Maths A

# Sujet — Mathématiques A, filière MP — X / ENS — 2022

ECOLE POLYTECHNIQUE

ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D’ADMISSION 2022

LUNDI 25 AVRIL 2022

08h00 - 12h00

FILIERE MP — Epreuve n° 1

**MATHEMATIQUES A (XLSR)**

*Durée : 4 heures*

*L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.*

## Notations et rappels

• Dans tout le problème, $p$ désigne un entier *strictement positif*.

• On note $\mathbb{N}$ l’ensemble des entiers naturels. Pour tous entiers $a$ et $b$ dans $\mathbb{N}$ tels que $a \le b$, on note $\llbracket a, b \rrbracket = \{n \in \mathbb{N} \mid a \le n \le b\}$.

On note $\mathfrak{S}_p$ le groupe des permutations de l’ensemble fini $\llbracket 1, p \rrbracket$ muni de la composition.

On note $\epsilon : \mathfrak{S}_p \to \{-1, +1\}$ l’application signature, définie comme l’unique morphisme de groupes de $(\mathfrak{S}_p, \circ)$ dans $(\{-1, +1\}, \times)$ qui vaut $-1$ sur toutes les transpositions.

• On note $\mathcal{M}_p(\mathbb{R})$ le $\mathbb{R}$-espace vectoriel des matrices carrées de taille $p \times p$.

Pour tout $(x_1, \ldots, x_p) \in (\mathbb{R}^p)^p$, on appelle produit mixte de $(x_1, \ldots, x_p)$ la quantité

$$[x_1, \ldots, x_p] = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_p} \epsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{p} x_{\sigma(i), i}$$

où pour tout $j \in \llbracket 1, p \rrbracket$, on a noté $x_j = (x_{i,j})_{1 \le i \le p} \in \mathbb{R}^p$. En particulier, si on note $(x_1 \mid \cdots \mid x_p)$ la matrice de taille $p \times p$ élément de $\mathcal{M}_p(\mathbb{R})$ dont les colonnes sont données par les vecteurs $x_1, \ldots, x_p$, on a donc l’égalité $[x_1, \ldots, x_p] = \det((x_1 \mid \cdots \mid x_p))$ où $\det$ est le déterminant usuel.

• Si $F$ et $G$ sont deux $\mathbb{R}$-espaces vectoriels, on dit que $f : F^p \to G$ est $p$-linéaire alternée si pour tout $u = (u_1, \ldots, u_p) \in F^p$ et tout $i \in \llbracket 1, p \rrbracket$, l’application

$$y \mapsto f(u_1, \ldots, u_{i-1}, y, u_{i+1}, \ldots, u_p)$$

de $F$ dans $G$ est linéaire et pour tout $\sigma \in \mathfrak{S}_p$ on a

$$f(u \cdot \sigma) = \epsilon(\sigma) f(u)$$

où $u \cdot \sigma = (u_{\sigma(i)})_{1 \le i \le p}$.

On notera $\mathscr{A}_p(F, G)$ l’ensemble des applications $p$-linéaires alternées de $F^p$ dans $G$.

• Dans tout le problème, on considère un espace euclidien $E$ de dimension $d \ge 1$ muni de son produit scalaire $(x, y) \mapsto \langle x, y \rangle$. On note pour $x \in E$, $\|x\| = \langle x, x \rangle^{1/2}$ la norme associée.

• Pour tout entier $q$ non nul, et toute famille $(u_1, \ldots, u_q)$ d’éléments de $E$, $\operatorname{Vect}(u_1, \ldots, u_q)$ désigne le sous-espace vectoriel de $E$ engendré par $u_1, \ldots, u_q$.

• Pour tous $u = (u_1, \ldots, u_p)$ et $v = (v_1, \ldots, v_p)$ dans $E^p$, on note $\operatorname{Gram}(u, v)$, la matrice carrée de $\mathcal{M}_p(\mathbb{R})$ définie pour tous $i, j \in \llbracket 1, p \rrbracket$ par

$$\operatorname{Gram}(u, v)_{i,j} = \langle u_i, v_j \rangle.$$

## Partie I

Soient $V$ et $V'$ deux sous-espaces de $E$ de dimension $p$ (on rappelle que $p \ge 1$).

**(1) (a)** Montrer qu’il existe $u_1 \in V$ et $u'_1 \in V'$ de norme $1$ tels que

$$\langle u_1, u'_1 \rangle = \sup\{\langle a, a' \rangle \mid (a, a') \in V \times V',\ \|a\| = \|a'\| = 1\}.$$

**(b)** Étendre ce résultat en montrant qu’il existe une famille $u = (u_1, \ldots, u_p)$ de vecteurs de $V$ et une famille $u' = (u'_1, \ldots, u'_p)$ de vecteurs de $V'$ telles que $u$ et $u'$ soient orthonormées et vérifient les deux conditions suivantes :

**(i)** Pour $k = 1$, on a

$$\langle u_1, u'_1 \rangle = \sup\{\langle a, a' \rangle \mid (a, a') \in V \times V',\ \|a\| = \|a'\| = 1\}.$$

**(ii)** Pour $k \in \llbracket 2, p \rrbracket$, on a

$$
\begin{aligned}
\langle u_k, u'_k \rangle = \sup\{\langle a, a' \rangle \mid {}&(a, a') \in V \times V',\ \|a\| = \|a'\| = 1, \\
&\langle a, u_l \rangle = \langle a', u'_l \rangle = 0 \text{ pour tout } l \in \llbracket 1, k - 1 \rrbracket\}.
\end{aligned}
$$

(Indication : On pourra construire les vecteurs $u_k$ et $u'_k$ par récurrence sur l’entier $k$.)

On fixe deux telles familles $u$ et $u'$ dans le reste de la partie I.

**(2)** Montrer que si $\dim(V \cap V') \ge 1$, on a $u_k = u'_k$ pour tout $1 \le k \le \dim(V \cap V')$.

**(3) (a)** Montrer que $u$ est une base orthonormée de $V$.

**(b)** Montrer que pour $k \in \llbracket 1, p - 1 \rrbracket$, on a $u'_k \in \operatorname{Vect}(u_{k+1}, \ldots, u_p)^\perp$.

(Indication : On pourra considérer l’application $\displaystyle t \mapsto u_k(t) = \frac{u_k + tu_l}{\|u_k + tu_l\|}$ pour tous $t \in \mathbb{R}$ et $l \in \llbracket k + 1, p \rrbracket$ ainsi que sa dérivée.)

**(c)** Montrer que $u_{k+1} \in \bigl(\operatorname{Vect}(u_1, \ldots, u_k) + \operatorname{Vect}(u'_1, \ldots, u'_k)\bigr)^\perp$ pour tout $k$ élément de $\llbracket 1, p - 1 \rrbracket$.

**(d)** En déduire que les sous-espaces $W_k = \operatorname{Vect}(u_k, u'_k)$ pour $k \in \llbracket 1, p \rrbracket$ sont orthogonaux deux à deux.

**(4) (a)** Montrer qu’il existe $0 \le \theta_1 \le \cdots \le \theta_p \le \pi/2$ tel que $\cos(\theta_k) = \langle u_k, u'_k \rangle$ pour tout $k \in \llbracket 1, p \rrbracket$.

**(b)** Calculer la valeur de $\det(\operatorname{Gram}(u, u'))$ en fonction des $\cos(\theta_k)$.

**(c)** En déduire que $\det(\operatorname{Gram}(u, u')) \le 1$. Que dire sur $V$ et $V'$ dans le cas d’égalité ?

## Partie II

Pour tout $e \in E^p$, on considère $\Omega_p(e) : E^p \to \mathbb{R}$ définie pour tout $u \in E^p$ par

$$\Omega_p(e)(u) = \det(\operatorname{Gram}(e, u)).$$

**(5) (a)** Vérifier que l’application $(x_1, \ldots, x_p) \mapsto [x_1, \ldots, x_p]$ appartient à $\mathscr{A}_p(\mathbb{R}^p, \mathbb{R})$.

**(b)** Vérifier que si $F$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ et si $f : F \to \mathbb{R}^p$ est linéaire, alors $g : F^p \to \mathbb{R}$ définie pour $u = (u_1, \ldots, u_p) \in F^p$ par $g(u) = [f(u_1), \ldots, f(u_p)]$ est un élément de $\mathscr{A}_p(F, \mathbb{R})$.

**(6) (a)** Montrer que pour tout $e \in E^p$, on a $\Omega_p(e) \in \mathscr{A}_p(E, \mathbb{R})$.

**(b)** Vérifier que pour tout $(e, u) \in E^p \times E^p$, on a $\Omega_p(e)(u) = \Omega_p(u)(e)$.

**(c)** Montrer que $\Omega_p \in \mathscr{A}_p\bigl(E, \mathscr{A}_p(E, \mathbb{R})\bigr)$.

**(7) (a)** Soient $M \in \mathcal{M}_p(\mathbb{R})$, $e = (e_1, \ldots, e_p)$ et $e' = (e'_1, \ldots, e'_p)$ dans $E^p$ vérifiant $e'_i = \sum_{j=1}^{p} M_{ij} e_j$ pour tout $i \in \llbracket 1, p \rrbracket$. Montrer que $\Omega_p(e') = \det(M)\, \Omega_p(e)$.

**(b)** Soit $e \in E^p$. Montrer que $\Omega_p(e) \ne 0$ si et seulement si $e$ est une famille libre.

**(c)** Vérifier que $\Omega_p(e)(e) \ge 0$ pour toute famille $e \in E^p$.

Dans la suite pour tout $e \in E^p$, on appelle $p$-volume de $e$ la quantité

$$\operatorname{vol}_p(e) = \sqrt{\Omega_p(e)(e)} = \bigl(\det(\operatorname{Gram}(e, e))\bigr)^{1/2}.$$

**(8) (a)** Calculer $\operatorname{vol}_p(b)$ lorsque $b = (b_1, \ldots, b_p)$ est une famille orthonormée de vecteurs de $E$.

**(b)** On suppose ici que $p \ge 2$. Soit $e = (e_1, \ldots, e_p) \in E^p$. On note $\mathrm{pr}$ la projection orthogonale sur l’orthogonal de l’espace engendré par la famille $e_2^p = (e_2, \ldots, e_p)$. Montrer que $\operatorname{vol}_p(e) = \|\mathrm{pr}(e_1)\|\, \operatorname{vol}_{p-1}(e_2^p)$.

**(c)** Pour toute famille libre $e = (e_1, \ldots, e_p) \in E^p$, montrer que $\displaystyle \operatorname{vol}_p(e) \le \prod_{i=1}^{p} \|e_i\|$ avec égalité si et seulement si $e$ est une famille de vecteurs orthogonaux 2 à 2.

**(9) (a)** Montrer que si $e \in E^p$ est une famille libre et si $b \in E^p$ est une base orthonormée de $\operatorname{Vect}(e)$, alors $\operatorname{vol}_p(e) = |\det(P_b^e)|$ où $P_b^e$ est la matrice de passage de $b$ à $e$ i.e. $e_j = \sum_{i=1}^{p} (P_b^e)_{ij} b_i$ pour tout $j \in \llbracket 1, p \rrbracket$.

**(b)** Montrer que pour tous $e, e' \in E^p$, on a $|\Omega_p(e)(e')| \le \operatorname{vol}_p(e)\, \operatorname{vol}_p(e')$.

## Partie III

Soient $e = (e_1, \ldots, e_d)$ une base orthonormée de $E$, $p$ un entier tel que $1 \le p \le d$ et

$$\mathcal{I}_p = \{\alpha = (i_1, \ldots, i_p) \in \mathbb{N}^p \mid 1 \le i_1 < \cdots < i_p \le d\}.$$

Pour tout $\alpha = (i_1, \ldots, i_p) \in \mathcal{I}_p$, on note $e_\alpha = (e_{i_1}, \ldots, e_{i_p}) \in E^p$ et pour tous $\omega$ et $\omega'$ éléments de $\mathscr{A}_p(E, \mathbb{R})$

$$(1) \qquad \langle \omega, \omega' \rangle = \sum_{\alpha \in \mathcal{I}_p} \omega(e_\alpha)\, \omega'(e_\alpha).$$

**(10) (a)** Montrer que pour tout $\omega \in \mathscr{A}_p(E, \mathbb{R})$, on a $\displaystyle \omega = \sum_{\alpha \in \mathcal{I}_p} \omega(e_\alpha)\, \Omega_p(e_\alpha)$.

**(b)** En déduire que $(\omega, \omega') \mapsto \langle \omega, \omega' \rangle$ est un produit scalaire sur $\mathscr{A}_p(E, \mathbb{R})$ pour lequel $\bigl(\Omega_p(e_\alpha)\bigr)_{\alpha \in \mathcal{I}_p}$ est une base orthonormée de $\mathscr{A}_p(E, \mathbb{R})$ et donner la dimension de $\mathscr{A}_p(E, \mathbb{R})$.

**(c)** Construire dans le cas $p = d - 1$ une isométrie entre $\mathscr{A}_p(E, \mathbb{R})$ et $E$.

**(11)** On considère $u, v \in E^p$. Montrer que

$$\Omega_p(u)(v) = \langle \Omega_p(u), \Omega_p(v) \rangle.$$

**(12)** Montrer que le produit scalaire $(\omega, \omega') \mapsto \langle \omega, \omega' \rangle$ défini par (1) ne dépend que du produit scalaire sur $E$ et non du choix de la base orthonormée $e$.

## Partie IV

Soit $p \in \llbracket 1, d \rrbracket$. On définit une relation sur l’ensemble des bases d’un sous-espace $V$ de dimension $p$ de $E$ par : $e$ et $e'$ sont en relation si $\det_e(e') > 0$ où $\det_e(e')$ est le déterminant de $e'$ dans la base $e$. On admet que cette relation est une relation d’équivalence sur l’ensemble des bases de $V$ pour laquelle il existe exactement deux classes d’équivalence appelées orientations de $V$. Un sous-espace orienté est un couple $(V, C)$ où $C$ est une orientation de $V$.

On note $\widetilde{\mathrm{Gr}}(p, E)$ l’ensemble des sous-espaces orientés de dimension $p$ de $E$.

**(13) (a)** Montrer que si $e$ et $e'$ sont deux familles libres de cardinal $p$ de $E$ alors $\Omega_p(e)$ et $\Omega_p(e')$ sont colinéaires si et seulement si $\operatorname{Vect}(e) = \operatorname{Vect}(e')$.

**(b)** Montrer que pour tout sous-espace vectoriel orienté $(V, C)$ de dimension $p$ de $E$, il existe une unique $\mathrm{\Psi}(V, C) \in \mathscr{A}_p(E, \mathbb{R})$ tel que pour tout $e \in C$ on a $\Omega_p(e) = \operatorname{vol}_p(e)\, \mathrm{\Psi}(V, C)$.

**(14)** On munit $\mathscr{A}_p(E, \mathbb{R})$ du produit scalaire introduit dans la partie III.

**(a)** Vérifier que $\mathrm{\Psi} : (V, C) \mapsto \mathrm{\Psi}(V, C)$ est une injection de $\widetilde{\mathrm{Gr}}(p, E)$ dans la sphère de rayon $1$ de $\mathscr{A}_p(E, \mathbb{R})$.

**(b)** Montrer que $\mathrm{\Psi}\bigl(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p, E)\bigr)$ est une partie compacte de $\mathscr{A}_p(E, \mathbb{R})$.

**(15)** Montrer que $\mathrm{\Psi}\bigl(\widetilde{\mathrm{Gr}}(p, E)\bigr)$ est une partie connexe par arcs de $\mathscr{A}_p(E, \mathbb{R})$ si et seulement si $p \le d - 1$. (Indication : On pourra utiliser la question 3d.)

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