Maths A

# Corrigé — Concours X‑ENS, Mathématiques A, filière MP, 2022 (XLSR)

## En‑tête

**Thème.** Géométrie euclidienne, algèbre multilinéaire alternée, matrices de Gram et topologie des espaces vectoriels normés de dimension finie. Le problème construit, autour de l'application « produit mixte », la **grassmannienne orientée** $\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E)$ et étudie ses propriétés topologiques (compacité, connexité par arcs).

**Fil directeur.** La Partie I dégage, par un procédé d'optimisation, les *angles principaux* entre deux sous‑espaces de même dimension et la décomposition orthogonale associée.

La Partie II introduit la forme $\Omega_p(e)=\det\mathrm{Gram}(e,\cdot)$, le $p$‑volume, et établit deux inégalités fondamentales (Hadamard, puis Cauchy‑Schwarz pour $\Omega_p$).

La Partie III munit l'espace $\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ des formes $p$‑linéaires alternées d'un produit scalaire canonique dont $(\Omega_p(e_\alpha))$ est une base orthonormée.

La Partie IV assemble le tout : elle construit le plongement $\Psi$ (revêtement du plongement de Plücker) et montre que son image est compacte, et connexe par arcs **si et seulement si** $p\le d-1$.

## Carte stratégique

- **Statistiques** (rapport) : moyenne $8{,}06/20$ (écart‑type $3{,}70$) pour les candidats français ; plus d'une centaine de copies $>14/20$, dont $12$ copies à $20/20$.

Les Parties I–II et le début de la III ont été « largement traitées » ; la Partie IV « n'a que peu été touchée ».
- **Barème** : pondération « généralement proportionnelle à la difficulté ». Beaucoup de points faciles sont disséminés dans tout le sujet (1a, 3a, 4b‑c, 5a‑b, 6a‑b, 7c, 8a, 10b) : il faut les ramasser **en les rédigeant proprement** (le jury sanctionne le survol).
- **Questions discriminantes** : **2, 3b, 8b, 9b, 10a, 12, 13a, 14, 15**. Elles départagent les meilleures copies.
- **Ordre conseillé** : traiter linéairement les Parties I et II (très rentables et largement enchaînées), puis 10a‑b‑11 et 12 en III ; en IV, viser au minimum 13b (existence/unicité), 14a (norme) et le sens facile de 15 ($p=d$).

Pièges récurrents à éviter (rapport) : **ne pas confondre $p$ et $d=\dim E$**, ne pas remplacer $E$ par $\mathbb R^n$, et ne pas utiliser une autre définition de « alternée » sans la justifier.

---

# Partie I

Dans toute cette partie, $V$ et $V'$ sont deux sous‑espaces de $E$ de dimension $p\ge 1$.

## Question 1a

**Stratégie.** L'existence d'un maximum n'est pas gratuite : il faut une borne atteinte. On invoque la compacité du produit des sphères unités (dimension finie) et la continuité du produit scalaire.

**Rédaction.**

Notons $S_V=\{a\in V:\|a\|=1\}$ et $S_{V'}=\{a'\in V':\|a'\|=1\}$ les sphères unités de $V$ et $V'$.

Comme $V,V'$ sont de dimension finie, $S_V$ et $S_{V'}$ sont fermées et bornées, donc compactes ; $S_V\times S_{V'}$ est compact comme produit de compacts.

L'application $$\varphi:(a,a')\longmapsto \langle a,a'\rangle$$ est bilinéaire sur l'espace de dimension finie $V\times V'$, donc continue.

D'après le théorème des bornes atteintes, $\varphi$ atteint sa borne supérieure sur le compact $S_V\times S_{V'}$ : il existe $(u_1,u_1')\in S_V\times S_{V'}$ tel que $$\langle u_1,u_1'\rangle=\sup\{\langle a,a'\rangle\mid (a,a')\in V\times V',\ \|a\|=\|a'\|=1\}. \qquad\square$$

**Commentaire.** Question « abordée dans toutes les copies ». Le seul écueil sanctionné par le rapport : « se contenter de justifier l'existence d'une borne supérieure sans justifier qu'elle était atteinte ». Les deux ingrédients — *compacité* et *continuité* — doivent apparaître explicitement.

## Question 1b

**Stratégie.**

On reproduit 1a en ajoutant à chaque étape des contraintes d'orthogonalité ; tout repose sur le fait que les sous‑espaces $V_k,V_k'$ restants sont non nuls tant que $k\le p$.

Récurrence sur $k$.

**Rédaction.**

Construisons $u_k\in V$, $u_k'\in V'$ par récurrence sur $k\in\{1,\dots,p\}$ en posant $$V_k=V\cap\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_{k-1})^{\perp},\qquad V_k'=V'\cap\mathrm{Vect}(u_1',\dots,u_{k-1}')^{\perp}$$ (avec la convention $V_1=V$, $V_1'=V'$).

*Initialisation.*

Pour $k=1$, la question 1a fournit $u_1\in V$, $u_1'\in V'$ de norme $1$ réalisant le supremum (i).

*Hérédité.*

Supposons $u_1,\dots,u_{k-1}$ orthonormés dans $V$ et $u_1',\dots,u_{k-1}'$ orthonormés dans $V'$, avec $k\le p$.

Comme $u_1,\dots,u_{k-1}$ sont orthonormés dans $V$, on a $\dim V_k=\dim V-(k-1)=p-k+1\ge 1$, et de même $\dim V_k'\ge 1$.

Les sphères unités de $V_k$ et $V_k'$ sont des compacts **non vides** ; par l'argument de 1a, $(a,a')\mapsto\langle a,a'\rangle$ atteint son maximum sur leur produit : il existe $u_k\in V_k$, $u_k'\in V_k'$ de norme $1$ tels que $$\langle u_k,u_k'\rangle=\sup\{\langle a,a'\rangle\mid (a,a')\in V_k\times V_k',\ \|a\|=\|a'\|=1\}.$$
Or la condition « $a\in V$, $\langle a,u_l\rangle=0$ pour $l\le k-1$ » équivaut à « $a\in V_k$ » (de même pour $a'$).

Le supremum ci‑dessus est donc exactement celui de (ii).

De plus $u_k\in V_k$ assure $\langle u_k,u_l\rangle=0$ pour $l<k$ et $\|u_k\|=1$ : la famille $u_1,\dots,u_k$ reste orthonormée, et de même pour $u'$.

La récurrence fournit ainsi deux familles orthonormées $u=(u_1,\dots,u_p)$ de $V$ et $u'=(u_1',\dots,u_p')$ de $V'$ vérifiant (i) et (ii). $\square$

**Commentaire.** « Abordée dans la majorité des copies mais à la rédaction parfois bâclée ».

Le point que le jury demande de soigner : **préciser sur quels sous‑espaces** ($V_k,V_k'$) on applique 1a, et vérifier qu'ils restent non nuls jusqu'à $k=p$ — c'est ici qu'intervient $k\le p$.

## Question 2

**Stratégie.**

On montre que la valeur du supremum à l'étape $k$ vaut $1$ tant que $k\le m=\dim(V\cap V')$, en exhibant un vecteur admissible diagonal $(w,w)$ ; le cas d'égalité dans Cauchy‑Schwarz force alors $u_k=u_k'$.

Récurrence.

**Rédaction.**

Rappelons le cas d'égalité de Cauchy‑Schwarz : pour $a,a'$ unitaires, $$\langle a,a'\rangle\le \|a\|\,\|a'\|=1,\quad\text{et}\quad \langle a,a'\rangle=1\ \Longrightarrow\ \|a-a'\|^2=2-2\langle a,a'\rangle=0,\ \text{i.e. } a=a'. \tag{$\star$}$$
Posons $m=\dim(V\cap V')\ge 1$ et montrons par récurrence sur $k\in\{1,\dots,m\}$ que $u_k=u_k'$.

Soit $k\le m$ et supposons $u_l=u_l'$ pour tout $l<k$.

Le sous‑espace $$(V\cap V')\cap\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_{k-1})^{\perp}$$ est l'intersection de $V\cap V'$ (dimension $m$) avec un hyperplan d'intersection de codimension $\le k-1$, donc de dimension $\ge m-(k-1)\ge 1$.

Choisissons‑y un vecteur unitaire $w$.

Alors $w\in V$, $\langle w,u_l\rangle=0$ pour $l<k$, et $w\in V'$, $\langle w,u_l'\rangle=\langle w,u_l\rangle=0$ pour $l<k$ (car $u_l=u_l'$).

Le couple $(w,w)$ est donc admissible dans le supremum définissant $\langle u_k,u_k'\rangle$, d'où $$\langle u_k,u_k'\rangle\ \ge\ \langle w,w\rangle=1.$$
Par Cauchy‑Schwarz $\langle u_k,u_k'\rangle\le 1$, donc $\langle u_k,u_k'\rangle=1$, et $(\star)$ donne $u_k=u_k'$.

Par récurrence, $u_k=u_k'$ pour tout $1\le k\le \dim(V\cap V')$. $\square$

**Commentaire.** Première question « où bon nombre de candidats n'ont pas fourni de réponse ».

Le rapport détaille la trame attendue : **récurrence**, **condition d'égalité dans Cauchy‑Schwarz**, et **justification que le maximum vaut $1$** (c'est le $(w,w)$ qui le donne, la majoration $\le 1$ étant Cauchy‑Schwarz).

Les trois ingrédients sont indispensables.

## Question 3a

**Stratégie.** L'orthonormalité est déjà acquise ; il reste à compter.

**Rédaction.** La famille $u=(u_1,\dots,u_p)$ est orthonormée (Question 1b), donc libre.

Elle compte $p$ vecteurs de $V$, espace de dimension $p$ : c'est donc une base de $V$, orthonormée. $\square$

**Commentaire.** « Beaucoup plus facile » ; il suffisait, dit le rapport, « de justifier que le cardinal de la famille était bien celui de la dimension de $V$ » — et de ne pas confondre $p=\dim V$ avec $d=\dim E$.

## Question 3b

**Stratégie.**

Pour $l>k$, on perturbe $u_k$ dans la direction $u_l\in V$ : le chemin unitaire $u_k(t)$ reste admissible, donc $t\mapsto\langle u_k(t),u_k'\rangle$ atteint son maximum en $t=0$.

L'annulation de la dérivée en cet extremum intérieur donne l'orthogonalité voulue.

**Rédaction.**

Fixons $k\in\{1,\dots,p-1\}$ et $l\in\{k+1,\dots,p\}$.

Comme $u_k,u_l$ sont orthonormés, $\|u_k+tu_l\|^2=1+t^2>0$ pour tout $t\in\mathbb R$, et $$u_k(t)=\frac{u_k+tu_l}{\sqrt{1+t^2}}\in V,\qquad \|u_k(t)\|=1.$$
Pour $m<k$, $\langle u_k+tu_l,u_m\rangle=\langle u_k,u_m\rangle+t\langle u_l,u_m\rangle=0$ (orthonormalité, $m<k<l$), donc $u_k(t)$ est admissible dans le supremum (ii) définissant $\langle u_k,u_k'\rangle$ ; et $u_k'$ est admissible côté $V'$.

D'après (ii), $$\varphi(t):=\langle u_k(t),u_k'\rangle=\frac{\langle u_k,u_k'\rangle+t\,\langle u_l,u_k'\rangle}{\sqrt{1+t^2}}\ \le\ \langle u_k,u_k'\rangle=\varphi(0)\qquad(\forall t\in\mathbb R).$$
Ainsi $\varphi$ admet un maximum global en $t=0$, point intérieur de $\mathbb R$ ; $\varphi$ étant dérivable (quotient à dénominateur non nul), $\varphi'(0)=0$.

Or, en posant $A=\langle u_k,u_k'\rangle$, $B=\langle u_l,u_k'\rangle$, $$\varphi'(t)=\frac{B(1+t^2)-(A+tB)t}{(1+t^2)^{3/2}},\qquad \varphi'(0)=B=\langle u_l,u_k'\rangle.$$
Donc $\langle u_l,u_k'\rangle=0$.

Ceci valant pour tout $l\in\{k+1,\dots,p\}$, $$u_k'\in\mathrm{Vect}(u_{k+1},\dots,u_p)^{\perp}.\qquad\square$$

**Commentaire.** « Difficile, traitée correctement dans peu de copies ».

Le rapport relève que « beaucoup de copies ont cherché à calculer une dérivée sans réfléchir à l'utilisation qui pourrait en être faite » : l'idée‑clé est qu'$u_k$ **maximise** une quantité dont $u_k(t)$ est une déformation admissible, d'où l'annulation de $\varphi'(0)$.

## Question 3c

**Stratégie.** Conséquence directe de 3a (orthonormalité) et de 3b.

**Rédaction.**

Soit $k\in\{1,\dots,p-1\}$ et $j\in\{1,\dots,k\}$.

- $\langle u_{k+1},u_j\rangle=0$ car $u$ est orthonormée (Question 3a) et $j\ne k+1$.

- Par 3b appliquée à l'indice $j$ (licite car $j\le k\le p-1$), $u_j'\in\mathrm{Vect}(u_{j+1},\dots,u_p)^{\perp}$ ; or $k+1\in\{j+1,\dots,p\}$, donc $\langle u_{k+1},u_j'\rangle=0$.

Ainsi $u_{k+1}$ est orthogonal à $\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_k)$ et à $\mathrm{Vect}(u_1',\dots,u_k')$, donc à leur somme : $$u_{k+1}\in\bigl(\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_k)+\mathrm{Vect}(u_1',\dots,u_k')\bigr)^{\perp}.\qquad\square$$

**Commentaire.** « Souvent bien traitée à partir du résultat de la précédente ». Penser à **citer 3b** explicitement (recommandation générale du rapport).

## Question 3d

**Stratégie.**

Le procédé de la Partie I est symétrique en $(V,u)\leftrightarrow(V',u')$ : on dispose donc aussi de l'analogue de 3b pour $u$.

Les quatre produits scalaires croisés entre $W_k$ et $W_m$ ($k<m$) s'annulent.

**Rédaction.**

Le supremum (ii) est inchangé par l'échange $(V,a,u_l)\leftrightarrow(V',a',u_l')$ (car $\langle a,a'\rangle=\langle a',a\rangle$).

Le couple $(u',u)$ joue donc, pour $(V',V)$, le rôle joué par $(u,u')$ pour $(V,V')$.

La question **3b appliquée à $u'$** donne ainsi $$\forall k\le p-1,\qquad u_k\in\mathrm{Vect}(u_{k+1}',\dots,u_p')^{\perp}. \tag{3b$'$}$$
Soient $k<m$ dans $\{1,\dots,p\}$.

Alors :

- $\langle u_k,u_m\rangle=0$ ($u$ orthonormée) ;

- $\langle u_k',u_m'\rangle=0$ ($u'$ orthonormée) ;

- $\langle u_k',u_m\rangle=0$ : par 3b, $u_k'\perp\mathrm{Vect}(u_{k+1},\dots,u_p)\ni u_m$ (car $m\ge k+1$) ;

- $\langle u_k,u_m'\rangle=0$ : par (3b$'$), $u_k\perp\mathrm{Vect}(u_{k+1}',\dots,u_p')\ni u_m'$.

Donc tout vecteur de $W_k=\mathrm{Vect}(u_k,u_k')$ est orthogonal à tout vecteur de $W_m$, i.e. $W_k\perp W_m$.

Les $W_k$ ($1\le k\le p$) sont deux à deux orthogonaux. $\square$

[Figure : les plans/droites $W_1,\dots,W_p$ deux à deux orthogonaux ; dans chaque $W_k$, l'angle $\theta_k$ entre $u_k\in V$ et $u_k'\in V'$.]

**Commentaire.** « Souvent traitée, parfois avec une rédaction insuffisante ».

Le rapport indique la voie : « utiliser les résultats précédents et **la symétrie des rôles de $u_k$ et $u_k'$** ».

C'est cette symétrie qui produit (3b$'$).

## Question 4a

**Stratégie.**

Montrer $\langle u_k,u_k'\rangle\in[0,1]$ (positivité par un choix de signe, majoration par Cauchy‑Schwarz), puis la décroissance en $k$ (les contraintes augmentent).

On pose alors $\theta_k=\arccos\langle u_k,u_k'\rangle$.

**Rédaction.** *Majoration.* Cauchy‑Schwarz : $\langle u_k,u_k'\rangle\le\|u_k\|\|u_k'\|=1$.

*Positivité.* Le supremum (ii) porte sur des **vecteurs de norme $1$**.

Pour $a\in V_k$, $a'\in V_k'$ unitaires (qui existent, $\dim V_k,\dim V_k'\ge 1$), l'un des couples admissibles $(a,a')$ ou $(a,-a')$ vérifie $\langle a,\pm a'\rangle\ge 0$ ; donc le supremum est $\ge 0$, i.e. $\langle u_k,u_k'\rangle\ge 0$.

*Décroissance.*

L'ensemble admissible à l'étape $k+1$ (contraintes $\langle\cdot,u_l\rangle=\langle\cdot,u_l'\rangle=0$ pour $l\le k$) est inclus dans celui de l'étape $k$ ($l\le k-1$).

Un supremum sur un ensemble plus petit est plus petit : $$\langle u_{k+1},u_{k+1}'\rangle\le\langle u_k,u_k'\rangle.$$
Ainsi la suite $(\langle u_k,u_k'\rangle)_k$ décroît dans $[0,1]$.

Comme $\cos:[0,\pi/2]\to[0,1]$ est une bijection décroissante, il existe un unique $\theta_k\in[0,\pi/2]$ avec $\cos\theta_k=\langle u_k,u_k'\rangle$, et la décroissance des cosinus équivaut à $0\le\theta_1\le\cdots\le\theta_p\le\pi/2$. $\square$

**Commentaire.** « Souvent traitée ». Le jury insiste : « justifier que les produits scalaires étaient positifs » et ne pas « oublier que la propriété les caractérisant était définie sur des familles de vecteurs de norme 1 » — exactement l'argument de signe ci‑dessus.

## Question 4b

**Stratégie.** La matrice $\mathrm{Gram}(u,u')$ est diagonale grâce à 3d.

**Rédaction.** $\mathrm{Gram}(u,u')_{i,j}=\langle u_i,u_j'\rangle$.

Pour $i\ne j$, $u_i\in W_i$ et $u_j'\in W_j$ avec $W_i\perp W_j$ (Question 3d), donc $\langle u_i,u_j'\rangle=0$.

Pour $i=j$, $\langle u_i,u_i'\rangle=\cos\theta_i$.

La matrice est diagonale :
$$\det\bigl(\mathrm{Gram}(u,u')\bigr)=\prod_{k=1}^{p}\cos\theta_k.\qquad\square$$

**Commentaire.** « Facile, souvent bien traitée. »

## Question 4c

**Stratégie.**

Le produit de cosinus de $[0,1]$ est $\le 1$ ; l'égalité force tous les $\cos\theta_k=1$, donc $u_k=u_k'$, donc $V=V'$ (et réciproquement via la Question 2).

**Rédaction.**

Chaque $\cos\theta_k\in[0,1]$, donc $\det(\mathrm{Gram}(u,u'))=\prod_k\cos\theta_k\le 1$.

*Cas d'égalité.*

On a $\det(\mathrm{Gram}(u,u'))=1$ si et seulement si $\cos\theta_k=1$ pour tout $k$, i.e. $\langle u_k,u_k'\rangle=1$ pour tout $k$.

Par le cas d'égalité de Cauchy‑Schwarz $(\star)$ (vecteurs unitaires), ceci équivaut à $u_k=u_k'$ pour tout $k$, donc à $$V=\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_p)=\mathrm{Vect}(u_1',\dots,u_p')=V'.$$
Réciproquement, si $V=V'$ alors $\dim(V\cap V')=p$ et la Question 2 donne $u_k=u_k'$ pour tout $k\le p$, d'où $\det(\mathrm{Gram}(u,u'))=1$.

Conclusion : **égalité $\iff V=V'$**. $\square$

**Commentaire.** « Assez souvent bien traitée » ; le rapport renvoie à « la condition d'égalité dans Cauchy‑Schwarz ». Penser à donner la réciproque ($V=V'\Rightarrow\det=1$), via la Question 2.

---

# Partie II

Pour $e\in E^p$, $\Omega_p(e):E^p\to\mathbb R$ est définie par $\Omega_p(e)(u)=\det(\mathrm{Gram}(e,u))$.

## Question 5a

**Stratégie.** Vérifier directement, à partir de la définition du produit mixte, la linéarité en chaque variable et la relation $f(x\cdot\tau)=\epsilon(\tau)f(x)$, sans invoquer de propriété toute faite du déterminant.

**Rédaction.**

Soit $\Phi(x_1,\dots,x_p)=[x_1,\dots,x_p]=\sum_{\sigma\in\mathfrak S_p}\epsilon(\sigma)\prod_{i=1}^p x_{\sigma(i),i}$, où $x_j=(x_{i,j})_{1\le i\le p}$.

*Linéarité en la $j$‑ème variable.*

À $x_i$ ($i\ne j$) fixés, $$\Phi=\sum_{\sigma}\epsilon(\sigma)\,x_{\sigma(j),j}\!\!\prod_{i\ne j}x_{\sigma(i),i},$$ combinaison linéaire des coordonnées $x_{\sigma(j),j}$ de $x_j$ : c'est linéaire en $x_j$.

*Caractère alterné.*

Soit $\tau\in\mathfrak S_p$ et $y=x\cdot\tau$, i.e. $y_i=x_{\tau(i)}$, donc $y_{\sigma(i),i}=x_{\sigma(i),\tau(i)}$.

Alors $$\Phi(y)=\sum_{\sigma}\epsilon(\sigma)\prod_{i=1}^p x_{\sigma(i),\tau(i)}.$$
Posons $j=\tau(i)$ (i.e. $i=\tau^{-1}(j)$) et $\rho=\sigma\circ\tau^{-1}$.

Le produit devient $\prod_{j}x_{\rho(j),j}$, et $\epsilon(\sigma)=\epsilon(\rho)\epsilon(\tau)$ ; lorsque $\sigma$ décrit $\mathfrak S_p$, $\rho$ aussi.

D'où $$\Phi(y)=\epsilon(\tau)\sum_{\rho}\epsilon(\rho)\prod_j x_{\rho(j),j}=\epsilon(\tau)\,\Phi(x).$$
Donc $\Phi\in\mathscr A_p(\mathbb R^p,\mathbb R)$. $\square$

**Commentaire.** « Traitée par quasiment toutes les copies mais pas toujours soigneusement rédigée ».

Le rapport signale des « erreurs récurrentes dans l'écriture de l'action d'une permutation sur les coefficients » : le réindexage $j=\tau(i)$, $\rho=\sigma\tau^{-1}$ doit être conduit sans faute.

Si l'on utilise une autre caractérisation de « alterné », il faut la justifier.

## Question 5b

**Stratégie.** $g=\Phi\circ(f,\dots,f)$ : la multilinéarité de $g$ vient de celle de $\Phi$ **composée avec $f$ linéaire**, le caractère alterné se ramène à 5a.

**Rédaction.**

Soit $f:F\to\mathbb R^p$ linéaire et $g(u)=[f(u_1),\dots,f(u_p)]$ pour $u=(u_1,\dots,u_p)\in F^p$.

*Multilinéarité.*

À $u_i$ ($i\ne j$) fixés, $y\mapsto g(\dots,y,\dots)=\Phi\bigl(f(u_1),\dots,f(y),\dots,f(u_p)\bigr)$ est la composée de l'application **linéaire $f$** et de l'application linéaire $z\mapsto\Phi(\dots,z,\dots)$ (linéarité de $\Phi$ en sa $j$‑ème variable, 5a) : elle est linéaire. *(C'est précisément ici que sert la linéarité de $f$.)*

*Caractère alterné.*

Pour $\sigma\in\mathfrak S_p$, en posant $w_i=f(u_i)$, $$g(u\cdot\sigma)=[f(u_{\sigma(1)}),\dots,f(u_{\sigma(p)})]=\Phi(w\cdot\sigma)=\epsilon(\sigma)\Phi(w)=\epsilon(\sigma)g(u),$$ par 5a. Donc $g\in\mathscr A_p(F,\mathbb R)$. $\square$

**Commentaire.** « Souvent bien traitée », mais le jury demande de « faire apparaître clairement où la linéarité de $f$ intervenait » : c'est dans la multilinéarité.

## Question 6a

**Stratégie.**

Reconnaître les colonnes de $\mathrm{Gram}(e,u)$ comme les images de $u_j$ par une application linéaire fixe, puis appliquer 5b.

**Rédaction.**

Fixons $e\in E^p$ et définissons $f:E\to\mathbb R^p$ par $$f(y)=\bigl(\langle e_1,y\rangle,\dots,\langle e_p,y\rangle\bigr).$$ $f$ est linéaire (chaque composante l'est).

La colonne $j$ de $\mathrm{Gram}(e,u)$ est $\bigl(\langle e_i,u_j\rangle\bigr)_{i}=f(u_j)$, donc $$\Omega_p(e)(u)=\det\mathrm{Gram}(e,u)=[\,f(u_1),\dots,f(u_p)\,].$$
Par 5b (avec $F=E$), l'application $u\mapsto\Omega_p(e)(u)$ appartient à $\mathscr A_p(E,\mathbb R)$. $\square$

**Commentaire.**

Le rapport accepte les deux voies (refaire le calcul, ou utiliser 5b) « à condition d'écrire précisément quelles applications $f$ et $g$ on utilisait » : d'où l'expression explicite de $f$.

## Question 6b

**Stratégie.** $\mathrm{Gram}(u,e)$ est la transposée de $\mathrm{Gram}(e,u)$ ; on conclut par $\det A=\det{}^{t}A$.

**Rédaction.** $\mathrm{Gram}(u,e)_{i,j}=\langle u_i,e_j\rangle=\langle e_j,u_i\rangle=\mathrm{Gram}(e,u)_{j,i}$, donc $\mathrm{Gram}(u,e)={}^{t}\mathrm{Gram}(e,u)$.

Par invariance du déterminant par transposition,
$$\Omega_p(u)(e)=\det\mathrm{Gram}(u,e)=\det{}^{t}\mathrm{Gram}(e,u)=\det\mathrm{Gram}(e,u)=\Omega_p(e)(u).\qquad\square$$

**Commentaire.** « Souvent traitée ». Le jury prévient : la symétrie du produit scalaire « n'était en rien suffisante » ; il fallait l'égalité $\det A=\det{}^{t}A$.

## Question 6c

**Stratégie.** $\Omega_p$ est à valeurs dans l'espace vectoriel $\mathscr A_p(E,\mathbb R)$.

On vérifie multilinéarité et caractère alterné en évaluant en un $u$ quelconque et en se ramenant, via 6b, aux propriétés de $\Omega_p(u)$ (6a).

**Rédaction.**

Par 6a, $\Omega_p(e)\in\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ pour tout $e$ : $\Omega_p:E^p\to\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ est bien définie.

Les opérations de $\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ étant ponctuelles, il suffit de tester les identités après évaluation en un $u\in E^p$ arbitraire.

*Multilinéarité.*

À $e_i$ ($i\ne j$) fixés et pour tout $u$, en utilisant 6b puis la **multilinéarité de $\Omega_p(u)$** (6a) : $$\Omega_p(e_1,\dots,y,\dots,e_p)(u)=\Omega_p(u)(e_1,\dots,y,\dots,e_p)$$ est linéaire en $y$.

Donc $y\mapsto\Omega_p(e_1,\dots,y,\dots,e_p)$ est linéaire à valeurs dans $\mathscr A_p(E,\mathbb R)$.

*Caractère alterné.*

Pour $\sigma\in\mathfrak S_p$ et tout $u$, par 6b et le caractère alterné de $\Omega_p(u)$ (6a) : $$\Omega_p(e\cdot\sigma)(u)=\Omega_p(u)(e\cdot\sigma)=\epsilon(\sigma)\Omega_p(u)(e)=\epsilon(\sigma)\Omega_p(e)(u),$$ d'où $\Omega_p(e\cdot\sigma)=\epsilon(\sigma)\Omega_p(e)$ dans $\mathscr A_p(E,\mathbb R)$.

Donc $\Omega_p\in\mathscr A_p(E,\mathscr A_p(E,\mathbb R))$. $\square$

**Commentaire.** « La difficulté reposait sur le fait que l'on regardait une application à valeurs dans l'espace des formes multilinéaires alternées » ; une fois « le problème clairement posé », tout vient de 6a et 6b.

## Question 7a

**Stratégie.** $\Omega_p$ étant $p$‑linéaire alternée (6c), on développe $\Omega_p(e')$ par multilinéarité ; seuls survivent les termes indexés par les permutations, ce qui fait apparaître $\det M$.

**On n'inverse jamais $M$.**

**Rédaction.**

Comme $e_i'=\sum_{j=1}^p M_{ij}e_j$, la $p$‑linéarité de $\Omega_p$ (6c) donne $$\Omega_p(e')=\sum_{j_1,\dots,j_p=1}^p M_{1j_1}\cdots M_{pj_p}\,\Omega_p(e_{j_1},\dots,e_{j_p}).$$
Par le caractère alterné, $\Omega_p(e_{j_1},\dots,e_{j_p})=0$ dès que deux indices coïncident.

Les termes non nuls correspondent à $(j_1,\dots,j_p)=(\sigma(1),\dots,\sigma(p))$, $\sigma\in\mathfrak S_p$, avec $\Omega_p(e_{\sigma(1)},\dots,e_{\sigma(p)})=\Omega_p(e\cdot\sigma)=\epsilon(\sigma)\Omega_p(e)$.

D'où
$$\Omega_p(e')=\Bigl(\sum_{\sigma\in\mathfrak S_p}\epsilon(\sigma)\prod_{i=1}^p M_{i\sigma(i)}\Bigr)\Omega_p(e)=\det(M)\,\Omega_p(e).\qquad\square$$

(Le fait qu'une forme alternée s'annule sur une famille à deux vecteurs égaux est rappelé en 7b.)

**Commentaire.** « Nécessitait de faire attention à l'énoncé » : $M$ est réelle mais **pas nécessairement inversible** et $E$ est quelconque ; le rapport invite donc à « répondre en utilisant le caractère alterné du produit mixte », ce que fait le développement ci‑dessus.

## Question 7b

**Stratégie.**

Si $e$ est liée, $\Omega_p(e)=0$ par le caractère alterné.

Si $e$ est libre, $\Omega_p(e)(e)=\det\mathrm{Gram}(e,e)>0$ car la matrice de Gram d'une famille libre est définie positive.

**Rédaction.**

Rappelons d'abord : si $f\in\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ a deux arguments égaux ($u_a=u_b$, $a\ne b$), alors avec la transposition $\tau=(a\,b)$ on a $u\cdot\tau=u$, donc $f(u)=f(u\cdot\tau)=\epsilon(\tau)f(u)=-f(u)$, d'où $f(u)=0$.

*Sens « $e$ liée $\Rightarrow\Omega_p(e)=0$ ».*

Si $e$ est liée, un vecteur s'écrit $e_i=\sum_{j\ne i}\lambda_j e_j$.

Par multilinéarité,
$$\Omega_p(e)=\sum_{j\ne i}\lambda_j\,\Omega_p(\dots,\underset{\text{position }i}{e_j},\dots)=0,$$
chaque terme ayant deux arguments égaux. Donc $\Omega_p(e)=0$.

*Sens « $e$ libre $\Rightarrow\Omega_p(e)\ne 0$ ».*

La matrice $G=\mathrm{Gram}(e,e)$ est symétrique, et pour $X=(x_1,\dots,x_p)\in\mathbb R^p$, $${}^{t}X\,G\,X=\sum_{i,j}x_ix_j\langle e_i,e_j\rangle=\Bigl\|\sum_i x_ie_i\Bigr\|^2\ge 0,$$ nul seulement si $\sum_i x_ie_i=0$, i.e. $X=0$ ($e$ libre).

Donc $G$ est définie positive, ses valeurs propres sont $>0$ et $\Omega_p(e)(e)=\det G>0$, en particulier $\Omega_p(e)\ne 0$.

Conclusion : $\Omega_p(e)\ne 0\iff e$ libre. $\square$

**Commentaire.** « Traitée dans une bonne moitié des copies. » Le rapport rappelle de « faire attention que $p$ n'était pas nécessairement égal à $n$ » (ici $d$) ; l'argument « Gram définie positive » est intrinsèque et évite tout recours à $\mathbb R^d$.

## Question 7c

**Stratégie.** Conséquence du calcul précédent.

**Rédaction.**

Si $e$ est libre, $\Omega_p(e)(e)=\det\mathrm{Gram}(e,e)>0$ (7b).

Si $e$ est liée, $\Omega_p(e)=0$, donc $\Omega_p(e)(e)=0$.

Dans les deux cas $\Omega_p(e)(e)\ge 0$. $\square$

**Commentaire.** « Régulièrement bien traitée. » On pose alors $\mathrm{vol}_p(e)=\sqrt{\Omega_p(e)(e)}=(\det\mathrm{Gram}(e,e))^{1/2}$.

## Question 8a

**Stratégie.** Gram d'une famille orthonormée $=I_p$.

**Rédaction.**

Si $b$ est orthonormée, $\mathrm{Gram}(b,b)_{i,j}=\langle b_i,b_j\rangle=\delta_{ij}$, donc $\mathrm{Gram}(b,b)=I_p$ et $\mathrm{vol}_p(b)=\sqrt{\det I_p}=1$. $\square$

**Commentaire.** « Très facile », rappelant 4b.

## Question 8b

**Stratégie.**

Décomposer $e_1=\mathrm{pr}(e_1)+w$ avec $w\in\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)$.

La linéarité de $\Omega_p$ et son caractère alterné permettent de remplacer $e_1$ par $\mathrm{pr}(e_1)$ ; la matrice de Gram devient diagonale par blocs.

**Rédaction.**

Notons $n=\mathrm{pr}(e_1)$ ; comme $\mathrm{pr}$ projette sur $\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)^{\perp}$, on a $e_1=n+w$ avec $n\perp\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)$ et $w=e_1-n\in\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)$.

Posons $\tilde e=(n,e_2,\dots,e_p)$.

*Étape 1 : $\Omega_p(e)=\Omega_p(\tilde e)$.*

Par linéarité de $\Omega_p$ en sa première variable (6c), $$\Omega_p(e)=\Omega_p(n,e_2,\dots,e_p)+\Omega_p(w,e_2,\dots,e_p).$$
La famille $(w,e_2,\dots,e_p)$ est liée ($w\in\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)$), donc $\Omega_p(w,e_2,\dots,e_p)=0$ (7b) : $\Omega_p(e)=\Omega_p(\tilde e)$.

*Étape 2 : $\Omega_p(e)(e)=\Omega_p(\tilde e)(\tilde e)$.* De l'étape 1, $\Omega_p(e)(e)=\Omega_p(\tilde e)(e)$.

Or $\Omega_p(\tilde e)\in\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ est alternée (6a) ; comme $e_1=n+w$ : $$\Omega_p(\tilde e)(e)=\Omega_p(\tilde e)(n,e_2,\dots,e_p)+\underbrace{\Omega_p(\tilde e)(w,e_2,\dots,e_p)}_{=0}=\Omega_p(\tilde e)(\tilde e).$$
Donc $\mathrm{vol}_p(e)^2=\Omega_p(\tilde e)(\tilde e)=\det\mathrm{Gram}(\tilde e,\tilde e)$.

*Étape 3 : calcul de Gram.*

Comme $n\perp e_j$ pour $j\ge 2$, $$\mathrm{Gram}(\tilde e,\tilde e)=\begin{pmatrix}\|n\|^2 & 0\\ 0 & \mathrm{Gram}(e_2^{p},e_2^{p})\end{pmatrix},\qquad \det\mathrm{Gram}(\tilde e,\tilde e)=\|n\|^2\det\mathrm{Gram}(e_2^{p},e_2^{p}).$$
Ainsi $\mathrm{vol}_p(e)^2=\|n\|^2\,\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^{p})^2$, d'où $$\mathrm{vol}_p(e)=\|\mathrm{pr}(e_1)\|\,\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^{p}).\qquad\square$$

**Commentaire.** « Plus difficile et peu souvent bien rédigée. » Le rapport décrit exactement cette méthode : décomposer le projeté, utiliser « la linéarité du produit mixte » et le fait qu'« une colonne combinaison linéaire des autres » annule le produit mixte.

## Question 8c

**Stratégie.**

Inégalité d'Hadamard par récurrence sur $p$, via 8b, avec $\|\mathrm{pr}(e_1)\|\le\|e_1\|$.

**Rédaction.** Récurrence sur $p$.

Pour $p=1$, $\mathrm{vol}_1(e)=\|e_1\|$ : égalité (vide).

Supposons le résultat au rang $p-1$ et soit $e=(e_1,\dots,e_p)$ libre.

Par 8b, avec $n=\mathrm{pr}(e_1)$, $$\mathrm{vol}_p(e)=\|n\|\,\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^{p}).$$
Comme $n$ est le projeté orthogonal de $e_1$, $\|e_1\|^2=\|n\|^2+\|e_1-n\|^2$, donc $\|n\|\le\|e_1\|$.

La sous‑famille $e_2^{p}=(e_2,\dots,e_p)$ est libre, donc par hypothèse de récurrence $\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^{p})\le\prod_{i=2}^p\|e_i\|$.

D'où
$$\mathrm{vol}_p(e)\le\|e_1\|\prod_{i=2}^p\|e_i\|=\prod_{i=1}^p\|e_i\|.$$

*Cas d'égalité.*

Toutes les quantités sont $>0$ ($e$ libre : $\|e_i\|>0$, $\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^{p})>0$, et $n\ne 0$ car $e_1\notin\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)$).

L'égalité dans le produit équivaut donc à l'égalité dans chaque facteur : $$\|n\|=\|e_1\|\ \ \text{(i.e. } e_1=n\perp\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_p)\text{)}\quad\text{et}\quad \mathrm{vol}_{p-1}(e_2^{p})=\prod_{i=2}^p\|e_i\|.$$
Par hypothèse de récurrence, la seconde équivaut à « $(e_2,\dots,e_p)$ deux à deux orthogonaux ».

Avec la première (qui dit $e_1\perp e_j$, $j\ge 2$), on obtient : **égalité $\iff e$ famille de vecteurs deux à deux orthogonaux**. $\square$

**Commentaire.** « Récurrence … nécessitant de préciser soigneusement les cas d'égalité » : il faut justifier que la stricte inégalité dans un facteur entraîne la stricte inégalité globale (positivité de tous les facteurs).

## Question 9a

**Stratégie.**

Exprimer $e$ dans une base orthonormée $b$ de $\mathrm{Vect}(e)$ et utiliser 7a pour comparer $\Omega_p(e)$ et $\Omega_p(b)$ ; comme $\mathrm{vol}_p(b)=1$, on obtient $\mathrm{vol}_p(e)=|\det P_b^e|$.

**Rédaction.**

Comme $e$ est libre, $\dim\mathrm{Vect}(e)=p$ et $b=(b_1,\dots,b_p)$ est une base orthonormée de cet espace.

Posons $P=P_b^e$, de sorte que $e_j=\sum_i P_{ij}b_i$, i.e. $e_k=\sum_l (^{t}P)_{kl}\,b_l$.

Par 7a (avec $M={}^{t}P$), $$\Omega_p(e)=\det({}^{t}P)\,\Omega_p(b)=\det(P)\,\Omega_p(b).$$
Alors, en utilisant 6b et 8a ($\Omega_p(b)(b)=\mathrm{vol}_p(b)^2=1$) : $$\Omega_p(e)(e)=\det(P)\,\Omega_p(b)(e)=\det(P)\,\Omega_p(e)(b)=\det(P)^2\,\Omega_p(b)(b)=\det(P)^2.$$
Donc $\mathrm{vol}_p(e)=\sqrt{\Omega_p(e)(e)}=|\det(P)|=|\det(P_b^e)|$. $\square$

**Commentaire.** « Traitée dans un nombre significatif de copies, et souvent bien » (le rapport la rapproche d'une question de la Partie II). Bien **mentionner 7a, 6b et 8a**.

## Question 9b

**Stratégie.** Cas non‑libre : $\Omega_p(e)=0$ (7b).

Cas libre : passer par les bases orthonormées de $\mathrm{Vect}(e),\mathrm{Vect}(e')$ fournies par la Partie I et borner $|\det\mathrm{Gram}(u,u')|\le 1$ (4c).

**Rédaction.**

*Cas où $e$ ou $e'$ est liée.*

Si, disons, $e$ est liée, alors $\Omega_p(e)=0$ (7b), donc $\Omega_p(e)(e')=0\le\mathrm{vol}_p(e)\mathrm{vol}_p(e')$ (membre de droite $\ge 0$).

*Cas $e,e'$ libres.*

Soient $V=\mathrm{Vect}(e)$, $V'=\mathrm{Vect}(e')$ (dimension $p$).

Appliquons la Partie I à $V,V'$ : on obtient des bases **orthonormées** $u$ de $V$, $u'$ de $V'$ avec $$\det\mathrm{Gram}(u,u')=\prod_k\cos\theta_k\in[0,1]\qquad(\text{4b–4c}).$$
Écrivons $e_j=\sum_i P_{ij}u_i$ et $e_j'=\sum_i Q_{ij}u_i'$ ($P=P_u^e$, $Q=P_{u'}^{e'}$).

Comme en 9a, $\Omega_p(e)=\det(P)\,\Omega_p(u)$ et $\Omega_p(e')=\det(Q)\,\Omega_p(u')$.

Alors, en utilisant 6b : $$\Omega_p(e)(e')=\det(P)\,\Omega_p(u)(e')=\det(P)\det(Q)\,\Omega_p(u')(u)=\det(P)\det(Q)\,\Omega_p(u)(u').$$
Or $\Omega_p(u)(u')=\det\mathrm{Gram}(u,u')$.

Par 4c, $|\det\mathrm{Gram}(u,u')|\le 1$, et par 9a, $|\det P|=\mathrm{vol}_p(e)$, $|\det Q|=\mathrm{vol}_p(e')$.

D'où
$$|\Omega_p(e)(e')|=|\det P|\,|\det Q|\,|\det\mathrm{Gram}(u,u')|\le \mathrm{vol}_p(e)\,\mathrm{vol}_p(e').\qquad\square$$

**Commentaire.** « Peu traitée … rédaction fréquemment insuffisante. » Le rapport décrit la stratégie : « cas non‑libre via 7b », puis « bases orthonormales … un argument similaire à 7a et la fin de la partie 1 ». C'est l'enchaînement 9a + 4c.

---

# Partie III

$e=(e_1,\dots,e_d)$ base orthonormée de $E$, $1\le p\le d$, $\mathcal I_p=\{\alpha=(i_1,\dots,i_p):1\le i_1<\cdots<i_p\le d\}$, $e_\alpha=(e_{i_1},\dots,e_{i_p})$, et $\langle\omega,\omega'\rangle=\sum_{\alpha\in\mathcal I_p}\omega(e_\alpha)\omega'(e_\alpha)$.

**Lemme préliminaire (utile en 10).**

Pour $\alpha,\beta\in\mathcal I_p$, $\Omega_p(e_\alpha)(e_\beta)=\delta_{\alpha\beta}$.

En effet $\mathrm{Gram}(e_\alpha,e_\beta)_{k,l}=\langle e_{i_k},e_{j_l}\rangle=\delta_{i_k,j_l}$ ($e$ orthonormée).

Si $\alpha=\beta$, c'est $I_p$, déterminant $1$.

Si $\alpha\ne\beta$, il existe $i_k\notin\{j_1,\dots,j_p\}$ : la $k$‑ème ligne est nulle, déterminant $0$.

## Question 10a

**Stratégie.**

Une forme $p$‑linéaire alternée est entièrement déterminée par ses valeurs sur les $(e_\beta)_{\beta\in\mathcal I_p}$ ; on vérifie que $\sum_\alpha\omega(e_\alpha)\Omega_p(e_\alpha)$ coïncide avec $\omega$ sur tous les $e_\beta$, grâce au lemme.

**Rédaction.** *Lemme de détermination.*

Soit $\eta\in\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ telle que $\eta(e_\beta)=0$ pour tout $\beta\in\mathcal I_p$.

Pour $u=(u_1,\dots,u_p)$, écrivons $u_l=\sum_{j=1}^d u_{j,l}e_j$.

La $p$‑linéarité donne $$\eta(u)=\sum_{j_1,\dots,j_p=1}^d \Bigl(\prod_l u_{j_l,l}\Bigr)\eta(e_{j_1},\dots,e_{j_p}).$$
Par le caractère alterné, $\eta(e_{j_1},\dots,e_{j_p})=0$ si deux indices coïncident ; sinon, soit $\alpha\in\mathcal I_p$ le réarrangement croissant de $\{j_1,\dots,j_p\}$ et $\sigma\in\mathfrak S_p$ l'unique permutation telle que $(e_{j_1},\dots,e_{j_p})=e_\alpha\cdot\sigma$ : alors $\eta(e_{j_1},\dots,e_{j_p})=\epsilon(\sigma)\eta(e_\alpha)=0$.

Donc $\eta(u)=0$ : **$\eta=0$**.

Ainsi une forme de $\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ est déterminée par ses valeurs sur $(e_\beta)_{\beta\in\mathcal I_p}$.

*Conclusion.* Posons $\tilde\omega=\sum_{\alpha\in\mathcal I_p}\omega(e_\alpha)\Omega_p(e_\alpha)\in\mathscr A_p(E,\mathbb R)$.

Pour tout $\beta\in\mathcal I_p$, par le lemme préliminaire, $$\tilde\omega(e_\beta)=\sum_\alpha\omega(e_\alpha)\Omega_p(e_\alpha)(e_\beta)=\sum_\alpha\omega(e_\alpha)\delta_{\alpha\beta}=\omega(e_\beta).$$
Donc $\omega-\tilde\omega$ s'annule sur tous les $e_\beta$, d'où $\omega=\tilde\omega=\sum_{\alpha\in\mathcal I_p}\omega(e_\alpha)\Omega_p(e_\alpha)$. $\square$

**Commentaire.** « Peu traitée » ; elle exigeait « une justification combinatoire précise utilisant le caractère alterné pour vérifier que l'ensemble d'indexation était bien $\mathcal I_p$ » — c'est le réarrangement croissant et le signe $\epsilon(\sigma)$ ci‑dessus.

## Question 10b

**Stratégie.** La symétrie, la bilinéarité et la positivité sont immédiates ; la définie‑positivité vient de 10a. L'orthonormalité de $(\Omega_p(e_\alpha))$ vient du lemme. La dimension est $|\mathcal I_p|=\binom dp$.

**Rédaction.**

L'application $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est **symétrique** et **bilinéaire** (somme de produits d'évaluations, linéaires en $\omega$).

**Positivité** : $\langle\omega,\omega\rangle=\sum_\alpha\omega(e_\alpha)^2\ge 0$.

**Définie** : si $\langle\omega,\omega\rangle=0$, alors $\omega(e_\alpha)=0$ pour tout $\alpha$, donc $\omega=\sum_\alpha\omega(e_\alpha)\Omega_p(e_\alpha)=0$ (10a).

C'est donc un produit scalaire.

Pour $\alpha,\beta\in\mathcal I_p$, par le lemme préliminaire, $$\langle\Omega_p(e_\alpha),\Omega_p(e_\beta)\rangle=\sum_{\gamma\in\mathcal I_p}\Omega_p(e_\alpha)(e_\gamma)\Omega_p(e_\beta)(e_\gamma)=\sum_\gamma\delta_{\alpha\gamma}\delta_{\beta\gamma}=\delta_{\alpha\beta}.$$
La famille $(\Omega_p(e_\alpha))_{\alpha\in\mathcal I_p}$ est donc orthonormée, en particulier libre, et génératrice par 10a : c'est une **base orthonormée**.

Enfin $|\mathcal I_p|=\binom dp$ (nombre de parties à $p$ éléments de $\{1,\dots,d\}$), donc $$\dim\mathscr A_p(E,\mathbb R)=\binom dp.\qquad\square$$

**Commentaire.** « Souvent traitée sans difficulté majeure » ; le point subtil noté par le rapport (une colonne de $\mathrm{Gram}(e_\alpha,e_\beta)$ nulle si $\alpha\ne\beta$) est exactement le lemme préliminaire.

Attention : « le cardinal de $\mathcal I_p$ n'a pas toujours été calculé correctement » — c'est $\binom dp$.

## Question 10c

**Stratégie.**

Pour $p=d-1$, un $\alpha\in\mathcal I_{d-1}$ équivaut à la donnée de l'unique indice manquant $m\in\{1,\dots,d\}$.

On envoie la base orthonormée $(\Omega_{d-1}(e_\alpha))$ sur la base orthonormée $(e_m)$.

**Rédaction.**

Pour $m\in\{1,\dots,d\}$, soit $\alpha(m)\in\mathcal I_{d-1}$ le $(d-1)$‑uplet croissant de $\{1,\dots,d\}\setminus\{m\}$ : $m\mapsto\alpha(m)$ est une bijection de $\{1,\dots,d\}$ sur $\mathcal I_{d-1}$.

D'après 10b, $\bigl(\Omega_{d-1}(e_{\alpha(m)})\bigr)_{1\le m\le d}$ est une base orthonormée de $\mathscr A_{d-1}(E,\mathbb R)$ (qui est de dimension $\binom{d}{d-1}=d$), et $(e_m)_{1\le m\le d}$ est une base orthonormée de $E$.

Définissons l'application linéaire $$\phi:\mathscr A_{d-1}(E,\mathbb R)\to E,\qquad \phi\Bigl(\sum_{m=1}^d \lambda_m\,\Omega_{d-1}(e_{\alpha(m)})\Bigr)=\sum_{m=1}^d \lambda_m\,e_m.$$ $\phi$ envoie une base orthonormée sur une base orthonormée : pour $\omega=\sum_m\lambda_m\Omega_{d-1}(e_{\alpha(m)})$, $\omega'=\sum_m\mu_m\Omega_{d-1}(e_{\alpha(m)})$, $$\langle\phi(\omega),\phi(\omega')\rangle_E=\sum_m\lambda_m\mu_m=\langle\omega,\omega'\rangle.$$
C'est donc une isométrie (bijective) entre $\mathscr A_{d-1}(E,\mathbb R)$ et $E$. $\square$

**Commentaire.** « Très peu traitée. » Le rapport indique précisément la bijection (l'indice manquant) et conclut « soit par un calcul, soit par un résultat de cours » : une application linéaire envoyant une b.o.n. sur une b.o.n. est une isométrie.

## Question 11

**Stratégie.**

Appliquer 10a à $\omega=\Omega_p(u)$, évaluer en $v$, et utiliser 6b.

**Rédaction.**

Par 10a appliquée à $\omega=\Omega_p(u)\in\mathscr A_p(E,\mathbb R)$, $$\Omega_p(u)=\sum_{\alpha\in\mathcal I_p}\Omega_p(u)(e_\alpha)\,\Omega_p(e_\alpha).$$
Évaluons en $v$ et utilisons 6b ($\Omega_p(e_\alpha)(v)=\Omega_p(v)(e_\alpha)$) : $$\Omega_p(u)(v)=\sum_{\alpha\in\mathcal I_p}\Omega_p(u)(e_\alpha)\,\Omega_p(v)(e_\alpha)=\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle.\qquad\square$$

**Commentaire.** « Trop souvent mal rédigée, sans détails ni référence aux questions précédentes » : il faut **citer 10a et 6b**.

## Question 12

**Stratégie.**

Par 11 (valable pour toute b.o.n. de $E$), $\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle=\Omega_p(u)(v)=\det\mathrm{Gram}(u,v)$ ne dépend pas de la base.

On étend à tout couple $(\omega,\omega')$ par la décomposition 10a.

**Rédaction.**

Soient $e$ et $f$ deux bases orthonormées de $E$, et $\langle\cdot,\cdot\rangle_e$, $\langle\cdot,\cdot\rangle_f$ les produits scalaires correspondants définis par (1).

La démonstration de 11 ne dépend pas de la base : pour tous $u,v\in E^p$, $$\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle_e=\Omega_p(u)(v)=\det\mathrm{Gram}(u,v)=\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle_f. \tag{$\dagger$}$$
La quantité $\det\mathrm{Gram}(u,v)$ ne fait intervenir que les produits scalaires $\langle u_i,v_j\rangle$, donc **uniquement la structure euclidienne de $E$**, pas la base.

Soient maintenant $\omega,\omega'\in\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ quelconques.

Par 10a (relativement à $e$), $$\omega=\sum_{\alpha}\omega(e_\alpha)\Omega_p(e_\alpha),\qquad \omega'=\sum_{\beta}\omega'(e_\beta)\Omega_p(e_\beta).$$
Par bilinéarité de chacun des deux produits scalaires et $(\dagger)$ appliquée aux couples $(e_\alpha,e_\beta)$,

$$\langle\omega,\omega'\rangle_e=\sum_{\alpha,\beta}\omega(e_\alpha)\omega'(e_\beta)\langle\Omega_p(e_\alpha),\Omega_p(e_\beta)\rangle_e
=\sum_{\alpha,\beta}\omega(e_\alpha)\omega'(e_\beta)\langle\Omega_p(e_\alpha),\Omega_p(e_\beta)\rangle_f=\langle\omega,\omega'\rangle_f.$$

Donc le produit scalaire ne dépend que du produit scalaire de $E$, non de la base $e$. $\square$

**Commentaire.** « Traitée majoritairement dans les meilleures copies. » Le rapport propose exactement cette idée : « réécrire $\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle$ en termes de $\Omega(u)(v)$ », terme intrinsèque.

---

# Partie IV

$p\in\{1,\dots,d\}$.

Pour deux bases $e,e'$ d'un sous‑espace $V$ (dim $p$), $e\sim e'\iff\det_e(e')>0$ ; les deux classes sont les *orientations* de $V$. $\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E)$ est l'ensemble des sous‑espaces orientés $(V,C)$ de dimension $p$.

**Remarque préliminaire** (utilisée plusieurs fois).

Si $e'_i=\sum_j M_{ij}e_j$ ($e,e'$ bases d'un même $V$, $M$ inversible), alors la matrice de coordonnées de $e'$ dans la base $e$ est $^{t}M$, donc $\det_e(e')=\det M$.

Par 7a, $\Omega_p(e')=\det(M)\,\Omega_p(e)$, et (comme en 9a) $\mathrm{vol}_p(e')=|\det M|\,\mathrm{vol}_p(e)$.

## Question 13a

**Stratégie.** Sens direct : si $\mathrm{Vect}(e)=\mathrm{Vect}(e')$, la remarque préliminaire donne la colinéarité.

Sens réciproque (délicat) : si $\mathrm{Vect}(e)\ne\mathrm{Vect}(e')$, on construit $u$ avec $\Omega_p(e)(u)=0$ mais $\Omega_p(e')(u)\ne 0$, ce qui contredit la colinéarité.

**Rédaction.** $e,e'$ sont libres, donc $\Omega_p(e),\Omega_p(e')\ne 0$ (7b).

Notons $V=\mathrm{Vect}(e)$, $V'=\mathrm{Vect}(e')$ (dimension $p$).

*Sens $\Leftarrow$.*

Si $V=V'$, $e'$ et $e$ sont deux bases de $V$ : $e'_i=\sum_j M_{ij}e_j$ avec $M$ inversible, donc $\Omega_p(e')=\det(M)\Omega_p(e)$ (7a) : $\Omega_p(e)$ et $\Omega_p(e')$ sont colinéaires.

*Sens $\Rightarrow$.*

Supposons $\Omega_p(e),\Omega_p(e')$ colinéaires : étant non nuls, $\Omega_p(e')=\lambda\,\Omega_p(e)$ avec $\lambda\ne 0$.

Supposons par l'absurde $V\ne V'$ ; comme $\dim V=\dim V'$, ni l'un ne contient l'autre, donc $V'\not\subseteq V$, ce qui équivaut à $V^{\perp}\not\subseteq V'^{\perp}$.

Choisissons $$u_1\in V^{\perp}\setminus V'^{\perp},\qquad\text{ainsi } \pi_V(u_1)=0,\ \pi_{V'}(u_1)\ne 0,$$ où $\pi_V,\pi_{V'}$ désignent les projections orthogonales sur $V,V'$.

Complétons $\pi_{V'}(u_1)$ en une base $(\pi_{V'}(u_1),u_2,\dots,u_p)$ de $V'$ avec $u_2,\dots,u_p\in V'$, et posons $u=(u_1,u_2,\dots,u_p)$.

- $\Omega_p(e)(u)=\det\mathrm{Gram}(e,u)$ : la première colonne est $(\langle e_i,u_1\rangle)_i=(\langle e_i,\pi_V(u_1)\rangle)_i=0$ (car $e_i\in V$).

Donc $\Omega_p(e)(u)=0$.

- $\Omega_p(e')(u)$ : comme $e'_i\in V'$, $\langle e'_i,u_j\rangle=\langle e'_i,\pi_{V'}(u_j)\rangle$, donc $$\Omega_p(e')(u)=\Omega_p(e')\bigl(\pi_{V'}(u_1),u_2,\dots,u_p\bigr).$$
La famille $w=(\pi_{V'}(u_1),u_2,\dots,u_p)$ est une base de $V'$ : $w_j=\sum_k N_{kj}e'_k$ avec $N$ inversible, donc $\mathrm{Gram}(e',w)=\mathrm{Gram}(e',e')\,N$ et $\det\mathrm{Gram}(e',w)=\det\mathrm{Gram}(e',e')\det N\ne 0$ (Gram d'une famille libre inversible, 7b).

Ainsi $\Omega_p(e')(u)\ne 0$.

Or $\Omega_p(e')=\lambda\Omega_p(e)$ donnerait $\Omega_p(e')(u)=\lambda\cdot 0=0$ : contradiction.

Donc $V=V'$. $\square$

**Commentaire.** « Très peu traitée dans son intégralité, essentiellement dans les meilleures copies. » Le rapport confirme : un sens est « une conséquence facile de 7a », l'autre « bien plus délicat » et mobilise plusieurs résultats.

La construction de $u$ via $V^{\perp}\setminus V'^{\perp}$ en est le cœur.

## Question 13b

**Stratégie.**

Poser $\Psi(V,C)=\Omega_p(e)/\mathrm{vol}_p(e)$ pour $e\in C$ ; vérifier l'indépendance du choix de $e\in C$ via la remarque préliminaire (le signe de $\det M$ vaut $+1$).

Unicité immédiate car $\mathrm{vol}_p(e)\ne 0$.

**Rédaction.** *Unicité.*

Si $\Psi_1,\Psi_2$ conviennent, alors pour $e\in C$ (qui existe, par exemple une base orthonormée bien orientée de $V$), $\Omega_p(e)=\mathrm{vol}_p(e)\Psi_1=\mathrm{vol}_p(e)\Psi_2$ ; comme $\mathrm{vol}_p(e)>0$ (famille libre), $\Psi_1=\Psi_2$.

*Existence.*

Fixons $e\in C$ et posons $\Psi(V,C)=\dfrac{1}{\mathrm{vol}_p(e)}\,\Omega_p(e)$.

Pour $e'\in C$ quelconque, $e'_i=\sum_j M_{ij}e_j$ avec $M$ inversible et $\det_e(e')=\det M>0$ (même orientation).

Par la remarque préliminaire, $$\frac{\Omega_p(e')}{\mathrm{vol}_p(e')}=\frac{\det(M)\,\Omega_p(e)}{|\det M|\,\mathrm{vol}_p(e)}=\operatorname{sgn}(\det M)\,\frac{\Omega_p(e)}{\mathrm{vol}_p(e)}=\frac{\Omega_p(e)}{\mathrm{vol}_p(e)}=\Psi(V,C).$$
Donc $\Omega_p(e')=\mathrm{vol}_p(e')\,\Psi(V,C)$ pour tout $e'\in C$ : $\Psi(V,C)$ convient et est bien défini. $\square$

**Commentaire.** « Peu traitée. » Le rapport indique l'unicité « via $\mathrm{vol}_p(e)=1$ pour une base orthonormale » et l'existence : « pour une telle famille $e$ dans $C$, $\Omega_p(e)$ convenait ».

La clé de l'existence est **le signe $+$** de $\det M$ pour $e'\in C$.

## Question 14a

**Stratégie.**

Norme $1$ : prendre $e$ b.o.n. de $V$ dans $C$, alors $\Psi(V,C)=\Omega_p(e)$ et $\|\Omega_p(e)\|^2=\Omega_p(e)(e)=1$ (par 11 et 8a).

Injectivité : $\Psi(V,C)=\Psi(V',C')$ donne $\Omega_p(e),\Omega_p(e')$ colinéaires, d'où $V=V'$ (13a) puis $C=C'$ (signe).

**Rédaction.** *Image dans la sphère unité.*

Soit $(V,C)\in\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E)$ et $e$ une base **orthonormée** de $V$ appartenant à $C$ (il en existe : prendre une b.o.n. de $V$, et en changer un vecteur en son opposé si l'orientation n'est pas la bonne).

Alors $\mathrm{vol}_p(e)=1$ (8a), donc $\Psi(V,C)=\Omega_p(e)$, et par 11 puis 8a, $$\|\Psi(V,C)\|^2=\langle\Omega_p(e),\Omega_p(e)\rangle=\Omega_p(e)(e)=\mathrm{vol}_p(e)^2=1.$$
Donc $\Psi(V,C)$ est sur la sphère de rayon $1$.

*Injectivité.*

Supposons $\Psi(V,C)=\Psi(V',C')=:\omega$ ($\ne 0$, vecteur unitaire).

Prenons des bases $e\in C$ de $V$, $e'\in C'$ de $V'$.

Par 13b, $\Omega_p(e)=\mathrm{vol}_p(e)\,\omega$ et $\Omega_p(e')=\mathrm{vol}_p(e')\,\omega$ : ces deux vecteurs sont des multiples non nuls de $\omega$, donc colinéaires.

Par 13a, $\mathrm{Vect}(e)=\mathrm{Vect}(e')$, i.e. $V=V'$.

Reste à voir $C=C'$.

Comme $V=V'$, $e'_i=\sum_j M_{ij}e_j$ avec $M$ inversible.

La remarque préliminaire donne $\dfrac{\Omega_p(e')}{\mathrm{vol}_p(e')}=\operatorname{sgn}(\det M)\dfrac{\Omega_p(e)}{\mathrm{vol}_p(e)}$.

Or les deux quotients valent $\omega\ne 0$ (13b), donc $\operatorname{sgn}(\det M)=1$, i.e. $\det_e(e')=\det M>0$, donc $e\sim e'$ : $e'\in C$.

Comme $e'\in C'$ et qu'une base appartient à une unique orientation, $C=C'$.

Finalement $(V,C)=(V',C')$ : $\Psi$ est injective. $\square$

**Commentaire.** « Très rarement traitée. » Le rapport confirme : « la condition sur la norme découlait des calculs de $\det(\mathrm{Gram}(e,e))$ » et « l'injectivité était une conséquence de 13a et d'un argument de signe garantissant que les orientations coïncidaient ».

## Question 14b

**Stratégie.**

Dans $\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ (dimension finie), montrer que $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ est fermé et borné.

Borné car inclus dans la sphère unité (14a).

Fermé par critère séquentiel, en extrayant des bases orthonormées convergentes (compacité de la sphère de $E$) et en utilisant la continuité de $\Omega_p$.

**Rédaction.** L'espace $\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ est de dimension finie. Une partie y est compacte ssi fermée bornée. L'image $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ est **bornée** (incluse dans la sphère unité, 14a) ; montrons qu'elle est **fermée**.

*Continuité de $\Omega_p$.*

L'application $e\mapsto\Omega_p(e)$ de $E^p$ dans $\mathscr A_p(E,\mathbb R)$ est continue : ses coordonnées dans la base $(\Omega_p(e_\alpha))$ sont les $\Omega_p(e)(e_\alpha)=\det\mathrm{Gram}(e,e_\alpha)$, fonctions polynomiales des coordonnées des $e_i$, donc continues.

*Critère séquentiel.*

Soit $(\omega_n)$ une suite de $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ convergeant vers $\omega\in\mathscr A_p(E,\mathbb R)$.

Écrivons $\omega_n=\Psi(V_n,C_n)$ et choisissons une base **orthonormée** $e^{(n)}=(e_1^{(n)},\dots,e_p^{(n)})$ de $V_n$ dans $C_n$, de sorte que $\omega_n=\Omega_p(e^{(n)})$ (14a).

La suite $(e^{(n)})$ vit dans $S_E^{\,p}$ ($S_E$ sphère unité de $E$), compact (produit de compacts, $E$ de dimension finie).

On extrait une sous‑suite $(e^{(\varphi(n))})$ convergente : $e_i^{(\varphi(n))}\to e_i\in S_E$ pour chaque $i$.

Par continuité du produit scalaire, $\langle e_i,e_j\rangle=\lim_n\langle e_i^{(\varphi(n))},e_j^{(\varphi(n))}\rangle=\delta_{ij}$ : la famille $e=(e_1,\dots,e_p)$ est **orthonormée**, donc libre.

Posons $V=\mathrm{Vect}(e)$ (dimension $p$) et $C$ l'orientation de $V$ contenant $e$ ; alors $(V,C)\in\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E)$ et $\Psi(V,C)=\Omega_p(e)$ (14a).

Par continuité de $\Omega_p$, $$\omega_{\varphi(n)}=\Omega_p(e^{(\varphi(n))})\xrightarrow[n\to\infty]{}\Omega_p(e)=\Psi(V,C).$$
Mais $\omega_{\varphi(n)}\to\omega$, donc par unicité de la limite $\omega=\Psi(V,C)\in\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$.

L'image est fermée.

Fermée et bornée en dimension finie : $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ est compacte. $\square$

**Commentaire.** « Difficile, très rarement traitée. » Le rapport décrit les deux voies possibles, dont celle suivie ici : « critère séquentiel … extraction … compacité de la sphère unité de $E$ », le caractère borné venant de 14a.

## Question 15

**Stratégie.**

Si $p=d$, l'image est une paire $\{\pm\omega_0\}$ ($\dim\mathscr A_d=1$) : non connexe par arcs.

Si $p\le d-1$, on relie $\Psi(V,C)$ à $\Psi(V',C')$ par un chemin de repères orthonormés : (1) on retourne une orientation en faisant tourner un vecteur dans la dimension supplémentaire ($V^{\perp}\ne\{0\}$) ; (2) on relie $V$ à $V'$ par les rotations dans les plans orthogonaux $W_k$ de la Question 3d, l'inégalité $\langle u_k,u_k'\rangle\ge 0$ (4a) garantissant l'existence de la rotation.

**Rédaction.**

*Sens « connexe par arcs $\Rightarrow p\le d-1$ », i.e. « $p=d\Rightarrow$ non connexe ».*

Si $p=d$, le seul sous‑espace de dimension $d$ est $E$, qui possède deux orientations $C^+,C^-$.

L'espace $\mathscr A_d(E,\mathbb R)$ est de dimension $\binom dd=1$ ; sa sphère unité est $\{\pm\omega_0\}$.

Soit $e$ une b.o.n. de $E$ dans $C^+$ et $e^-=(-e_1,e_2,\dots,e_d)\in C^-$ ($\det_e(e^-)=-1<0$).

Alors $\Psi(E,C^+)=\Omega_d(e)=:\omega_0$ et, par 7a, $\Psi(E,C^-)=\Omega_d(e^-)=-\Omega_d(e)=-\omega_0$.

Ainsi $$\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(d,E))=\{\omega_0,-\omega_0\},\qquad \omega_0\ne 0.$$
Si cette paire était connexe par arcs, il existerait $\gamma:[0,1]\to\{\omega_0,-\omega_0\}$ continue avec $\gamma(0)=\omega_0,\gamma(1)=-\omega_0$ ; alors $t\mapsto \langle\gamma(t),\omega_0\rangle/\|\omega_0\|^2\in\{1,-1\}$ serait continue sur le connexe $[0,1]$ et prendrait les valeurs $1$ et $-1$, contredisant le théorème des valeurs intermédiaires.

Donc l'image n'est pas connexe par arcs.

*Sens « $p\le d-1\Rightarrow$ connexe par arcs ».*

Remarquons d'abord : pour tout repère orthonormé $f=(f_1,\dots,f_p)$, $\mathrm{Vect}(f)$ est de dimension $p$ et $\Omega_p(f)=\Psi(\mathrm{Vect}(f),[f])\in\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ (14a).

Tout chemin continu $t\mapsto f(t)$ de repères orthonormés fournit donc, via $t\mapsto\Omega_p(f(t))$ (continue, 14b), un arc **dans l'image**.

**(A) Retournement d'orientation.**

Soit $V$ de dimension $p$ et $f=(f_1,\dots,f_p)$ une b.o.n. de $V$.

Comme $p\le d-1$, $V^{\perp}\ne\{0\}$ : choisissons $n\in V^{\perp}$ unitaire.

Pour $t\in[0,1]$, $$f_1(t)=\cos(\pi t)f_1+\sin(\pi t)\,n,\qquad f(t)=(f_1(t),f_2,\dots,f_p).$$ $f_1(t)$ est unitaire, et $\langle f_1(t),f_j\rangle=\cos(\pi t)\langle f_1,f_j\rangle+\sin(\pi t)\langle n,f_j\rangle=0$ pour $j\ge 2$ : $f(t)$ est orthonormé.

Comme $f_1(0)=f_1$, $f_1(1)=-f_1$, l'arc $t\mapsto\Omega_p(f(t))$ relie $\Psi(V,[f])$ à $\Psi(V,[(-f_1,f_2,\dots,f_p)])$, c'est‑à‑dire les **deux orientations** de $V$.

[Figure : rotation de $f_1$ vers $-f_1$ dans le plan $\mathrm{Vect}(f_1,n)$, $n\in V^{\perp}$ ; les $f_2,\dots,f_p$ restent fixes.]

**(B) Liaison de deux sous‑espaces.** Soient $(V,C),(V',C')$.

Appliquons la Partie I à $V,V'$ : on obtient des b.o.n. $u=(u_k)$ de $V$, $u'=(u_k')$ de $V'$ telles que les $W_k=\mathrm{Vect}(u_k,u_k')$ soient **deux à deux orthogonaux** (3d) et $\langle u_k,u_k'\rangle=\cos\theta_k\ge 0$, $\theta_k\in[0,\pi/2]$ (4a).

Pour chaque $k$ :

- si $\theta_k=0$ ($u_k=u_k'$), poser $u_k(t)=u_k$ ;

- si $\theta_k>0$, poser $w_k=\dfrac{u_k'-\cos\theta_k\,u_k}{\sin\theta_k}$ (vecteur unitaire de $W_k$, orthogonal à $u_k$) et $$u_k(t)=\cos(t\theta_k)\,u_k+\sin(t\theta_k)\,w_k\in W_k\quad(t\in[0,1]),$$ qui vérifie $u_k(0)=u_k$, $u_k(1)=\cos\theta_k\,u_k+\sin\theta_k\,w_k=u_k'$.

Chaque $u_k(t)$ est unitaire dans $W_k$ ; comme les $W_k$ sont deux à deux orthogonaux, $f(t)=(u_1(t),\dots,u_p(t))$ est un repère **orthonormé** pour tout $t$, dépendant continûment de $t$, avec $f(0)=u$, $f(1)=u'$.

L'arc $t\mapsto\Omega_p(f(t))$ relie donc $\Psi(V,[u])$ à $\Psi(V',[u'])$.
*(C'est ici que $\langle u_k,u_k'\rangle\ge 0$ est crucial : il interdit $u_k'=-u_k$, cas qui empêcherait toute rotation courte au sein de $W_k$.)*

**Conclusion.**

Concaténons trois arcs de l'image : $$\Psi(V,C)\xrightarrow{(A)\ \text{si besoin}}\Psi(V,[u])\xrightarrow{(B)}\Psi(V',[u'])\xrightarrow{(A)\ \text{si besoin}}\Psi(V',C'),$$ où l'on applique (A) pour ajuster les orientations de $V$ (de $C$ vers $[u]$) et de $V'$ (de $[u']$ vers $C'$) lorsqu'elles diffèrent.

On obtient un arc continu dans $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ reliant $\Psi(V,C)$ à $\Psi(V',C')$.

L'image est donc connexe par arcs.

Les deux sens donnent l'équivalence : **$\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ est connexe par arcs $\iff p\le d-1$.** $\square$

**Commentaire.** « Très peu traitée et difficile. » Le rapport confirme que « $p=d$ implique la non‑connexité par arcs était la partie la plus accessible ».

Pour le sens réciproque, l'indication de l'énoncé renvoie à **3d** : ce sont les plans $W_k$ orthogonaux (rotations indépendantes simultanées) et la positivité $\langle u_k,u_k'\rangle\ge 0$ de la Partie I qui rendent les rotations possibles ; le retournement d'orientation (A), lui, ne fonctionne qu'avec la dimension supplémentaire $p\le d-1$, ce qui explique la place exacte du seuil.

---

*Fin du corrigé.*