Maths A

# Corrigé — X-ENS Maths A, filière MP, 2022
## Grassmanniennes orientées, produit de Gram et plongement de Plücker

**Fil directeur.**

Le sujet construit pas à pas l'espace des sous-espaces orientés de dimension $p$ d'un espace euclidien $E$ (grassmannienne orientée $\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E)$), en les plongeant dans la sphère unité de $\mathscr{A}_p(E,\mathbb{R})$ via le plongement de Plücker $\Psi$.

La Partie I fournit les angles principaux entre sous-espaces et la structure orthogonale associée.

La Partie II construit $\Omega_p$ et le $p$-volume.

La Partie III dote $\mathscr{A}_p(E,\mathbb{R})$ d'un produit scalaire intrinsèque. La Partie IV établit les propriétés topologiques (compacité, connexité par arcs) de l'image de $\Psi$.

**Carte stratégique.** Traiter I en entier (questions classiques, bien notées), puis II jusqu'à 9a, puis III.10–11, enfin IV dans l'ordre. Les questions discriminantes sont 3b, 8b, 9b, 10a, 13a, 15. Les questions 4b, 8a, 5a–5b sont des points faciles à ne pas rater.

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## — Partie I —

### Question 1(a)

**Stratégie.** La borne supérieure d'une fonction continue sur un compact est atteinte (théorème des bornes atteintes).

La sphère unité de $V$ (de dimension finie $p$) est compacte, de même pour $V'$, donc leur produit l'est.

Il faut distinguer existence du supremum et atteinte du maximum — c'est précisément l'écueil signalé par le rapport.

**Rédaction.**

Posons $S_V = \{a \in V : \|a\|=1\}$ et $S_{V'} = \{a' \in V' : \|a'\|=1\}$.

Ces sphères unités sont fermées et bornées dans des espaces de dimension finie $p$, donc compactes ; leur produit $S_V \times S_{V'}$ est compact.

L'application $(a,a') \mapsto \langle a,a'\rangle$ est continue (le produit scalaire est bilinéaire continu en dimension finie).

D'après le **théorème des bornes atteintes**, cette application atteint son maximum sur $S_V \times S_{V'}$ : il existe $(u_1,u'_1) \in S_V \times S_{V'}$ tel que $$\langle u_1,u'_1\rangle = \sup\bigl\{\langle a,a'\rangle \mid (a,a') \in V\times V',\;\|a\|=\|a'\|=1\bigr\}. \quad \square$$

**Commentaire du correcteur.** Question abordée dans toutes les copies. Le rapport signale que certaines « se sont malheureusement contentées de justifier l'existence d'une borne supérieure sans justifier qu'elle était atteinte » : la compacité est ici l'argument essentiel. Quelques lignes suffisent — mais elles sont indispensables.

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### Question 1(b)

**Stratégie.**

On construit $(u_k,u'_k)$ par récurrence sur $k$, en appliquant à chaque étape le résultat de 1(a) aux sous-espaces $V_k$ et $V'_k$ orthogonaux aux vecteurs déjà construits.

La difficulté est de préciser sur quels sous-espaces on opère.

**Rédaction.** On construit les familles par récurrence sur $k \in \llbracket 1,p \rrbracket$.

**Initialisation $k=1$ :** par 1(a), il existe $(u_1,u'_1) \in S_V \times S_{V'}$ réalisant le supremum de 1(a)(i).

On pose $V_1 = V$, $V'_1 = V'$.

**Hérédité :** supposons $u_1,\ldots,u_{k-1}$ et $u'_1,\ldots,u'_{k-1}$ construits et formant des familles orthonormées dans $V$ et $V'$ respectivement.

On définit les sous-espaces $$V_k = \{a \in V : \langle a,u_l\rangle = 0 \;\forall l \in \llbracket 1,k-1\rrbracket\}, \quad V'_k = \{a' \in V' : \langle a',u'_l\rangle = 0 \;\forall l \in \llbracket 1,k-1\rrbracket\}.$$
Puisque $u_1,\ldots,u_{k-1}$ est une famille libre dans $V$, on a $\dim V_k = p-(k-1) \geq 1$ (de même pour $V'_k$).

Par 1(a) appliqué à $V_k$ et $V'_k$, il existe $(u_k,u'_k) \in S_{V_k}\times S_{V'_k}$ réalisant le supremum de 1(b)(ii).

Par construction $u_k \perp u_l$ et $u'_k \perp u'_l$ pour tout $l < k$.

À l'issue de la récurrence, $(u_1,\ldots,u_p)$ est une famille orthonormée de $p$ vecteurs de $V$, et de même pour $(u'_1,\ldots,u'_p)$ dans $V'$.

Les conditions (i) et (ii) sont satisfaites par construction. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Abordée dans la majorité des copies.

Le rapport note des rédactions « trop rapides » : il faut préciser explicitement que $V_k$ et $V'_k$ ont bien dimension $\geq 1$, et que la construction de 1(a) s'applique à ces sous-espaces.

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### Question 2

**Stratégie.**

Le rapport indique la méthode attendue : récurrence sur $k$, l'égalité dans Cauchy-Schwarz, et un argument montrant que la borne supérieure vaut 1 (car $V \cap V'$ fournit un vecteur atteignant $\langle x,x\rangle = 1$).

**Rédaction.** On pose $r = \dim(V\cap V') \geq 1$.

On montre par récurrence sur $k \in \llbracket 1,r\rrbracket$ que $u_k = u'_k$.

**$k=1$ :** Puisque $\dim(V\cap V') \geq 1$, il existe $x \in V\cap V'$ avec $\|x\|=1$.

Alors $$\langle u_1,u'_1\rangle = \sup\{\langle a,a'\rangle : a\in V,\,a'\in V',\,\|a\|=\|a'\|=1\} \geq \langle x,x\rangle = 1.$$
Par l'**inégalité de Cauchy-Schwarz**, $\langle u_1,u'_1\rangle \leq \|u_1\|\|u'_1\| = 1$, donc $\langle u_1,u'_1\rangle = 1$.

L'égalité dans Cauchy-Schwarz pour des vecteurs de norme 1 donne $u'_1 = \lambda u_1$ avec $\lambda = \langle u_1,u'_1\rangle/\|u_1\|^2 = 1$ ; ainsi $u'_1 = u_1$.

**Hérédité :** Supposons $u_l = u'_l$ pour tout $l \leq k-1 < r$.

Les conditions définissant $V_k$ et $V'_k$ sont alors identiques (puisque $u_l = u'_l$).

On cherche un vecteur de $V\cap V'$ orthogonal à $u_1,\ldots,u_{k-1}$.

L'application $V\cap V' \to \mathbb{R}^{k-1}$, $x \mapsto (\langle x,u_1\rangle,\ldots,\langle x,u_{k-1}\rangle)$ a un noyau de dimension $\geq r - (k-1) \geq 1$ (car $k \leq r$).

Il existe donc un vecteur unité $x \in V\cap V'$ orthogonal à $u_1,\ldots,u_{k-1}$.

Ce vecteur appartient à $V_k \cap V'_k$.

Ainsi $\langle u_k,u'_k\rangle \geq \langle x,x\rangle = 1$, et par Cauchy-Schwarz $\langle u_k,u'_k\rangle \leq 1$, donc $\langle u_k,u'_k\rangle = 1$, et l'égalité dans Cauchy-Schwarz donne $u_k = u'_k$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Première question à fort taux d'échec.

Le rapport insiste sur les trois ingrédients : existence d'un vecteur unité dans $V_k \cap V'_k$, inégalité maximale $\geq 1$, puis égalité dans Cauchy-Schwarz.

Un argument de comptage de dimension (noyau de codimension $k-1$ dans un espace de dimension $r \geq k$) est indispensable pour la récurrence.

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### Question 3(a)

**Stratégie.**

La famille $u = (u_1,\ldots,u_p)$ est orthonormée par construction (vecteurs de norme 1, orthogonaux deux à deux), et son cardinal $p$ égale $\dim V$.

**Rédaction.**

Par construction de 1(b) : chaque $u_k \in V_k \subseteq V$, $\|u_k\|=1$, et $u_k \perp u_l$ pour $l < k$ (puisque $u_k \in V_k$).

La famille $(u_1,\ldots,u_p)$ est donc orthonormée.

Comme elle est libre (orthonormée) et que son cardinal $p$ égale $\dim V$, c'est une **base orthonormée de $V$**. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Question très bien traitée.

Le seul point à justifier est que le cardinal $p$ est bien $\dim V$ — ne pas oublier de l'écrire.

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### Question 3(b)

**Stratégie.**

Pour $l \in \llbracket k+1,p\rrbracket$, on perturbe $u_k$ en $u_k(t) = (u_k + tu_l)/\|u_k+tu_l\|$, qui reste dans $V_k$ avec norme 1.

La fonction $\varphi(t) = \langle u_k(t), u'_k\rangle$ est majorée par $\langle u_k,u'_k\rangle = \varphi(0)$, donc $\varphi'(0) = 0$, ce qui donne la relation cherchée.

Le rapport insiste sur l'utilisation du caractère **maximal** de la construction.

**Rédaction.**

Soit $k \in \llbracket 1,p-1\rrbracket$ et $l \in \llbracket k+1,p\rrbracket$.

Pour $t \in \mathbb{R}$, posons $$u_k(t) = \frac{u_k + t\,u_l}{\|u_k + t\,u_l\|}.$$
Puisque $u_l \in V$ et $u_l \perp u_m$ pour tout $m < k$ (orthonormée), $u_k + tu_l \in V_k$.

De plus $\|u_k + tu_l\| = \sqrt{1+t^2} \neq 0$, donc $u_k(t) \in V_k$ avec $\|u_k(t)\|=1$.

Par la propriété maximale de $\langle u_k,u'_k\rangle$ (c'est le supremum sur $V_k \times V'_k$) : $$\varphi(t) := \langle u_k(t), u'_k\rangle \leq \sup_{(a,a')\in V_k\times V'_k,\,\|a\|=\|a'\|=1}\langle a,a'\rangle = \langle u_k,u'_k\rangle = \varphi(0).$$
Ainsi $t = 0$ est un **maximum global** de $\varphi$.

Or $$\varphi(t) = \frac{\langle u_k,u'_k\rangle + t\langle u_l,u'_k\rangle}{\sqrt{1+t^2}},$$ et un calcul direct donne $\varphi'(0) = \langle u_l, u'_k\rangle$.

Comme $\varphi'(0) = 0$, on conclut $\langle u_l, u'_k\rangle = 0$ pour tout $l \in \llbracket k+1,p\rrbracket$, c'est-à-dire $u'_k \in \mathrm{Vect}(u_{k+1},\ldots,u_p)^\perp$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Question difficile, traitée correctement dans peu de copies. La clé est de reconnaître que $t=0$ est un **maximum** (et non simplement un point critique arbitraire) : c'est précisément la contrainte de maximisation qui force l'annulation. Calculer $\varphi'(0)$ sans avoir justifié le maximum revient à ignorer l'hypothèse essentielle.

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### Question 3(c)

**Stratégie.**

Deux familles d'orthogonalités : $u_{k+1} \perp u_l$ (orthonormée) et $u_{k+1} \perp u'_l$ (via 3b appliqué à l'indice $l \leq k$).

**Rédaction.** Soit $k \in \llbracket 1,p-1\rrbracket$.

- **$u_{k+1} \perp \mathrm{Vect}(u_1,\ldots,u_k)$ :** Par 3(a), $(u_1,\ldots,u_p)$ est orthonormée, donc $\langle u_{k+1},u_l\rangle = 0$ pour $l \leq k$.

- **$u_{k+1} \perp \mathrm{Vect}(u'_1,\ldots,u'_k)$ :** Pour $l \in \llbracket 1,k\rrbracket \subseteq \llbracket 1,p-1\rrbracket$, la question 3(b) appliquée à l'indice $l$ donne $u'_l \in \mathrm{Vect}(u_{l+1},\ldots,u_p)^\perp$.

Puisque $k+1 \geq l+1$, on a $u_{k+1} \in \mathrm{Vect}(u_{l+1},\ldots,u_p)$, donc $\langle u_{k+1},u'_l\rangle = 0$.

Ainsi $u_{k+1}$ est orthogonal à tout vecteur de $\mathrm{Vect}(u_1,\ldots,u_k) + \mathrm{Vect}(u'_1,\ldots,u'_k)$, d'où le résultat. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Souvent bien traitée à partir de 3(b). La chaîne de référence (3a pour la première orthogonalité, 3b pour la seconde) doit être explicitée.

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### Question 3(d)

**Stratégie.**

Pour $k < l$, $W_k \perp W_l$ s'obtient en montrant les quatre orthogonalités : deux viennent de 3(b) directement, deux de la version symétrique (on échange les rôles de $u$ et $u'$).

**Rédaction.**

Soient $k < l$ dans $\llbracket 1,p\rrbracket$.

Montrons $W_k \perp W_l$, i.e. que chaque générateur de $W_k$ est orthogonal à chaque générateur de $W_l$ :

1. $\langle u_k,u_l\rangle = 0$ : $(u_1,\ldots,u_p)$ est orthonormée (q. 3a).

2. $\langle u'_k,u'_l\rangle = 0$ : $(u'_1,\ldots,u'_p)$ est orthonormée (même construction).

3. $\langle u'_k,u_l\rangle = 0$ : par q. 3(b), $u'_k \in \mathrm{Vect}(u_{k+1},\ldots,u_p)^\perp$ ; comme $l \geq k+1$, $u_l \in \mathrm{Vect}(u_{k+1},\ldots,u_p)$, donc $\langle u'_k,u_l\rangle = 0$.

4. $\langle u_k,u'_l\rangle = 0$ : par l'argument **symétrique** de 3(b) (on perturbe $u'_k$ en $(u'_k + tu'_l)/\|u'_k+tu'_l\|$ qui reste dans $V'_k$ de norme 1, et $t=0$ est un maximum de $t\mapsto\langle u_k,\cdot\rangle$), on obtient $u_k \in \mathrm{Vect}(u'_{k+1},\ldots,u'_p)^\perp$ ; comme $l \geq k+1$, $\langle u_k,u'_l\rangle = 0$.

Donc $W_k \perp W_l$ pour tout $k < l$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Souvent traitée, parfois avec rédaction insuffisante.

Le rapport souligne la « symétrie des rôles de $u_k$ et $u'_k$ » pour le point 4 : le même raisonnement de dérivée que 3(b), appliqué à $V'_k$, suffit.

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### Question 4(a)

**Stratégie.** $\langle u_k,u'_k\rangle \in [0,1]$ (Cauchy-Schwarz et positivité du sup) et la suite est décroissante (restriction à un sous-ensemble plus petit). L'erreur classique citée par le rapport est d'oublier la condition norme 1 dans la définition du supremum.

**Rédaction.**

**Positivité :** pour tous $a \in V_k$ et $a' \in V'_k$ de norme 1, on a $\langle -a, a'\rangle = -\langle a,a'\rangle$, donc parmi $\langle a,a'\rangle$ et $\langle -a,a'\rangle$ (et $-a \in V_k$, $\|-a\|=1$), l'un est $\geq 0$.

Ainsi le supremum est $\geq 0$.

**Majoration :** Cauchy-Schwarz donne $\langle u_k,u'_k\rangle \leq \|u_k\|\|u'_k\| = 1$.

Donc $\langle u_k,u'_k\rangle \in [0,1]$ et il existe $\theta_k \in [0,\pi/2]$ avec $\cos\theta_k = \langle u_k,u'_k\rangle$.

**Ordre :** $V_{k+1} \subseteq V_k$ et $V'_{k+1} \subseteq V'_k$, donc le supremum sur $V_{k+1}\times V'_{k+1}$ est $\leq$ celui sur $V_k\times V'_k$, i.e. $\cos\theta_{k+1} \leq \cos\theta_k$, d'où $\theta_k \leq \theta_{k+1}$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Question souvent traitée. Le rapport signale que l'argument de positivité du supremum (qui utilise $-a \in V_k$) est souvent absent ou incorrect. La décroissance des $\cos\theta_k$ se justifie par l'inclusion des domaines de maximisation.

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### Question 4(b)

**Stratégie.** Utiliser les orthogonalités établies en 3(d) pour montrer que $\mathrm{Gram}(u,u')$ est diagonale.

**Rédaction.**

Pour $i \neq j$ : d'après 3(d), $W_i \perp W_j$, en particulier $\langle u_i, u'_j\rangle = 0$ (montré dans 3d).

Pour $i = j$ : $\langle u_i,u'_i\rangle = \cos\theta_i$ par définition.

Donc

$$\mathrm{Gram}(u,u') = \mathrm{diag}(\cos\theta_1,\ldots,\cos\theta_p),$$

et

$$\boxed{\det(\mathrm{Gram}(u,u')) = \prod_{k=1}^p \cos\theta_k.}$$

$\square$

**Commentaire du correcteur.** Question facile, souvent bien traitée. Le résultat central — la diagonalité de $\mathrm{Gram}(u,u')$ — est une conséquence directe de 3(d).

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### Question 4(c)

**Stratégie.**

Le produit de termes dans $[0,1]$ est $\leq 1$ ; l'égalité caractérise $V = V'$.

**Rédaction.**

D'après 4(b) et 4(a), $\det(\mathrm{Gram}(u,u')) = \prod_{k=1}^p \cos\theta_k$ avec $\cos\theta_k \in [0,1]$, donc

$$\det(\mathrm{Gram}(u,u')) \leq 1.$$

**Cas d'égalité :** $\prod \cos\theta_k = 1$ si et seulement si $\cos\theta_k = 1$ pour tout $k$, i.e. $\theta_k = 0$ pour tout $k$.

Cela signifie $\langle u_k,u'_k\rangle = \|u_k\|\|u'_k\| = 1$, donc par l'égalité dans Cauchy-Schwarz, $u'_k = u_k$ pour tout $k$.

Comme $(u_1,\ldots,u_p)$ est une base orthonormée de $V$ et $(u'_1,\ldots,u'_p)$ une base orthonormée de $V'$, l'égalité $u_k = u'_k$ pour tout $k$ implique $V = V'$.

Réciproquement, si $V = V'$, par q. 2 on a $u_k = u'_k$ pour tout $k$ (puisque $\dim(V\cap V') = p$), donc tous les $\theta_k = 0$ et l'égalité est atteinte.

**Conclusion :** $\det(\mathrm{Gram}(u,u')) \leq 1$, avec égalité si et seulement si $V = V'$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Assez souvent bien traitée. La caractérisation du cas d'égalité requiert le retour à la question 2.

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## — Partie II —

### Question 5(a)

**Stratégie.**

L'application $(x_1,\ldots,x_p) \mapsto [x_1,\ldots,x_p] = \det((x_1|\cdots|x_p))$ est le déterminant usuel dans $\mathbb{R}^p$, qui est $p$-linéaire alternée.

**Rédaction.** Rappelons que $[x_1,\ldots,x_p] = \det((x_1|\cdots|x_p))$ par définition (cf. énoncé).

- **Multilinéarité :** pour chaque $j$ fixé, $x_j \mapsto \det((x_1|\cdots|x_j|\cdots|x_p))$ est linéaire (le déterminant est linéaire en chaque colonne).

- **Alternée :** pour $\sigma \in \mathfrak{S}_p$, $(x_1,\ldots,x_p)\cdot\sigma = (x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(p)})$, et $[(x_{\sigma(i)})_i] = \det((x_{\sigma(1)}|\cdots|x_{\sigma(p)})) = \varepsilon(\sigma)\det((x_1|\cdots|x_p)) = \varepsilon(\sigma)[x_1,\ldots,x_p]$.

Donc $[x_1,\ldots,x_p] \in \mathscr{A}_p(\mathbb{R}^p,\mathbb{R})$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Quasi-universel mais souvent mal rédigé. Le rapport précise que si l'on n'utilise pas l'interprétation déterminant, il faut utiliser les **définitions précises** données dans l'énoncé — et éviter les erreurs sur l'action des permutations sur les coefficients.

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### Question 5(b)

**Stratégie.**

La composition d'une application linéaire avec une forme $p$-linéaire alternée est $p$-linéaire alternée ; expliciter où la linéarité de $f$ intervient est requis par le rapport.

**Rédaction.**

Soient $F$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel et $f : F \to \mathbb{R}^p$ linéaire.

Pour $u = (u_1,\ldots,u_p) \in F^p$, posons $g(u) = [f(u_1),\ldots,f(u_p)]$.

- **Multilinéarité en $u_j$ :** $g(u_1,\ldots,\lambda u_j + \mu u'_j,\ldots,u_p) = [f(u_1),\ldots,f(\lambda u_j + \mu u'_j),\ldots,f(u_p)]$.

Par **linéarité de $f$** : $f(\lambda u_j + \mu u'_j) = \lambda f(u_j) + \mu f(u'_j)$.

Par multilinéarité de $[\cdot]$ (q. 5a) : $= \lambda g(\ldots,u_j,\ldots) + \mu g(\ldots,u'_j,\ldots)$.

- **Alternée :** $g(u\cdot\sigma) = [f(u_{\sigma(1)}),\ldots,f(u_{\sigma(p)})] = \varepsilon(\sigma)[f(u_1),\ldots,f(u_p)] = \varepsilon(\sigma)g(u)$ par la propriété alternée de $[\cdot]$.

Donc $g \in \mathscr{A}_p(F,\mathbb{R})$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Souvent bien traitée. Le rapport demande expressément de « faire apparaître clairement où la linéarité de $f$ intervient » — ce passage est à rédiger explicitement.

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### Question 6(a)

**Stratégie.** Exprimer $\Omega_p(e)(u) = \det(\mathrm{Gram}(e,u))$ comme une composition d'une application linéaire fixe avec le déterminant, et appliquer 5(b).

**Rédaction.** Soit $e = (e_1,\ldots,e_p) \in E^p$ fixé.

Définissons l'application linéaire $f : E \to \mathbb{R}^p$ par $f(x) = (\langle e_1,x\rangle,\ldots,\langle e_p,x\rangle)$.

Alors pour tout $u = (u_1,\ldots,u_p) \in E^p$ :

$$\mathrm{Gram}(e,u)_{ij} = \langle e_i,u_j\rangle = f(u_j)_i,$$

donc $\mathrm{Gram}(e,u)$ est la matrice de colonnes $f(u_1),\ldots,f(u_p)$, et $\Omega_p(e)(u) = \det(\mathrm{Gram}(e,u)) = [f(u_1),\ldots,f(u_p)]$.

Par la question 5(b) (avec $F = E$ et $g(u) = [f(u_1),\ldots,f(u_p)]$), on conclut $\Omega_p(e) \in \mathscr{A}_p(E,\mathbb{R})$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** On pouvait aussi refaire un raisonnement direct.

Si l'on utilise 5(b), il faut préciser explicitement les applications $f$ et $g$ utilisées, comme l'indique le rapport.

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### Question 6(b)

**Stratégie.** $\mathrm{Gram}(e,u)^T = \mathrm{Gram}(u,e)$ et $\det A = \det A^T$.

**Rédaction.** $$\mathrm{Gram}(e,u)_{ij} = \langle e_i,u_j\rangle = \langle u_j,e_i\rangle = \mathrm{Gram}(u,e)_{ji} = \mathrm{Gram}(u,e)^T_{ij}.$$
Donc $\mathrm{Gram}(u,e) = \mathrm{Gram}(e,u)^T$, et par la propriété $\det A = \det A^T$ : $$\Omega_p(u)(e) = \det(\mathrm{Gram}(u,e)) = \det(\mathrm{Gram}(e,u)^T) = \det(\mathrm{Gram}(e,u)) = \Omega_p(e)(u). \quad\square$$

**Commentaire du correcteur.** Le rapport insiste : « la symétrie du produit scalaire était un des arguments mais n'était en rien suffisant. Il fallait utiliser que le déterminant d'une matrice est égal à celui de sa transposée. »

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### Question 6(c)

**Stratégie.**

Montrer que $e \mapsto \Omega_p(e)$ est $p$-linéaire alternée à valeurs dans $\mathscr{A}_p(E,\mathbb{R})$, en utilisant 6(a)–6(b) : la multilinéarité et le caractère alterné en $e$ se déduisent de ceux de $\det$ en les lignes de $\mathrm{Gram}(e,u)$.

**Rédaction.**

Vérifions que $e \mapsto \Omega_p(e)$ est $p$-linéaire alternée de $E^p$ dans $\mathscr{A}_p(E,\mathbb{R})$ (les valeurs sont dans $\mathscr{A}_p(E,\mathbb{R})$ par 6a).

**Multilinéarité en $e_i$ :** pour tout $u \in E^p$, la ligne $i$ de $\mathrm{Gram}(e,u)$ est $(\langle e_i,u_1\rangle,\ldots,\langle e_i,u_p\rangle)$, linéaire en $e_i$.

Par multilinéarité du déterminant en ses lignes : $$\Omega_p(e_1,\ldots,\lambda e_i+\mu e'_i,\ldots,e_p)(u) = \lambda\,\Omega_p(\ldots,e_i,\ldots)(u) + \mu\,\Omega_p(\ldots,e'_i,\ldots)(u),$$ pour tout $u$.

Donc $\Omega_p$ est linéaire en $e_i$.

**Alternée en $e$ :** pour $\sigma \in \mathfrak{S}_p$, permuter $e_{\sigma(1)},\ldots,e_{\sigma(p)}$ permute les lignes de $\mathrm{Gram}(e,u)$ selon $\sigma$, donc $\Omega_p(e\cdot\sigma)(u) = \varepsilon(\sigma)\Omega_p(e)(u)$ pour tout $u$, i.e. $\Omega_p(e\cdot\sigma) = \varepsilon(\sigma)\Omega_p(e)$.

Donc $\Omega_p \in \mathscr{A}_p(E,\mathscr{A}_p(E,\mathbb{R}))$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Question difficile. Le rapport note que la difficulté est de « voir » $\Omega_p$ comme une application à valeurs dans l'espace des formes alternées, et de vérifier que cette application est elle-même alternée et multilinéaire.

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### Question 7(a)

**Stratégie.**

La relation $e'_i = \sum_j M_{ij} e_j$ fait que $\mathrm{Gram}(e',u) = M \cdot \mathrm{Gram}(e,u)$, donc $\det(\mathrm{Gram}(e',u)) = \det(M)\det(\mathrm{Gram}(e,u))$.

**Rédaction.**

Pour tout $u \in E^p$ et tous $i,k \in \llbracket 1,p\rrbracket$ : $$\mathrm{Gram}(e',u)_{ik} = \langle e'_i,u_k\rangle = \left\langle \sum_{j=1}^p M_{ij}e_j,u_k\right\rangle = \sum_{j=1}^p M_{ij}\langle e_j,u_k\rangle = (M\cdot\mathrm{Gram}(e,u))_{ik}.$$
Donc $\mathrm{Gram}(e',u) = M\cdot\mathrm{Gram}(e,u)$, et par multiplicativité du déterminant : $$\Omega_p(e')(u) = \det(\mathrm{Gram}(e',u)) = \det(M)\det(\mathrm{Gram}(e,u)) = \det(M)\,\Omega_p(e)(u).$$
Ceci valant pour tout $u \in E^p$, on a $\Omega_p(e') = \det(M)\,\Omega_p(e)$. $\square$

**Commentaire du correcteur.**

Le rapport signale le piège : la matrice $M$ n'est pas nécessairement inversible, et $E$ est abstrait (pas $\mathbb{R}^p$).

Le calcul matriciel $\mathrm{Gram}(e',u) = M\cdot\mathrm{Gram}(e,u)$ est la voie la plus sûre.

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### Question 7(b)

**Stratégie.**

Si $e$ est liée, les lignes de $\mathrm{Gram}(e,u)$ sont dépendantes, donc det = 0.

Si $e$ est libre, choisir une base orthonormée $b$ de $\mathrm{Vect}(e)$, appliquer 7(a) et calculer directement $\Omega_p(b)(b) = 1$.

**Rédaction.**

$(\Leftarrow)$ **$e$ liée $\Rightarrow \Omega_p(e) = 0$ :** si $\sum_i \lambda_i e_i = 0$ avec $(\lambda_i)$ non tous nuls, alors pour tout $u \in E^p$, la ligne $i$ de $\mathrm{Gram}(e,u)$ est $(\langle e_i,u_j\rangle)_j$ et $\sum_i \lambda_i (\langle e_i,u_j\rangle)_j = \langle \sum_i \lambda_i e_i, u_j\rangle_j = 0$.

Les lignes sont linéairement dépendantes, donc $\Omega_p(e)(u) = \det(\mathrm{Gram}(e,u)) = 0$.

$(\Rightarrow)$ **$e$ libre $\Rightarrow \Omega_p(e) \neq 0$ :** $\dim\mathrm{Vect}(e_1,\ldots,e_p) = p$.

Choisissons une base orthonormée $b = (b_1,\ldots,b_p)$ de $\mathrm{Vect}(e)$.

Alors $\Omega_p(b)(b) = \det(\mathrm{Gram}(b,b)) = \det(I_p) = 1$, donc $\Omega_p(b) \neq 0$.

Par ailleurs $e_i = \sum_j M_{ij} b_j$ pour une certaine matrice $M$ inversible (passage de la base $b$ à la base $e$ de $\mathrm{Vect}(e)$, donc de déterminant non nul).

Par q. 7(a) : $\Omega_p(e) = \det(M)\,\Omega_p(b) \neq 0$. $\square$

**Commentaire du correcteur.**

Le rapport précise : « il fallait notamment faire attention que $p$ n'était pas nécessairement égal à la dimension $d$ de $E$ ».

Le passage par une base orthonormée $b$ du sous-espace engendré par $e$ est la méthode canonique.

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### Question 7(c)

**Stratégie.** $\mathrm{Gram}(e,e)$ est une matrice symétrique réelle positive semi-définie, donc son déterminant est $\geq 0$.

**Rédaction.**

La matrice $G = \mathrm{Gram}(e,e)$ vérifie, pour tout $x = (x_1,\ldots,x_p)^T \in \mathbb{R}^p$ : $$x^T G x = \sum_{i,j} x_i x_j \langle e_i,e_j\rangle = \left\|\sum_{i=1}^p x_i e_i\right\|^2 \geq 0.$$
Donc $G$ est symétrique positive semi-définie.

Ses valeurs propres sont $\geq 0$, donc $\Omega_p(e)(e) = \det(G) \geq 0$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Régulièrement bien traitée. L'argument clé est la caractérisation directe de $G$ comme matrice positive semi-définie via la forme quadratique associée.

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### Question 8(a)

**Stratégie.** Pour une famille orthonormée, $\mathrm{Gram}(b,b) = I_p$.

**Rédaction.** $\mathrm{Gram}(b,b)_{ij} = \langle b_i,b_j\rangle = \delta_{ij}$, donc $\mathrm{Gram}(b,b) = I_p$ et $\mathrm{vol}_p(b) = (\det I_p)^{1/2} = 1$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Question très facile, analogue à 4(b). Ne pas oublier d'écrire les deux étapes.

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### Question 8(b)

**Stratégie.**

On décompose $e_1 = \mathrm{pr}(e_1) + w$ avec $w \in \mathrm{Vect}(e_2,\ldots,e_p)$, on utilise la multilinéarité de $\Omega_p$ en son premier argument (le terme en $w$ s'annule par le caractère alterné), puis on utilise l'orthogonalité de $\mathrm{pr}(e_1)$ avec $e_2,\ldots,e_p$ pour obtenir une matrice de Gram triangulaire par blocs.

**Rédaction.**

Soit $e_1 = \mathrm{pr}(e_1) + w$ la décomposition orthogonale, où $\mathrm{pr}(e_1) \perp \mathrm{Vect}(e_2,\ldots,e_p)$ et $w \in \mathrm{Vect}(e_2,\ldots,e_p)$.

**Étape 1 : simplification du premier argument de $\Omega_p$.**

Par multilinéarité de $\Omega_p$ en $e$ (q. 6c) : $$\Omega_p(e_1,e_2,\ldots,e_p) = \Omega_p(\mathrm{pr}(e_1)+w,e_2,\ldots,e_p) = \Omega_p(\mathrm{pr}(e_1),e_2,\ldots,e_p) + \Omega_p(w,e_2,\ldots,e_p).$$
Comme $w \in \mathrm{Vect}(e_2,\ldots,e_p)$, on peut écrire $w = \sum_{j=2}^p \lambda_j e_j$, et par multilinéarité puis caractère alterné de $\Omega_p(\cdot,e_2,\ldots,e_p)$ : chaque terme fait apparaître un $e_j$ ($j \geq 2$) répété, donc $\Omega_p(w,e_2,\ldots,e_p) = 0$.

Ainsi $\Omega_p(e) = \Omega_p(\mathrm{pr}(e_1),e_2,\ldots,e_p)$.

**Étape 2 : simplification du second argument.**

Par 6(b) et même raisonnement (multilinéarité en le second argument, avec $e_1 = \mathrm{pr}(e_1)+w$) : $$\Omega_p(e)(e) = \Omega_p(\mathrm{pr}(e_1),e_2,\ldots,e_p)(\mathrm{pr}(e_1)+w,e_2,\ldots,e_p) = \Omega_p(\mathrm{pr}(e_1),e_2,\ldots,e_p)(\mathrm{pr}(e_1),e_2,\ldots,e_p).$$ (Le terme avec $w$ est nul car $\Omega_p(\mathrm{pr}(e_1),e_2,\ldots,e_p)$ est alternée en son second argument et $w$ est combinaison de $e_2,\ldots,e_p$.)

**Étape 3 : calcul du déterminant de Gram.** Posons $\tilde{e} = (\mathrm{pr}(e_1),e_2,\ldots,e_p)$.

Puisque $\mathrm{pr}(e_1) \perp e_j$ pour $j \geq 2$ : $$\mathrm{Gram}(\tilde{e},\tilde{e}) = \begin{pmatrix} \|\mathrm{pr}(e_1)\|^2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & & & \\ \vdots & & \mathrm{Gram}(e_2^p,e_2^p) & \\ 0 & & & \end{pmatrix},$$ donc $\det(\mathrm{Gram}(\tilde{e},\tilde{e})) = \|\mathrm{pr}(e_1)\|^2 \cdot \det(\mathrm{Gram}(e_2^p,e_2^p))$.

En prenant les racines carrées : $\mathrm{vol}_p(e) = \|\mathrm{pr}(e_1)\| \cdot \mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p)$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Question difficile, peu souvent bien rédigée. Le rapport indique précisément la méthode : décomposer $e_1 = \mathrm{pr}(e_1) + w$, utiliser la linéarité du produit mixte en sa première colonne, puis que le caractère alterné annule les termes où une colonne est combinaison linéaire des autres.

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### Question 8(c)

**Stratégie.**

Récurrence sur $p$ via 8(b) : $\|\mathrm{pr}(e_1)\| \leq \|e_1\|$ (projection diminue la norme, avec égalité ssi $e_1 \perp e_2^p$).

Le rapport signale la nécessité de préciser soigneusement les cas d'égalité.

**Rédaction.** On raisonne par récurrence sur $p \geq 1$.

**Initialisation $p=1$ :** $\mathrm{vol}_1((e_1)) = \|e_1\|$ (depuis la définition). ✓

**Hérédité :** Supposons le résultat vrai pour $p-1$ (avec $p \geq 2$).

Par 8(b) :
$$\mathrm{vol}_p(e) = \|\mathrm{pr}(e_1)\| \cdot \mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p).$$

- $\|\mathrm{pr}(e_1)\| \leq \|e_1\|$ car $\mathrm{pr}$ est une projection orthogonale (donc contractante), avec égalité ssi $e_1 \in (\mathrm{Vect}(e_2,\ldots,e_p))^\perp$, i.e. $e_1 \perp e_j$ pour tout $j \geq 2$.

- Par hypothèse de récurrence ($(e_2,\ldots,e_p)$ est libre car sous-famille de la famille libre $e$) : $\mathrm{vol}_{p-1}(e_2^p) \leq \prod_{j=2}^p \|e_j\|$, avec égalité ssi $e_2,\ldots,e_p$ sont deux à deux orthogonaux.

Donc $\mathrm{vol}_p(e) \leq \|e_1\| \cdot \prod_{j=2}^p \|e_j\| = \prod_{j=1}^p \|e_j\|$.

L'égalité a lieu ssi $e_1 \perp e_j$ pour $j \geq 2$ ET $e_2,\ldots,e_p$ deux à deux orthogonaux, ce qui équivaut à $e$ famille deux à deux orthogonale. $\square$

**Commentaire du correcteur.** La récurrence est naturelle à partir de 8(b). Ne pas oublier de vérifier que $e_2^p$ est bien libre (pour appliquer l'hypothèse de récurrence).

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### Question 9(a)

**Stratégie.** $\mathrm{Gram}(e,e) = (P^e_b)^T P^e_b$ (calcul direct), d'où $\det = \det(P^e_b)^2$.

**Rédaction.** Par définition, $e_j = \sum_{i=1}^p (P^e_b)_{ij} b_i$.

Pour $j,k \in \llbracket 1,p\rrbracket$ : $$\mathrm{Gram}(e,e)_{jk} = \langle e_j,e_k\rangle = \sum_{i,l}(P^e_b)_{ij}(P^e_b)_{lk}\langle b_i,b_l\rangle = \sum_i (P^e_b)_{ij}(P^e_b)_{ik} = ((P^e_b)^T P^e_b)_{jk}.$$
Donc $\mathrm{Gram}(e,e) = (P^e_b)^T P^e_b$ et $$\mathrm{vol}_p(e) = \sqrt{\det(\mathrm{Gram}(e,e))} = \sqrt{\det(P^e_b)^2} = |\det(P^e_b)|. \quad\square$$

**Commentaire du correcteur.** Assez souvent bien traitée. Le rapport note l'analogie avec 7(c). Le calcul direct de $\mathrm{Gram}(e,e) = (P^e_b)^T P^e_b$ est la voie la plus propre.

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### Question 9(b)

**Stratégie.**

Traiter séparément le cas liée (résultat nul) et le cas libre (bases orthonormées $b$, $b'$, factorisation $\Omega_p(e)(e') = \det(A)\det(\mathrm{Gram}(b,b'))\det(A')$, puis Cauchy-Schwarz via q. 11 — ou directement $|\det(\mathrm{Gram}(b,b'))| \leq 1$ par la fin de la Partie I).

**Rédaction.**

**Cas où $e$ ou $e'$ est liée.**

Si $e$ est liée, par 7(b) $\Omega_p(e) = 0$, donc $|\Omega_p(e)(e')| = 0 \leq \mathrm{vol}_p(e)\,\mathrm{vol}_p(e')$.

De même si $e'$ est liée, par 6(b) $\Omega_p(e)(e') = \Omega_p(e')(e) = 0$.

**Cas où $e$ et $e'$ sont libres.**

Soient $b = (b_1,\ldots,b_p)$ une base orthonormée de $\mathrm{Vect}(e)$ et $b' = (b'_1,\ldots,b'_p)$ une base orthonormée de $\mathrm{Vect}(e')$.

On écrit $e_i = \sum_j A_{ij}b_j$ et $e'_i = \sum_j A'_{ij}b'_j$ pour des matrices $A$, $A'$ inversibles.

Par le calcul de 7(a) (la relation $\mathrm{Gram}(e,u) = A^T\,\mathrm{Gram}(b,u)$) : $$\Omega_p(e)(u) = \det(A)\,\Omega_p(b)(u) \quad \forall u.$$
De même, par multilinéarité de $\Omega_p(b)$ en son second argument et $e'_i = \sum_j A'_{ij}b'_j$ : $$\Omega_p(b)(e') = \det(A')\,\Omega_p(b)(b').$$
Donc $$|\Omega_p(e)(e')| = |\det(A)|\cdot|\Omega_p(b)(b')|\cdot|\det(A')| = \mathrm{vol}_p(e)\cdot|\Omega_p(b)(b')|\cdot\mathrm{vol}_p(e').$$

Il reste à montrer $|\Omega_p(b)(b')| \leq 1$.

Or $\Omega_p(b)(b') = \det(\mathrm{Gram}(b,b'))$ et $b$, $b'$ sont des bases orthonormées de $\mathrm{Vect}(e)$ et $\mathrm{Vect}(e')$.

La question 4(c) (appliquée aux bases orthonormées principales $u$, $u'$ de $\mathrm{Vect}(e)$ et $\mathrm{Vect}(e')$) donne $\det(\mathrm{Gram}(u,u')) = \prod_k\cos\theta_k \in [0,1]$.

Comme deux bases orthonormées d'un même espace sont liées par une matrice orthogonale (de déterminant $\pm 1$), on a $|\det(\mathrm{Gram}(b,b'))| = |\det(\mathrm{Gram}(u,u'))| \leq 1$.

Donc $|\Omega_p(e)(e')| \leq \mathrm{vol}_p(e)\cdot\mathrm{vol}_p(e')$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Question peu traitée. La factorisation $\Omega_p(e)(e') = \det(A)\det(\mathrm{Gram}(b,b'))\det(A')$ est le cœur de la preuve.

La borne $|\det(\mathrm{Gram}(b,b'))| \leq 1$ s'obtient soit via la Partie I, soit via la Cauchy-Schwarz sur le produit scalaire de $\mathscr{A}_p(E,\mathbb{R})$ (voir q. 11).

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## — Partie III —

### Question 10(a)

**Stratégie.**

Développer $\omega(u_1,\ldots,u_p)$ par multilinéarité sur la base $(e_1,\ldots,e_d)$, utiliser le caractère alterné pour réduire à $\alpha \in \mathcal{I}_p$, reconnaître un déterminant de Gram.

**Rédaction.**

Pour tout $u = (u_1,\ldots,u_p) \in E^p$, écrivons $u_j = \sum_{k=1}^d c_{jk}e_k$ avec $c_{jk} = \langle u_j,e_k\rangle$.

Par multilinéarité de $\omega$ : $$\omega(u) = \sum_{k_1,\ldots,k_p=1}^d \prod_{j=1}^p c_{jk_j}\cdot\omega(e_{k_1},\ldots,e_{k_p}).$$
Si deux indices $k_j$ coïncident, le terme est nul (caractère alterné).

Pour $(k_1,\ldots,k_p)$ à indices distincts : il existe une unique permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_p$ et un unique $\alpha = (\alpha_1 < \cdots < \alpha_p) \in \mathcal{I}_p$ tels que $k_j = \alpha_{\sigma(j)}$, et $\omega(e_{k_1},\ldots,e_{k_p}) = \varepsilon(\sigma)\omega(e_\alpha)$.

Donc : $$\omega(u) = \sum_{\alpha \in \mathcal{I}_p}\omega(e_\alpha)\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_p}\varepsilon(\sigma)\prod_{j=1}^p c_{j,\alpha_{\sigma(j)}} = \sum_{\alpha \in \mathcal{I}_p}\omega(e_\alpha)\det\bigl((c_{j,\alpha_l})_{j,l}\bigr).$$
Or $(c_{j,\alpha_l})_{j,l} = (\langle u_j,e_{\alpha_l}\rangle)_{j,l} = \mathrm{Gram}(e_\alpha,u)^T$, donc $\det((c_{j,\alpha_l})) = \det(\mathrm{Gram}(e_\alpha,u)) = \Omega_p(e_\alpha)(u)$.

Ainsi $\omega(u) = \sum_{\alpha \in \mathcal{I}_p}\omega(e_\alpha)\Omega_p(e_\alpha)(u)$ pour tout $u$, ce qui donne bien $$\omega = \sum_{\alpha \in \mathcal{I}_p}\omega(e_\alpha)\Omega_p(e_\alpha). \quad\square$$

**Commentaire du correcteur.** Question peu traitée. Le rapport insiste sur la « justification combinatoire précise utilisant le caractère alterné pour vérifier que l'ensemble d'indexation est bien $\mathcal{I}_p$ » — c'est la réduction aux multi-indices strictement croissants qui est l'argument clé.

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### Question 10(b)

**Stratégie.**

Le produit scalaire défini par (1) est bilinéaire symétrique ; la positivité découle de 10(a) (annulation ssi tous les coefficients nuls) ; la famille $(\Omega_p(e_\alpha))_\alpha$ est orthonormée par calcul direct de $\Omega_p(e_\alpha)(e_\beta) = \delta_{\alpha,\beta}$.

**Rédaction.** **Bilinéarité et symétrie :** claires par définition de la somme $\sum_\alpha \omega(e_\alpha)\omega'(e_\alpha)$.

**Positivité :** $\langle\omega,\omega\rangle = \sum_\alpha \omega(e_\alpha)^2 \geq 0$, avec égalité ssi $\omega(e_\alpha) = 0$ pour tout $\alpha \in \mathcal{I}_p$, ce qui équivaut (par 10a) à $\omega = 0$.

Donc $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est un **produit scalaire** sur $\mathscr{A}_p(E,\mathbb{R})$.

**La famille $(\Omega_p(e_\alpha))_\alpha$ est une base orthonormée :**

$\langle\Omega_p(e_\alpha),\Omega_p(e_\beta)\rangle = \sum_{\gamma \in \mathcal{I}_p}\Omega_p(e_\alpha)(e_\gamma)\Omega_p(e_\beta)(e_\gamma)$.

Pour $\alpha \neq \gamma$ : $\mathrm{Gram}(e_\alpha,e_\gamma)$ a une ligne nulle (l'indice $\alpha_k \notin \{\gamma_1,\ldots,\gamma_p\}$ entraîne la ligne $k$ de $\mathrm{Gram}(e_\alpha,e_\gamma)$ nulle), donc $\Omega_p(e_\alpha)(e_\gamma) = 0$.

Pour $\alpha = \gamma$ : $\mathrm{Gram}(e_\alpha,e_\alpha) = I_p$, donc $\Omega_p(e_\alpha)(e_\alpha) = 1$.

Ainsi $\langle\Omega_p(e_\alpha),\Omega_p(e_\beta)\rangle = \delta_{\alpha,\beta}$ : la famille est orthonormée. Elle engendre $\mathscr{A}_p(E,\mathbb{R})$ par 10(a), donc c'est une base orthonormée.

**Dimension :** $\dim\mathscr{A}_p(E,\mathbb{R}) = |\mathcal{I}_p| = \dbinom{d}{p}$. $\square$

**Commentaire du correcteur.**

La positivité requiert d'utiliser 10(a) (pour voir que $\omega=0$ si tous les $\omega(e_\alpha)$ sont nuls).

Le cardinal de $\mathcal{I}_p$ vaut $\binom{d}{p}$ — à écrire sans faute.

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### Question 10(c)

**Stratégie.**

Pour $p = d-1$, chaque $\alpha \in \mathcal{I}_{d-1}$ est déterminé par son indice manquant $k(\alpha) \in \{1,\ldots,d\}$.

On construit $\Phi$ en envoyant $\Omega_{d-1}(e_\alpha)$ sur $\varepsilon(\alpha)e_{k(\alpha)}$ où $\varepsilon(\alpha) = (-1)^{d-k(\alpha)}$.

**Rédaction.**

Pour $p = d-1$, il y a une bijection $\mathcal{I}_{d-1} \to \{1,\ldots,d\}$, $\alpha \mapsto k(\alpha)$, où $k(\alpha)$ est l'unique entier de $\{1,\ldots,d\}$ absent de $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_{d-1}\}$.

La permutation $\sigma_\alpha$ de $\{1,\ldots,d\}$ envoyant $(1,\ldots,d)$ sur $(\alpha_1,\ldots,\alpha_{d-1},k(\alpha))$ est une transposition cyclique de signature $\varepsilon(\alpha) := (-1)^{d-k(\alpha)}$.

Définissons $\Phi : \mathscr{A}_{d-1}(E,\mathbb{R}) \to E$ par $$\Phi\bigl(\Omega_{d-1}(e_\alpha)\bigr) = \varepsilon(\alpha)\,e_{k(\alpha)}, \qquad \alpha \in \mathcal{I}_{d-1},$$ étendue par linéarité.

Alors :

- $(\Omega_{d-1}(e_\alpha))_\alpha$ est une base orthonormée de $\mathscr{A}_{d-1}(E,\mathbb{R})$ (par 10b).

- $(\varepsilon(\alpha)e_{k(\alpha)})_\alpha = (\pm e_1,\ldots,\pm e_d)$ est une base orthonormée de $E$ (réordonnée avec signes $\pm 1$), car $\alpha \mapsto k(\alpha)$ est bijective.

Comme $\Phi$ envoie une base orthonormée sur une base orthonormée, **$\Phi$ est une isométrie**. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Question très peu traitée. La bijection $\alpha \leftrightarrow k(\alpha)$ est le cœur de l'argument.

Le signe $\varepsilon(\alpha) = (-1)^{d-k(\alpha)}$ garantit que $\Phi$ est bien définie linéairement et préserve les normes.

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### Question 11

**Stratégie.**

Développer $\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle$ selon la base $(\Omega_p(e_\alpha))_\alpha$, utiliser 6(b) pour échanger les arguments, puis reconnaître la formule de 10(a).

**Rédaction.**

Par définition du produit scalaire et par 6(b) : $$\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle = \sum_{\alpha \in \mathcal{I}_p}\Omega_p(u)(e_\alpha)\cdot\Omega_p(v)(e_\alpha) = \sum_{\alpha \in \mathcal{I}_p}\Omega_p(u)(e_\alpha)\cdot\Omega_p(e_\alpha)(v).$$
Par la formule de 10(a) appliquée à $\omega = \Omega_p(u)$ : $$\Omega_p(u) = \sum_{\alpha \in \mathcal{I}_p}\Omega_p(u)(e_\alpha)\,\Omega_p(e_\alpha),$$ donc en évaluant en $v$ : $$\Omega_p(u)(v) = \sum_{\alpha \in \mathcal{I}_p}\Omega_p(u)(e_\alpha)\,\Omega_p(e_\alpha)(v).$$
Ainsi $\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle = \Omega_p(u)(v)$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Souvent mal rédigée. Le rapport insiste : « donner de détails sur les calculs faits ni référence aux questions précédentes ». Il faut citer 6(b) pour l'échange, et 10(a) pour la résolution.

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### Question 12

**Stratégie.**

Montrer que pour toute autre base orthonormée $\hat{e}$, le produit scalaire $\langle\cdot,\cdot\rangle_{\hat{e}}$ coïncide avec $\langle\cdot,\cdot\rangle_e$ sur les générateurs $\Omega_p(u)$ grâce au fait que les deux valent $\Omega_p(u)(v) = \det(\mathrm{Gram}(u,v))$, quantité intrinsèque.

**Rédaction.**

Soit $\hat{e} = (\hat{e}_1,\ldots,\hat{e}_d)$ une autre base orthonormée de $E$.

Pour tout $u,v \in E^p$, la preuve de 11 (valable pour toute base orthonormée) donne : $$\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle_e = \Omega_p(u)(v) = \det(\mathrm{Gram}(u,v)) = \langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle_{\hat{e}}.$$
La quantité $\det(\mathrm{Gram}(u,v))$ ne dépend que des produits scalaires $\langle u_i,v_j\rangle$, donc uniquement du produit scalaire de $E$, et non du choix de la base $e$.

Puisque par 10(a) toute forme $\omega \in \mathscr{A}_p(E,\mathbb{R})$ s'écrit $\omega = \sum_\alpha c_\alpha\,\Omega_p(e_\alpha)$ (combinaison linéaire de formes de la forme $\Omega_p(u)$), et que les deux formes bilinéaires $\langle\cdot,\cdot\rangle_e$ et $\langle\cdot,\cdot\rangle_{\hat{e}}$ coïncident sur tous les couples $(\Omega_p(u),\Omega_p(v))$, elles sont égales sur $\mathscr{A}_p(E,\mathbb{R})$ tout entier. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Traitée dans les meilleures copies.

L'idée clé, citée dans le rapport, est de « réécrire $\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle$ en termes de $\Omega_p(u)(v)$ et de justifier que ce dernier terme ne dépend que du produit scalaire sur $E$ ».

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## — Partie IV —

### Question 13(a)

**Stratégie.**

Le sens $(\Leftarrow)$ : si $\mathrm{Vect}(e) = \mathrm{Vect}(e')$, on exprime $e'$ en termes d'une base orthonormée commune et on applique 7(a).

Le sens $(\Rightarrow)$ : si $\Omega_p(e)$ et $\Omega_p(e')$ sont colinéaires, on exhibe $|\det(\mathrm{Gram}(b,b'))| = 1$ et on conclut par la Partie I.

**Rédaction.**

$(\Leftarrow)$ **$\mathrm{Vect}(e) = \mathrm{Vect}(e') = V$ :** Soit $b$ une base orthonormée de $V$.

On peut écrire $e_i = \sum_j A_{ij}b_j$ et $e'_i = \sum_j A'_{ij}b_j$ pour des matrices $A$, $A'$ inversibles (changements de base dans $V$).

Par 7(a) : $$\Omega_p(e) = \det(A)\,\Omega_p(b), \quad \Omega_p(e') = \det(A')\,\Omega_p(b).$$
Donc $\Omega_p(e) = \lambda\,\Omega_p(e')$ avec $\lambda = \det(A)/\det(A') \neq 0$ : elles sont colinéaires.

$(\Rightarrow)$ **$\Omega_p(e) = \lambda\,\Omega_p(e')$ pour un $\lambda \neq 0$ :** Soient $b$, $b'$ des bases orthonormées de $\mathrm{Vect}(e)$ et $\mathrm{Vect}(e')$.

Par 7(a) : $\Omega_p(e) = \det(A)\Omega_p(b)$ et $\Omega_p(e') = \det(A')\Omega_p(b')$, donc $\Omega_p(b) = \mu\,\Omega_p(b')$ pour $\mu = \lambda\det(A')/\det(A) \neq 0$.

En prenant le produit scalaire de $\Omega_p(b) = \mu\Omega_p(b')$ avec lui-même (via q. 11) : $$\|\Omega_p(b)\|^2 = \Omega_p(b)(b) = 1 = \mu^2\|\Omega_p(b')\|^2 = \mu^2,$$ donc $|\mu| = 1$.

Aussi $|\Omega_p(b)(b')| = |\mu|\|\Omega_p(b')\|^2 = 1$.

Or par la question 4(c), $|\det(\mathrm{Gram}(b,b'))| = |\Omega_p(b)(b')| = \prod_k\cos\theta_k \leq 1$, avec égalité **si et seulement si** $\mathrm{Vect}(b) = \mathrm{Vect}(b')$ (tous les $\theta_k = 0$).

Donc $\mathrm{Vect}(e) = \mathrm{Vect}(e')$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Question très peu traitée dans son intégralité.

Le rapport souligne que la direction $(\Leftarrow)$ est « une conséquence facile de 7a » et que la direction $(\Rightarrow)$ « nécessitait d'utiliser des résultats des différentes parties du sujet ».

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### Question 13(b)

**Stratégie.**

Unicité : $\mathrm{vol}_p(e) > 0$ pour $e \in C$ (famille libre).

Existence : prendre $\Psi(V,C) = \Omega_p(b)/\mathrm{vol}_p(b) = \Omega_p(b)$ pour une base orthonormée $b \in C$, puis vérifier que tout $e \in C$ satisfait $\Omega_p(e) = \mathrm{vol}_p(e)\Omega_p(b)$.

**Rédaction.**

**Unicité :** Si $\Psi$ et $\Psi'$ satisfont la condition, pour tout $e \in C$ : $\mathrm{vol}_p(e)\Psi = \mathrm{vol}_p(e)\Psi'$.

Comme $e \in C$ est une base de $V$ (famille libre), $\mathrm{vol}_p(e) > 0$ (par 7b et 7c).

Donc $\Psi = \Psi'$.

**Existence :** Choisissons $b = (b_1,\ldots,b_p) \in C$ une base orthonormée de $V$ (elle existe car $\dim V = p$).

Posons $\Psi(V,C) = \Omega_p(b)$.

Puisque $\mathrm{vol}_p(b) = 1$ (q. 8a), la relation $\Omega_p(b) = \mathrm{vol}_p(b)\Psi(V,C)$ est satisfaite pour $b$.

Pour tout $e \in C$ : comme $e$ est une base de $V$ dans l'orientation $C$, on a $e_i = \sum_j M_{ij}b_j$ pour une matrice $M$ avec $\det(M) = \det_b(e) > 0$ (même orientation).

Par 7(a) : $\Omega_p(e) = \det(M)\Omega_p(b)$. Par 9(a) : $\mathrm{vol}_p(e) = |\det(P^e_b)| = |\det(M)| = \det(M)$. Donc $\Omega_p(e) = \mathrm{vol}_p(e)\Omega_p(b) = \mathrm{vol}_p(e)\Psi(V,C)$.

**Indépendance du choix de $b$ :** Si $\tilde{b} \in C$ est une autre base orthonormée, $\tilde{b}_i = \sum_j Q_{ij}b_j$ avec $Q$ orthogonale et $\det(Q) = \det_b(\tilde{b}) > 0$, donc $\det(Q) = 1$ et $\Omega_p(\tilde{b}) = \Omega_p(b)$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Question peu traitée.

Le rapport note : « L'unicité était une conséquence du fait que, pour une base orthonormale $e$ du sous-espace $V$, on avait $\mathrm{vol}_p(e) = 1$. »

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### Question 14(a)

**Stratégie.** Norme 1 : $\|\Psi(V,C)\|^2 = \langle\Omega_p(b),\Omega_p(b)\rangle = \Omega_p(b)(b) = 1$.

Injectivité : $\Psi(V,C) = \Psi(V',C')$ implique colinéarité de $\Omega_p(b)$ et $\Omega_p(b')$, donc $V = V'$ par 13(a), puis le signe de $\mu$ donne $C = C'$.

**Rédaction.**

**Norme 1 :** Pour $(V,C) \in \widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E)$, soit $b \in C$ une base orthonormée.

Par 11 : $$\|\Psi(V,C)\|^2 = \langle\Omega_p(b),\Omega_p(b)\rangle = \Omega_p(b)(b) = \det(\mathrm{Gram}(b,b)) = 1.$$
Donc $\Psi(V,C)$ est sur la sphère unité de $\mathscr{A}_p(E,\mathbb{R})$.

**Injectivité :** Supposons $\Psi(V,C) = \Psi(V',C')$, i.e. $\Omega_p(b) = \Omega_p(b')$ avec $b \in C$, $b' \in C'$ bases orthonormées.

Ces deux formes sont colinéaires (égales), donc par 13(a) : $\mathrm{Vect}(b) = \mathrm{Vect}(b')$, i.e. $V = V'$.

De plus, $\Omega_p(b') = \Omega_p(b)$ signifie (par 7a, $b'_i = \sum_j Q_{ij}b_j$ avec $Q$ orthogonale) : $\det(Q)\Omega_p(b) = \Omega_p(b)$, donc $\det(Q) = 1$.

Or $\det(Q) = \det_b(b') > 0$ signifie que $b$ et $b'$ ont la même orientation, i.e. $C = C'$. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Très rarement traitée. Le rapport indique les deux points : norme 1 (calcul de Gram pour une famille orthonormale) et injectivité (via 13a + argument de signe).

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### Question 14(b)

**Stratégie.** Image d'une application continue sur un compact.

On utilise un critère séquentiel : extraire une sous-suite convergente d'ONFs à partir de la compacité de la sphère unité de $E$, puis conclure par continuité de $\Omega_p$.

**Rédaction.** Montrons que $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ est séquentiellement compacte, donc compacte (espace de dimension finie).

Soit $(\omega_n) = (\Psi(V_n,C_n))_{n \geq 0}$ une suite dans $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$.

Pour chaque $n$, choisissons une base orthonormée $b^{(n)} = (b^{(n)}_1,\ldots,b^{(n)}_p) \in C_n$.

Chaque $b^{(n)}_j$ est un vecteur de la sphère unité $S_E = \{x \in E : \|x\|=1\}$.

Cette sphère est compacte (fermée bornée en dimension finie).

Par le **théorème de Bolzano-Weierstrass** appliqué à $S_E^p$ (produit fini de compacts, compact), il existe une sous-suite $(n_k)$ telle que $b^{(n_k)} \to b^* = (b^*_1,\ldots,b^*_p) \in E^p$.

Par passage à la limite dans $\langle b^{(n_k)}_i, b^{(n_k)}_j\rangle = \delta_{ij}$ (continuité du produit scalaire) : $\langle b^*_i,b^*_j\rangle = \delta_{ij}$.

Donc $b^*$ est une famille orthonormée, et $\mathrm{Vect}(b^*)$ est de dimension $p$.

L'application $b \mapsto \Omega_p(b) = \Psi(\mathrm{Vect}(b),[b])$ est continue (car $\Omega_p(b)(u) = \det(\mathrm{Gram}(b,u))$ est continue en $b$).

Donc : $$\Psi(V_{n_k},C_{n_k}) = \Omega_p(b^{(n_k)}) \longrightarrow \Omega_p(b^*) = \Psi(\mathrm{Vect}(b^*),[b^*]) \in \Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E)).$$
L'image est séquentiellement compacte, donc **compacte**. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Question très rarement traitée. Le rapport mentionne également la voie « fermé + borné » : l'image est bornée (dans la sphère unité) et la preuve de fermeture est essentiellement le même critère séquentiel.

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### Question 15

**Stratégie.**

Pour $p = d$ : $A_d(E,\mathbb{R})$ est de dimension 1, sa sphère unité est un ensemble de 2 points, donc non connexe par arcs.

Pour $p \leq d-1$ : construire un chemin entre deux éléments quelconques de $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ en utilisant les sous-espaces $W_k = \mathrm{Vect}(u_k,u'_k)$ de q. 3(d) (le fait $p \leq d-1$ permet de changer d'orientation en passant par une direction perpendiculaire).

**Rédaction.**

**$p = d$ : non connexe par arcs.**

Par 10(b), $\dim \mathscr{A}_d(E,\mathbb{R}) = \binom{d}{d} = 1$.

La sphère unité de $\mathbb{R}^1$ est $\{+\omega_0,-\omega_0\}$ (deux points).

La seule sous-espace de dimension $d$ de $E$ est $E$ lui-même.

Il y a exactement deux orientations $C_+$ et $C_-$, donc $\widetilde{\mathrm{Gr}}(d,E) = \{(E,C_+),(E,C_-)\}$ et $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(d,E)) = \{\omega_0,-\omega_0\}$ (deux points distincts par 14a).

Un ensemble à deux points est **non connexe par arcs** (tout chemin continu de $\omega_0$ à $-\omega_0$ dans $\mathbb{R}^1$ doit passer par 0, qui n'est pas sur la sphère unité). ✓

**$p \leq d-1$ : connexe par arcs.**

Soient $(V,C)$ et $(V',C')$ dans $\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E)$.

Construisons un chemin les reliant.

*Étape 1 : connexion par rotation principale (utilisant q. 3d).*

Choisissons des bases orthonormées $u \in C$ et $u' \in C'$ de $V$ et $V'$ selon la construction de la Partie I (q. 1b), avec angles principaux $\theta_1 \leq \cdots \leq \theta_p$.

Par q. 3(d), $W_k = \mathrm{Vect}(u_k,u'_k)$ sont deux à deux orthogonaux.

Pour $\theta_k > 0$, posons $\hat{u}_k = (u'_k - \cos\theta_k\,u_k)/\sin\theta_k$ (vecteur unitaire dans $W_k$, perpendiculaire à $u_k$).

Définissons, pour $t \in [0,1]$ : $$\gamma_k(t) = \begin{cases}\cos(t\theta_k)u_k + \sin(t\theta_k)\hat{u}_k & \text{si } \theta_k > 0,\\ u_k & \text{si } \theta_k = 0.\end{cases}$$
La famille $\gamma(t) = (\gamma_1(t),\ldots,\gamma_p(t))$ est orthonormée pour tout $t$ (car $W_k \perp W_l$ pour $k \neq l$ et $\|\gamma_k(t)\|=1$).

Le chemin $t \mapsto \Omega_p(\gamma(t))$ est continu, avec $\Omega_p(\gamma(0)) = \Omega_p(u) = \Psi(V,C_u)$ et $\Omega_p(\gamma(1)) = \Omega_p(u') = \Psi(V',C_{u'})$.

*Étape 2 : changement d'orientation (utilise $p \leq d-1$).*

Si $(V,C) \neq (V,C_u)$ (i.e. $C \neq C_u$), on construit un chemin de $\Psi(V,C)$ à $\Psi(V,C_u)$ : comme $p \leq d-1 < d$, il existe un vecteur unitaire $n \in E$ avec $n \perp V$.

Pour $\tau \in [0,\pi]$, posons $$\delta(\tau) = (\cos\tau\,u_1 + \sin\tau\,n,\,u_2,\ldots,u_p).$$ $\delta(\tau)$ est une famille orthonormée (car $n \perp u_j$ pour $j \geq 2$ et $n \perp u_1$, donc $\cos\tau\,u_1+\sin\tau\,n \perp u_j$ pour $j \geq 2$, et $\|\cos\tau\,u_1+\sin\tau\,n\|=1$).

Le chemin $\tau \mapsto \Omega_p(\delta(\tau))$ est continu de $\Psi(V,C_u)$ à $\Psi(V,-C_u)$ (car $\delta(\pi) = (-u_1,u_2,\ldots,u_p)$ a orientation opposée à $u$).

Ainsi on peut atteindre $\Psi(V,C)$ depuis $\Psi(V,C_u)$ en $\leq 1$ chemin.

De même pour $\Psi(V',C')$ depuis $\Psi(V',C_{u'})$.

*Conclusion.*

En concaténant les chemins des étapes 1 et 2, on relie $\Psi(V,C)$ à $\Psi(V',C')$ dans $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$.

Donc $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ est **connexe par arcs**. $\square$

**Commentaire du correcteur.** Question très peu traitée et difficile. Le rapport indique que « le fait que $p = d$ implique la non-connexité par arcs était la partie la plus accessible de la preuve ».

Pour $p \leq d-1$, l'existence d'un vecteur $n \perp V$ (due à $p < d$) est le point crucial permettant le changement d'orientation — c'est la raison profonde pour laquelle $p \leq d-1$ est le seuil.

L'indication « utiliser la question 3d » renvoie à la construction explicite de $\gamma(t)$ via les sous-espaces $W_k$ orthogonaux.

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*Fin du corrigé.*