Maths A

$(E,\mathbb{R}) = \binom{d}{d-1} = d$.

Définir $\Phi : E \to \mathscr{A}_{d-1}(E,\mathbb{R})$ par $$\Phi(v)(u_1,\ldots,u_{d-1}) = \det\bigl((v\mid u_1\mid\cdots\mid u_{d-1})\bigr),$$ où le déterminant est celui de la matrice $d\times d$ dont les colonnes sont les coordonnées dans $e$.

Par (5)(b), $\Phi(v)\in\mathscr{A}_{d-1}(E,\mathbb{R})$ pour tout $v$, et $\Phi$ est clairement linéaire.

Pour $i\in\llbracket1,d\rrbracket$, notons $\alpha^{(i)}=(1,\ldots,\hat{i},\ldots,d)\in\mathcal{I}_{d-1}$.

Alors $$\Phi(e_i)(e_{\alpha^{(j)}}) = \det(e_i\mid e_1\cdots\widehat{e_j}\cdots e_d) = \begin{cases}(-1)^{i-1}&\text{si }i=j,\\0&\text{sinon.}\end{cases}$$
Donc $\langle\Phi(e_i),\Phi(e_j)\rangle = \sum_\alpha \Phi(e_i)(e_\alpha)\Phi(e_j)(e_\alpha)=\delta_{ij}$.

L'image de la base orthonormée $(e_i)$ est une famille orthonormée de $\mathscr{A}_{d-1}(E,\mathbb{R})$, donc $\Phi$ est une isométrie.

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**(11)** Soient $A,B\in\mathbb{R}^{d\times p}$ définis par $A_{ki}=\langle e_k,u_i\rangle$ et $B_{kj}=\langle e_k,v_j\rangle$.

Alors : $$\Omega_p(u)(v)=\det\bigl(\mathrm{Gram}(u,v)\bigr)=\det(A^\top B).$$
Par la formule de Cauchy-Binet : $$\det(A^\top B)=\sum_{\alpha\in\mathcal{I}_p}\det\bigl(A^\top[\cdot,\alpha]\bigr)\det\bigl(B[\alpha,\cdot]\bigr)=\sum_\alpha\det\bigl(A[\alpha,\cdot]\bigr)\det\bigl(B[\alpha,\cdot]\bigr).$$
Or $\det(A[\alpha,\cdot])=\det(\mathrm{Gram}(e_\alpha,u))=\Omega_p(e_\alpha)(u)=\Omega_p(u)(e_\alpha)$ (par (6)(b)), et de même pour $B$.

Donc
$$\Omega_p(u)(v)=\sum_{\alpha\in\mathcal{I}_p}\Omega_p(u)(e_\alpha)\,\Omega_p(v)(e_\alpha)=\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle.\qquad\square$$

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**(12)** Soit $e'=(e_1',\ldots,e_d')$ une autre base orthonormée.

Pour tous $u,v\in E^p$ : $$\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle_{e}=\Omega_p(u)(v)=\det(\mathrm{Gram}(u,v))=\langle\Omega_p(u),\Omega_p(v)\rangle_{e'}$$ (la même formule de Cauchy-Binet s'applique avec $e'$).

Comme $\mathscr{A}_p(E,\mathbb{R})$ est engendré par les $\Omega_p(u)$ (par (10)(a)), et que les deux produits scalaires coïncident sur ces générateurs, ils sont égaux sur $\mathscr{A}_p(E,\mathbb{R})\times\mathscr{A}_p(E,\mathbb{R})$. $\square$

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## Partie IV

**(13)(a)**

$(\Rightarrow)$ Si $\mathrm{Vect}(e)=\mathrm{Vect}(e')=V$, choisir une base orthonormée $b$ de $V$.

Par (7)(a) : $\Omega_p(e)=\det(M)\,\Omega_p(b)$ et $\Omega_p(e')=\det(M')\,\Omega_p(b)$, donc ils sont colinéaires.

$(\Leftarrow)$ Supposons $\Omega_p(e)=\lambda\,\Omega_p(e')$ avec $\lambda\neq0$ (les deux sont non nuls par (7)(b)).

Par (11) : $$\|\Omega_p(e)\|^2=\Omega_p(e)(e)=\mathrm{vol}_p(e)^2>0,\quad\|\Omega_p(e')\|^2=\mathrm{vol}_p(e')^2>0.$$
Choisissons des bases orthonormées $b$ de $V=\mathrm{Vect}(e)$ et $b'$ de $V'=\mathrm{Vect}(e')$ ; alors $\Omega_p(b)=c\,\Omega_p(b')$ pour un certain $c\in\mathbb{R}^*$.

On a $\|\Omega_p(b)\|^2=1$ et $\|\Omega_p(b')\|^2=1$, donc $c^2=1$.

De plus, $\langle\Omega_p(b),\Omega_p(b')\rangle=\Omega_p(b)(b')=\det(\mathrm{Gram}(b,b'))=\prod_k\cos\theta_k\in[0,1]$.

D'autre part $\langle\Omega_p(b),\Omega_p(b')\rangle=c\,\|\Omega_p(b)\|^2=c$.

Donc $c=\prod_k\cos\theta_k\geq0$, et $c^2=1$ impose $c=1$, i.e. $\prod_k\cos\theta_k=1$.

D'après la partie I (4)(c), cela implique $V=V'$. $\square$

**(13)(b)** Pour $e\in C$ libre, posons $\Psi(V,C)=\dfrac{\Omega_p(e)}{\mathrm{vol}_p(e)}$.

*Bonne définition :* Si $e'\in C$ est un autre représentant, il existe $P$ (matrice de changement de base de $e$ à $e'$ dans $V$) avec $\det(P)>0$ (même classe d'orientation) et, par (7)(a) : $$\Omega_p(e')=\det(P)\,\Omega_p(e),\qquad\mathrm{vol}_p(e')=|\det(P)|\,\mathrm{vol}_p(e)=\det(P)\,\mathrm{vol}_p(e).$$
Donc $\dfrac{\Omega_p(e')}{\mathrm{vol}_p(e')}=\dfrac{\Omega_p(e)}{\mathrm{vol}_p(e)}$. ✓

*Unicité :* Immédiate car $\mathrm{vol}_p(e)>0$.

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**(14)(a)** 

*Norme 1 :* $\|\Psi(V,C)\|^2=\langle\Psi(V,C),\Psi(V,C)\rangle=\dfrac{\langle\Omega_p(e),\Omega_p(e)\rangle}{\mathrm{vol}_p(e)^2}=\dfrac{\Omega_p(e)(e)}{\mathrm{vol}_p(e)^2}=1$.

*Injectivité :* Supposons $\Psi(V,C)=\Psi(V',C')$.

Alors $\Omega_p(e)$ et $\Omega_p(e')$ sont colinéaires pour $e\in C$, $e'\in C'$, donc $V=V'$ par (13)(a).

Choisissons des bases orthonormées $b\in C$ et $b'\in C'$ de $V$.

Alors $\Omega_p(b)=\Omega_p(b')$, et comme $b'=bA$ avec $A\in O(p)$ : $$\Omega_p(b')=\det(A)\,\Omega_p(b),$$ donc $\det(A)=1$, i.e. $b$ et $b'$ sont dans la même classe d'orientation $C=C'$. ✓

**(14)(b)** Soit $(\Psi(V_n,C_n))_{n\geq1}$ une suite dans $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$.

Pour chaque $n$, choisir une base orthonormée $b_n\in C_n$ de $V_n$ ; alors $\Psi(V_n,C_n)=\Omega_p(b_n)$.

La suite $(b_n)$ vit dans la variété de Stiefel $V_p(E)=\{(x_1,\ldots,x_p)\in E^p:\langle x_i,x_j\rangle=\delta_{ij}\}$, qui est compacte (fermé borné en dimension finie).

On peut en extraire une sous-suite $b_{n_k}\to b=(b_1,\ldots,b_p)$ dans $V_p(E)$, avec $b$ une famille orthonormée de $E$.

Par continuité de $u\mapsto\Omega_p(u)$ : $$\Omega_p(b_{n_k})\to\Omega_p(b)=\Psi\bigl(\mathrm{Vect}(b),C_b\bigr)\in\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E)).$$
Donc $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ est fermé dans la sphère unité (compacte), donc compact. $\square$

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**(15)**

**Cas $p=d$ (non connexe par arcs) :**

$\widetilde{\mathrm{Gr}}(d,E)=\{(E,C_+),(E,C_-)\}$, deux points. $\mathscr{A}_d(E,\mathbb{R})$ est de dimension $\binom{d}{d}=1$, engendré par $\omega_0=\Omega_d(e_1,\ldots,e_d)$.

On a $\Psi(E,C_+)=\omega_0$ et $\Psi(E,C_-)=-\omega_0$.

Donc $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(d,E))=\{+\omega_0,-\omega_0\}$, ensemble discret à deux points : non connexe par arcs.

**Cas $p\leq d-1$ (connexe par arcs) :**

Il suffit de montrer que $V_p(E)=\{b\in E^p:\langle b_i,b_j\rangle=\delta_{ij}\}$ est connexe par arcs, car $b\mapsto\Omega_p(b)$ est continue et $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ en est l'image.

Soient $b,b'\in V_p(E)$.

Appliquons la question (1)(b) aux sous-espaces $V=\mathrm{Vect}(b)$ et $V'=\mathrm{Vect}(b')$ : on obtient des bases orthonormées canoniques $u=(u_1,\ldots,u_p)$ de $V$ et $u'=(u_1',\ldots,u_p')$ de $V'$, avec $W_k=\mathrm{Vect}(u_k,u_k')$ deux à deux orthogonaux (question 3d) et $\langle u_k,u_k'\rangle=\cos\theta_k\geq0$.

**Chemin de $u$ à $u'$ :** Dans chaque $W_k$, écrire $u_k'=\cos\theta_k\,u_k+\sin\theta_k\,f_k$ avec $f_k\in W_k$, $f_k\perp u_k$.

Poser $$u_k(t)=\cos(t\theta_k)\,u_k+\sin(t\theta_k)\,f_k,\quad t\in[0,1].$$
Alors $u_k(0)=u_k$, $u_k(1)=u_k'$, et $(u_1(t),\ldots,u_p(t))$ est orthonormée pour tout $t$ (car $u_k(t)\in W_k$ et les $W_k$ sont deux à deux orthogonaux par (3d)).

C'est un chemin continu dans $V_p(E)$ de $u$ à $u'$.

**Chemin de $b$ à $u$ :** $b$ et $u$ sont deux bases orthonormées de $V$, liées par $u_k=\sum_j A_{jk}b_j$ pour $A\in O(p)$.

Puisque $p<d$, il existe un vecteur $n\in V^\perp$, $\|n\|=1$.

La rotation dans $\mathrm{Vect}(b_1,n)$ d'angle $\pi$ donne le chemin $\theta\mapsto(R_\theta b_1,b_2,\ldots,b_p)\in V_p(E)$ qui envoie $(b_1,\ldots,b_p)$ sur $(-b_1,b_2,\ldots,b_p)$ et reste dans $V_p(E)$.

Cela permet de modifier le signe d'un vecteur de base sans quitter $V_p(E)$, et ainsi de se ramener à $A\in SO(p)$.

Dans ce cas, $A$ est produit de rotations planes, chacune se déformant continûment vers l'identité dans $V_p(V)$ ; on obtient un chemin dans $V_p(E)$ de $b$ à $u$.

De même, on relie $b'$ à $u'$ par un chemin dans $V_p(E)$.

En concaténant les trois chemins ($b\to u$, $u\to u'$, $u'\to b'$), on obtient un chemin continu dans $V_p(E)$ de $b$ à $b'$.

Donc $V_p(E)$ est connexe par arcs, et ainsi $\Psi(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p,E))$ l'est également. $\blacksquare$