Maths A

# X-ENS — Mathématiques A — Filière MP — 2022
## Corrigé de référence

**Thème et fil directeur.**

Le sujet construit, à partir de l'algèbre multilinéaire alternée et de la géométrie euclidienne, le *plongement de Plücker* des sous-espaces orientés de dimension $p$ d'un espace euclidien $E$ dans la sphère unité de l'espace $A_p(E,\mathbb R)$ des formes $p$-linéaires alternées.

La Partie I étudie la position relative de deux sous-espaces de même dimension via les angles principaux et le déterminant de Gram.

La Partie II établit les propriétés des formes $\Omega_p(e)=\det\mathrm{Gram}(e,\cdot)$ et la notion de $p$-volume.

La Partie III munit $A_p(E,\mathbb R)$ d'un produit scalaire intrinsèque dont les $\Omega_p(e_\alpha)$ forment une base orthonormée.

La Partie IV en déduit la compacité, et la connexité par arcs (selon que $p\le d-1$ ou $p=d$), de l'image de la grassmannienne orientée.

**Carte stratégique.**

Épreuve longue, moyenne $8{,}06/20$, écart-type $3{,}70$ ; une centaine de copies au-dessus de $14$.

Les Parties I et II sont rentables et accessibles ; il faut y soigner **2**, **3b** (annulation d'une dérivée), **7a** ($M$ non inversible), **8b** et **9b**. La Partie III repose sur **10a** (argument combinatoire). La Partie IV, peu traitée, exige d'avoir assimilé tout le matériel ; **15** se gagne au moins par le sens $p=d$. Conseil : traiter linéairement I→II→III, n'aborder IV qu'ensuite.

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## Partie I

On fixe deux sous-espaces $V,V'$ de $E$ de dimension $p\ge 1$.

### Question 1.a
**Stratégie.** L'existence d'un maximum n'est pas gratuite : il faut une borne supérieure *atteinte*. On invoque la compacité des sphères unités en dimension finie et la continuité du produit scalaire.

**Rédaction.**

Soit $S=\{a\in V:\|a\|=1\}$ et $S'=\{a'\in V':\|a'\|=1\}$.

Comme $V$ et $V'$ sont de dimension finie, $S$ et $S'$ sont fermées bornées, donc compactes ; $S\times S'$ est compact.

L'application $(a,a')\mapsto\langle a,a'\rangle$ est continue (le produit scalaire est continu en dimension finie).

D'après le théorème des bornes atteintes, elle atteint sa borne supérieure : il existe $(u_1,u_1')\in S\times S'$ tel que $$\langle u_1,u_1'\rangle=\sup\{\langle a,a'\rangle\mid (a,a')\in V\times V',\ \|a\|=\|a'\|=1\}.\qquad\square$$

**Commentaire.** Abordée par toutes les copies. Le rapport sanctionne celles qui « se sont contentées de justifier l'existence d'une borne supérieure sans justifier qu'elle était atteinte ». Ce sont précisément les deux lignes de compacité + continuité qui sont payées.

### Question 1.b
**Stratégie.**

On reprend 1.a par récurrence, en restreignant à chaque étape aux orthogonaux des vecteurs déjà construits, qui restent de dimension $\ge 1$ tant que $k\le p$.

**Rédaction.**

Construisons $u_1,\dots,u_p\in V$ et $u_1',\dots,u_p'\in V'$ par récurrence sur $k$.

Pour $k=1$, on prend le couple de la question 1.a.

Supposons $u_1,\dots,u_{k-1}$ orthonormés dans $V$ et $u_1',\dots,u_{k-1}'$ orthonormés dans $V'$ construits ($2\le k\le p$).

Posons $$V_k=V\cap\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_{k-1})^\perp,\qquad V_k'=V'\cap\mathrm{Vect}(u_1',\dots,u_{k-1}')^\perp.$$
Comme $u_1,\dots,u_{k-1}$ (resp. $u_1',\dots,u_{k-1}'$) sont libres, $\dim V_k=\dim V_k'=p-(k-1)\ge 1$.

Les sphères unités de $V_k$ et $V_k'$ sont compactes non vides ; par le même argument qu'en 1.a, $(a,a')\mapsto\langle a,a'\rangle$ atteint son maximum sur leur produit en un point $(u_k,u_k')$.

Par construction $\|u_k\|=\|u_k'\|=1$, $u_k\perp u_1,\dots,u_{k-1}$ et $u_k'\perp u_1',\dots,u_{k-1}'$ : les familles restent orthonormées.

La condition « $a\in V_k$ » équivaut à « $a\in V$, $\|a\|=1$, $\langle a,u_l\rangle=0$ pour $l\le k-1$ » (idem pour $a'$), si bien que $$\langle u_k,u_k'\rangle=\sup\{\langle a,a'\rangle\mid (a,a')\in V\times V',\ \|a\|=\|a'\|=1,\ \langle a,u_l\rangle=\langle a',u_l'\rangle=0,\ l\le k-1\}.$$
C'est exactement la condition (ii). $\square$

**Commentaire.** « Il suffisait essentiellement de reprendre la question précédente mais il fallait faire attention à préciser sur quels sous-espaces vectoriels on le faisait » : d'où l'explicitation de $V_k,V_k'$.

### Question 2
**Stratégie.**

Montrer, par récurrence, que le maximum définissant $u_k$ vaut $1$ et est atteint pour $u_k=u_k'$, en exhibant un vecteur unitaire de $V\cap V'$ admissible et en utilisant le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz.

**Rédaction.** Posons $m=\dim(V\cap V')\ge 1$.

Montrons par récurrence sur $k\in\{1,\dots,m\}$ que $u_l=u_l'$ pour $l<k$ entraîne $u_k=u_k'$.

Soit donc $1\le k\le m$, avec $u_l=u_l'$ pour $l<k$.

L'espace $W=(V\cap V')\cap\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_{k-1})^\perp$ vérifie $\dim W\ge m-(k-1)\ge 1$ ; choisissons $w\in W$ unitaire.

Alors $w\in V$ avec $\langle w,u_l\rangle=0$ ($l<k$), et $w\in V'$ avec $\langle w,u_l'\rangle=\langle w,u_l\rangle=0$ ($l<k$).

Le couple $(w,w)$ est donc admissible dans le sup définissant $\langle u_k,u_k'\rangle$, et donne la valeur $\langle w,w\rangle=1$.

Par ailleurs, pour tout couple admissible $(a,a')$, l'inégalité de Cauchy-Schwarz donne $\langle a,a'\rangle\le\|a\|\,\|a'\|=1$.

Donc le sup vaut exactement $1$ et $\langle u_k,u_k'\rangle=1$.

L'égalité $\langle u_k,u_k'\rangle=1=\|u_k\|\,\|u_k'\|$ est un cas d'égalité de Cauchy-Schwarz avec $u_k,u_k'$ unitaires et produit scalaire $+1$ : ainsi $u_k'=u_k$.

L'initialisation ($k=1$) est le cas ci-dessus sans contrainte.

Par récurrence, $u_k=u_k'$ pour tout $1\le k\le m$. $\square$

**Commentaire.** « Première question où bon nombre de candidats n'ont pas fourni de réponse. » Les trois ingrédients attendus sont présents : récurrence, vecteur unitaire de $V\cap V'$ pour montrer que le maximum vaut $1$, cas d'égalité de Cauchy-Schwarz.

Question discriminante.

### Question 3.a
**Stratégie.** La famille $u$ est déjà orthonormée (1.b) ; il reste à compter.

**Rédaction.**

La famille $u=(u_1,\dots,u_p)$ est orthonormée (1.b), donc libre, et contenue dans $V$.

Comme $\dim V=p$ et $\mathrm{card}(u)=p$, $u$ est une base orthonormée de $V$. $\square$

**Commentaire.** « Beaucoup plus facile … il suffisait de justifier que le cardinal était celui de la dimension. »

### Question 3.b
**Stratégie.**

Pour $l>k$, le vecteur $u_k(t)=\dfrac{u_k+tu_l}{\|u_k+tu_l\|}$ reste admissible face à $u_k'$ ; la fonction $t\mapsto\langle u_k(t),u_k'\rangle$ est donc maximale en $t=0$, et sa dérivée s'y annule.

**Rédaction.**

Soit $k\in\{1,\dots,p-1\}$ et $l\in\{k+1,\dots,p\}$.

Comme $u_k\perp u_l$ et $\|u_k\|=\|u_l\|=1$, on a $\|u_k+tu_l\|^2=1+t^2$, donc $u_k(t)=\dfrac{u_k+tu_l}{\sqrt{1+t^2}}$ est bien défini, unitaire, élément de $V$.

De plus $u_k(t)\perp u_1,\dots,u_{k-1}$ (car $u_k,u_l$ le sont).

Ainsi $(u_k(t),u_k')$ est admissible dans le sup (ii) définissant $\langle u_k,u_k'\rangle$, d'où, pour tout $t\in\mathbb R$, $$f(t):=\langle u_k(t),u_k'\rangle=\frac{\langle u_k,u_k'\rangle+t\,\langle u_l,u_k'\rangle}{\sqrt{1+t^2}}\le\langle u_k,u_k'\rangle=f(0).$$
La fonction $f$ est dérivable et atteint son maximum global en $t=0$ ; donc $f'(0)=0$.

Or, en posant $a=\langle u_k,u_k'\rangle,\ b=\langle u_l,u_k'\rangle$, $$f'(t)=\frac{b\sqrt{1+t^2}-(a+tb)\,t/\sqrt{1+t^2}}{1+t^2},\qquad f'(0)=b.$$
Donc $\langle u_l,u_k'\rangle=0$ pour tout $l>k$, c'est-à-dire $u_k'\in\mathrm{Vect}(u_{k+1},\dots,u_p)^\perp$. $\square$

**Commentaire.** « Difficile, traitée correctement dans peu de copies … beaucoup ont cherché à calculer une dérivée sans avoir réfléchi à l'utilisation. » Le point clé est que $t=0$ est un *maximum global* de $f$, d'où l'annulation de la dérivée.

### Question 3.c

**Stratégie.** $u_{k+1}$ est orthogonal aux $u_l$ par 3.a, et aux $u_l'$ par 3.b.

**Rédaction.** Soit $k\in\{1,\dots,p-1\}$.

D'abord $u_{k+1}\perp u_1,\dots,u_k$ (orthonormalité de $u$, 3.a).

Ensuite, pour $l\le k$, la question 3.b donne $u_l'\in\mathrm{Vect}(u_{l+1},\dots,u_p)^\perp$ ; comme $k+1>l$, on a $u_l'\perp u_{k+1}$, soit $u_{k+1}\perp u_l'$.

Donc $u_{k+1}$ est orthogonal à $\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_k)$ et à $\mathrm{Vect}(u_1',\dots,u_k')$, d'où $$u_{k+1}\in\big(\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_k)+\mathrm{Vect}(u_1',\dots,u_k')\big)^\perp.\qquad\square$$

**Commentaire.** « Souvent bien traitée à partir du résultat de la précédente. »

### Question 3.d
**Stratégie.**

Par symétrie des rôles de $V$ et $V'$, la conclusion de 3.b vaut aussi pour $u$.

On en déduit l'orthogonalité de tous les couples croisés.

**Rédaction.**

Le procédé de construction est symétrique en $(V,V')$ ; en échangeant les rôles dans 3.b (en considérant $u_k'(t)=\frac{u_k'+tu_l'}{\|u_k'+tu_l'\|}$), on obtient de même $u_k\perp u_l'$ pour tout $l>k$, c'est-à-dire $u_k\in\mathrm{Vect}(u_{k+1}',\dots,u_p')^\perp$.

Soient $k<k'$. Alors :

- $u_k\perp u_{k'}$ et $u_k'\perp u_{k'}'$ (orthonormalité de $u$ et $u'$) ;

- $u_k'\perp u_{k'}$ par 3.b (avec $l=k'>k$) ;

- $u_k\perp u_{k'}'$ par la version symétrique (avec $l=k'>k$).

Tout vecteur de $W_k=\mathrm{Vect}(u_k,u_k')$ est donc orthogonal à tout vecteur de $W_{k'}=\mathrm{Vect}(u_{k'},u_{k'}')$.

Les $W_k$ sont deux à deux orthogonaux. $\square$

**Commentaire.** « Souvent traitée, mais parfois avec une rédaction insuffisante … symétrie des rôles de $u_k$ et $u_k'$. » Il faut justifier la version symétrique de 3.b, et non l'admettre.

### Question 4.a
**Stratégie.** Montrer $\langle u_k,u_k'\rangle\in[0,1]$ (positivité par symétrie du domaine, majoration par Cauchy-Schwarz) et que la suite décroît (domaine de plus en plus contraint).

**Rédaction.**

Pour chaque $k$, le domaine du sup définissant $\langle u_k,u_k'\rangle$ est invariant par $a'\mapsto -a'$ (les contraintes $\|a'\|=1$, $\langle a',u_l'\rangle=0$ sont préservées).

Donc le sup est $\ge 0$ : $\langle u_k,u_k'\rangle\ge 0$.

Par Cauchy-Schwarz sur des vecteurs unitaires, $\langle u_k,u_k'\rangle\le 1$. Ainsi $\langle u_k,u_k'\rangle\in[0,1]$.

De plus, le domaine définissant $\langle u_{k},u_k'\rangle$ ($k\ge 2$) est inclus dans celui définissant $\langle u_{k-1},u_{k-1}'\rangle$ (il porte les contraintes supplémentaires $\langle a,u_{k-1}\rangle=\langle a',u_{k-1}'\rangle=0$).

Le sup décroît donc : $\langle u_k,u_k'\rangle\le\langle u_{k-1},u_{k-1}'\rangle$.

La suite $(\langle u_k,u_k'\rangle)_k$ est décroissante dans $[0,1]$.

En posant $\theta_k=\arccos\langle u_k,u_k'\rangle\in[0,\pi/2]$, on a $\cos\theta_k=\langle u_k,u_k'\rangle$ et, $\arccos$ étant décroissante, $0\le\theta_1\le\cdots\le\theta_p\le\pi/2$. $\square$

**Commentaire.** « Il fallait soigneusement justifier que les produits scalaires étaient positifs … erreur classique : oublier que la propriété était définie sur des familles de vecteurs de norme 1. » La positivité provient de la symétrie $a'\mapsto -a'$ du domaine.

### Question 4.b
**Stratégie.** Montrer que $\mathrm{Gram}(u,u')$ est diagonale grâce à 3.d.

**Rédaction.**

Pour $i\ne j$ : si $i<j$, alors $u_i\perp u_j'$ (version symétrique de 3.b) ; si $i>j$, alors $u_j'\perp u_i$ (3.b).

Dans les deux cas $\langle u_i,u_j'\rangle=0$.

Ainsi $\mathrm{Gram}(u,u')=\mathrm{diag}(\langle u_1,u_1'\rangle,\dots,\langle u_p,u_p'\rangle)=\mathrm{diag}(\cos\theta_1,\dots,\cos\theta_p)$, d'où $$\det\big(\mathrm{Gram}(u,u')\big)=\prod_{k=1}^p\cos\theta_k.\qquad\square$$

**Commentaire.** « Facile souvent bien traitée. »

### Question 4.c
**Stratégie.** Chaque facteur est dans $[0,1]$ ; étudier l'égalité.

**Rédaction.**

Comme $\cos\theta_k\in[0,1]$, on a $\det(\mathrm{Gram}(u,u'))=\prod_k\cos\theta_k\le 1$.

Cas d'égalité : $\prod_k\cos\theta_k=1$ avec chaque $\cos\theta_k\in[0,1]$ équivaut à $\cos\theta_k=1$ pour tout $k$, soit $\theta_k=0$, soit (égalité de Cauchy-Schwarz, vecteurs unitaires, produit $+1$) $u_k=u_k'$ pour tout $k$.

Alors $V=\mathrm{Vect}(u)=\mathrm{Vect}(u')=V'$.

Réciproquement, si $V=V'$, la question 2 (avec $\dim(V\cap V')=p$) donne $u_k=u_k'$ pour tout $k$, donc $\det=1$.

Conclusion : il y a égalité **si et seulement si $V=V'$**. $\square$

**Commentaire.** « Assez souvent bien traitée … condition d'égalité dans Cauchy-Schwarz. »

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## Partie II

Pour $e\in E^p$, $\Omega_p(e):E^p\to\mathbb R$, $\Omega_p(e)(u)=\det(\mathrm{Gram}(e,u))$.

### Question 5.a
**Stratégie.** Revenir à la définition : multilinéarité par colonnes et propriété de signature, ou propriétés du déterminant.

**Rédaction.** Notons $D(x_1,\dots,x_p)=[x_1,\dots,x_p]=\det(x_1|\cdots|x_p)$.

L'application $D$ est linéaire en chaque colonne $x_i$ (linéarité du déterminant par rapport à une colonne, les autres fixées).

Pour $\sigma\in\mathfrak S_p$, $(x\cdot\sigma)=(x_{\sigma(i)})_i$, et permuter les colonnes d'une matrice par $\sigma$ multiplie son déterminant par $\epsilon(\sigma)$ : $$D(x\cdot\sigma)=\det(x_{\sigma(1)}|\cdots|x_{\sigma(p)})=\epsilon(\sigma)\det(x_1|\cdots|x_p)=\epsilon(\sigma)D(x).$$
Donc $D\in A_p(\mathbb R^p,\mathbb R)$. $\square$

**Commentaire.** « Quasiment toutes les copies … si on n'utilisait pas l'interprétation en déterminant, il fallait les définitions précises … erreurs récurrentes dans l'action d'une permutation. » On s'appuie sur les propriétés du déterminant (au programme), ce qui évite tout calcul de coefficients.

### Question 5.b

**Stratégie.** $g$ est la composée de $D$ avec $f$ appliquée coordonnée par coordonnée ; transfert direct des deux propriétés.

**Rédaction.**

Soit $f:F\to\mathbb R^p$ linéaire et $g(u)=[f(u_1),\dots,f(u_p)]$.

*Linéarité partielle.*

Fixons les $u_j$ ($j\ne i$).

L'application $y\mapsto g(u_1,\dots,y,\dots,u_p)=D(f(u_1),\dots,f(y),\dots,f(u_p))$ est la composée de $y\mapsto f(y)$ (linéaire) et de la linéarité de $D$ en sa $i$-ème variable ; elle est donc linéaire.

*Caractère alterné.*

Pour $\sigma\in\mathfrak S_p$, $$g(u\cdot\sigma)=[f(u_{\sigma(1)}),\dots,f(u_{\sigma(p)})]=D\big((f(u_1),\dots,f(u_p))\cdot\sigma\big)=\epsilon(\sigma)\,[f(u_1),\dots,f(u_p)]=\epsilon(\sigma)g(u),$$ par 5.a. Donc $g\in A_p(F,\mathbb R)$. $\square$

**Commentaire.** « Souvent bien traitée. Il fallait faire apparaître clairement où la linéarité de $f$ intervenait » — c'est l'étape de linéarité partielle.

### Question 6.a
**Stratégie.**

Identifier $\Omega_p(e)$ comme un cas particulier de 5.b avec $f(y)=(\langle e_i,y\rangle)_i$.

**Rédaction.**

L'application $f:E\to\mathbb R^p$, $f(y)=(\langle e_1,y\rangle,\dots,\langle e_p,y\rangle)$, est linéaire (linéarité du produit scalaire à droite).

La matrice $\mathrm{Gram}(e,u)$ a pour $j$-ème colonne $(\langle e_i,u_j\rangle)_i=f(u_j)$, donc $$\Omega_p(e)(u)=\det(\mathrm{Gram}(e,u))=[f(u_1),\dots,f(u_p)].$$
Par 5.b appliquée à ce $f$, $\Omega_p(e)\in A_p(E,\mathbb R)$. $\square$

**Commentaire.** « Refaire un raisonnement similaire, ou utiliser la précédente à condition d'écrire précisément $f$ et $g$. » Ici $f$ est explicité.

### Question 6.b

**Stratégie.** $\mathrm{Gram}(u,e)=\mathrm{Gram}(e,u)^\top$ et $\det M=\det M^\top$.

**Rédaction.**

Pour tous $i,j$, $\mathrm{Gram}(u,e)_{i,j}=\langle u_i,e_j\rangle=\langle e_j,u_i\rangle=\mathrm{Gram}(e,u)_{j,i}$, donc $\mathrm{Gram}(u,e)=\mathrm{Gram}(e,u)^\top$.

Comme $\det(M^\top)=\det(M)$, $$\Omega_p(u)(e)=\det(\mathrm{Gram}(u,e))=\det(\mathrm{Gram}(e,u))=\Omega_p(e)(u).\qquad\square$$

**Commentaire.** « La symétrie du produit scalaire n'était en rien suffisante ; il fallait $\det M=\det M^\top$. »

### Question 6.c
**Stratégie.**

Vérifier que les propriétés de $\Omega_p$ (valeurs dans $A_p(E,\mathbb R)$) se testent en évaluant en tout $u$, ce qui ramène à 6.a via 6.b.

**Rédaction.**

Il faut montrer que $\Omega_p:E^p\to A_p(E,\mathbb R)$, $e\mapsto\Omega_p(e)$, est $p$-linéaire alternée.

Égalité et linéarité dans $A_p(E,\mathbb R)$ se vérifient ponctuellement (évaluation en chaque $u\in E^p$).

*Linéarité partielle.*

Fixons $i$ et les $e_j$, $j\ne i$.

Pour tout $u\in E^p$, par 6.b, $$\Omega_p(e_1,\dots,y,\dots,e_p)(u)=\Omega_p(u)(e_1,\dots,y,\dots,e_p),$$ qui est linéaire en $y$ car $\Omega_p(u)\in A_p(E,\mathbb R)$ (6.a).

Donc $y\mapsto\Omega_p(e_1,\dots,y,\dots,e_p)$ est linéaire à valeurs dans $A_p(E,\mathbb R)$.

*Caractère alterné.*

De même, pour $\sigma\in\mathfrak S_p$ et tout $u$, $$\Omega_p(e\cdot\sigma)(u)=\Omega_p(u)(e\cdot\sigma)=\epsilon(\sigma)\,\Omega_p(u)(e)=\epsilon(\sigma)\,\Omega_p(e)(u),$$ d'où $\Omega_p(e\cdot\sigma)=\epsilon(\sigma)\Omega_p(e)$.

Donc $\Omega_p\in A_p(E,A_p(E,\mathbb R))$. $\square$

**Commentaire.** « La difficulté reposait sur le fait qu'on regardait une application à valeurs dans l'espace des formes alternées. » Le passage par 6.b est l'astuce : tout se ramène à la linéarité/alternance en la *seconde* variable, déjà acquise.

### Question 7.a
**Stratégie.**

Appliquer le caractère $p$-linéaire alterné de $\Omega_p$ (6.c) : une famille obtenue par une matrice $M$ multiplie la forme par $\det M$.

Aucune hypothèse d'inversibilité n'est nécessaire.

**Rédaction.** $\Omega_p$ est $p$-linéaire alternée (6.c) et $e_i'=\sum_{j=1}^p M_{ij}e_j$.

Pour toute application $p$-linéaire alternée $\Phi$, on a la formule classique $\Phi(e_1',\dots,e_p')=\det(M)\,\Phi(e_1,\dots,e_p)$ : en développant par multilinéarité, $$\Phi(e')=\sum_{j_1,\dots,j_p}M_{1j_1}\cdots M_{pj_p}\,\Phi(e_{j_1},\dots,e_{j_p}),$$ les termes à indices répétés sont nuls (alternance), et la sommation sur les $p$-uplets d'indices distincts se réécrit, après réordonnancement à signature, $\sum_{\sigma\in\mathfrak S_p}\epsilon(\sigma)M_{1\sigma(1)}\cdots M_{p\sigma(p)}\,\Phi(e)=\det(M)\Phi(e)$.

Avec $\Phi=\Omega_p$ : $\Omega_p(e')=\det(M)\,\Omega_p(e)$ (égalité dans $A_p(E,\mathbb R)$). $\square$

**Commentaire.** « La matrice n'était pas nécessairement inversible … les arguments de matrice de passage étaient délicats et possiblement faux. On répondait par le caractère alterné du produit mixte. » Aucune division par $\det M$ n'apparaît ici.

### Question 7.b
**Stratégie.** Famille liée $\Rightarrow$ forme nulle (alternance).

Famille libre $\Rightarrow$ via 7.a et une base orthonormée de $\mathrm{Vect}(e)$, où $\Omega_p(b)\ne 0$.

**Rédaction.**

Si $e$ est liée, l'un des $e_i$ est combinaison linéaire des autres ; comme $\Omega_p$ est multilinéaire alternée (6.c), $\Omega_p(e)=0$.

Si $e$ est libre, $\mathrm{Vect}(e)$ est de dimension $p$ ; soit $b=(b_1,\dots,b_p)$ une base orthonormée de $\mathrm{Vect}(e)$.

Il existe $M\in\mathcal M_p(\mathbb R)$ inversible avec $e_i=\sum_j M_{ij}b_j$ (changement de base).

Par 7.a, $\Omega_p(e)=\det(M)\,\Omega_p(b)$ avec $\det M\ne 0$.

Or $\Omega_p(b)(b)=\det(\mathrm{Gram}(b,b))=\det(I_p)=1\ne 0$, donc $\Omega_p(b)\ne 0$, puis $\Omega_p(e)\ne 0$.

Conclusion : $\Omega_p(e)\ne 0\iff e$ est libre. $\square$

**Commentaire.** « $p$ n'était pas nécessairement égal à $n$ ; on prenait une base orthonormée $b$ de $\mathrm{Vect}(e_1,\dots,e_p)$ et $\Omega_p(b)$ non nulle par calcul direct. »

### Question 7.c
**Stratégie.** $\Omega_p(e)(e)=\det\mathrm{Gram}(e,e)$ ; matrice de Gram positive.

**Rédaction.**

Si $e$ est liée, $\Omega_p(e)=0$ donc $\Omega_p(e)(e)=0\ge 0$.

Si $e$ est libre, avec les notations de 7.b ($e=Mb$, $b$ ONB de $\mathrm{Vect}(e)$), on a $\mathrm{Gram}(e,e)_{i,j}=\langle e_i,e_j\rangle=\sum_k M_{ik}M_{jk}=(MM^\top)_{ij}$, donc $\Omega_p(e)(e)=\det(MM^\top)=\det(M)^2\ge 0$.

Dans tous les cas $\Omega_p(e)(e)\ge 0$. $\square$

**Commentaire.** « Régulièrement bien traitée. » Ceci justifie la définition $\mathrm{vol}_p(e)=\sqrt{\Omega_p(e)(e)}=\det(\mathrm{Gram}(e,e))^{1/2}$.

### Question 8.a
**Rédaction.**

Si $b$ est orthonormée, $\mathrm{Gram}(b,b)=I_p$, donc $\mathrm{vol}_p(b)=\det(I_p)^{1/2}=1$. $\square$

**Commentaire.** « Très facile … rappelait 4.b. »

### Question 8.b
**Stratégie.**

Le déterminant de Gram est invariant lorsqu'on retranche à $e_1$ une combinaison des $e_2,\dots,e_p$ ; après projection, le bloc se diagonalise.

**Rédaction.**

Décomposons $e_1=\mathrm{pr}(e_1)+w$ avec $w\in\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)=:G$ et $\mathrm{pr}(e_1)\in G^\perp$.

Posons $n=\mathrm{pr}(e_1)$ et $e'=(n,e_2,\dots,e_p)$.

On passe de $e$ à $e'$ par $e'=Te$ où $T$ est unitriangulaire (on retranche à la première composante une combinaison des autres), $\det T=1$.

Alors $$\mathrm{Gram}(e',e')=T\,\mathrm{Gram}(e,e)\,T^\top,\qquad \det\mathrm{Gram}(e',e')=\det(T)^2\det\mathrm{Gram}(e,e)=\det\mathrm{Gram}(e,e),$$ donc $\mathrm{vol}_p(e')=\mathrm{vol}_p(e)$.

Comme $n\in G^\perp$, $\langle n,e_j\rangle=0$ pour $j\ge 2$, et $\mathrm{Gram}(e',e')$ est diagonale par blocs : $$\mathrm{Gram}(e',e')=\begin{pmatrix}\|n\|^2 & 0\\ 0 & \mathrm{Gram}(e_2^p,e_2^p)\end{pmatrix},\qquad \det=\|n\|^2\det\mathrm{Gram}(e_2^p,e_2^p).$$
Donc $\mathrm{vol}_p(e)=\|n\|\,\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)=\|\mathrm{pr}(e_1)\|\,\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)$. $\square$

**Commentaire.** « Plus difficile et peu souvent bien rédigée … décomposer le projeté orthogonal puis utiliser la linéarité du produit mixte et l'annulation sur une colonne combinaison des autres. » La rédaction via $\mathrm{Gram}(e',e')=T\,\mathrm{Gram}(e,e)\,T^\top$ est la plus économique.

### Question 8.c
**Stratégie.**

Récurrence sur $p$ avec 8.b ; $\|\mathrm{pr}(e_1)\|\le\|e_1\|$, cas d'égalité par projection.

**Rédaction.** Récurrence sur $p$.

Pour $p=1$, $\mathrm{vol}_1(e_1)=\|e_1\|$ : égalité, et la condition « orthogonale » est vide.

Soit $p\ge 2$, $e=(e_1,\dots,e_p)$ libre.

Par 8.b, $\mathrm{vol}_p(e)=\|\mathrm{pr}(e_1)\|\,\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)$.

La projection orthogonale est $1$-lipschitzienne : $\|\mathrm{pr}(e_1)\|\le\|e_1\|$.

La famille $e_2^p$ est libre, donc par hypothèse de récurrence $\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)\le\prod_{i=2}^p\|e_i\|$.

Ainsi $$\mathrm{vol}_p(e)\le\|e_1\|\prod_{i=2}^p\|e_i\|=\prod_{i=1}^p\|e_i\|.$$
Égalité $\iff$ $\|\mathrm{pr}(e_1)\|=\|e_1\|$ **et** $\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)=\prod_{i=2}^p\|e_i\|$.

La première condition équivaut à $\mathrm{pr}(e_1)=e_1$, i.e. $e_1\perp\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)$ ; la seconde, par récurrence, à « $(e_2,\dots,e_p)$ orthogonale ».

Ces deux conditions réunies équivalent à « $e$ est une famille de vecteurs deux à deux orthogonaux ». $\square$

**Commentaire.** « Récurrence … préciser soigneusement les cas d'égalité. »

### Question 9.a

**Stratégie.** $\mathrm{Gram}(e,e)=P^\top P$ via les coordonnées dans la base orthonormée $b$.

**Rédaction.**

Soit $b$ une base orthonormée de $\mathrm{Vect}(e)$ et $P=P_b^e$, i.e. $e_j=\sum_i P_{ij}b_i$.

Comme $b$ est orthonormée, $\langle e_i,e_j\rangle=\sum_k P_{ki}P_{kj}=(P^\top P)_{ij}$, donc $\mathrm{Gram}(e,e)=P^\top P$ et $$\mathrm{vol}_p(e)=\det(\mathrm{Gram}(e,e))^{1/2}=\big(\det(P)^2\big)^{1/2}=|\det(P_b^e)|.\qquad\square$$

**Commentaire.** « Souvent bien … de manière analogue à 7c. »

### Question 9.b
**Stratégie.** Cas non libre trivial (7.b).

Sinon ramener à des bases orthonormées $b,b'$ et majorer $|\Omega_p(b)(b')|=|\det\mathrm{Gram}(b,b')|\le 1$ grâce à la Partie I.

**Rédaction.**

Si $e$ ou $e'$ est liée : disons $e$ liée, alors $\Omega_p(e)=0$ (7.b) donc $\Omega_p(e)(e')=0\le\mathrm{vol}_p(e)\mathrm{vol}_p(e')$. (Si $e'$ liée, $\Omega_p(e)(e')=\Omega_p(e')(e)=0$ par 6.b.)

Supposons $e,e'$ libres.

Soit $b$ (resp. $b'$) une base orthonormée de $V=\mathrm{Vect}(e)$ (resp. $V'=\mathrm{Vect}(e')$).

Écrivons $e=M_e\,b$ et $e'=M_{e'}\,b'$ (c.-à-d. $e_i=\sum_j (M_e)_{ij}b_j$, etc.).

Par 7.a, $\Omega_p(e)=\det(M_e)\Omega_p(b)$ et $\Omega_p(e')=\det(M_{e'})\Omega_p(b')$ ; par 9.a, $|\det M_e|=\mathrm{vol}_p(e)$, $|\det M_{e'}|=\mathrm{vol}_p(e')$.

Alors, en utilisant 6.b, $$\Omega_p(e)(e')=\det(M_e)\,\Omega_p(b)(e')=\det(M_e)\,\Omega_p(e')(b)=\det(M_e)\det(M_{e'})\,\Omega_p(b')(b)=\det(M_e)\det(M_{e'})\,\Omega_p(b)(b').$$
Enfin $\Omega_p(b)(b')=\det(\mathrm{Gram}(b,b'))$.

Changer de base orthonormée multiplie ce déterminant par le déterminant d'une matrice orthogonale, soit $\pm 1$ ; donc $|\det\mathrm{Gram}(b,b')|$ ne dépend pas des ONB choisies et vaut $|\det\mathrm{Gram}(u,u')|=\prod_k\cos\theta_k\le 1$ (Partie I, 4.b–4.c, appliquée à $V,V'$).

D'où
$$|\Omega_p(e)(e')|=\mathrm{vol}_p(e)\,\mathrm{vol}_p(e')\,|\det\mathrm{Gram}(b,b')|\le\mathrm{vol}_p(e)\,\mathrm{vol}_p(e').\qquad\square$$

**Commentaire.** « Peu traitée, rédaction souvent insuffisante … cas non-libre par 7b ; cas général par bases orthonormales $b,b'$, argument analogue à 7a, et fin de la Partie 1 pour majorer $|\Omega_p(b)(b')|$. » C'est exactement le schéma suivi.

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## Partie III

$e=(e_1,\dots,e_d)$ ONB de $E$, $1\le p\le d$, $I_p=\{(i_1,\dots,i_p):1\le i_1<\cdots<i_p\le d\}$, $e_\alpha=(e_{i_1},\dots,e_{i_p})$, et $\langle\omega,\omega'\rangle=\sum_{\alpha\in I_p}\omega(e_\alpha)\omega'(e_\alpha)$.

**Lemme préliminaire (utile partout).**

Pour $\alpha,\beta\in I_p$, $\Omega_p(e_\alpha)(e_\beta)=\det(\mathrm{Gram}(e_\alpha,e_\beta))=\delta_{\alpha\beta}$.

*Preuve.* $\mathrm{Gram}(e_\alpha,e_\beta)_{k,l}=\langle e_{i_k},e_{j_l}\rangle=\delta_{i_k,j_l}$ ($e$ ONB).

Si $\alpha=\beta$, c'est $I_p$, déterminant $1$.

Si $\alpha\ne\beta$, il existe un indice $i_k\in\alpha$ absent de $\beta$ ; la $k$-ème ligne est nulle, déterminant $0$. $\square$

### Question 10.a
**Stratégie.**

Deux formes alternées sont égales dès qu'elles coïncident sur les $e_\beta$, $\beta\in I_p$ ; conclure via le lemme.

**Rédaction.**

Montrons d'abord qu'une forme $\omega\in A_p(E,\mathbb R)$ est déterminée par ses valeurs $\omega(e_\beta)$, $\beta\in I_p$.

Pour $u=(u_1,\dots,u_p)$ avec $u_j=\sum_i u_{ij}e_i$, la multilinéarité donne $$\omega(u)=\sum_{j_1,\dots,j_p}u_{j_1,1}\cdots u_{j_p,p}\,\omega(e_{j_1},\dots,e_{j_p}).$$
Les termes à indices répétés sont nuls (alternance) ; pour les indices distincts, on réordonne en ordre croissant $\alpha\in I_p$ au prix d'une signature.

Ainsi $\omega$ ne dépend que des $\omega(e_\alpha)$.

Posons $\widetilde\omega=\sum_{\alpha\in I_p}\omega(e_\alpha)\Omega_p(e_\alpha)$, élément de $A_p(E,\mathbb R)$ (combinaison de formes alternées).

Pour tout $\beta\in I_p$, le lemme donne $$\widetilde\omega(e_\beta)=\sum_{\alpha}\omega(e_\alpha)\,\Omega_p(e_\alpha)(e_\beta)=\sum_\alpha\omega(e_\alpha)\delta_{\alpha\beta}=\omega(e_\beta).$$ $\omega$ et $\widetilde\omega$ coïncident sur tous les $e_\beta$, donc $\omega=\widetilde\omega=\sum_{\alpha\in I_p}\omega(e_\alpha)\Omega_p(e_\alpha)$. $\square$

**Commentaire.** « Peu traitée … justification combinatoire précise utilisant le caractère alterné pour vérifier que l'ensemble d'indexation est bien $I_p$. »

### Question 10.b
**Stratégie.** Bilinéarité/symétrie immédiates ; positivité par 10.a ; orthonormalité par le lemme ; dimension $=|I_p|=\binom dp$.

**Rédaction.** La forme $(\omega,\omega')\mapsto\langle\omega,\omega'\rangle=\sum_\alpha\omega(e_\alpha)\omega'(e_\alpha)$ est bilinéaire symétrique.

Elle est positive : $\langle\omega,\omega\rangle=\sum_\alpha\omega(e_\alpha)^2\ge 0$, et $\langle\omega,\omega\rangle=0$ entraîne $\omega(e_\alpha)=0$ pour tout $\alpha$, donc $\omega=0$ par 10.a. C'est donc un produit scalaire.

Par le lemme, $\langle\Omega_p(e_\alpha),\Omega_p(e_\beta)\rangle=\sum_\gamma\Omega_p(e_\alpha)(e_\gamma)\Omega_p(e_\beta)(e_\gamma)=\sum_\gamma\delta_{\alpha\gamma}\delta_{\beta\gamma}=\delta_{\alpha\beta}$ : la famille $(\Omega_p(e_\alpha))_{\alpha\in I_p}$ est orthonormée, donc libre, et génératrice par 10.a. C'est une base orthonormée de $A_p(E,\mathbb R)$, et $$\dim A_p(E,\mathbb R)=\mathrm{card}\,I_p=\binom dp.\qquad\square$$

**Commentaire.** « Le point subtil : si $\alpha\ne\beta$, une colonne de $\mathrm{Gram}(e_\alpha,e_\beta)$ est nulle.

Le cardinal de $I_p$ n'a pas toujours été calculé correctement. » Le cardinal de $I_p$ est le nombre de parties à $p$ éléments de $\{1,\dots,d\}$, soit $\binom dp$.

### Question 10.c
**Stratégie.**

Pour $p=d-1$, un $\alpha\in I_{d-1}$ est déterminé par l'unique indice manquant ; envoyer une ONB sur une ONB.

**Rédaction.**

Pour $p=d-1$, $\dim A_{d-1}(E,\mathbb R)=\binom{d}{d-1}=d=\dim E$.

Un élément $\alpha\in I_{d-1}$ est déterminé par l'unique indice $m\in\{1,\dots,d\}$ qu'il ne contient pas ; notons $\alpha_m$ cet élément.

Les familles $(\Omega_{d-1}(e_{\alpha_m}))_{1\le m\le d}$ et $(e_m)_{1\le m\le d}$ sont des bases orthonormées (de $A_{d-1}(E,\mathbb R)$ par 10.b, de $E$ par hypothèse).

Définissons l'application linéaire $\Phi:A_{d-1}(E,\mathbb R)\to E$ par $\Phi(\Omega_{d-1}(e_{\alpha_m}))=e_m$.

Comme $\Phi$ envoie une base orthonormée sur une base orthonormée, c'est une isométrie. $\square$

**Commentaire.** « Très peu traitée … bijection entre les $\Omega(e_\alpha)$ et les $e_\alpha$ ; isométrie par calcul ou résultat de cours. »

### Question 11
**Stratégie.**

Appliquer 10.a à $\omega=\Omega_p(u)$, l'évaluer en $v$, et utiliser 6.b.

**Rédaction.** Par 10.a, $\Omega_p(u)=\sum_{\alpha\in I_p}\Omega_p(u)(e_\alpha)\,\Omega_p(e_\alpha)$.

En évaluant en $v$ et en utilisant $\Omega_p(e_\alpha)(v)=\Omega_p(v)(e_\alpha)$ (6.b), $$\Omega_p(u)(v)=\sum_{\alpha\in I_p}\Omega_p(u)(e_\alpha)\,\Omega_p(e_\alpha)(v)=\sum_{\alpha\in I_p}\Omega_p(u)(e_\alpha)\,\Omega_p(v)(e_\alpha)=\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle.\qquad\square$$

**Commentaire.** « Découlait des calculs … mais trop souvent mal rédigée, sans détails ni référence aux questions. » Citer 10.a et 6.b est indispensable.

### Question 12
**Stratégie.**

Par 11, $\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle=\det\mathrm{Gram}(u,v)$ ne dépend que du produit scalaire de $E$ ; les $\Omega_p(u)$ engendrant $A_p(E,\mathbb R)$, le produit scalaire est entièrement déterminé.

**Rédaction.**

Soient $e,e'$ deux ONB de $E$, et $\langle\,,\,\rangle_e$, $\langle\,,\,\rangle_{e'}$ les produits scalaires correspondants définis par (1).

Pour tous $u,v\in E^p$, la question 11 (valable pour chaque base) donne $$\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle_e=\Omega_p(u)(v)=\det(\mathrm{Gram}(u,v))=\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle_{e'},$$ quantité ne dépendant que du produit scalaire de $E$ (via $\mathrm{Gram}$), non du choix de l'ONB.

Or, par 10.a, la famille $\{\Omega_p(u):u\in E^p\}$ contient la base $(\Omega_p(e_\alpha))_\alpha$, donc engendre $A_p(E,\mathbb R)$.

Deux formes bilinéaires coïncidant sur une famille génératrice (par bilinéarité) sont égales : $\langle\,,\,\rangle_e=\langle\,,\,\rangle_{e'}$.

Le produit scalaire ne dépend donc que du produit scalaire de $E$. $\square$

**Commentaire.** « Majoritairement dans les meilleures copies … réécrire $\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle$ via $\Omega(u)(v)$ et justifier que ce dernier ne dépend que du produit scalaire de $E$. »

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## Partie IV

Sur les bases de $V$ (dim $p$) : $e\sim e'$ si $\det_e(e')>0$ ; deux orientations ; $(V,C)$ sous-espace orienté ; $\widetilde{Gr}(p,E)$ leur ensemble.

### Question 13.a
**Stratégie.**

Sens facile par 7.a. Sens difficile : si $V\ne V'$, exhiber un $p$-uplet où l'une des formes s'annule mais pas l'autre, contredisant la colinéarité.

**Rédaction.**

Soient $e,e'$ libres de cardinal $p$, $V=\mathrm{Vect}(e)$, $V'=\mathrm{Vect}(e')$ (dim $p$).

Par 7.b, $\Omega_p(e),\Omega_p(e')\ne 0$.

$(\Leftarrow)$ Si $V=V'$, $e'$ se déduit de $e$ par une matrice $M$ inversible ($e_i'=\sum_j M_{ij}e_j$), donc $\Omega_p(e')=\det(M)\Omega_p(e)$ (7.a) avec $\det M\ne 0$ : les deux formes sont colinéaires.

$(\Rightarrow)$ Supposons $\Omega_p(e')=\lambda\,\Omega_p(e)$ avec $\lambda\ne 0$, et raisonnons par l'absurde en supposant $V\ne V'$.

Comme $\dim V=\dim V'=p$, on ne peut avoir $V'^\perp\subseteq V^\perp$ (sinon $V\subseteq V'$, donc $V=V'$).

Choisissons donc $w\in V'^\perp\setminus V^\perp$.

Alors $\mathrm{pr}_V(w)\ne 0$ (car $w\notin V^\perp$) ; complétons $\mathrm{pr}_V(w)$ en une base $(\mathrm{pr}_V(w),u_2,\dots,u_p)$ de $V$ (avec $u_2,\dots,u_p\in V$).

Considérons $\bar u=(w,u_2,\dots,u_p)$.

D'une part, $w\in V'^\perp$ rend nulle la première colonne de $\mathrm{Gram}(e',\bar u)$ (ses coefficients sont $\langle e_i',w\rangle=0$), donc $\Omega_p(e')(\bar u)=0$.

D'autre part, $\Omega_p(e)(\bar u)=\det\mathrm{Gram}(e,\bar u)$ et $\langle e_i,u_j\rangle=\langle e_i,\mathrm{pr}_V(u_j)\rangle$, si bien que $\Omega_p(e)(\bar u)=\Omega_p(e)(\mathrm{pr}_V(w),u_2,\dots,u_p)$.

Comme $(\mathrm{pr}_V(w),u_2,\dots,u_p)$ est une base de $V$, elle se déduit de $e$ par une matrice inversible, donc (7.a) $\Omega_p(e)(\bar u)=\det(\cdot)\,\Omega_p(e)(e)\ne 0$ (car $\Omega_p(e)(e)=\mathrm{vol}_p(e)^2>0$, $e$ libre).

Ainsi $\Omega_p(e')(\bar u)=0\ne\lambda\,\Omega_p(e)(\bar u)$, contredisant $\Omega_p(e')=\lambda\Omega_p(e)$.

Donc $V=V'$. $\square$

**Commentaire.** « Très peu traitée dans son intégralité … une implication conséquence facile de 7a, l'autre bien plus délicate, nécessitant des résultats des différentes parties. »

### Question 13.b
**Stratégie.**

Définir $\Psi$ via une base orthonormée de $V$ ($\mathrm{vol}=1$) ; vérifier l'indépendance du choix dans $C$ par 7.a, et l'unicité par $\mathrm{vol}_p>0$.

**Rédaction.** *Existence.*

Soit $e\in C$ une base orthonormée de $V$ (il en existe, et son orientation est l'une des deux ; quitte à permuter deux vecteurs, on la met dans $C$).

Posons $\Psi(V,C)=\Omega_p(e)$ ; comme $\mathrm{vol}_p(e)=1$ (8.a), on a bien $\Omega_p(e)=\mathrm{vol}_p(e)\Psi(V,C)$.

Pour toute autre base $e'\in C$, $e'=Me$ avec $\det M>0$ (même orientation) ; alors $\Omega_p(e')=\det(M)\Omega_p(e)$ (7.a) et $\mathrm{vol}_p(e')=|\det M|\,\mathrm{vol}_p(e)=\det(M)$ (9.a, $\det M>0$).

Donc $$\Omega_p(e')=\det(M)\Omega_p(e)=\mathrm{vol}_p(e')\,\Psi(V,C).$$
La relation $\Omega_p(e)=\mathrm{vol}_p(e)\Psi(V,C)$ vaut donc pour tout $e\in C$.

*Unicité.*

Si $\Psi_1,\Psi_2$ conviennent, alors pour $e\in C$ (base, donc $\mathrm{vol}_p(e)>0$), $\mathrm{vol}_p(e)\Psi_1=\Omega_p(e)=\mathrm{vol}_p(e)\Psi_2$ donne $\Psi_1=\Psi_2$. $\square$

**Commentaire.** « Unicité : $\mathrm{vol}_p(e)=1$ pour une base orthonormale ; existence : $\Omega_p(e)$ convenait. »

### Question 14.a
**Stratégie.** Norme $1$ par 8.a et 11 ; injectivité via 13.a et un argument de signe sur les orientations.

**Rédaction.** *Image dans la sphère unité.*

Soit $(V,C)$, $e\in C$ une base orthonormée de $V$.

Alors $\Psi(V,C)=\Omega_p(e)$ (13.b) et, par 11, $\|\Omega_p(e)\|^2=\langle\Omega_p(e),\Omega_p(e)\rangle=\Omega_p(e)(e)=\det\mathrm{Gram}(e,e)=1$.

Donc $\|\Psi(V,C)\|=1$.

*Injectivité.* Supposons $\Psi(V,C)=\Psi(V',C')=:\psi$.

Pour $e\in C$, $e'\in C'$ (bases), $\Omega_p(e)=\mathrm{vol}_p(e)\psi$ et $\Omega_p(e')=\mathrm{vol}_p(e')\psi$ sont colinéaires (avec $\psi\ne 0$).

Par 13.a, $V=\mathrm{Vect}(e)=\mathrm{Vect}(e')=V'$.

De plus $\Omega_p(e')=\dfrac{\mathrm{vol}_p(e')}{\mathrm{vol}_p(e)}\Omega_p(e)$ avec un rapport $>0$ ; or $\Omega_p(e')=\det(M)\Omega_p(e)$ pour $e'=Me$, donc $\det M>0$ : $e$ et $e'$ définissent la même orientation, $C=C'$.

Ainsi $\Psi$ est injective. $\square$

**Commentaire.** « Très rarement traitée … condition sur la norme via $\det\mathrm{Gram}(e,e)$ ; injectivité conséquence de 13a et d'un argument de signe garantissant que les orientations coïncident. »

### Question 14.b
**Stratégie.**

Sous-ensemble borné de la sphère ; montrer la fermeture par critère séquentiel, en extrayant (compacité de la sphère de $E$) une suite d'ONB convergente et en utilisant la continuité de $\Omega_p$.

**Rédaction.** $\Psi(\widetilde{Gr}(p,E))$ est contenue dans la sphère unité de l'espace de dimension finie $A_p(E,\mathbb R)$, donc bornée.

Montrons qu'elle est fermée (critère séquentiel).

Soit $(\omega_n)$ une suite d'éléments de l'image convergeant vers $\omega\in A_p(E,\mathbb R)$.

Écrivons $\omega_n=\Psi(V_n,C_n)=\Omega_p(e^{(n)})$, où $e^{(n)}=(e^{(n)}_1,\dots,e^{(n)}_p)$ est une base orthonormée de $V_n$ dans $C_n$ (13.b).

Chaque suite $(e^{(n)}_i)_n$ vit dans la sphère unité de $E$, compacte.

Par extractions successives (diagonale), on obtient une sous-suite, encore notée $(e^{(n)})$, telle que $e^{(n)}_i\to f_i$ pour tout $i$.

Par continuité du produit scalaire, $\langle f_i,f_j\rangle=\lim\langle e^{(n)}_i,e^{(n)}_j\rangle=\delta_{ij}$ : $f=(f_1,\dots,f_p)$ est orthonormée.

Posons $V=\mathrm{Vect}(f)$ (dim $p$) et $C$ l'orientation portée par $f$.

L'application $\Omega_p$ est $p$-linéaire sur l'espace de dimension finie $E^p$, donc continue ; ainsi $\Omega_p(e^{(n)})\to\Omega_p(f)$, c'est-à-dire $\omega=\Omega_p(f)=\Psi(V,C)$ (puisque $\mathrm{vol}_p(f)=1$).

Donc $\omega$ appartient à l'image, qui est fermée.

Fermée et bornée en dimension finie, l'image $\Psi(\widetilde{Gr}(p,E))$ est **compacte**. $\square$

**Commentaire.** « Critère séquentiel, extraction diagonale, compacité de la sphère unité de $E$ ; ou caractère fermé et borné, le borné venant de 14a. »

### Question 15
**Stratégie.** Si $p\le d-1$ : joindre deux images par un chemin d'ONB, en exploitant la décomposition orthogonale de 3.d pour déplacer le sous-espace, et la dimension supplémentaire pour renverser l'orientation.

Si $p=d$ : l'image est une paire $\{\pm\omega_0\}$, non connexe.

**Rédaction.**

**Cas $p=d$.**

Le seul sous-espace de dimension $d$ est $E$, avec deux orientations $C_+,C_-$.

L'espace $A_d(E,\mathbb R)$ est de dimension $\binom dd=1$ (10.b).

Pour une ONB $e$ orientée $C_+$, $\Psi(E,C_+)=\Omega_d(e)=:\omega_0$ (unité), et $\Psi(E,C_-)=\Omega_d(e\cdot\tau)=-\omega_0$ (une transposition $\tau$ change l'orientation et la signature).

L'image est $\{\omega_0,-\omega_0\}$, deux points distincts. Si elle était connexe par arcs, image d'un segment $[0,1]$ connexe par une application continue, elle serait connexe ; or une paire de points distincts ne l'est pas. Donc l'image n'est **pas** connexe par arcs.

**Cas $p\le d-1$.**

Montrons que deux éléments quelconques $\Psi(V,C)$ et $\Psi(V',C')$ se joignent par un arc dans l'image.

*(i) Déplacement du sous-espace.*

Appliquons la Partie I à $V,V'$ : on obtient des bases orthonormées $u=(u_1,\dots,u_p)$ de $V$ et $u'=(u_1',\dots,u_p')$ de $V'$ avec $W_k=\mathrm{Vect}(u_k,u_k')$ deux à deux orthogonaux (3.d).

Dans chaque $W_k$, joignons $u_k$ à $u_k'$ par un chemin de vecteurs unitaires $\gamma_k:[0,1]\to W_k$ (rotation d'angle $\theta_k$ dans le plan $W_k$ si $\dim W_k=2$, chemin constant si $u_k=u_k'$).

Comme les $W_k$ sont orthogonaux et $\gamma_k(t)\in W_k$ unitaire, la famille $f(t)=(\gamma_1(t),\dots,\gamma_p(t))$ est orthonormée pour tout $t$.

L'arc $t\mapsto\Omega_p(f(t))$ est continu (continuité de $\Omega_p$), à valeurs unitaires, donc dans l'image $\{\Psi(\mathrm{Vect}(f(t)),[f(t)])\}$ ; il joint $\Omega_p(u)=\Psi(V,[u])$ à $\Omega_p(u')=\Psi(V',[u'])$.

*(ii) Renversement de l'orientation.*

Montrons que, pour tout $(V,C)$, $\Psi(V,C)$ et $\Psi(V,-C)=-\Psi(V,C)$ se joignent.

Comme $p\le d-1$, il existe $g\in V^\perp$ unitaire.

Soit $e=(e_1,\dots,e_p)$ une ONB de $V$ dans $C$.

Posons, pour $t\in[0,1]$, $e_1(t)=\cos(\pi t)\,e_1+\sin(\pi t)\,g$ (unitaire, orthogonal à $e_2,\dots,e_p$ car $g\perp V$).

La famille $(e_1(t),e_2,\dots,e_p)$ est orthonormée, et $t\mapsto\Omega_p(e_1(t),e_2,\dots,e_p)$ est un arc continu dans l'image, joignant $\Omega_p(e)=\Psi(V,C)$ à $\Omega_p(-e_1,e_2,\dots,e_p)=-\Omega_p(e)=\Psi(V,-C)$.

En combinant (ii) (pour ramener $C$ à l'orientation $[u]$), (i) (pour passer de $V$ à $V'$), puis (ii) à nouveau (pour ajuster l'orientation en $V'$), tout couple $\Psi(V,C)$, $\Psi(V',C')$ est joint par un arc dans l'image.

Celle-ci est **connexe par arcs**.

Conclusion : $\Psi(\widetilde{Gr}(p,E))$ est connexe par arcs **si et seulement si $p\le d-1$**. $\square$

**Commentaire.** « Très peu traitée et difficile.

Le fait que $p=d$ implique la non-connexité par arcs était la partie la plus accessible. » L'indication renvoyait à 3.d : c'est elle qui fournit les plans orthogonaux $W_k$ permettant le déplacement continu du sous-espace.

La dimension supplémentaire (vecteur $g\perp V$, disponible ssi $p\le d-1$) est l'ingrédient qui autorise le renversement d'orientation.

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*Fin du corrigé.*