,a'\rangle,-\langle a,a'\rangle)\ge 0$.

De plus, pour tout $(a,a')\in A_k$, Cauchy‑Schwarz donne $\langle a,a'\rangle\le\|a\|\,\|a'\|=1$ (les éléments de $A_k$ sont **de norme $1$**), d'où $\langle u_k,u_k'\rangle\le 1$.

Ainsi $\langle u_k,u_k'\rangle\in[0,1]$ et l'on peut poser $$\theta_k=\arccos\langle u_k,u_k'\rangle\in[0,\tfrac\pi2].$$
Enfin, le domaine $A_{k+1}$ ajoute aux contraintes de $A_k$ l'orthogonalité à $u_k,u_k'$ : $A_{k+1}\subseteq A_k$, donc $\langle u_{k+1},u_{k+1}'\rangle\le\langle u_k,u_k'\rangle$.

La suite $(\langle u_k,u_k'\rangle)_k$ est décroissante ; $\cos$ étant décroissante sur $[0,\frac\pi2]$, on a $0\le\theta_1\le\cdots\le\theta_p\le\frac\pi2$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Il fallait soigneusement justifier que les produits scalaires étaient positifs ».

Le rapport pointe l'erreur classique : « oublier que la propriété […] était définie sur des familles de vecteurs de norme $1$ » — c'est ce qui donne à la fois $\le 1$ (Cauchy‑Schwarz) et la cohérence du domaine.

## Question 4.b
**Stratégie.** La matrice de Gram est diagonale grâce à 3.d.

**Rédaction.**

Par 3.d, pour $i\ne j$, $u_i\in W_i$ et $u_j'\in W_j$ avec $W_i\perp W_j$, donc $\mathrm{Gram}(u,u')_{i,j}=\langle u_i,u_j'\rangle=0$.

Les coefficients diagonaux sont $\langle u_k,u_k'\rangle=\cos\theta_k$.

La matrice $\mathrm{Gram}(u,u')$ est donc diagonale, d'où $$\det\big(\mathrm{Gram}(u,u')\big)=\prod_{k=1}^{p}\cos\theta_k. \qquad\square$$

**Commentaire du correcteur.** « Question facile souvent bien traitée ».

## Question 4.c
**Stratégie.**

Produit de réels de $[0,1]$ ; le cas d'égalité ramène à $u_k=u_k'$, donc $V=V'$ (réciproque via la question 2).

**Rédaction.**

Chaque $\cos\theta_k\in[0,1]$, donc $\det(\mathrm{Gram}(u,u'))=\prod_k\cos\theta_k\le 1$.

*Cas d'égalité.*

L'égalité $\prod_k\cos\theta_k=1$, avec $\cos\theta_k\in[0,1]$, équivaut à $\cos\theta_k=1$ pour tout $k$, i.e. $\langle u_k,u_k'\rangle=1=\|u_k\|\,\|u_k'\|$.

Le cas d'égalité de Cauchy‑Schwarz (vecteurs unitaires) donne $u_k=u_k'$ pour tout $k$, donc $$V=\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_p)=\mathrm{Vect}(u_1',\dots,u_p')=V'.$$
Réciproquement, si $V=V'$ alors $\dim(V\cap V')=p$ et la question 2 donne $u_k=u_k'$ pour tout $k\le p$, d'où $\cos\theta_k=1$ et $\det(\mathrm{Gram}(u,u'))=1$.

**Conclusion :** $\det(\mathrm{Gram}(u,u'))\le 1$, avec égalité **si et seulement si $V=V'$**. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Assez souvent bien traitée […] si on se rappelait des questions précédentes ou de la condition d'égalité dans […] Cauchy‑Schwarz ». La réciproque du cas d'égalité (via la question 2) est souvent oubliée : elle est indispensable pour une équivalence.

---

# Partie II

Pour $e\in E^p$, $\Omega_p(e):E^p\to\mathbb R$ est définie par $\Omega_p(e)(u)=\det(\mathrm{Gram}(e,u))$.

## Question 5.a
**Stratégie.**

On revient à la définition de l'énoncé ($p$‑linéarité par variable, et $f(u\cdot\sigma)=\epsilon(\sigma)f(u)$), sans invoquer de propriété « toute faite » du déterminant.

**Rédaction.**

Notons $D(x_1,\dots,x_p)=[x_1,\dots,x_p]=\sum_{\sigma\in\mathfrak S_p}\epsilon(\sigma)\prod_{i=1}^p x_{\sigma(i),i}$, où $x_{i,j}$ est la $i$‑ème coordonnée de $x_j$.

*Linéarité par variable.* Fixons $i_0$.

Le terme $\prod_i x_{\sigma(i),i}$ ne dépend de $x_{i_0}$ que par le facteur $x_{\sigma(i_0),i_0}$, coordonnée de $x_{i_0}$, donc linéaire en $x_{i_0}$.

Une somme de fonctions linéaires l'est : $D$ est linéaire en chaque variable.

*Caractère alterné.*

Soit $\tau\in\mathfrak S_p$ ; le $j$‑ème vecteur de $(x_{\tau(1)},\dots,x_{\tau(p)})$ a pour $i$‑ème coordonnée $x_{i,\tau(j)}$.

Donc $$D(x_{\tau(1)},\dots,x_{\tau(p)})=\sum_{\sigma}\epsilon(\sigma)\prod_{i=1}^p x_{\sigma(i),\tau(i)}.$$
Posons $\rho=\sigma\circ\tau^{-1}$ ; en réindexant le produit par $j=\tau(i)$, $\prod_i x_{\sigma(i),\tau(i)}=\prod_j x_{\rho(j),j}$ et $\epsilon(\sigma)=\epsilon(\rho)\epsilon(\tau)$.

Comme $\sigma\mapsto\rho$ est une bijection de $\mathfrak S_p$, $$D(x_{\tau(1)},\dots,x_{\tau(p)})=\epsilon(\tau)\sum_{\rho}\epsilon(\rho)\prod_j x_{\rho(j),j}=\epsilon(\tau)\,D(x_1,\dots,x_p).$$
Donc $D\in\mathscr A_p(\mathbb R^p,\mathbb R)$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Pas toujours soigneusement rédigée ». Le rapport relève des « erreurs récurrentes […] dans l'écriture de l'action d'une permutation sur les coefficients » : la réindexation $\rho=\sigma\tau^{-1}$ doit être faite proprement.

## Question 5.b

**Stratégie.** $g$ est la composée de $u\mapsto(f(u_1),\dots,f(u_p))$ avec le produit mixte.

On insiste sur l'endroit où sert la **linéarité de $f$**.

**Rédaction.**

Pour $i_0\in\llbracket1,p\rrbracket$, en figeant les autres arguments : $$g(u_1,\dots,\lambda y+y',\dots,u_p)=[\,f(u_1),\dots,f(\lambda y+y'),\dots,f(u_p)\,].$$
Comme $f$ est **linéaire**, $f(\lambda y+y')=\lambda f(y)+f(y')$, et par linéarité du produit mixte par rapport à la $i_0$‑ème place (question 5.a), ceci vaut $\lambda\,g(\dots,y,\dots)+g(\dots,y',\dots)$.

Donc $g$ est linéaire en chaque variable.

Pour $\sigma\in\mathfrak S_p$, en posant $w_i=f(u_i)$ : $g(u\cdot\sigma)=[w_{\sigma(1)},\dots,w_{\sigma(p)}]=\epsilon(\sigma)[w_1,\dots,w_p]=\epsilon(\sigma)g(u)$ par 5.a. Ainsi $g\in\mathscr A_p(F,\mathbb R)$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Souvent bien traitée.

Il fallait […] faire apparaître clairement où la linéarité de $f$ intervenait » : c'est dans le pas $f(\lambda y+y')=\lambda f(y)+f(y')$.

## Question 6.a
**Stratégie.** On exhibe $f$ linéaire pour appliquer 5.b.

**Rédaction.** Soit $e=(e_1,\dots,e_p)\in E^p$.

Posons $f:E\to\mathbb R^p$, $f(x)=(\langle e_1,x\rangle,\dots,\langle e_p,x\rangle)$ : chaque composante est linéaire en $x$, donc $f$ est linéaire.

Pour $u\in E^p$, la matrice de colonnes $f(u_1),\dots,f(u_p)$ a pour coefficient $(i,j)$ la valeur $\langle e_i,u_j\rangle=\mathrm{Gram}(e,u)_{i,j}$, donc $$g(u):=[f(u_1),\dots,f(u_p)]=\det(\mathrm{Gram}(e,u))=\Omega_p(e)(u).$$
Par 5.b appliquée à ce $f$ (avec $F=E$), $g=\Omega_p(e)\in\mathscr A_p(E,\mathbb R)$. $\square$

**Commentaire du correcteur.**

Le rapport autorise d'« utiliser la précédente à condition d'écrire précisément quelles applications $f$ et $g$ on utilisait » : on a explicité $f$.

## Question 6.b
**Stratégie.** Transposition de matrice de Gram et invariance du déterminant par transposition.

**Rédaction.**

Pour tous $i,j$, $\mathrm{Gram}(u,e)_{i,j}=\langle u_i,e_j\rangle=\langle e_j,u_i\rangle=\mathrm{Gram}(e,u)_{j,i}$, donc $\mathrm{Gram}(u,e)={}^{\mathsf t}\mathrm{Gram}(e,u)$.

Comme $\det({}^{\mathsf t}A)=\det(A)$, $$\Omega_p(u)(e)=\det(\mathrm{Gram}(u,e))=\det\big({}^{\mathsf t}\mathrm{Gram}(e,u)\big)=\det(\mathrm{Gram}(e,u))=\Omega_p(e)(u). \qquad\square$$

**Commentaire du correcteur.** « La symétrie du produit scalaire […] n'était en rien suffisant. Il fallait utiliser que le déterminant d'une matrice est égal à celui de sa transposée » : les deux arguments sont nécessaires.

## Question 6.c

**Stratégie.** $\Omega_p$ est à valeurs dans l'espace vectoriel $\mathscr A_p(E,\mathbb R)$.

Deux formes y sont égales ssi elles coïncident en tout $u$ ; on transporte la $p$‑linéarité alternée « point par point » via 6.b et 6.a.

**Rédaction.**

D'après 6.a, $\Omega_p$ est bien à valeurs dans le $\mathbb R$‑espace vectoriel $\mathscr A_p(E,\mathbb R)$.

Pour montrer une égalité dans $\mathscr A_p(E,\mathbb R)$, il suffit de l'établir en tout $u\in E^p$.

*Linéarité par variable.*

Fixons $i_0$ ; pour tout $u\in E^p$, par 6.b puis $p$‑linéarité de $\Omega_p(u)\in\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ (6.a) : $$\Omega_p(\dots,\lambda e_{i_0}+e_{i_0}',\dots)(u)=\Omega_p(u)(\dots,\lambda e_{i_0}+e_{i_0}',\dots)=\lambda\,\Omega_p(u)(\dots,e_{i_0},\dots)+\Omega_p(u)(\dots,e_{i_0}',\dots),$$ qui vaut, à nouveau par 6.b, $\big(\lambda\,\Omega_p(\dots,e_{i_0},\dots)+\Omega_p(\dots,e_{i_0}',\dots)\big)(u)$.

L'égalité étant vraie pour tout $u$, elle a lieu dans $\mathscr A_p(E,\mathbb R)$.

*Caractère alterné.*

Pour $\sigma\in\mathfrak S_p$ et tout $u$ : $\Omega_p(e\cdot\sigma)(u)=\Omega_p(u)(e\cdot\sigma)=\epsilon(\sigma)\Omega_p(u)(e)=\epsilon(\sigma)\Omega_p(e)(u)$, donc $\Omega_p(e\cdot\sigma)=\epsilon(\sigma)\Omega_p(e)$.

Ainsi $\Omega_p\in\mathscr A_p\big(E,\mathscr A_p(E,\mathbb R)\big)$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « La difficulté reposait sur le fait que l'on regardait une application à valeurs dans l'espace des formes multilinéaires alternées ». Une fois le problème posé (« égalité de formes = égalité en tout $u$ »), tout découle de 6.a et 6.b.

## Question 7.a
**Stratégie.**

On développe $\Omega_p(e')$ par multilinéarité (6.c) ; le caractère alterné élimine les multi‑indices répétés, et fait apparaître $\det M$.

Aucun argument d'inversibilité n'est requis.

**Rédaction.**

Rappelons d'abord qu'une forme alternée $\omega$ s'annule sur toute famille à arguments répétés : si $a\ne b$ et $u_a=u_b$, en prenant la transposition $\tau=(a\,b)$, $u\cdot\tau=u$ donne $\omega(u)=\epsilon(\tau)\omega(u)=-\omega(u)$, d'où $\omega(u)=0$.

Avec $e_i'=\sum_{j=1}^p M_{ij}e_j$, la $p$‑linéarité de $\Omega_p$ (6.c) donne $$\Omega_p(e')=\sum_{j_1,\dots,j_p=1}^p M_{1j_1}\cdots M_{pj_p}\,\Omega_p(e_{j_1},\dots,e_{j_p}).$$
Les termes à indices répétés sont nuls ; restent les $(j_1,\dots,j_p)=(\sigma(1),\dots,\sigma(p))$, $\sigma\in\mathfrak S_p$, pour lesquels $\Omega_p(e_{\sigma(1)},\dots,e_{\sigma(p)})=\Omega_p(e\cdot\sigma)=\epsilon(\sigma)\Omega_p(e)$.

D'où
$$\Omega_p(e')=\Big(\sum_{\sigma\in\mathfrak S_p}\epsilon(\sigma)\prod_{i=1}^p M_{i\sigma(i)}\Big)\,\Omega_p(e)=\det(M)\,\Omega_p(e). \qquad\square$$

**Commentaire du correcteur.** « Il fallait faire attention à l'énoncé […] la matrice pas nécessairement inversible ce qui rendait les arguments de matrice de passage délicats ».

La voie sûre est celle du « caractère alterné du produit mixte », qui ne suppose rien sur $M$ ni sur $\dim E$.

## Question 7.b
**Stratégie.**

Famille liée $\Rightarrow$ une colonne combinaison des autres $\Rightarrow\Omega_p(e)=0$.

Famille libre $\Rightarrow$ on ramène à une base orthonormée $b$ de $\mathrm{Vect}(e)$ via 7.a, et $\Omega_p(b)\ne0$ par calcul direct.

**Rédaction.**

Si $e$ est liée, un vecteur s'écrit $e_{i_0}=\sum_{j\ne i_0}\lambda_j e_j$ ; par multilinéarité, $\Omega_p(e)=\sum_{j\ne i_0}\lambda_j\,\Omega_p(\dots,e_j,\dots)$ où, dans chaque terme, $e_j$ apparaît en place $i_0$ et en place $j$ : argument répété, terme nul (cf. 7.a).

Donc $\Omega_p(e)=0$.

Si $e$ est libre, posons $V=\mathrm{Vect}(e)$, de dimension $p$, et soit $b=(b_1,\dots,b_p)$ une base **orthonormée** de $V$ (Gram‑Schmidt).

On écrit $e_i=\sum_j N_{ij}b_j$ ; $N$ est la matrice de la base $e$ dans la base $b$, donc inversible.

Par 7.a, $\Omega_p(e)=\det(N)\,\Omega_p(b)$ avec $\det N\ne0$.

Or $\Omega_p(b)(b)=\det(\mathrm{Gram}(b,b))=\det(I_p)=1\ne0$, donc $\Omega_p(b)\ne0$.

Par suite $\Omega_p(e)\ne0$.

**Conclusion :** $\Omega_p(e)\ne0\iff e$ est libre. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Il fallait notamment faire attention que $p$ n'était pas nécessairement égal à $n$ » : on travaille dans $\mathrm{Vect}(e)$ (dimension $p$), pas dans $E$ tout entier.

## Question 7.c

**Stratégie.** $\mathrm{Gram}(e,e)$ est symétrique positive ; son déterminant est $\ge0$.

**Rédaction.** $G=\mathrm{Gram}(e,e)$ est symétrique réelle ($G_{ij}=\langle e_i,e_j\rangle=G_{ji}$) et positive : pour $x\in\mathbb R^p$, $$\,^{\mathsf t}xGx=\sum_{i,j}x_ix_j\langle e_i,e_j\rangle=\Big\|\sum_i x_i e_i\Big\|^2\ge0.$$
Par le théorème spectral, $G$ est diagonalisable en base orthonormée, de valeurs propres réelles $\lambda_1,\dots,\lambda_p\ge0$ (positivité).

Donc $\Omega_p(e)(e)=\det(G)=\prod_k\lambda_k\ge0$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Régulièrement bien traitée ». La positivité du déterminant de Gram justifie *a posteriori* la définition de $\mathrm{vol}_p(e)=\sqrt{\Omega_p(e)(e)}$.

## Question 8.a
**Stratégie.** Matrice de Gram identité.

**Rédaction.**

Si $b$ est orthonormée, $\mathrm{Gram}(b,b)=I_p$, donc $\mathrm{vol}_p(b)=\sqrt{\det I_p}=1$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Très facile […] rappelle la question 4.b ».

## Question 8.b
**Stratégie.**

On décompose $e_1=n+w$ avec $n=\mathrm{pr}(e_1)\in F^\perp$, $w\in F=\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)$, et on rend la matrice de Gram bloc‑diagonale par opérations élémentaires (qui conservent le déterminant).

**Rédaction.**

Notons $F=\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)$ et $\mathrm{pr}$ la projection orthogonale sur $F^\perp$.

Écrivons $e_1=n+w$ avec $n=\mathrm{pr}(e_1)\in F^\perp$ et $w=e_1-n\in F$, soit $w=\sum_{j\ge2}\alpha_j e_j$.

Sur $G=\mathrm{Gram}(e,e)$ :

- $C_1\leftarrow C_1-\sum_{j\ge2}\alpha_j C_j$ : le nouveau coefficient $(i,1)$ devient $\langle e_i,e_1-w\rangle=\langle e_i,n\rangle$ ;

- $L_1\leftarrow L_1-\sum_{j\ge2}\alpha_j L_j$ : le nouveau coefficient $(1,k)$ devient $\langle n,e_k\rangle$ pour $k\ge2$ (nul car $n\in F^\perp$) et $\langle e_1-w,n\rangle=\|n\|^2$ pour $k=1$.

Ces opérations conservent $\det$.

Comme de plus $\langle e_i,n\rangle=0$ pour $i\ge2$ ($e_i\in F$, $n\in F^\perp$), la matrice obtenue est bloc‑diagonale : $$\begin{pmatrix}\|n\|^2 & 0\\ 0 & \mathrm{Gram}(e_2^p,e_2^p)\end{pmatrix},\qquad e_2^p=(e_2,\dots,e_p),$$ d'où $\det G=\|n\|^2\det(\mathrm{Gram}(e_2^p,e_2^p))$.

En prenant les racines (quantités $\ge0$ par 7.c) : $$\mathrm{vol}_p(e)=\|\,\mathrm{pr}(e_1)\,\|\cdot\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p). \qquad\square$$

**Commentaire du correcteur.** « Plus difficile et peu souvent bien rédigée ». La décomposition $e_1=n+w$ et l'annulation des coefficients croisés (« si une colonne était combinaison linéaire des autres […] nul ») sont le cœur de la preuve.

## Question 8.c
**Stratégie.**

Récurrence sur $p$ via 8.b, en suivant les cas d'égalité ($\|\mathrm{pr}(e_1)\|\le\|e_1\|$ avec égalité ssi $e_1\perp F$).

**Rédaction.**

*Initialisation $p=1$ :* $\mathrm{vol}_1(e_1)=\sqrt{\langle e_1,e_1\rangle}=\|e_1\|$, l'égalité est triviale.

*Hérédité.* Soit $e=(e_1,\dots,e_p)$ libre. Par 8.b, $\mathrm{vol}_p(e)=\|\mathrm{pr}(e_1)\|\,\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)$.

La décomposition orthogonale $e_1=\mathrm{pr}(e_1)+(e_1-\mathrm{pr}(e_1))$ donne $\|e_1\|^2=\|\mathrm{pr}(e_1)\|^2+\|e_1-\mathrm{pr}(e_1)\|^2$, donc $\|\mathrm{pr}(e_1)\|\le\|e_1\|$.

La sous‑famille $e_2^p$ est libre, et par hypothèse de récurrence $\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)\le\prod_{i=2}^p\|e_i\|$.

D'où
$$\mathrm{vol}_p(e)\le\|e_1\|\prod_{i=2}^p\|e_i\|=\prod_{i=1}^p\|e_i\|.$$
*Cas d'égalité.*

Comme $e$ est libre, $\|e_1\|>0$ et $\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)>0$ (7.b) ; le produit de deux majorations strictes ou égales est égal ssi chacune l'est.

Or :

- $\|\mathrm{pr}(e_1)\|=\|e_1\|\iff e_1-\mathrm{pr}(e_1)=0\iff e_1\in F^\perp\iff e_1\perp e_j$ pour tout $j\ge2$ ;

- $\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)=\prod_{i\ge2}\|e_i\|\iff (e_2,\dots,e_p)$ deux à deux orthogonaux (hyp. de récurrence).

La conjonction équivaut à : $(e_1,\dots,e_p)$ deux à deux orthogonaux. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Récurrence […] préciser soigneusement les cas d'égalité » : c'est cette dernière partie qui distingue les bonnes copies (c'est l'inégalité de Hadamard).

## Question 9.a
**Stratégie.** Exprimer $\mathrm{Gram}(e,e)$ via la matrice de passage et une base orthonormée.

**Rédaction.**

Posons $P=P_b^e$, donc $e_j=\sum_i P_{ij}b_i$ avec $b$ orthonormée.

Alors $$\mathrm{Gram}(e,e)_{k,l}=\Big\langle\sum_i P_{ik}b_i,\sum_m P_{ml}b_m\Big\rangle=\sum_i P_{ik}P_{il}=({}^{\mathsf t}PP)_{k,l},$$ d'où $\mathrm{Gram}(e,e)={}^{\mathsf t}PP$ et $\det(\mathrm{Gram}(e,e))=\det(P)^2$.

Comme $\mathrm{vol}_p(e)\ge0$, $$\mathrm{vol}_p(e)=\sqrt{\det(P)^2}=|\det(P_b^e)|. \qquad\square$$

**Commentaire du correcteur.** « Souvent bien traitée […] d'une manière analogue à la question 7.c ».

## Question 9.b
**Stratégie.**

Cas liée trivial (7.b) ; pour $e,e'$ libres, on applique la Partie I à $V=\mathrm{Vect}(e)$, $V'=\mathrm{Vect}(e')$, dont les bases orthonormées privilégiées $u,u'$ vérifient $\Omega_p(u)(u')\in[0,1]$ (4.b–4.c) ; on relie $\Omega_p(e)(e')$ à $\Omega_p(u)(u')$ par 7.a et 9.a.

**Rédaction.**

Si $e$ ou $e'$ est liée, $\Omega_p(e)=0$ ou $\Omega_p(e')=0$ (7.b) ; ici $\Omega_p(e)(e')=0$, et le membre de droite est $\ge0$ : l'inégalité est acquise.

Supposons $e,e'$ libres.

Posons $V=\mathrm{Vect}(e)$, $V'=\mathrm{Vect}(e')$ (dimension $p$), et appliquons la Partie I à $(V,V')$ : on obtient des bases **orthonormées** $u$ de $V$ et $u'$ de $V'$ avec, par 4.b–4.c, $$\Omega_p(u)(u')=\det(\mathrm{Gram}(u,u'))=\prod_{k}\cos\theta_k\in[0,1].$$
Écrivons $e_i=\sum_j \hat M_{ij}u_j$ et $e_i'=\sum_j\hat M'_{ij}u_j'$ ($u,u'$ bases de $V,V'$).

Par 7.a, $\Omega_p(e)=\det(\hat M)\Omega_p(u)$ et $\Omega_p(e')=\det(\hat M')\Omega_p(u')$ ; par 9.a (avec $b=u$, $b=u'$), $\mathrm{vol}_p(e)=|\det\hat M|$ et $\mathrm{vol}_p(e')=|\det\hat M'|$.

Enfin, par 6.b appliquée deux fois, $$\Omega_p(e)(e')=\det(\hat M)\,\Omega_p(u)(e')=\det(\hat M)\det(\hat M')\,\Omega_p(u')(u)=\det(\hat M)\det(\hat M')\,\Omega_p(u)(u').$$
Donc $$|\Omega_p(e)(e')|=\mathrm{vol}_p(e)\,\mathrm{vol}_p(e')\,\prod_k\cos\theta_k\le\mathrm{vol}_p(e)\,\mathrm{vol}_p(e'). \qquad\square$$

**Commentaire du correcteur.** « Peu traitée et […] rédaction […] fréquemment insuffisante ». Le rapport décrit exactement cette voie : « distinguer le cas […] non‑libre en utilisant 7.b », puis « bases orthonormales […] argument similaire à 7.a et la fin de la partie 1 ».

On note au passage l'égalité ssi $\prod_k\cos\theta_k=1$, i.e. $V=V'$ (utile en 13.a).

---

# Partie III

$e=(e_1,\dots,e_d)$ est une base orthonormée de $E$, $1\le p\le d$, et $I_p=\{(i_1,\dots,i_p):1\le i_1<\cdots<i_p\le d\}$.

## Question 10.a
**Stratégie.**

Décomposer chaque $u_j$ dans la base $e$, développer $\omega(u)$ par multilinéarité, et regrouper par parties croissantes grâce au caractère alterné ; la somme interne reconstruit $\Omega_p(e_\alpha)(u)$.

**Rédaction.**

Soit $\omega\in\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ et $u=(u_1,\dots,u_p)\in E^p$.

Écrivons $u_j=\sum_{i=1}^d c_{ij}e_i$ avec $c_{ij}=\langle e_i,u_j\rangle$.

Par $p$‑linéarité, $$\omega(u)=\sum_{i_1,\dots,i_p=1}^d c_{i_1,1}\cdots c_{i_p,p}\,\omega(e_{i_1},\dots,e_{i_p}).$$
Le caractère alterné annule les termes à indices répétés ; pour des indices distincts, soit $\alpha=(j_1<\cdots<j_p)\in I_p$ leur arrangement croissant et $(i_1,\dots,i_p)=(j_{\tau(1)},\dots,j_{\tau(p)})$ avec $\tau\in\mathfrak S_p$ : alors $\omega(e_{i_1},\dots,e_{i_p})=\epsilon(\tau)\,\omega(e_\alpha)$.

En regroupant, $$\omega(u)=\sum_{\alpha\in I_p}\omega(e_\alpha)\underbrace{\sum_{\tau\in\mathfrak S_p}\epsilon(\tau)\prod_{m=1}^p c_{j_{\tau(m)},m}}_{=\ \det\big(\langle e_{j_k},u_m\rangle\big)_{k,m}\ =\ \Omega_p(e_\alpha)(u)}.$$
Comme ceci vaut pour tout $u$, $\displaystyle\omega=\sum_{\alpha\in I_p}\omega(e_\alpha)\,\Omega_p(e_\alpha)$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Peu traitée […] justification combinatoire précise utilisant le caractère alterné pour vérifier que l'ensemble d'indexation était bien $I_p$ ». La somme interne $=\det(\mathrm{Gram}(e_\alpha,u))$ est le point qui « ferme » la preuve.

## Question 10.b
**Stratégie.**

Calculer $\Omega_p(e_\alpha)(e_\beta)=\delta_{\alpha\beta}$ (colonne nulle si $\alpha\ne\beta$), en déduire l'orthonormalité, donc la liberté, donc le caractère de base (10.a donne déjà génératrice).

**Rédaction.** La forme $(1)$ est clairement bilinéaire symétrique.

Pour $\alpha=(i_1,\dots,i_p)$, $\beta=(j_1,\dots,j_p)$ dans $I_p$, $\mathrm{Gram}(e_\alpha,e_\beta)_{k,l}=\langle e_{i_k},e_{j_l}\rangle=\delta_{i_k,j_l}$.

Si $\alpha=\beta$, c'est $I_p$ donc $\det=1$.

Si $\alpha\ne\beta$ (supports distincts car suites croissantes), il existe $j_l\notin\{i_1,\dots,i_p\}$ : la $l$‑ème colonne est nulle, $\det=0$.

Donc $\Omega_p(e_\alpha)(e_\beta)=\delta_{\alpha\beta}$, et par $(1)$, $$\langle\Omega_p(e_\alpha),\Omega_p(e_\beta)\rangle=\sum_{\gamma\in I_p}\Omega_p(e_\alpha)(e_\gamma)\,\Omega_p(e_\beta)(e_\gamma)=\sum_\gamma\delta_{\alpha\gamma}\delta_{\beta\gamma}=\delta_{\alpha\beta}.$$
Ainsi $(\Omega_p(e_\alpha))_{\alpha}$ est orthonormale pour $(1)$, donc libre (si $\sum\lambda_\alpha\Omega_p(e_\alpha)=0$, le produit avec $\Omega_p(e_\beta)$ donne $\lambda_\beta=0$) ; elle est génératrice par 10.a : c'est une base.

Enfin, pour $\omega=\sum_\alpha\omega(e_\alpha)\Omega_p(e_\alpha)$ (10.a), $\langle\omega,\omega\rangle=\sum_\alpha\omega(e_\alpha)^2\ge0$, nul ssi tous les $\omega(e_\alpha)=0$, ssi $\omega=0$.

Donc $(1)$ est un produit scalaire, dont $(\Omega_p(e_\alpha))_\alpha$ est une base orthonormée, et $$\dim\mathscr A_p(E,\mathbb R)=|I_p|=\binom{d}{p}. \qquad\square$$

**Commentaire du correcteur.** « Le point le plus subtil […] que si $\alpha\ne\beta$, l'une au moins des colonnes […] était nulle ».

Le rapport signale aussi que « le cardinal de $I_p$ n'a pas toujours été calculé correctement » : c'est $\binom dp$ (choix d'un $p$‑sous‑ensemble de $\{1,\dots,d\}$).

## Question 10.c
**Stratégie.**

Pour $p=d-1$, $I_{d-1}$ est en bijection avec $\{1,\dots,d\}$ via l'indice manquant ; on envoie la base orthonormée $(e_m)$ de $E$ sur la base orthonormée $(\Omega_{d-1}(e_{\alpha}))$ de $\mathscr A_{d-1}(E,\mathbb R)$.

**Rédaction.**

Pour $m\in\{1,\dots,d\}$, soit $\alpha_m\in I_{d-1}$ l'unique multi‑indice croissant omettant $m$ ; $m\mapsto\alpha_m$ est une bijection de $\{1,\dots,d\}$ sur $I_{d-1}$, donc $|I_{d-1}|=d=\dim E$.

Définissons l'application linéaire
$$\phi:E\to\mathscr A_{d-1}(E,\mathbb R),\qquad \phi(e_m)=\Omega_{d-1}(e_{\alpha_m}),$$
prolongée par linéarité.

Comme $(e_m)_{1\le m\le d}$ est une base orthonormée de $E$ et $(\Omega_{d-1}(e_{\alpha_m}))_m=(\Omega_{d-1}(e_\alpha))_{\alpha\in I_{d-1}}$ une base orthonormée de $\mathscr A_{d-1}(E,\mathbb R)$ (10.b), pour $x=\sum_m x_m e_m$ on a $\|\phi(x)\|^2=\sum_m x_m^2=\|x\|^2$ : $\phi$ conserve la norme, est linéaire et bijective (base sur base).

C'est une isométrie de $E$ sur $\mathscr A_{d-1}(E,\mathbb R)$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Très peu traitée ».

L'idée clé est de remarquer que « pour $p=d-1$, un élément de $I_p$ était déterminé par […] le seul indice manquant », puis qu'« une application linéaire envoyant une base orthonormée sur une base orthonormée est une isométrie ».

## Question 11
**Stratégie.**

Appliquer 10.a à $\omega=\Omega_p(u)$, évaluer en $v$, et reconnaître la somme $(1)$ grâce à 6.b.

**Rédaction.** D'après 10.a, $\Omega_p(u)=\sum_{\alpha\in I_p}\Omega_p(u)(e_\alpha)\,\Omega_p(e_\alpha)$.

Évaluons en $v$ : $$\Omega_p(u)(v)=\sum_{\alpha\in I_p}\Omega_p(u)(e_\alpha)\,\Omega_p(e_\alpha)(v)\stackrel{(6.b)}{=}\sum_{\alpha\in I_p}\Omega_p(u)(e_\alpha)\,\Omega_p(v)(e_\alpha)=\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle,$$ la dernière égalité étant la définition $(1)$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Découlait des calculs explicites […] mais trop souvent mal rédigée, […] sans […] référence aux questions précédentes ». On a explicitement invoqué 10.a et 6.b.

## Question 12
**Stratégie.**

Par 11, $\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle=\Omega_p(u)(v)=\det(\mathrm{Gram}(u,v))$ ne dépend pas de la base $e$.

Comme les $\Omega_p(u)$ engendrent $\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ et qu'une forme bilinéaire est déterminée par ses valeurs sur un système générateur, le produit scalaire $(1)$ ne dépend pas de $e$.

**Rédaction.**

Soient $e$ et $\tilde e$ deux bases orthonormées de $E$, et $\langle\cdot,\cdot\rangle_e$, $\langle\cdot,\cdot\rangle_{\tilde e}$ les formes $(1)$ associées.

La question 11 vaut pour **toute** base orthonormée ; donc pour tous $u,v\in E^p$, $$\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle_e=\Omega_p(u)(v)=\det(\mathrm{Gram}(u,v))=\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle_{\tilde e},$$ quantité ne dépendant que du produit scalaire de $E$.

Or la famille $\{\Omega_p(u):u\in E^p\}$ engendre $\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ (elle contient la base $(\Omega_p(e_\alpha))$ de 10.b).

Une forme bilinéaire est entièrement déterminée par ses valeurs sur (les couples issus d') un système générateur : si $\omega=\sum_i a_i\Omega_p(u^{(i)})$ et $\omega'=\sum_j b_j\Omega_p(v^{(j)})$, alors $\langle\omega,\omega'\rangle_e=\sum_{i,j}a_ib_j\langle\Omega_p(u^{(i)}),\Omega_p(v^{(j)})\rangle_e$, identique pour $\tilde e$.

Donc $\langle\cdot,\cdot\rangle_e=\langle\cdot,\cdot\rangle_{\tilde e}$ : le produit scalaire $(1)$ ne dépend que du produit scalaire de $E$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Traitée majoritairement dans les meilleures copies ».

Le rapport décrit précisément cette stratégie : « réécrire […] $\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle$ en termes de $\Omega(u)(v)$ et […] justifier que ce dernier terme ne dépendait que du produit scalaire choisi sur $E$ ».

---

# Partie IV

Pour $p\in\llbracket1,d\rrbracket$, $\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E)$ désigne l'ensemble des sous‑espaces orientés $(V,C)$ de dimension $p$.

## Question 13.a
**Stratégie.**

Sens facile par 7.a. Sens difficile : on caractérise $V^\perp$ par $\Omega_p(e)$ (« noyau » de la forme), invariant par colinéarité, ce qui détermine $V$.

**Rédaction.**

Soient $e,e'$ libres de cardinal $p$, $V=\mathrm{Vect}(e)$, $V'=\mathrm{Vect}(e')$.

Par 7.b, $\Omega_p(e),\Omega_p(e')\ne0$.

**($\Leftarrow$)** Si $V=V'$, $e$ et $e'$ sont deux bases de $V$ : $e_i'=\sum_j M_{ij}e_j$ avec $M$ inversible, et par 7.a $\Omega_p(e')=\det(M)\Omega_p(e)$ avec $\det M\ne0$ : les deux formes sont colinéaires.

**($\Rightarrow$)** Établissons d'abord : pour $e$ libre, en notant $$N(\Omega_p(e))=\{x\in E:\ \Omega_p(e)(x,u_2,\dots,u_p)=0\ \ \forall(u_2,\dots,u_p)\in E^{p-1}\},$$ on a $N(\Omega_p(e))=V^\perp$.

- *$V^\perp\subseteq N$ :* si $x\perp V$, la première colonne de $\mathrm{Gram}(e,(x,u_2,\dots,u_p))$, égale à $(\langle e_i,x\rangle)_i$, est nulle, donc le déterminant l'est.

- *$N\subseteq V^\perp$ :* soit $x\notin V^\perp$, écrivons $x=x_V+x_\perp$ avec $x_V\in V\setminus\{0\}$.

Complétons $x_V$ en une base $f=(x_V,w_2,\dots,w_p)$ de $V$.

Par linéarité et le point précédent ($x_\perp$ donne une colonne nulle), $\Omega_p(e)(x,w_2,\dots,w_p)=\Omega_p(e)(f)$.

Or $f_i=\sum_j M_{ij}e_j$ avec $M$ inversible, donc par 6.b et 7.a, $\Omega_p(e)(f)=\Omega_p(f)(e)=\det(M)\,\Omega_p(e)(e)=\det(M)\,\mathrm{vol}_p(e)^2\ne0$.

Donc $x\notin N$.

Maintenant, si $\Omega_p(e')=\lambda\Omega_p(e)$ ($\lambda\ne0$), alors $N(\Omega_p(e'))=N(\Omega_p(e))$, soit $V'^\perp=V^\perp$, d'où $V'=V$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Très peu traitée dans son intégralité, essentiellement dans les meilleures copies ». Le sens facile est « une conséquence […] de 7.a » ; l'autre « bien plus délicate […] nécessitait d'utiliser des résultats des différentes parties » — ici 6.b, 7.a, 7.b et le $p$‑volume.

## Question 13.b
**Stratégie.**

Existence : prendre une base orthonormée $e^0\in C$ ($\mathrm{vol}_p(e^0)=1$) et poser $\Psi(V,C)=\Omega_p(e^0)$ ; vérifier la relation via 7.a et le signe de l'orientation.

Unicité : forcée par $\mathrm{vol}_p(e^0)=1$.

**Rédaction.**

Il existe une base orthonormée de $V$ dans $C$ : partant d'une base orthonormée $(f_1,\dots,f_p)$ (Gram‑Schmidt), si elle n'est pas dans $C$, alors $(-f_1,f_2,\dots,f_p)$ l'est ($\det=-1<0$).

Fixons une telle $e^0\in C$, et posons $\Psi(V,C):=\Omega_p(e^0)$.

*Existence.* Soit $e\in C$.

Comme $e,e^0$ sont deux bases de $V$, $e_i=\sum_j M_{ij}e^0_j$ et, par 7.a, $\Omega_p(e)=\det(M)\Omega_p(e^0)$.

Or $\det M=\det{}^{\mathsf t}M=\det(P^e_{e^0})=\det_{e^0}(e)>0$ car $e\sim e^0$ (même orientation $C$).

Et par 9.a, $\mathrm{vol}_p(e)=|\det P^e_{e^0}|=\det M$. Donc
$$\Omega_p(e)=\det(M)\Omega_p(e^0)=\mathrm{vol}_p(e)\,\Psi(V,C).$$
*Unicité.*

Si $\Psi_1,\Psi_2$ conviennent, en prenant $e=e^0$ (avec $\mathrm{vol}_p(e^0)=1$ par 8.a) : $\Omega_p(e^0)=1\cdot\Psi_1=1\cdot\Psi_2$, d'où $\Psi_1=\Psi_2=\Omega_p(e^0)$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Peu traitée.

L'unicité […] pour une base orthonormale $e$ […] $\mathrm{vol}_p(e)=1$. […] existence […] $\Omega_p(e)$ convenait » : la rédaction ci‑dessus suit exactement cette indication, en n'oubliant pas le contrôle de signe (orientation).

## Question 14.a
**Stratégie.** Norme : $\|\Psi(V,C)\|^2=\Omega_p(e^0)(e^0)=\mathrm{vol}_p(e^0)^2=1$ (11, 8.a).

Injectivité : colinéarité $\Rightarrow$ même $V$ (13.a), puis le signe $\Rightarrow$ même orientation.

**Rédaction.**

Soit $e^0$ une base orthonormée de $V$ dans $C$, donc $\Psi(V,C)=\Omega_p(e^0)$.

Par 11 puis 8.a, $$\|\Psi(V,C)\|^2=\langle\Omega_p(e^0),\Omega_p(e^0)\rangle=\Omega_p(e^0)(e^0)=\mathrm{vol}_p(e^0)^2=1,$$ donc $\Psi$ est à valeurs dans la sphère unité.

*Injectivité.*

Supposons $\Psi(V,C)=\Psi(V',C')$, avec $e^0\in C$, $e'^0\in C'$ bases orthonormées : $\Omega_p(e^0)=\Omega_p(e'^0)$, en particulier colinéaires et non nulles (7.b).

Par 13.a, $V=V'$.

Sur ce $V$ commun, $e'^0_i=\sum_j M_{ij}e^0_j$ donne par 7.a $\Omega_p(e'^0)=\det(M)\Omega_p(e^0)$ ; l'égalité $\Omega_p(e'^0)=\Omega_p(e^0)\ne0$ force $\det M=1>0$, soit $e'^0\sim e^0$ : même orientation, $C=C'$.

Donc $(V,C)=(V',C')$ : $\Psi$ est injective. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Très rarement traitée. La condition sur la norme découlait des calculs de $\det(\mathrm{Gram}(e,e))$ […]. L'injectivité […] conséquence de 13.a et d'un argument de signe garantissant que les orientations coïncidaient ».

## Question 14.b

**Stratégie.** $\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ est de dimension finie : compact $=$ fermé borné.

Borné car dans la sphère unité (14.a). On montre la compacité séquentielle par extraction sur les bases orthonormées et continuité de $\Omega_p$.

**Rédaction.** $\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ est de dimension finie $\binom dp$ ; il suffit de montrer que $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ est séquentiellement compacte.

Soit $(\psi_n)$ une suite de cette image : $\psi_n=\Psi(V_n,C_n)=\Omega_p(e^{(n)})$, où $e^{(n)}=(e^{(n)}_1,\dots,e^{(n)}_p)$ est une base orthonormée de $V_n$ dans $C_n$.

Chaque $e^{(n)}_i$ appartient à la sphère unité $S$ de $E$, qui est compacte (fermée bornée en dimension finie).

Par extractions successives sur $i=1,\dots,p$ (extraction diagonale), on obtient une sous‑suite $(n_k)$ telle que $e^{(n_k)}_i\to f_i\in S$ pour chaque $i$.

Le produit scalaire étant continu, $\langle f_i,f_j\rangle=\lim_k\langle e^{(n_k)}_i,e^{(n_k)}_j\rangle=\delta_{ij}$ : $f=(f_1,\dots,f_p)$ est orthonormée, donc base d'un $p$‑plan $V=\mathrm{Vect}(f)$, d'orientation $C$ contenant $f$.

Comme $\Omega_p:E^p\to\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ est $p$‑linéaire (6.c) entre espaces de dimension finie, elle est continue, d'où $$\psi_{n_k}=\Omega_p(e^{(n_k)})\xrightarrow[k\to\infty]{}\Omega_p(f)=\Psi(V,C)\in\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E)).$$
Toute suite admet donc une sous‑suite convergeant dans l'ensemble : $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ est compacte. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Difficile très rarement traitée ». Les deux voies du rapport sont mentionnées : « critère séquentiel […] extraction diagonale […] compacité de la sphère unité » ; le caractère borné « donné par la question précédente ».

## Question 15
**Stratégie.**

Si $p=d$ : $\widetilde{\mathrm{Gr}}(d,E)$ a deux éléments, d'images opposées dans une droite, donc deux points : non connexe par arcs.

Si $p\le d-1$ : on relie deux $p$‑plans orientés par (a) une « rotation des plans » via la Partie I (3.d), et (b) un retournement d'orientation utilisant un vecteur de $V^\perp\ne\{0\}$.

**Rédaction.**

**Cas $p=d$ (non connexe).**

Le seul $d$‑plan est $E$, d'où $\widetilde{\mathrm{Gr}}(d,E)=\{(E,C_+),(E,C_-)\}$.

Comme $\dim\mathscr A_d(E,\mathbb R)=\binom dd=1$, soit $\omega_0=\Psi(E,C_+)=\Omega_d(e^0)$ ($e^0$ base orthonormée dans $C_+$, $\|\omega_0\|=1$).

Une base orthonormée de $C_-$ est $(-e^0_1,e^0_2,\dots,e^0_d)$, et par 7.a $\Psi(E,C_-)=\det\,\mathrm{diag}(-1,1,\dots,1)\,\omega_0=-\omega_0$.

Donc $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(d,E))=\{\omega_0,-\omega_0\}$ avec $\omega_0\ne-\omega_0$.

Si $\gamma:[0,1]\to\{\omega_0,-\omega_0\}$ était un arc continu de $\omega_0$ à $-\omega_0$, alors $t\mapsto\langle\gamma(t),\omega_0\rangle$ serait continue, à valeurs dans $\{1,-1\}$, et prendrait par le théorème des valeurs intermédiaires la valeur $0$ : contradiction.

L'ensemble n'est pas connexe par arcs.

**Cas $p\le d-1$ (connexe par arcs).** On montre que deux images quelconques sont reliées dans l'ensemble.

*(a) Déplacement des plans.*

Soient $(V,C)$, $(V',C')$.

Appliquons la Partie I à $(V,V')$ : on a des bases orthonormées $u=(u_k)$ de $V$, $u'=(u_k')$ de $V'$ avec $W_k=\mathrm{Vect}(u_k,u_k')$ deux à deux orthogonaux (3.d) et $\cos\theta_k=\langle u_k,u_k'\rangle$.

Dans chaque $W_k$, construisons un chemin unitaire de $u_k$ à $u_k'$ : si $\theta_k=0$, $u_k=u_k'$, chemin constant ; sinon, $n_k=\dfrac{u_k'-\cos\theta_k\,u_k}{\sin\theta_k}$ est unitaire, orthogonal à $u_k$, et $\gamma_k(t)=\cos(t\theta_k)u_k+\sin(t\theta_k)n_k$ vérifie $\gamma_k(0)=u_k$, $\gamma_k(1)=u_k'$, $\|\gamma_k(t)\|=1$.

Comme $\gamma_k(t)\in W_k$ et les $W_k$ sont orthogonaux, $\gamma(t)=(\gamma_1(t),\dots,\gamma_p(t))$ est une base orthonormée d'un $p$‑plan $V(t)$ ; $t\mapsto\Omega_p(\gamma(t))=\Psi(V(t),C(t))$ est continu (continuité de $\Omega_p$).

Il relie $\Psi(V,C_u)$ (en $t=0$) à $\Psi(V',C_{u'})$ (en $t=1$), où $C_u,C_{u'}$ sont les orientations portées par $u,u'$.

*(b) Retournement d'orientation.*

Soit $V$ un $p$‑plan, $(u_1,\dots,u_p)$ une base orthonormée.

Comme $p\le d-1$, $V^\perp\ne\{0\}$ : prenons $w\in V^\perp$ unitaire.

Pour $\phi\in[0,\pi]$, $u_1(\phi)=\cos\phi\,u_1+\sin\phi\,w$ est unitaire et orthogonal à $u_2,\dots,u_p$ (car $w\perp V$), donc $(u_1(\phi),u_2,\dots,u_p)$ est une base orthonormée d'un $p$‑plan.

Le chemin $\phi\mapsto\Omega_p(u_1(\phi),u_2,\dots,u_p)$ est continu dans l'ensemble, et relie $\Psi(V,C_+)$ (en $\phi=0$) à $\Psi(V,C_-)$ (en $\phi=\pi$, où $u_1(\pi)=-u_1$, orientation opposée).

*(c) Conclusion.* La relation « être reliés par un arc tracé dans $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ » est une relation d'équivalence.

Par (b), $\Psi(V,C)$ et $\Psi(V,C_u)$ sont reliés (orientations de $V$), de même $\Psi(V',C_{u'})$ et $\Psi(V',C')$ ; par (a), $\Psi(V,C_u)$ et $\Psi(V',C_{u'})$ le sont.

Par transitivité, $\Psi(V,C)$ et $\Psi(V',C')$ sont reliés.

L'ensemble est connexe par arcs.

**Conclusion :** $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ est connexe par arcs **si et seulement si** $p\le d-1$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** « Question très peu traitée et difficile ». Le rapport confirme que « le fait que $p=d$ implique la non‑connexité par arcs était la partie la plus accessible ».

Le sens $p\le d-1$ exploite, comme le suggère l'indication, la **question 3.d** (orthogonalité des $W_k$, qui rend la famille $\gamma(t)$ orthonormée tout au long de la rotation) et l'existence d'un vecteur dans $V^\perp$ pour retourner l'orientation — possible précisément car $p<d$.

---

### Bilan stratégique

Conformément au rapport, un candidat visait une note correcte en sécurisant **toute la Partie I** (sauf 3.b, plus dure), **toute la Partie II** (9.b exceptée), puis **10.b, 11** en Partie III.

Les questions $2$, $3\mathrm b$, $6\mathrm c$, $9\mathrm b$, $10\mathrm a$, $12$ et l'ensemble de la Partie IV constituaient le réservoir de points discriminants ; le rapport rappelle qu'« il est absolument nécessaire de prendre le temps de fournir une rédaction correcte des réponses données, y compris pour les résultats élémentaires » et que « la stratégie de survoler le sujet […] ne peut aboutir à une note correcte ».