Maths A

# X-ENS — Mathématiques A, filière MP (XLSR) — 2022
## Corrigé de référence

**Thème et fil directeur.**

Le problème étudie les *grassmanniennes orientées* $\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E)$ (familles de sous-espaces orientés de dimension $p$ d'un euclidien $E$) via leur *plongement de Plücker* dans la sphère unité de l'espace $\mathcal{A}_p(E,\mathbb{R})$ des formes $p$-linéaires alternées.

La Partie I établit des préliminaires de géométrie euclidienne (vecteurs principaux de deux sous-espaces, déterminants de Gram).

La Partie II construit l'application $\Omega_p$, son caractère alterné « à deux étages », et le $p$-volume.

La Partie III munit $\mathcal{A}_p(E,\mathbb{R})$ d'une structure euclidienne intrinsèque. La Partie IV en déduit les propriétés topologiques (compacité, connexité par arcs) de l'image $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$.

**Carte stratégique.**

- *Statistiques* : moyenne $8{,}06/20$ (candidats français), écart-type $3{,}70$ ; une centaine de copies au-dessus de $14$, douze copies à $20$.

- *Ce qui rapporte* : « Les deux premières parties […] ont été largement traitées, ainsi que les premières questions de la troisième. » Il faut viser un traitement **complet et soigné** des Parties I et II et des questions 10–11.
- *Questions discriminantes* : 3b, 8b, 8c, 9b (Parties I–II), puis 10a, 10c, 12 (Partie III), et toute la Partie IV (13a, 14a, 14b, 15) qui « nécessitait d'avoir bien assimilé les résultats et notations des premières parties ».

- *Pièges récurrents signalés* : confondre $p$ et $d=\dim E$, remplacer $E$ par $\mathbb{R}^n$, employer une caractérisation non justifiée de « alterné », oublier que les vecteurs principaux sont de **norme 1**.

- *Ordre conseillé* : traiter linéairement I puis II (cumulatives), saisir 10a–10b–11 en III, puis attaquer 13a–13b et 14 si le temps le permet.

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## Partie I

### Question 1.a
**Stratégie.** L'existence du maximum exige que la borne supérieure soit *atteinte* : on invoque la compacité des sphères unités en dimension finie et la continuité du produit scalaire.

**Rédaction.**

Notons $S=\{a\in V:\|a\|=1\}$ et $S'=\{a'\in V':\|a'\|=1\}$.

Comme $V$ et $V'$ sont de dimension finie, $S$ et $S'$ sont fermées bornées, donc compactes ; $S\times S'$ est compact (produit de compacts).

L'application $\varphi:(a,a')\mapsto\langle a,a'\rangle$ est continue sur $S\times S'$ (le produit scalaire est continu, étant bilinéaire en dimension finie).

D'après le **théorème des bornes atteintes**, $\varphi$ atteint son maximum en un point $(u_1,u_1')\in S\times S'$, qui vérifie $$\langle u_1,u_1'\rangle=\sup\{\langle a,a'\rangle:(a,a')\in V\times V',\ \|a\|=\|a'\|=1\}. \qquad\square$$

**Commentaire.** « Abordée dans toutes les copies. » Le rapport sanctionne précisément les copies qui « se sont contentées de justifier l'existence d'une borne supérieure sans justifier qu'elle était atteinte » : c'est la compacité qui fait la différence. Quelques lignes suffisent, mais elles sont obligatoires.

### Question 1.b
**Stratégie.**

On reprend 1.a en ajoutant à chaque étape les contraintes d'orthogonalité, qui reviennent à restreindre $a$ et $a'$ à des sous-espaces de dimension décroissante.

La récurrence se cale sur cette observation.

**Rédaction.**

Construisons $u_1,\dots,u_p$ et $u_1',\dots,u_p'$ par récurrence sur $k\in\llbracket 1,p\rrbracket$ de sorte que $(u_1,\dots,u_k)$ soit orthonormée dans $V$, $(u_1',\dots,u_k')$ orthonormée dans $V'$, et que (i)–(ii) soient satisfaites jusqu'au rang $k$.

Supposons $u_1,\dots,u_{k-1},u_1',\dots,u_{k-1}'$ construits (rien à supposer si $k=1$).

Posons $$V_k=V\cap\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_{k-1})^\perp,\qquad V_k'=V'\cap\mathrm{Vect}(u_1',\dots,u_{k-1}')^\perp.$$
Comme $(u_1,\dots,u_{k-1})$ est orthonormée dans $V$, $\dim V_k=p-(k-1)\geq 1$ pour $k\le p$ ; de même $\dim V_k'\geq 1$.

L'ensemble $$S_k=\{(a,a')\in V_k\times V_k':\|a\|=\|a'\|=1\}$$ est compact (produit des sphères unités de $V_k$ et $V_k'$), non vide.

Par le théorème des bornes atteintes, $(a,a')\mapsto\langle a,a'\rangle$ atteint son maximum sur $S_k$ en un point $(u_k,u_k')$.

Par construction $u_k\in V_k\subset V$ est de norme $1$ et orthogonal à $u_1,\dots,u_{k-1}$ : la famille $(u_1,\dots,u_k)$ reste orthonormée (idem pour $u'$).

La contrainte $(a,a')\in S_k$ s'écrit exactement $\|a\|=\|a'\|=1$ et $\langle a,u_l\rangle=\langle a',u_l'\rangle=0$ pour $l\in\llbracket1,k-1\rrbracket$ : c'est la condition (ii).

Pour $k=1$, $V_1=V$, $V_1'=V'$ et l'on retrouve (i). $\square$

**Commentaire.** « Abordée dans la majorité des copies mais à la rédaction parfois trop rapide ou bâclée. » Le rapport demande de « préciser sur quels sous-espaces vectoriels » on optimise : c'est tout l'intérêt d'introduire explicitement $V_k,V_k'$.

### Question 2
**Stratégie.**

Cauchy-Schwarz borne $\langle u_k,u_k'\rangle$ par $1$ ; il reste à exhiber, dans $V\cap V'$, un couple admissible $(w,w)$ réalisant la valeur $1$, puis à invoquer le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz.

On procède par récurrence.

**Rédaction.** Soit $m=\dim(V\cap V')\geq 1$.

Montrons par récurrence sur $k\le m$ que $u_k=u_k'\in V\cap V'$.

Supposons $u_l=u_l'\in V\cap V'$ pour tout $l<k$ (hypothèse vide si $k=1$), avec $k\le m$.

Les $u_1,\dots,u_{k-1}$ sont orthonormés dans $V\cap V'$ ; comme $\dim(V\cap V')=m\geq k$, le sous-espace $$W=(V\cap V')\cap\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_{k-1})^\perp$$ vérifie $\dim W=m-(k-1)\geq 1$.

Choisissons $w\in W$ de norme $1$.

Alors $w\in V$, $w\perp u_l$ pour $l<k$ donc $w\in V_k$ ; de même $w\in V'$ et $w\perp u_l'=u_l$ donc $w\in V_k'$.

Ainsi $(w,w)\in S_k$ et $\langle w,w\rangle=1$.

Par définition de $(u_k,u_k')$ comme maximisant sur $S_k$, $$\langle u_k,u_k'\rangle\geq\langle w,w\rangle=1.$$
Or, $u_k$ et $u_k'$ étant unitaires, **Cauchy-Schwarz** donne $\langle u_k,u_k'\rangle\le\|u_k\|\,\|u_k'\|=1$.

Donc $\langle u_k,u_k'\rangle=1$, et le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz (vecteurs unitaires positivement colinéaires) force $u_k=u_k'$.

Enfin $u_k=u_k'\in V_k\cap V_k'\subset V\cap V'$. La récurrence est établie. $\square$

**Commentaire.** « Première question où bon nombre de candidats n'ont pas fourni de réponse. » Le rapport décrit exactement la méthode : « récurrence, condition d'égalité dans Cauchy-Schwarz et un argument pour justifier que le maximum valait 1 ». Les trois ingrédients doivent figurer.

### Question 3.a
**Stratégie.** Famille orthonormée de bon cardinal.

**Rédaction.**

Par construction, $u=(u_1,\dots,u_p)$ est orthonormée dans $V$, donc libre, et possède $p$ éléments.

Comme $\dim V=p$, c'est une base orthonormée de $V$. $\square$

**Commentaire.** « Beaucoup plus facile… il suffisait de justifier que le cardinal de la famille était bien celui de la dimension de $V$. » Attention au piège général : ne pas confondre $p$ (ici $=\dim V$) et $d=\dim E$.

### Question 3.b
**Stratégie.**

On exploite le **caractère maximal** de $u_k$ : la fonction $t\mapsto\langle u_k(t),u_k'\rangle$ admet un maximum en $t=0$, sa dérivée y est nulle, ce qui annule $\langle u_l,u_k'\rangle$.

C'est l'argument « annulation de la dérivée en un extremum » réclamé par le rapport.

**Rédaction.**

Soit $k\in\llbracket1,p-1\rrbracket$ et $l\in\llbracket k+1,p\rrbracket$.

Comme $u_k\perp u_l$ et $\|u_k\|=\|u_l\|=1$, on a $\|u_k+tu_l\|=\sqrt{1+t^2}\neq0$ pour tout $t\in\mathbb{R}$ ; posons $$u_k(t)=\frac{u_k+tu_l}{\sqrt{1+t^2}}\in V,\qquad \|u_k(t)\|=1.$$
Pour $j\le k-1$ : $\langle u_k(t),u_j\rangle=0$ car $u_k\perp u_j$ et $u_l\perp u_j$.

Donc $u_k(t)\in V_k$, et le couple $(u_k(t),u_k')$ est admissible pour le sup définissant $(u_k,u_k')$ (les contraintes (ii) au rang $k$ sont satisfaites : $u_k'\perp u_j'$ pour $j\le k-1$).

Par maximalité : $$\phi(t):=\langle u_k(t),u_k'\rangle=\frac{\langle u_k,u_k'\rangle+t\,\langle u_l,u_k'\rangle}{\sqrt{1+t^2}}\le\langle u_k,u_k'\rangle=\phi(0)\quad(\forall t).$$
Ainsi $\phi$, dérivable sur $\mathbb{R}$, atteint son maximum en $t=0$, donc $\phi'(0)=0$.

Or, avec $A=\langle u_k,u_k'\rangle$, $B=\langle u_l,u_k'\rangle$, $$\phi'(t)=\frac{B}{\sqrt{1+t^2}}-\frac{t(A+tB)}{(1+t^2)^{3/2}},\qquad \phi'(0)=B.$$
Donc $B=\langle u_l,u_k'\rangle=0$.

Ceci valant pour tout $l\in\llbracket k+1,p\rrbracket$, on a $u_k'\in\mathrm{Vect}(u_{k+1},\dots,u_p)^\perp$. $\square$

**Commentaire.** « Question difficile traitée correctement dans peu de copies. » Le rapport note que « beaucoup de copies ont cherché à calculer une dérivée, sans avoir réfléchi à l'utilisation qui pourrait en être faite » : la clé est de relier la dérivée à la *maximalité* via $\phi'(0)=0$.

### Question 3.c
**Stratégie.** Conséquence directe de 3.b et de l'orthonormalité de $u$, en utilisant aussi la version symétrique de 3.b.

**Rédaction.** Soit $k\in\llbracket1,p-1\rrbracket$.

On doit montrer $u_{k+1}\perp u_j$ et $u_{k+1}\perp u_j'$ pour tout $j\le k$.

- $u_{k+1}\perp u_j$ ($j\le k$) : famille $u$ orthonormée.

- $u_{k+1}\perp u_j'$ ($j\le k$) : appliquons **3.b au rang $j$**, soit $u_j'\in\mathrm{Vect}(u_{j+1},\dots,u_p)^\perp$.

Comme $j\le k$ donne $k+1\in\llbracket j+1,p\rrbracket$, on a $u_j'\perp u_{k+1}$.

Donc $u_{k+1}$ est orthogonal à $\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_k)$ et à $\mathrm{Vect}(u_1',\dots,u_k')$, donc à leur somme. $\square$

**Commentaire.** « Souvent bien traitée à partir du résultat de la précédente. »

### Question 3.d
**Stratégie.**

Détailler les quatre produits scalaires inter-blocs, en s'appuyant sur 3.b et la **symétrie des rôles** de $u$ et $u'$ dans la construction.

**Rédaction.**

La construction de 1.b est symétrique en $(u,u')$ ; 3.b s'applique donc aussi avec les rôles échangés : pour $k\le p-1$, $u_k\in\mathrm{Vect}(u_{k+1}',\dots,u_p')^\perp$.

Soient $k<k'$.

Vérifions $W_k\perp W_{k'}$, c.-à-d. l'orthogonalité de $\{u_k,u_k'\}$ et $\{u_{k'},u_{k'}'\}$ :

- $\langle u_k,u_{k'}\rangle=0$ ($u$ orthonormée) ; $\langle u_k',u_{k'}'\rangle=0$ ($u'$ orthonormée) ;

- $\langle u_k',u_{k'}\rangle=0$ : 3.b au rang $k$ donne $u_k'\perp u_{k'}$ car $k'>k$ ;

- $\langle u_k,u_{k'}'\rangle=0$ : version symétrique de 3.b au rang $k$ donne $u_k\perp u_{k'}'$ car $k'>k$.

Les quatre produits scalaires sont nuls, donc $W_k\perp W_{k'}$.

Les $W_k$ sont deux à deux orthogonaux. $\square$

**Commentaire.** « Souvent traitée, mais parfois avec une rédaction insuffisante. » Le rapport insiste sur « la symétrie des rôles de $u_k$ et $u_k'$ » : il faut justifier la version symétrique de 3.b.

### Question 4.a
**Stratégie.**

Montrer $\langle u_k,u_k'\rangle\in[0,1]$ (positivité par symétrie du domaine, majoration par Cauchy-Schwarz sur vecteurs **unitaires**), puis décroissance via l'emboîtement des domaines $S_k$.

**Rédaction.**

Au rang $k$, le domaine $S_k$ est stable par $(a,a')\mapsto(a,-a')$ ; comme $\langle a,-a'\rangle=-\langle a,a'\rangle$, le sup est $\geq0$, donc $\langle u_k,u_k'\rangle\geq0$.

Par Cauchy-Schwarz sur les unitaires $u_k,u_k'$, $\langle u_k,u_k'\rangle\le 1$.

Donc $\langle u_k,u_k'\rangle\in[0,1]$ et il existe un unique $\theta_k\in[0,\pi/2]$ tel que $\cos\theta_k=\langle u_k,u_k'\rangle$.

Pour la monotonie : les contraintes au rang $k$ contiennent celles au rang $k-1$, donc $S_k\subset S_{k-1}$ et $$\cos\theta_k=\sup_{S_k}\langle\cdot,\cdot\rangle\ \le\ \sup_{S_{k-1}}\langle\cdot,\cdot\rangle=\cos\theta_{k-1}.$$
Comme $\cos$ est décroissante sur $[0,\pi/2]$, on obtient $\theta_{k-1}\le\theta_k$, d'où $0\le\theta_1\le\dots\le\theta_p\le\pi/2$. $\square$

**Commentaire.** « Il fallait soigneusement justifier que les produits scalaires étaient positifs. » L'erreur classique relevée : « oublier que la propriété les caractérisant était définie sur des familles de vecteurs de norme 1 » — c'est l'unitarité qui autorise la majoration par $1$.

### Question 4.b
**Stratégie.** Montrer que $\mathrm{Gram}(u,u')$ est diagonale grâce à 3.d.

**Rédaction.** $\mathrm{Gram}(u,u')_{i,j}=\langle u_i,u_j'\rangle$.

Pour $i\neq j$, $u_i$ et $u_j'$ appartiennent à des blocs orthogonaux $W_i\perp W_j$ (3.d), donc $\langle u_i,u_j'\rangle=0$.

Pour $i=j$, $\langle u_i,u_i'\rangle=\cos\theta_i$.

La matrice est donc diagonale, d'où
$$\det(\mathrm{Gram}(u,u'))=\prod_{k=1}^p\cos\theta_k. \qquad\square$$

**Commentaire.** « Facile, souvent bien traitée. »

### Question 4.c
**Stratégie.** Majoration immédiate ; cas d'égalité via $\cos\theta_k=1$ et la question 2.

**Rédaction.**

Chaque $\cos\theta_k\in[0,1]$, donc $\det(\mathrm{Gram}(u,u'))=\prod_k\cos\theta_k\le 1$.

*Égalité.* $\prod_k\cos\theta_k=1$ avec $\cos\theta_k\in[0,1]$ équivaut à $\cos\theta_k=1$ pour tout $k$, soit $\theta_k=0$, soit (Cauchy-Schwarz, unitaires) $u_k=u_k'$ pour tout $k$.

Alors $V=\mathrm{Vect}(u)=\mathrm{Vect}(u')=V'$ (la famille $u'$ est une base orthonormée de $V'$ par la version symétrique de 3.a).

Réciproquement, si $V=V'$ alors $\dim(V\cap V')=p$ et la question 2 donne $u_k=u_k'$ pour tout $k$, d'où $\det=1$.

Donc
$$\det(\mathrm{Gram}(u,u'))=1\iff V=V'. \qquad\square$$

**Commentaire.** « Assez souvent bien traitée […] si on se rappelait des questions précédentes ou de la condition d'égalité dans Cauchy-Schwarz. »

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## Partie II

### Question 5.a
**Stratégie.** Le déterminant est une forme $p$-linéaire alternée de ses colonnes (cours). On vérifie la condition de signe de l'énoncé par un changement d'indice dans la somme, pour éviter l'écueil signalé sur « l'action d'une permutation ».

**Rédaction.** Notons $f(x_1,\dots,x_p)=[x_1,\dots,x_p]=\det(x_1|\cdots|x_p)$.

*Linéarité par variable.*

Dans $f=\sum_\sigma\epsilon(\sigma)\prod_i x_{\sigma(i),i}$, chaque terme contient exactement un facteur d'indice de colonne $i$, donc $f$ est linéaire en $x_i$.

*Condition de signe.* Soit $\sigma\in\mathfrak{S}_p$.

La matrice de colonnes $x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(p)}$ a pour coefficient $(j,i)$ le réel $x_{j,\sigma(i)}$, donc $$f(x\cdot\sigma)=\sum_{\tau\in\mathfrak{S}_p}\epsilon(\tau)\prod_{i=1}^p x_{\tau(i),\sigma(i)}.$$
Le changement d'indice $i'=\sigma(i)$ dans le produit donne $\prod_i x_{\tau(i),\sigma(i)}=\prod_{i'}x_{\tau(\sigma^{-1}(i')),i'}$.

Posons $\rho=\tau\circ\sigma^{-1}$ : alors $\epsilon(\tau)=\epsilon(\rho)\epsilon(\sigma)$ et, $\rho$ décrivant $\mathfrak{S}_p$ quand $\tau$ le décrit, $$f(x\cdot\sigma)=\epsilon(\sigma)\sum_\rho\epsilon(\rho)\prod_{i'}x_{\rho(i'),i'}=\epsilon(\sigma)f(x).$$
Donc $f\in\mathcal{A}_p(\mathbb{R}^p,\mathbb{R})$. $\square$

**Commentaire.** « Traitée par quasiment toutes les copies mais pas toujours soigneusement rédigée. » Le rapport relève « des erreurs récurrentes […] dans l'écriture de l'action d'une permutation sur les coefficients » : le changement d'indice ci-dessus lève l'ambiguïté.

### Question 5.b
**Stratégie.** Composer la linéarité de $f$ avec 5.a.

**Rédaction.** $g(u)=[f(u_1),\dots,f(u_p)]$ avec $f:F\to\mathbb{R}^p$ linéaire.

- *Linéarité par variable.*

À slot $i$ fixé, $u_i\mapsto f(u_i)$ est linéaire (linéarité de $f$), et $x_i\mapsto[\dots,x_i,\dots]$ l'est (5.a) : la composée est linéaire en $u_i$.

- *Signe.*

En posant $x_i=f(u_i)$, $g(u\cdot\sigma)=[x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(p)}]=\epsilon(\sigma)[x_1,\dots,x_p]=\epsilon(\sigma)g(u)$ par 5.a.

Donc $g\in\mathcal{A}_p(F,\mathbb{R})$. $\square$

**Commentaire.** « Souvent bien traitée. Il fallait cependant faire apparaître clairement où la linéarité de $f$ intervenait » : c'est dans la linéarité par variable.

### Question 6.a
**Stratégie.**

Exprimer $\Omega_p(e)(u)$ comme un produit mixte d'images par une application linéaire, et appliquer 5.b en explicitant $f$ et $g$.

**Rédaction.**

Soit $f:E\to\mathbb{R}^p$, $f(x)=(\langle e_1,x\rangle,\dots,\langle e_p,x\rangle)$, linéaire (linéarité du produit scalaire).

Pour $u=(u_1,\dots,u_p)$, le vecteur $f(u_j)=(\langle e_i,u_j\rangle)_{1\le i\le p}$ est exactement la $j$-ième colonne de $\mathrm{Gram}(e,u)$.

Donc $$[f(u_1),\dots,f(u_p)]=\det(\mathrm{Gram}(e,u))=\Omega_p(e)(u).$$
Par 5.b appliquée à ce $f$, l'application $g=\Omega_p(e):u\mapsto[f(u_1),\dots,f(u_p)]$ est dans $\mathcal{A}_p(E,\mathbb{R})$. $\square$

**Commentaire.**

Le rapport autorise « refaire un raisonnement similaire ou utiliser la précédente à condition d'écrire précisément quelles applications $f$ et $g$ on utilisait ».

L'explicitation de $f$ est donc indispensable.

### Question 6.b
**Stratégie.** Transposition de la matrice de Gram.

**Rédaction.** $\mathrm{Gram}(u,e)_{i,j}=\langle u_i,e_j\rangle=\langle e_j,u_i\rangle=\mathrm{Gram}(e,u)_{j,i}$, donc $\mathrm{Gram}(u,e)={}^t\mathrm{Gram}(e,u)$.

Comme $\det({}^tA)=\det(A)$, $$\Omega_p(u)(e)=\det(\mathrm{Gram}(u,e))=\det(\mathrm{Gram}(e,u))=\Omega_p(e)(u). \qquad\square$$

**Commentaire.** « La symétrie du produit scalaire […] n'était en rien suffisant. Il fallait utiliser que le déterminant d'une matrice est égal à celui de sa transposée. »

### Question 6.c
**Stratégie.**

Transférer la multilinéarité/alternance de $\Omega_p(u)$ (6.a) au niveau de l'application $e\mapsto\Omega_p(e)$ via la symétrie 6.b ; raisonner sur des égalités d'**applications**.

**Rédaction.** $\mathcal{A}_p(E,\mathbb{R})$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel (sous-espace de $\mathcal{F}(E^p,\mathbb{R})$).

Il faut voir $\Omega_p:E^p\to\mathcal{A}_p(E,\mathbb{R})$, $e\mapsto\Omega_p(e)$, comme $p$-linéaire alternée.

*Linéarité au slot $i$.*

Pour tout $u\in E^p$, par 6.b puis 6.a (qui dit $\Omega_p(u)\in\mathcal{A}_p(E,\mathbb{R})$) : $$\Omega_p(\dots,e_i+\lambda e_i',\dots)(u)=\Omega_p(u)(\dots,e_i+\lambda e_i',\dots)=\Omega_p(u)(\dots,e_i,\dots)+\lambda\,\Omega_p(u)(\dots,e_i',\dots),$$ soit, à $u$ quelconque, $\Omega_p(\dots,e_i+\lambda e_i',\dots)=\Omega_p(\dots,e_i,\dots)+\lambda\,\Omega_p(\dots,e_i',\dots)$ dans $\mathcal{A}_p(E,\mathbb{R})$.

*Alternance.*

De même, pour tout $u$ et tout $\sigma$, $\Omega_p(e\cdot\sigma)(u)=\Omega_p(u)(e\cdot\sigma)=\epsilon(\sigma)\Omega_p(u)(e)=\epsilon(\sigma)\Omega_p(e)(u)$, d'où $\Omega_p(e\cdot\sigma)=\epsilon(\sigma)\Omega_p(e)$.

Donc $\Omega_p\in\mathcal{A}_p(E,\mathcal{A}_p(E,\mathbb{R}))$. $\square$

**Commentaire.** « La difficulté reposait sur le fait que l'on regardait une application à valeurs dans l'espace des formes multilinéaires alternées. » Une fois le problème posé au niveau des applications, « les deux questions précédentes » concluent.

### Question 7.a
**Stratégie.**

Développer $\Omega_p(e')$ par multilinéarité-alternance (6.c) sans hypothèse d'inversibilité sur $M$.

**Rédaction.**

Avec $e_i'=\sum_{j}M_{ij}e_j$, la multilinéarité de $\Omega_p$ (6.c) donne $$\Omega_p(e')=\sum_{j_1,\dots,j_p}\Big(\prod_{i=1}^pM_{ij_i}\Big)\,\Omega_p(e_{j_1},\dots,e_{j_p}).$$
Par alternance, $\Omega_p(e_{j_1},\dots,e_{j_p})=0$ dès que deux indices coïncident ; les seuls termes non nuls correspondent à $(j_1,\dots,j_p)=(\sigma(1),\dots,\sigma(p))$, $\sigma\in\mathfrak{S}_p$, et alors $\Omega_p(e_{\sigma(1)},\dots,e_{\sigma(p)})=\epsilon(\sigma)\Omega_p(e)$.

Donc
$$\Omega_p(e')=\Big(\sum_{\sigma}\epsilon(\sigma)\prod_iM_{i\sigma(i)}\Big)\Omega_p(e)=\det(M)\,\Omega_p(e). \qquad\square$$

**Commentaire.** « Il fallait faire attention à l'énoncé […] la matrice pas nécessairement inversible, ce qui rendait les arguments de matrice de passage délicats. » L'argument par caractère alterné, lui, vaut pour tout $M$.

### Question 7.b
**Stratégie.** Une forme alternée s'annule sur une famille liée ; réciproquement, le déterminant de Gram d'une famille libre est strictement positif.

**Rédaction.**

Si $e$ est liée, $\Omega_p(e)=0$ : en effet $\Omega_p\in\mathcal{A}_p(E,\mathcal{A}_p(E,\mathbb{R}))$ (6.c) et toute application multilinéaire alternée s'annule sur une famille liée (cours).

Si $e$ est libre : la matrice $G=\mathrm{Gram}(e,e)$ est symétrique et, pour $x\in\mathbb{R}^p$, $\,{}^txGx=\big\|\sum_ix_ie_i\big\|^2\geq0$, nul seulement si $\sum_ix_ie_i=0$, c.-à-d. $x=0$ ($e$ libre).

Donc $G$ est définie positive et $\det G>0$.

Ainsi $\Omega_p(e)(e)=\det G>0$, donc $\Omega_p(e)\neq0$.

Conclusion : $\Omega_p(e)\neq0\iff e$ libre. $\square$

**Commentaire.** « Faire attention que $p$ n'était pas nécessairement égal à $n$. » L'argument de Gram est intrinsèque et ne dépend pas de $\dim E$.

### Question 7.c
**Stratégie.** Distinguer libre/lié.

**Rédaction.**

Si $e$ libre, $\Omega_p(e)(e)=\det\mathrm{Gram}(e,e)>0$ (7.b).

Si $e$ liée, $\mathrm{Gram}(e,e)$ est non inversible (combinaison nulle de ses lignes) donc $\det=0$.

Dans tous les cas $\Omega_p(e)(e)\geq0$, ce qui légitime $\mathrm{vol}_p(e)=\sqrt{\Omega_p(e)(e)}$. $\square$

**Commentaire.** « Régulièrement bien traitée. »

### Question 8.a
**Stratégie.** Gram d'une base orthonormée.

**Rédaction.**

Si $b$ est orthonormée, $\mathrm{Gram}(b,b)=I_p$, donc $\mathrm{vol}_p(b)=\sqrt{\det I_p}=1$. $\square$

**Commentaire.** « Très facile […] rappelait la question 4.b. »

### Question 8.b
**Stratégie.**

Soustraire à $e_1$ sa composante dans $\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)$ (opération laissant invariant le déterminant de Gram), puis exploiter la structure bloc-diagonale de la matrice de Gram.

**Rédaction.**

Posons $W=\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)$, $n=\mathrm{pr}(e_1)\in W^\perp$ et $w=e_1-n\in W$.

Considérons $e^{(1)}=(n,e_2,\dots,e_p)$.

On passe de $e$ à $e^{(1)}$ par $e^{(1)}=Me$ où $M$ est triangulaire à diagonale $1$ (première ligne : $1$ puis les coordonnées $-c_j$ de $w$ dans la base $(e_j)_{j\ge2}$ si $w=\sum_{j\ge2}c_je_j$), donc $\det M=1$.

Alors $$\mathrm{Gram}(e^{(1)},e^{(1)})=M\,\mathrm{Gram}(e,e)\,{}^tM,\qquad \det\mathrm{Gram}(e^{(1)},e^{(1)})=(\det M)^2\det\mathrm{Gram}(e,e)=\det\mathrm{Gram}(e,e).$$
Par ailleurs $n\perp e_j$ pour $j\ge2$, donc $\mathrm{Gram}(e^{(1)},e^{(1)})$ est bloc-diagonale : $$\mathrm{Gram}(e^{(1)},e^{(1)})=\begin{pmatrix}\|n\|^2 & 0\\[2pt] 0 & \mathrm{Gram}(e_2^p,e_2^p)\end{pmatrix},$$ d'où $\det\mathrm{Gram}(e^{(1)},e^{(1)})=\|n\|^2\det\mathrm{Gram}(e_2^p,e_2^p)$.

En combinant, $$\mathrm{vol}_p(e)^2=\det\mathrm{Gram}(e,e)=\|n\|^2\,\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)^2,$$ et comme tout est positif, $\mathrm{vol}_p(e)=\|\mathrm{pr}(e_1)\|\,\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)$. $\square$

**Commentaire.** « Plus difficile et peu souvent bien rédigée. » Le rapport recommande d'écrire « la décomposition du projeté orthogonal de $e_1$ » et d'utiliser que « si une colonne était combinaison linéaire des autres, ce produit mixte était nul » : c'est l'invariance de $\det\mathrm{Gram}$ sous $e_1\mapsto e_1-w$.

### Question 8.c
**Stratégie.** Récurrence sur $p$ via 8.b, en suivant les deux cas d'égalité.

**Rédaction.**

Récurrence sur $p$ pour $e$ libre.

Pour $p=1$, $\mathrm{vol}_1(e_1)=\|e_1\|$, l'inégalité est une égalité (cas trivial).

Hérédité : par 8.b, $\mathrm{vol}_p(e)=\|\mathrm{pr}(e_1)\|\,\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)$.

Comme une projection orthogonale est $1$-lipschitzienne, $\|\mathrm{pr}(e_1)\|\le\|e_1\|$ ; et $(e_2,\dots,e_p)$ étant libre, l'hypothèse de récurrence donne $\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)\le\prod_{i=2}^p\|e_i\|$.

D'où $\mathrm{vol}_p(e)\le\prod_{i=1}^p\|e_i\|$.

*Cas d'égalité.*

L'égalité globale équivaut à $\|\mathrm{pr}(e_1)\|=\|e_1\|$ **et** $\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)=\prod_{i\ge2}\|e_i\|$.

- $\|\mathrm{pr}(e_1)\|=\|e_1\|$ : comme $\|e_1\|^2=\|\mathrm{pr}(e_1)\|^2+\|w\|^2$, ceci équivaut à $w=0$, soit $e_1\in W^\perp$, c.-à-d. $e_1\perp e_j$ pour tout $j\ge2$.

- $\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)=\prod_{i\ge2}\|e_i\|$ : par récurrence, équivaut à $(e_2,\dots,e_p)$ orthogonale deux à deux.

Réunis, ces deux points équivalent à : $e$ orthogonale deux à deux. $\square$

**Commentaire.** « Récurrence […] nécessitait de préciser soigneusement les cas d'égalité. »

### Question 9.a
**Stratégie.** Écrire $\mathrm{Gram}(e,e)$ via la matrice de passage et la base orthonormée.

**Rédaction.**

Soit $b$ une base orthonormée de $\mathrm{Vect}(e)$ et $P=P_b^e$, donc $e_j=\sum_iP_{ij}b_i$.

Alors $$\mathrm{Gram}(e,e)_{ij}=\Big\langle\sum_kP_{ki}b_k,\sum_lP_{lj}b_l\Big\rangle=\sum_kP_{ki}P_{kj}=({}^tP\,P)_{ij},$$ d'où $\mathrm{Gram}(e,e)={}^tP\,P$ et $\det\mathrm{Gram}(e,e)=(\det P)^2$.

Par suite $\mathrm{vol}_p(e)=|\det P_b^e|$. $\square$

**Commentaire.** « Souvent bien traitée […] d'une manière analogue à la question 7c. »

### Question 9.b
**Stratégie.**

Cas trivial des familles liées ; sinon, ramener $e,e'$ à des bases orthonormées $b,b'$ de $\mathrm{Vect}(e),\mathrm{Vect}(e')$ via 7.a, puis majorer $|\Omega_p(b)(b')|=|\det\mathrm{Gram}(b,b')|$ par la Partie I.

**Rédaction.**

Si $e$ ou $e'$ est liée, $\Omega_p(e)$ ou $\Omega_p(e')$ est nulle (7.b) ; alors $\Omega_p(e)(e')=\Omega_p(e')(e)=0$ (6.b) et l'inégalité est vraie ($\mathrm{vol}_p\geq0$).

Supposons $e,e'$ libres, de dimension $p$.

Notons $V=\mathrm{Vect}(e)$, $V'=\mathrm{Vect}(e')$, $b$ et $b'$ des bases orthonormées de $V$ et $V'$, $P=P_b^e$, $P'=P_{b'}^{e'}$.

Par 7.a, $\Omega_p(e)=\det(P)\,\Omega_p(b)$ et $\Omega_p(e')=\det(P')\,\Omega_p(b')$.

Donc, avec 6.b, $$\Omega_p(e)(e')=\det(P)\,\Omega_p(b)(e')=\det(P)\det(P')\,\Omega_p(b')(b).$$
Or $\Omega_p(b')(b)=\det\mathrm{Gram}(b',b)$, où $b,b'$ sont des bases orthonormées de deux sous-espaces de dimension $p$.

Pour de telles familles, $|\det\mathrm{Gram}(b',b)|$ ne dépend pas du choix des bases orthonormées (un changement de base orthonormée multiplie par $\det$ d'une matrice orthogonale, de module $1$).

En prenant les bases principales $u,u'$ de la Partie I, $|\det\mathrm{Gram}(b',b)|=\det\mathrm{Gram}(u,u')\le 1$ (4.c).

D'où, avec 9.a,
$$|\Omega_p(e)(e')|=|\det P|\,|\det P'|\,|\Omega_p(b')(b)|\le|\det P|\,|\det P'|=\mathrm{vol}_p(e)\,\mathrm{vol}_p(e'). \qquad\square$$

**Commentaire.** « Peu traitée et […] rédaction fréquemment insuffisante. » Le rapport décrit exactement la trame : « bases orthonormales $b,b'$ […], un argument similaire à 7a et la fin de la partie 1 pour majorer $|\Omega_p(b)(b')|$ ».

Cette inégalité est en fait l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour le produit scalaire de la Partie III (cf. Q11).

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## Partie III

### Question 10.a
**Stratégie.**

Deux formes de $\mathcal{A}_p(E,\mathbb{R})$ coïncident dès qu'elles coïncident sur les tuples de vecteurs de base ; on calcule $\Omega_p(e_\alpha)(e_\beta)=\delta_{\alpha\beta}$.

**Rédaction.**

Soient $\alpha,\beta\in I_p$, $\alpha=(i_1<\dots<i_p)$, $\beta=(j_1<\dots<j_p)$.

Alors $\mathrm{Gram}(e_\alpha,e_\beta)_{k,l}=\langle e_{i_k},e_{j_l}\rangle=\delta_{i_k,j_l}$ ($e$ orthonormée).

Si $\alpha=\beta$, cette matrice est $I_p$, de déterminant $1$ ; si $\alpha\neq\beta$, un indice de $\alpha$ n'apparaît pas dans $\beta$, fournissant une ligne nulle, donc $\det=0$.

Ainsi $$\Omega_p(e_\alpha)(e_\beta)=\delta_{\alpha\beta}.\tag{$\star$}$$
Soit $\omega\in\mathcal{A}_p(E,\mathbb{R})$.

Posons $\tilde\omega=\sum_{\alpha\in I_p}\omega(e_\alpha)\Omega_p(e_\alpha)\in\mathcal{A}_p(E,\mathbb{R})$.

Par $(\star)$, $\tilde\omega(e_\beta)=\omega(e_\beta)$ pour tout $\beta\in I_p$.

Comme $\omega$ et $\tilde\omega$ sont alternées, elles s'annulent sur tout tuple de base à indices répétés, et sur un tuple à indices distincts non croissants, elles valent toutes deux $\epsilon(\text{réordonnancement})\times$ valeur en le $\beta$ croissant associé.

Elles coïncident donc sur **tous** les tuples $(e_{j_1},\dots,e_{j_p})$.

Par multilinéarité (toute famille se développe sur la base $e$), $\omega=\tilde\omega$, soit $$\omega=\sum_{\alpha\in I_p}\omega(e_\alpha)\Omega_p(e_\alpha). \qquad\square$$

**Commentaire.** « Peu traitée. Elle nécessitait […] une justification combinatoire précise utilisant le caractère alterné pour vérifier que l'ensemble d'indexation était bien $I_p$. »

### Question 10.b
**Stratégie.**

Forme bilinéaire symétrique définie positive ; orthonormalité via $(\star)$ ; dimension $=|I_p|$.

**Rédaction.** $(\omega,\omega')\mapsto\langle\omega,\omega'\rangle=\sum_{\alpha}\omega(e_\alpha)\omega'(e_\alpha)$ est bilinéaire symétrique.

Elle est positive : $\langle\omega,\omega\rangle=\sum_\alpha\omega(e_\alpha)^2\geq0$, et nulle ssi $\omega(e_\alpha)=0$ pour tout $\alpha\in I_p$, soit $\omega=0$ par 10.a. C'est donc un produit scalaire.

Par $(\star)$, $\langle\Omega_p(e_\alpha),\Omega_p(e_\beta)\rangle=\sum_\gamma\delta_{\alpha\gamma}\delta_{\beta\gamma}=\delta_{\alpha\beta}$ : la famille $(\Omega_p(e_\alpha))_{\alpha\in I_p}$ est orthonormée, et génératrice par 10.a. C'est une base orthonormée.

Donc
$$\dim\mathcal{A}_p(E,\mathbb{R})=|I_p|=\binom{d}{p}. \qquad\square$$

**Commentaire.** « Souvent traitée […].

Le point subtil : si $\alpha\neq\beta$, l'une au moins des colonnes de $\mathrm{Gram}(e_\alpha,e_\beta)$ était nulle […].

Le cardinal de $I_p$ n'a pas toujours été calculé correctement » : $|I_p|=\binom{d}{p}$ (choix de $p$ indices distincts ordonnés parmi $d$).

### Question 10.c
**Stratégie.**

Pour $p=d-1$, indexer $I_{d-1}$ par l'indice manquant ; l'application linéaire envoyant une base orthonormée sur une base orthonormée est une isométrie.

**Rédaction.**

Pour $p=d-1$, $|I_{d-1}|=\binom{d}{d-1}=d=\dim E$.

Tout $\alpha\in I_{d-1}$ est déterminé par l'unique indice $m\in\{1,\dots,d\}$ absent de $\alpha$ ; notons $\alpha_m$ ce $(d-1)$-uplet.

Définissons l'application linéaire
$$\Phi:\mathcal{A}_{d-1}(E,\mathbb{R})\to E,\qquad \Phi\big(\Omega_{d-1}(e_{\alpha_m})\big)=e_m\ (1\le m\le d),$$
prolongée par linéarité.

Elle envoie la base orthonormée $(\Omega_{d-1}(e_{\alpha_m}))_m$ de $\mathcal{A}_{d-1}(E,\mathbb{R})$ (10.b) sur la base orthonormée $(e_m)_m$ de $E$.

Une application linéaire envoyant une base orthonormée sur une base orthonormée conserve le produit scalaire : c'est une isométrie (bijective, les dimensions étant égales à $d$). $\square$

**Commentaire.** « Très peu traitée. » Le rapport décrit l'idée : « un élément de $I_p$ était déterminé par […] le seul indice manquant », puis une bijection ONB↔ONB « dont on pouvait démontrer […] qu'elle définissait une isométrie ».

### Question 11
**Stratégie.**

Développer $\Omega_p(u)$ sur la base via 10.a, évaluer en $v$, et utiliser 6.b.

**Rédaction.**

Par 10.a appliquée à $\omega=\Omega_p(u)$, $\Omega_p(u)=\sum_{\alpha}\Omega_p(u)(e_\alpha)\,\Omega_p(e_\alpha)$.

Évaluons en $v$ : $$\Omega_p(u)(v)=\sum_{\alpha}\Omega_p(u)(e_\alpha)\,\Omega_p(e_\alpha)(v).$$
Or $\Omega_p(e_\alpha)(v)=\Omega_p(v)(e_\alpha)$ (6.b), donc $$\Omega_p(u)(v)=\sum_{\alpha}\Omega_p(u)(e_\alpha)\,\Omega_p(v)(e_\alpha)=\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle. \qquad\square$$

**Commentaire.** « Découlait des calculs explicites […] mais trop souvent mal rédigée, sans référence aux questions précédentes » : il faut citer 10.a et 6.b.

### Question 12
**Stratégie.**

Par 11, le produit scalaire des $\Omega_p(u)$ s'exprime par $\Omega_p(u)(v)=\det\mathrm{Gram}(u,v)$, intrinsèque ; comme les $\Omega_p(e_\alpha)$ engendrent $\mathcal{A}_p(E,\mathbb{R})$, la forme bilinéaire est entièrement déterminée.

**Rédaction.**

Soient deux bases orthonormées $e$ et $\tilde e$ de $E$, et $\langle\cdot,\cdot\rangle_e$, $\langle\cdot,\cdot\rangle_{\tilde e}$ les produits scalaires définis par (1).

La question 11 vaut pour chaque base orthonormée, donc pour tous $u,v\in E^p$ : $$\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle_e=\Omega_p(u)(v)=\det\mathrm{Gram}(u,v)=\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle_{\tilde e},$$ quantité ne dépendant que du produit scalaire de $E$ (via $\mathrm{Gram}$), pas de la base.

Les éléments $\{\Omega_p(u):u\in E^p\}$ engendrent $\mathcal{A}_p(E,\mathbb{R})$ (ils contiennent la base $(\Omega_p(e_\alpha))$).

Une forme bilinéaire symétrique étant déterminée par ses valeurs sur une partie génératrice, $\langle\cdot,\cdot\rangle_e=\langle\cdot,\cdot\rangle_{\tilde e}$. $\square$

**Commentaire.** « Traitée majoritairement dans les meilleures copies. » Le rapport propose précisément « réécrire $\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle$ en termes de $\Omega(u)(v)$ et justifier que ce dernier ne dépend que du produit scalaire choisi sur $E$ ».

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## Partie IV

### Question 13.a
**Stratégie.**

Le sens direct provient de 7.a. Le sens réciproque, plus délicat, se traite en normalisant : $\Omega_p(e)$ est proportionnelle à $\Omega_p(b)$ ($b$ ONB de $\mathrm{Vect}(e)$), vecteur unitaire de $\mathcal{A}_p(E,\mathbb{R})$ ; la colinéarité équivaut à $|\langle\Omega_p(b),\Omega_p(b')\rangle|=1$, traitée par 11 puis le cas d'égalité 4.c.

**Rédaction.**

Soient $e,e'$ libres de cardinal $p$.

($\Leftarrow$) Si $V:=\mathrm{Vect}(e)=\mathrm{Vect}(e')$, alors $e'$ est une base de $V$, $e'_i=\sum_jM_{ij}e_j$ avec $M$ inversible, et par 7.a $\Omega_p(e')=\det(M)\Omega_p(e)$ avec $\det M\neq0$.

Comme $\Omega_p(e)\neq0$ (7.b), $\Omega_p(e)$ et $\Omega_p(e')$ sont colinéaires.

($\Rightarrow$) Soient $b,b'$ des bases orthonormées de $V=\mathrm{Vect}(e)$, $V'=\mathrm{Vect}(e')$.

Par 7.a, $\Omega_p(e)=\det(P_b^e)\Omega_p(b)$ et $\Omega_p(e')=\det(P_{b'}^{e'})\Omega_p(b')$ avec déterminants non nuls ; la colinéarité de $\Omega_p(e),\Omega_p(e')$ équivaut à celle de $\Omega_p(b),\Omega_p(b')$.

Or, par 11 puis 8.a, $\|\Omega_p(b)\|^2=\Omega_p(b)(b)=\mathrm{vol}_p(b)^2=1$, de même $\|\Omega_p(b')\|=1$.

Si $\Omega_p(b')=\mu\,\Omega_p(b)$, alors $|\mu|=1$ et $\langle\Omega_p(b),\Omega_p(b')\rangle=\mu$, donc $|\langle\Omega_p(b),\Omega_p(b')\rangle|=1$.

Mais $\langle\Omega_p(b),\Omega_p(b')\rangle=\Omega_p(b)(b')=\det\mathrm{Gram}(b,b')$ (11), et $|\det\mathrm{Gram}(b,b')|=\det\mathrm{Gram}(u,u')$ (bases principales de la Partie I, au signe près).

Le cas d'égalité de 4.c donne alors $V=V'$. $\square$

**Commentaire.** « Très peu traitée dans son intégralité, essentiellement dans les meilleures copies. L'une des implications était une conséquence facile de 7a. L'autre […] bien plus délicate, nécessitait d'utiliser des résultats des différentes parties. » C'est ici que se rejoignent Parties I, II et III.

### Question 13.b
**Stratégie.**

Une base orthonormée positivement orientée a $\mathrm{vol}_p=1$, ce qui donne l'unicité ; et $\Omega_p$ de cette base fournit l'existence.

**Rédaction.** *Unicité.* Soit $(V,C)$ orienté.

Choisissons une base orthonormée $e\in C$ (Gram-Schmidt d'une base de $C$ : la matrice de passage est triangulaire à diagonale $>0$, de déterminant $>0$, donc l'ONB obtenue reste dans $C$).

Si $\Psi$ convient, alors $\Omega_p(e)=\mathrm{vol}_p(e)\Psi=\Psi$ car $\mathrm{vol}_p(e)=1$ (8.a).

Donc $\Psi$ est déterminée : $\Psi(V,C)=\Omega_p(e)$.

*Existence.* Posons $\Psi(V,C)=\Omega_p(e)$.

Pour tout $e'\in C$ (base de $V$, positivement orientée), $e'=Me$ avec $\det_e(e')=\det M>0$, et $\mathrm{vol}_p(e')=|\det M|=\det M$ (9.a, $\mathrm{vol}_p(e)=1$).

Par 7.a, $\Omega_p(e')=\det(M)\Omega_p(e)=\mathrm{vol}_p(e')\,\Psi(V,C)$.

La relation est donc vérifiée pour tout $e\in C$. $\square$

**Commentaire.** « L'unicité était une conséquence du fait que […] $\mathrm{vol}_p(e)=1$.

Pour établir l'existence, il suffisait de remarquer que, pour une telle famille $e$ dans $C$, $\Omega_p(e)$ convenait. »

### Question 14.a
**Stratégie.** Norme $1$ par 8.a+11 ; injectivité par 13.a (égalité des sous-espaces) puis argument de signe (orientations).

**Rédaction.**

Pour ONB $e\in C$, $\Psi(V,C)=\Omega_p(e)$ et $\|\Omega_p(e)\|^2=\Omega_p(e)(e)=\mathrm{vol}_p(e)^2=1$ (11, 8.a).

Donc $\Psi$ est à valeurs dans la sphère unité.

*Injectivité.*

Si $\Psi(V,C)=\Psi(V',C')$, soient $e\in C$, $e'\in C'$ des ONB : $\Omega_p(e)=\Omega_p(e')$, en particulier colinéaires, donc $V=V'$ par 13.a. Alors $e,e'$ sont deux ONB de $V$, $e'=Me$ avec $M$ orthogonale ; $\Omega_p(e')=\det(M)\Omega_p(e)=\Omega_p(e)$ impose $\det M=1>0$, donc $e,e'$ sont dans la même orientation : $C=C'$.

Ainsi $(V,C)=(V',C')$. $\square$

**Commentaire.** « Très rarement traitée. La condition sur la norme découlait des calculs de $\det\mathrm{Gram}(e,e)$ ; l'injectivité était une conséquence de 13a et d'un argument de signe garantissant que les orientations coïncidaient. »

### Question 14.b
**Stratégie.** Critère séquentiel : d'une suite d'oriented subspaces, extraire (extraction diagonale) une suite d'ONB convergeant vers une ONB, et utiliser la continuité de $\Omega_p$.

**Rédaction.** $K=\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ est borné (inclus dans la sphère unité). Montrons qu'il est fermé par caractérisation séquentielle.

Soit $(\omega_n)$ une suite de $K$ convergeant vers $\omega\in\mathcal{A}_p(E,\mathbb{R})$ ; écrivons $\omega_n=\Psi(V_n,C_n)=\Omega_p(e^{(n)})$ avec $e^{(n)}=(e^{(n)}_1,\dots,e^{(n)}_p)$ ONB de $V_n$ dans $C_n$.

Chaque $e^{(n)}_i$ vit dans la sphère unité de $E$, qui est compacte ; par extractions successives (diagonale) sur $i=1,\dots,p$, on obtient une sous-suite (encore notée $n$) telle que $e^{(n)}_i\to e_i$ pour chaque $i$.

La continuité du produit scalaire donne $\langle e_i,e_j\rangle=\lim_n\langle e^{(n)}_i,e^{(n)}_j\rangle=\delta_{ij}$ : la famille $e=(e_1,\dots,e_p)$ est orthonormée, donc libre ; soit $V=\mathrm{Vect}(e)$ (dim $p$) orientée par la classe $C$ de $e$.

L'application $\Omega_p:E^p\to\mathcal{A}_p(E,\mathbb{R})$ est multilinéaire en dimension finie, donc **continue** (cours), d'où $\Omega_p(e^{(n)})\to\Omega_p(e)=\Psi(V,C)$.

Par unicité de la limite, $\omega=\Psi(V,C)\in K$.

Donc $K$ est fermé borné dans l'espace de dimension finie $\mathcal{A}_p(E,\mathbb{R})$, donc **compact**. $\square$

**Commentaire.** « Difficile très rarement traitée. » Le rapport propose exactement « un critère séquentiel, en choisissant des bases orthonormales […] puis en faisant une extraction diagonale […] en utilisant la compacité de la sphère unité de $E$ » ; ou « démontrer le caractère fermé et borné ».

### Question 15
**Stratégie.** Pour $p=d$, l'image se réduit à deux points opposés (non connexe).

Pour $p\le d-1$, on relie deux points de $K$ par : (i) un chemin « principal » construit grâce aux blocs orthogonaux $W_k$ de 3.d, (ii) un retournement d'orientation rendu possible par l'existence d'un vecteur dans $V^\perp$.

**Rédaction.** Notons $K=\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$.

**Cas $p=d$.**

Le seul sous-espace de dimension $d$ est $E$, avec deux orientations $C_+,C_-$.

Pour une ONB $e\in C_+$, $\Psi(E,C_+)=\Omega_p(e)=:\omega$ ($\|\omega\|=1$) ; en remplaçant $e_1$ par $-e_1$ on obtient une ONB dans $C_-$ et $\Psi(E,C_-)=-\omega$.

Ainsi $K=\{\omega,-\omega\}$ avec $\omega\neq-\omega$.

Ce sous-espace à deux points isolés n'est pas connexe (les deux singletons en sont des ouverts disjoints recouvrant $K$).

Comme l'image continue d'un segment est connexe, aucun chemin de $K$ ne relie $\omega$ à $-\omega$ : $K$ n'est pas connexe par arcs.

**Cas $p\le d-1$.** Montrons que $K$ est connexe par arcs.

*(i) Chemin principal.* Soient $(V,C),(V',C')$.

Appliquons la Partie I à $V,V'$ : on obtient des ONB $u=(u_k)$ de $V$, $u'=(u'_k)$ de $V'$ avec $W_k=\mathrm{Vect}(u_k,u'_k)$ deux à deux orthogonaux (3.d) et $\langle u_k,u'_k\rangle=\cos\theta_k\ge0$.

Pour chaque $k$, définissons un chemin de vecteurs unitaires de $W_k$ joignant $u_k$ à $u'_k$ :

- si $\theta_k=0$ ($u_k=u'_k$) : $\gamma_k(t)=u_k$ ;

- si $\theta_k>0$ : $u_k,u'_k$ sont libres, $\dim W_k=2$ ; en posant $w_k=\dfrac{u'_k-\cos\theta_k\,u_k}{\sin\theta_k}$ (unitaire, $\perp u_k$, dans $W_k$), on prend $\gamma_k(t)=\cos(t\theta_k)\,u_k+\sin(t\theta_k)\,w_k$, de sorte que $\gamma_k(0)=u_k$, $\gamma_k(1)=u'_k$.

Comme les $W_k$ sont orthogonaux, pour chaque $t$ la famille $e(t)=(\gamma_1(t),\dots,\gamma_p(t))$ est orthonormée.

Soit $V(t)=\mathrm{Vect}(e(t))$ orientée par $C(t)$.

L'application $t\mapsto\Omega_p(e(t))=\Psi(V(t),C(t))\in K$ est continue (continuité de $\Omega_p$) et joint $\Psi(V,C_u)$ à $\Psi(V',C_{u'})$, où $C_u,C_{u'}$ sont les orientations définies par $u,u'$.

*(ii) Retournement d'orientation.*

Pour tout $(V,C)$, $\Psi(V,C)$ et $\Psi(V,C^{\mathrm{op}})$ sont dans la même composante.

En effet $\dim V^\perp=d-p\ge1$ ; choisissons $f\in V^\perp$ unitaire et une ONB $u=(u_1,\dots,u_p)\in C$.

Le chemin $$\delta(t)=\big(\cos(\pi t)\,u_1+\sin(\pi t)\,f,\ u_2,\dots,u_p\big),\quad t\in[0,1],$$ est, pour chaque $t$, une famille orthonormée ($f\perp u_j$ et $u_1\perp u_j$, donc le premier vecteur est unitaire et orthogonal aux autres).

On a $\delta(0)=u\in C$ et $\delta(1)=(-u_1,u_2,\dots,u_p)$, ONB de $V$ de déterminant $-1$ relativement à $u$, donc dans $C^{\mathrm{op}}$.

Le chemin $t\mapsto\Omega_p(\delta(t))\in K$ joint $\Psi(V,C)$ à $\Psi(V,C^{\mathrm{op}})$.

*Conclusion.*

Étant donnés $(V,C),(V',C')$ : par (ii) on relie $\Psi(V,C)$ à $\Psi(V,C_u)$ ; par (i) on relie $\Psi(V,C_u)$ à $\Psi(V',C_{u'})$ ; par (ii) on relie $\Psi(V',C_{u'})$ à $\Psi(V',C')$.

Par concaténation, $\Psi(V,C)$ et $\Psi(V',C')$ sont dans la même composante connexe par arcs.

Donc $K$ est connexe par arcs.

Finalement, $K=\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ est connexe par arcs si et seulement si $p\le d-1$. $\square$

**Commentaire.** « Très peu traitée et difficile.

Le fait que $p=d$ implique la non-connexité par arcs était la partie la plus accessible de la preuve. » L'indication de l'énoncé — utiliser 3.d — est exactement ce qui fournit les blocs orthogonaux $W_k$ permettant de « faire tourner » simultanément les vecteurs principaux.

Le rôle de l'hypothèse $p\le d-1$ apparaît uniquement dans le retournement d'orientation (existence de $f\in V^\perp$ non nul), point qui bloque précisément le cas $p=d$.