Maths A

# Solution

Je note $P_W$ la projection orthogonale sur un sous-espace $W$, et j'utilise librement le fait qu'**une application $p$-linéaire alternée s'annule dès que deux de ses arguments coïncident** (donc sur toute famille liée) : si $u_i=u_j$ et $\tau$ échange les positions $i,j$, alors $\Phi(u)=\Phi(u\cdot\tau)=\epsilon(\tau)\Phi(u)=-\Phi(u)$.

## Partie I

**(1)(a)** L'ensemble $S=\{(a,a')\in V\times V':\|a\|=\|a'\|=1\}$ est compact (produit des sphères unités, fermées bornées en dimension finie) et non vide ; $(a,a')\mapsto\langle a,a'\rangle$ y est continue, donc atteint son sup.

D'où $(u_1,u_1')$.

**(1)(b)** Récurrence sur $k$. Pour $k=1$ : c'est (a).

Supposons $u_1,\dots,u_{k-1}$, $u_1',\dots,u_{k-1}'$ construits orthonormés ($2\le k\le p$).

Posons $$V_k=V\cap\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_{k-1})^\perp,\qquad V_k'=V'\cap\mathrm{Vect}(u_1',\dots,u_{k-1}')^\perp.$$
Comme $u_1,\dots,u_{k-1}$ sont $k-1$ vecteurs orthonormés de $V$, $\dim V_k=p-(k-1)\ge 1$ (de même $V_k'$).

Par (a) appliqué à $V_k,V_k'$, on obtient $(u_k,u_k')$ unitaires réalisant le sup sur $V_k\times V_k'$ ; or $a\in V_k$ signifie exactement $a\in V$, $\langle a,u_l\rangle=0\ (l<k)$ : c'est la condition (ii).

Enfin $u_k\in V_k\perp u_1,\dots,u_{k-1}$, donc la famille reste orthonormée.

**(2)** Pour $(a,a')$ unitaires, Cauchy–Schwarz donne $\langle a,a'\rangle\le 1$, avec égalité ssi $a=a'$.

Soit $m=\dim(V\cap V')$.

Montrons $u_k=u_k'$ ($k\le m$) par récurrence.

Supposons $u_l=u_l'$ pour $l<k$ ; alors $u_1,\dots,u_{k-1}\in V\cap V'$ et $$W=(V\cap V')\cap\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_{k-1})^\perp$$ vérifie $\dim W=m-(k-1)\ge 1$.

Pour $w\in W$ unitaire, $(w,w)$ est admissible dans le sup (ii), donc $\langle u_k,u_k'\rangle\ge\langle w,w\rangle=1$, d'où $=1$ et $u_k=u_k'$.

**(3)(a)** $u$ est une famille orthonormée de $V$ de cardinal $p=\dim V$ : c'est une base orthonormée de $V$.

**(3)(b)** Fixons $k\le p-1$, $l>k$.

Comme $u_k\perp u_l$, $\|u_k+tu_l\|=\sqrt{1+t^2}$.

Le vecteur $u_k(t)=\frac{u_k+tu_l}{\sqrt{1+t^2}}\in V$ est unitaire, orthogonal aux $u_{l'}$ ($l'<k$).

Donc $(u_k(t),u_k')$ est admissible et $$g(t)=\langle u_k(t),u_k'\rangle=\frac{\langle u_k,u_k'\rangle+t\langle u_l,u_k'\rangle}{\sqrt{1+t^2}}\le g(0).$$
Ainsi $0=g'(0)=\langle u_l,u_k'\rangle$.

Donc $u_k'\in\mathrm{Vect}(u_{k+1},\dots,u_p)^\perp$.

**Par symétrie** des rôles $(V,u)\leftrightarrow(V',u')$ : $u_k\in\mathrm{Vect}(u_{k+1}',\dots,u_p')^\perp$.

**(3)(c)** Pour $j\le k\le p-1$ : $u_{k+1}\perp u_j$ (orthonormalité) et, par (b) au rang $j$ ($i=k+1>j$), $u_{k+1}\perp u_j'$.

D'où $u_{k+1}\in\big(\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_k)+\mathrm{Vect}(u_1',\dots,u_k')\big)^\perp$.

**(3)(d)** Pour $j<k$ : $\langle u_j,u_k\rangle=\langle u_j',u_k'\rangle=0$ (orthonormalité), $\langle u_j',u_k\rangle=0$ (par (b) rang $j$), $\langle u_j,u_k'\rangle=0$ (par (b) symétrique rang $j$).

Donc $W_j\perp W_k$.

**(4)(a)** Le sup est pris sur un ensemble non vide stable par $a'\mapsto -a'$, donc $\langle u_k,u_k'\rangle\ge 0$, et $\le 1$ (Cauchy–Schwarz) : il existe un unique $\theta_k\in[0,\pi/2]$ avec $\cos\theta_k=\langle u_k,u_k'\rangle$.

L'ensemble du sup au rang $k+1$ est inclus dans celui au rang $k$, donc $\cos\theta_{k+1}\le\cos\theta_k$, soit $\theta_k\le\theta_{k+1}$.

**(4)(b)** Par (3d), pour $i\ne j$, $u_i\in W_i\perp W_j\ni u_j'$ donc $\langle u_i,u_j'\rangle=0$.

Ainsi $\mathrm{Gram}(u,u')=\mathrm{diag}(\cos\theta_1,\dots,\cos\theta_p)$ et $$\boxed{\det\mathrm{Gram}(u,u')=\prod_{k=1}^p\cos\theta_k}.$$

**(4)(c)** Chaque facteur $\in[0,1]$, donc le produit $\le 1$.

Égalité ssi tous $\cos\theta_k=1$ ssi tous $u_k=u_k'$, ce qui donne $V=\mathrm{Vect}(u)=\mathrm{Vect}(u')=V'$.

Réciproquement si $V=V'$, alors $\dim(V\cap V')=p$ et (2) donne $u_k=u_k'$, donc le déterminant vaut $1$.

**Égalité $\iff V=V'$.**

## Partie II

**(5)(a)** $[x_1,\dots,x_p]=\det(x_1|\cdots|x_p)$ est linéaire en chaque colonne ; et $x\cdot\sigma$ a pour matrice $(x_1|\cdots|x_p)$ aux colonnes permutées par $\sigma$, d'où $[x\cdot\sigma]=\epsilon(\sigma)[x]$.

Donc $[\,]\in\mathcal A_p(\mathbb R^p,\mathbb R)$.

**(5)(b)** $g(u)=[f(u_1),\dots,f(u_p)]$.

La $i$-ème application partielle est composée de $f$ et de $[\,]$ (linéaire), donc linéaire ; et $g(u\cdot\sigma)=[(f(u_1),\dots,f(u_p))\cdot\sigma]=\epsilon(\sigma)g(u)$.

Donc $g\in\mathcal A_p(F,\mathbb R)$.

**(6)(a)** Soit $f:E\to\mathbb R^p,\ f(x)=(\langle e_1,x\rangle,\dots,\langle e_p,x\rangle)$ (linéaire).

La $j$-ème colonne de $(f(u_1)|\cdots|f(u_p))$ a coefficients $\langle e_i,u_j\rangle$, donc $[f(u_1),\dots,f(u_p)]=\det\mathrm{Gram}(e,u)=\Omega_p(e)(u)$.

Par (5b), $\Omega_p(e)\in\mathcal A_p(E,\mathbb R)$.

**(6)(b)** $\mathrm{Gram}(u,e)=\mathrm{Gram}(e,u)^\top$, donc $\Omega_p(u)(e)=\Omega_p(e)(u)$.

**(6)(c)** Deux éléments de $\mathcal A_p(E,\mathbb R)$ sont égaux ssi ils coïncident en tout $u$.

Or pour tout $u$, $e\mapsto\Omega_p(e)(u)\overset{(6b)}{=}\Omega_p(u)(e)$ est $p$-linéaire alternée (car $\Omega_p(u)\in\mathcal A_p(E,\mathbb R)$).

Donc $e\mapsto\Omega_p(e)$ est $p$-linéaire alternée à valeurs dans $\mathcal A_p(E,\mathbb R)$, i.e. $\Omega_p\in\mathcal A_p(E,\mathcal A_p(E,\mathbb R))$.

**(7)(a)** $\Omega_p$ étant $p$-linéaire alternée : $$\Omega_p(e')=\sum_{j_1,\dots,j_p}\Big(\prod_iM_{ij_i}\Big)\Omega_p(e_{j_1},\dots,e_{j_p})=\sum_\sigma\Big(\prod_iM_{i\sigma(i)}\Big)\epsilon(\sigma)\,\Omega_p(e)=\det(M)\,\Omega_p(e).$$

**(7)(b)** Si $e$ liée, $\Omega_p(e)=0$.

Si $e$ libre, soit $b$ une base orthonormée de $\mathrm{Vect}(e)$ ; $e_i=\sum_jM_{ij}b_j$ avec $M$ inversible, donc $\Omega_p(e)=\det(M)\Omega_p(b)$ avec $\Omega_p(b)(b)=\det I_p=1\ne0$ : $\Omega_p(e)\ne0$.

**(7)(c)** $x^\top\mathrm{Gram}(e,e)x=\|\sum_ix_ie_i\|^2\ge0$ : $\mathrm{Gram}(e,e)$ est symétrique positive, donc $\det\mathrm{Gram}(e,e)=\Omega_p(e)(e)\ge0$.

**(8)(a)** $\mathrm{Gram}(b,b)=I_p$, donc $\mathrm{vol}_p(b)=1$.

**(8)(b)** Soit $f=(P_W(e_1),e_2,\dots,e_p)$ où $W=\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)^\perp$.

Comme $P_W(e_1)=e_1-w$ avec $w\in\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)$, on a $f=Le$ avec $L$ unipotente ($\det L=1$), donc $\mathrm{Gram}(f,f)=L\,\mathrm{Gram}(e,e)\,L^\top$ a même déterminant.

Mais $P_W(e_1)\perp e_2,\dots,e_p$, donc $$\mathrm{Gram}(f,f)=\begin{pmatrix}\|P_W(e_1)\|^2&0\\0&\mathrm{Gram}(e_2^p,e_2^p)\end{pmatrix},$$ d'où $\mathrm{vol}_p(e)^2=\|P_W(e_1)\|^2\,\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)^2$, soit $\mathrm{vol}_p(e)=\|P_W(e_1)\|\,\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)$.

**(8)(c)** Récurrence. $p=1$ : $\mathrm{vol}_1(e_1)=\|e_1\|$.

Hérédité : $\mathrm{vol}_p(e)=\|P_W(e_1)\|\,\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)\le\|e_1\|\prod_{i\ge2}\|e_i\|$ car $\|P_W(e_1)\|\le\|e_1\|$.

Toutes les quantités étant $>0$ (famille libre), l'égalité équivaut à $\|P_W(e_1)\|=\|e_1\|$ (i.e. $e_1\perp e_2,\dots,e_p$) **et** $(e_2,\dots,e_p)$ orthogonale, soit $e$ orthogonale deux à deux.

**(9)(a)** Avec $P=P_b^e$ : $\mathrm{Gram}(e,e)_{jk}=\sum_iP_{ij}P_{ik}=(P^\top P)_{jk}$, donc $\mathrm{vol}_p(e)=\sqrt{\det(P)^2}=|\det P_b^e|$.

**(9)(b)** Si $e$ ou $e'$ liée : $\mathrm{vol}_p(e)=0$ et les lignes (ou colonnes) de $\mathrm{Gram}(e,e')$ sont liées, donc $\Omega_p(e)(e')=0$ ; l'inégalité est triviale.

Si $e,e'$ libres, soient $b,b'$ bases orthonormées de $V=\mathrm{Vect}(e),V'=\mathrm{Vect}(e')$ et $e=Pb,\ e'=Qb'$ ; alors $\mathrm{Gram}(e,e')=P^\top G Q$ avec $G=\mathrm{Gram}(b,b')$, donc $$|\Omega_p(e)(e')|=|\det P||\det Q||\det G|=\mathrm{vol}_p(e)\,\mathrm{vol}_p(e')\,|\det G|.$$
En reliant $b,b'$ aux familles $u,u'$ de la Partie I par des matrices orthogonales, $|\det G|=|\det\mathrm{Gram}(u,u')|=\prod_k\cos\theta_k\le1$.

D'où $|\Omega_p(e)(e')|\le\mathrm{vol}_p(e)\mathrm{vol}_p(e')$.

## Partie III

**(10)(a)** En développant $u_j=\sum_i\langle e_i,u_j\rangle e_i$ par multilinéarité/alternance (termes à indices répétés nuls), et en regroupant par $\alpha=(j_1<\cdots<j_p)$ avec $i_b=j_{\sigma(b)}$ : $$\omega(u)=\sum_\alpha\omega(e_\alpha)\sum_\sigma\epsilon(\sigma)\prod_b\langle e_{j_{\sigma(b)}},u_b\rangle=\sum_\alpha\omega(e_\alpha)\det\big(\langle e_{j_a},u_b\rangle\big)=\sum_\alpha\omega(e_\alpha)\Omega_p(e_\alpha)(u).$$
Donc $\omega=\sum_\alpha\omega(e_\alpha)\Omega_p(e_\alpha)$.

**(10)(b)** Comme $e$ orthonormée, $\Omega_p(e_\alpha)(e_\beta)=\det(\langle e_{i_a},e_{j_b}\rangle)=\delta_{\alpha\beta}$.

Donc $\langle\Omega_p(e_\alpha),\Omega_p(e_\beta)\rangle=\sum_\gamma\delta_{\alpha\gamma}\delta_{\beta\gamma}=\delta_{\alpha\beta}$ : famille orthonormée, génératrice par (10a).

La forme est bilinéaire symétrique, $\langle\omega,\omega\rangle=\sum_\alpha\omega(e_\alpha)^2\ge0$, nulle ssi $\omega=0$ : **produit scalaire**, dont $(\Omega_p(e_\alpha))_\alpha$ est une **base orthonormée**.

Donc $\dim\mathcal A_p(E,\mathbb R)=\binom{d}{p}$.

**(10)(c)** Pour $p=d-1$, $\dim=\binom{d}{d-1}=d$.

Soit $\alpha_k$ le complémentaire de $k$.

L'application linéaire $T:E\to\mathcal A_{d-1}(E,\mathbb R)$, $T(v)=[v,\,\cdot\,,\dots,\,\cdot\,]$ (produit mixte) vérifie $T(e_k)(e_\beta)=[e_k,e_{\beta_1},\dots]=\delta_{\beta,\alpha_k}(-1)^{k-1}$, donc $T(e_k)=(-1)^{k-1}\Omega_{d-1}(e_{\alpha_k})$. $T$ envoie la b.o.n. $(e_k)$ sur une b.o.n. : **c'est une isométrie**.

**(11)** Par (10a) avec $\omega=\Omega_p(u)$ évaluée en $v$, puis (6b) : $$\Omega_p(u)(v)=\sum_\alpha\Omega_p(u)(e_\alpha)\,\Omega_p(e_\alpha)(v)=\sum_\alpha\Omega_p(u)(e_\alpha)\,\Omega_p(v)(e_\alpha)=\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle.$$

**(12)** Les preuves de (10a) et (11) valent pour toute base orthonormée $\tilde e$, donc $\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle_{\tilde e}=\Omega_p(u)(v)=\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle_e$.

Comme $\{\Omega_p(u)\}$ engendre $\mathcal A_p(E,\mathbb R)$ (contient la base $(\Omega_p(e_\alpha))$) et que $\Omega_p(u)(v)=\det\mathrm{Gram}(u,v)$ ne dépend que du produit scalaire de $E$, les deux produits scalaires coïncident partout.

Le produit scalaire **ne dépend que de celui de $E$**.

## Partie IV

**(13)(a)** ($\Leftarrow$) Si $\mathrm{Vect}(e)=\mathrm{Vect}(e')$, $e'=Me$ avec $M$ inversible, donc $\Omega_p(e')=\det(M)\Omega_p(e)$ : colinéaires. ($\Rightarrow$, par contraposée) Si $V=\mathrm{Vect}(e)\ne V'=\mathrm{Vect}(e')$, alors $V^\perp\ne V'^\perp$, donc il existe $z\in V^\perp\setminus V'^\perp$, et $P_{V'}z\ne0$.

Complétons $P_{V'}z$ en base $(P_{V'}z,v_2,\dots,v_p)$ de $V'$ et posons $u=(z,v_2,\dots,v_p)$.

Alors $\Omega_p(e)(u)=0$ (1ère colonne nulle car $z\in V^\perp$), tandis que $\Omega_p(e')(u)\ne0$ : en effet $x\mapsto(\langle e_i',x\rangle)_i$ est un isomorphisme de $V'$, et $\mathrm{Gram}(e',u)$ est la matrice des $P_{V'}u_j=(P_{V'}z,v_2,\dots,v_p)$, base de $V'$.

Donc $\Omega_p(e),\Omega_p(e')$ **non colinéaires**.

**(13)(b)** Pour $e\in C$ posons $\Psi(V,C)=\frac{1}{\mathrm{vol}_p(e)}\Omega_p(e)$.

C'est indépendant de $e\in C$ : si $e'\in C$, $e'=Me$ avec $\det_e(e')=\det M>0$, et $\Omega_p(e')=\det(M)\Omega_p(e)$, $\mathrm{vol}_p(e')=\det(M)\mathrm{vol}_p(e)$, donc le quotient est inchangé.

L'unicité est claire ($\mathrm{vol}_p(e)>0$).

**(14)(a)** $\|\Psi(V,C)\|^2=\frac{\langle\Omega_p(e),\Omega_p(e)\rangle}{\mathrm{vol}_p(e)^2}=\frac{\Omega_p(e)(e)}{\mathrm{vol}_p(e)^2}=1$ (par 11) : sur la sphère unité.

**Injectivité** : si $\Psi(V,C)=\Psi(V',C')$, prenant $e\in C,e'\in C'$, $\Omega_p(e),\Omega_p(e')$ sont colinéaires donc $V=V'$ (13a) ; et $\Omega_p(e)=\frac{\mathrm{vol}_p(e)}{\mathrm{vol}_p(e')}\Omega_p(e')=\det_{e'}(e)\,\Omega_p(e')$ avec $\det_{e'}(e)>0$, donc $C=C'$.

**(14)(b)** $\mathcal O=\{b\in E^p:(b_i)\text{ orthonormée}\}$ est fermé borné, donc compact. $\Omega_p$ est continue (ses coordonnées $e\mapsto\det\mathrm{Gram}(e,e_\alpha)$ sont polynomiales).

Tout $(V,C)$ admet une b.o.n. $b\in C$ (Gram–Schmidt préserve l'orientation), avec $\Psi(V,C)=\Omega_p(b)$ ; et tout $b\in\mathcal O$ donne $\Omega_p(b)=\Psi(\mathrm{Vect}(b),[b])$.

Donc $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))=\Omega_p(\mathcal O)$, **image continue d'un compact : compact**.

**(15)** On utilise $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))=\Omega_p(\mathcal O)$.

**• $p=d$ :** le seul sous-espace est $E$, avec deux orientations $C_\pm$.

Pour $e\in C_+,e'\in C_-$ orthonormées, $\Omega_d(e')=-\Omega_d(e)$ ; donc l'image est $\{\pm\Omega_d(e)\}$, **deux points distincts** d'un espace de dimension $1$ : non connexe par arcs (l'image continue de $[0,1]$ serait connexe).

**• $p\le d-1$ :** relions $\Psi(V,C)$ et $\Psi(V',C')$.

*(i)* Par la Partie I appliquée à $V,V'$ : bases orthonormées $u,u'$ avec $W_k=\mathrm{Vect}(u_k,u_k')$ deux à deux orthogonaux (3d), $\langle u_k,u_k'\rangle=\cos\theta_k$.

Posons, dans $W_k$, $$u_k(t)=\cos(t\theta_k)u_k+\sin(t\theta_k)\tilde u_k,\quad \tilde u_k=\tfrac{u_k'-\cos\theta_k\,u_k}{\sin\theta_k}\ (\theta_k>0),\ \text{sinon }u_k.$$
Comme les $W_k$ sont orthogonaux et $\|u_k(t)\|=1$, $u(t)\in\mathcal O$, avec $u(0)=u$, $u(1)=u'$.

Donc $t\mapsto\Omega_p(u(t))$ relie $\Psi(V,[u])$ à $\Psi(V',[u'])$.

*(ii)* (retournement d'orientation) Pour $V$ de dimension $p\le d-1$, de b.o.n. $c$, on choisit $f\in V^\perp$ unitaire ($\dim V^\perp\ge1$) ; le chemin $\big(\cos(s)c_1+\sin(s)f,c_2,\dots,c_p\big)\in\mathcal O$, $s\in[0,\pi]$, joint $c$ à $(-c_1,c_2,\dots,c_p)$ (orientation opposée).

Donc $\Psi(V,C)$ et $\Psi(V,\overline C)$ sont reliés.

En composant $\Psi(V,C)\to\Psi(V,[u])\to\Psi(V',[u'])\to\Psi(V',C')$ (chaque flèche par (i), (ii), ou triviale), on obtient un arc. **Donc connexe par arcs.**

$$\boxed{\ \Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))\text{ est connexe par arcs}\iff p\le d-1.\ }$$