Maths A

# Sujet — Mathématiques A, filières MP-MPI — X / ENS — 2023

X / ENS, lundi 17 avril 2023, 8h–12h, filière MP-MPI, épreuve n° 1, MATHÉMATIQUES A (XLSR).

Durée : 4 heures.

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

## Notations

On note $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ les corps des nombres réels et complexes. Pour $z \in \mathbb{C}$ on note $\overline{z}$ le conjugué complexe de $z$ et $|z|$ le module de $z$.

Si $V$ est un espace euclidien, on note $\mathrm{End}(V)$ l’espace des applications $\mathbb{R}$-linéaires de $V$ dans lui-même. On note aussi $\mathrm{GL}(V)$ le groupe des applications $\mathbb{R}$-linéaires bijectives de $V$ sur lui-même, et on note $\mathrm{O}(V) \subset \mathrm{GL}(V)$ (respectivement $\mathrm{SO}(V) \subset \mathrm{GL}(V)$) le groupe orthogonal (respectivement spécial orthogonal) de $V$.

Par convention, les $\mathbb{R}$-algèbres considérées dans ce problème seront non nulles, associatives et unitaires, mais pas forcément commutatives. Deux $\mathbb{R}$-algèbres $A$ et $B$ sont dites isomorphes s’il existe une bijection $\mathbb{R}$-linéaire $f : A \to B$ telle que $f(xy) = f(x)f(y)$ pour tous $x, y \in A$.

Soit $A$ une $\mathbb{R}$-algèbre et soit $e \in A$ l’élément unité de $A$ pour la multiplication. On notera $\mathbb{R}_A$ la sous-algèbre $\{ae \mid a \in \mathbb{R}\}$ de $A$. Un élément $x$ de $A$ est dit inversible s’il existe $y \in A$ tel que $xy = yx = e$. On note $A^{\times}$ l’ensemble des éléments inversibles de $A$. On admet que $A^{\times}$ est un groupe pour la multiplication.

On note $M_2(\mathbb{C})$ la $\mathbb{C}$-algèbre des matrices de taille $2 \times 2$ à coefficients complexes. Pour $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ on note

$$Z(z_1, z_2) = \begin{pmatrix} z_1 & -\overline{z_2} \\ z_2 & \overline{z_1} \end{pmatrix}.$$

Soit $\mathbb{H} = \{Z(z_1, z_2) \mid z_1, z_2 \in \mathbb{C}\} \subset M_2(\mathbb{C})$. On admet que $\mathbb{H}$ est un sous-$\mathbb{R}$-espace vectoriel de $M_2(\mathbb{C})$, admettant comme base les matrices

$$E := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad I := \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}, \quad J := \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad K := \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix},$$

qui vérifient les relations suivantes dans $M_2(\mathbb{C})$ :

$$I^2 = J^2 = K^2 = -E, \quad IJ = -JI = K, \quad JK = -KJ = I, \quad KI = -IK = J.$$

On veillera à ne pas confondre l’élément $i$ de $\mathbb{C}$ et la matrice $I$ de $\mathbb{H} \subset M_2(\mathbb{C})$, ni la matrice $I$ avec la matrice identité $E$.

On note $\mathbb{H}^{\mathrm{im}} = \{xI + yJ + zK \mid (x, y, z) \in \mathbb{R}^3\} \subset \mathbb{H}$.

On définit une application $N : \mathbb{H} \to \mathbb{R}$ par $N\bigl(Z(z_1, z_2)\bigr) := |z_1|^2 + |z_2|^2$.

On note $S = \{U \in \mathbb{H} \mid N(U) = 1\}$.

## I — Préliminaires

Si $A = (a_{ij}) \in M_2(\mathbb{C})$ on note $A^* = \bigl(\overline{a_{ji}}\bigr)$.

**1.** a) Montrer que $\mathbb{H}$ est une sous-$\mathbb{R}$-algèbre de $M_2(\mathbb{C})$ stable par $Z \mapsto Z^*$.

b) Soit $Z \in \mathbb{H}$. Calculer $ZZ^*$ et en déduire que tout élément non nul de $\mathbb{H}$ est inversible.

c) Soit $Z \in \mathbb{H}$. Montrer que $Z \in \mathbb{R}_{\mathbb{H}}$ si et seulement si $ZZ' = Z'Z$ pour tout $Z' \in \mathbb{H}$.

**2.** a) Montrer que l’on a $N(ZZ') = N(Z)N(Z')$ pour tous $Z, Z' \in \mathbb{H}$.

b) Montrer que $S$ est un sous-groupe de $\mathbb{H}^{\times}$ et que $\dfrac{1}{\sqrt{N(Z)}}\, Z \in S$ pour tout $Z \in \mathbb{H}^{\times}$.

**3.** a) Montrer que pour tous $x, y, z, t \in \mathbb{R}$ on a

$$N(xE + yI + zJ + tK) = x^2 + y^2 + z^2 + t^2.$$

b) Montrer que pour tout $U \in \mathbb{H}^{\mathrm{im}}$ on a $U^2 = -N(U)E$ et que

$$\mathbb{H}^{\mathrm{im}} = \bigl\{ U \in \mathbb{H} \mid U^2 \in \, ]-\infty, 0]\, E \bigr\}.$$

La question 3a) montre que l’on définit un produit scalaire $\langle \,,\, \rangle$ sur $\mathbb{H}$ en posant, pour $Z, Z' \in \mathbb{H}$

$$\langle Z, Z' \rangle = \frac{N(Z + Z') - N(Z) - N(Z')}{2},$$

et que l’on dispose d’une isométrie

$$\psi : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{H}, \quad \psi(x, y, z, t) := xE + yI + zJ + tK$$

de $\mathbb{R}^4$ muni du produit scalaire usuel sur $\mathbb{H}$. On munit par la suite $\mathbb{H}$ de sa structure d’espace euclidien induite par le produit scalaire $\langle \,,\, \rangle$. Ainsi $(E, I, J, K)$ est une base orthonormée de $\mathbb{H}$.

**4.** Montrer que $S$ est une partie fermée et connexe par arcs de $\mathbb{H}$.

**5.** Soient $U, V \in \mathbb{H}^{\mathrm{im}}$.

a) Montrer que $U$ et $V$ sont orthogonaux si et seulement si $UV + VU = 0$. Dans ce cas montrer que $UV \in \mathbb{H}^{\mathrm{im}}$ et que le déterminant de la famille $(U, V, UV)$ dans la base $(I, J, K)$ de $\mathbb{H}^{\mathrm{im}}$ est positif ou nul.

b) Montrer que si $(U, V)$ est une famille orthonormale dans $\mathbb{H}^{\mathrm{im}}$, alors $(U, V, UV)$ est une base orthonormée directe de $\mathbb{H}^{\mathrm{im}}$.

## II — Automorphismes de $\mathbb{H}$ et rotations

On munit $S \times S$ de la loi de composition $\times$ donnée par $(u_1, u_2) \times (v_1, v_2) = (u_1 v_1, u_2 v_2)$ et on admet qu’elle munit $S \times S$ d’une structure de groupe. On considère l’application

$$
\begin{aligned}
\alpha : S \times S &\longrightarrow \mathrm{GL}(\mathbb{H}) \\
(u, v) &\longmapsto \bigl( Z \mapsto uZv^{-1} \bigr)
\end{aligned}
$$

en admettant que $\alpha(u, v)$ est bien dans $\mathrm{GL}(\mathbb{H})$. Pour $u \in S$, on admet que l’endomorphisme $\alpha(u, u)$ de $\mathbb{H}$ laisse stable le sous-espace $\mathbb{H}^{\mathrm{im}}$ de $\mathbb{H}$, et on note $C_u \in \mathrm{End}(\mathbb{H}^{\mathrm{im}})$ l’endomorphisme induit. On a donc $C_u(Z) = uZu^{-1}$ pour $Z \in \mathbb{H}^{\mathrm{im}}$.

**6.** Montrer que $\alpha$ est un morphisme de groupes et décrire son noyau.

**7.** Montrer que $\alpha$ est continu et que l’image de $\alpha$ est contenue dans $\mathrm{SO}(\mathbb{H})$. On pourra commencer par montrer que $\alpha(u, v) \in \mathrm{O}(\mathbb{H})$ pour $(u, v) \in S \times S$.

**8.** Soient $\theta \in \mathbb{R}$ et $v \in \mathbb{H}^{\mathrm{im}} \cap S$, et soit $u = (\cos \theta)E + (\sin \theta)v$.

a) Montrer que $u \in S$ et que $u^{-1} = (\cos \theta)E - (\sin \theta)v$.

b) Soit $w \in \mathbb{H}^{\mathrm{im}} \cap S$ un vecteur orthogonal à $v$. Décrire la matrice de $C_u$ dans la base orthonormée directe $(v, w, vw)$ de $\mathbb{H}^{\mathrm{im}}$.

**9.** Montrer que l’application $u \mapsto C_u$ induit un morphisme surjectif de groupes $S \to \mathrm{SO}(\mathbb{H}^{\mathrm{im}})$ et décrire son noyau.

**10.** a) En déduire que $\alpha(S \times S) = \mathrm{SO}(\mathbb{H})$.

b) Montrer que $N := \alpha(S \times \{1\})$ est un sous-groupe de $\mathrm{SO}(\mathbb{H})$, puis que $gng^{-1} \in N$ pour tous $n \in N$ et $g \in \mathrm{SO}(\mathbb{H})$ et que $\{\pm \mathrm{id}\} \subsetneq N \subsetneq \mathrm{SO}(\mathbb{H})$.

Soit $\mathrm{Aut}(\mathbb{H})$ l’ensemble des automorphismes de la $\mathbb{R}$-algèbre $\mathbb{H}$. Un élément de $\mathrm{Aut}(\mathbb{H})$ est donc une application $\mathbb{R}$-linéaire bijective $f : \mathbb{H} \to \mathbb{H}$ satisfaisant $f|_{\mathbb{R}_{\mathbb{H}}} = \mathrm{id}_{\mathbb{R}_{\mathbb{H}}}$ et $f(uv) = f(u)f(v)$ pour tout $(u, v) \in \mathbb{H}^2$.

**11.** Montrer que $\mathrm{Aut}(\mathbb{H})$ est un sous-groupe de $\mathrm{GL}(\mathbb{H})$, contenant $\alpha(u, u)$ pour tout $u \in S$.

**12.** Montrer que $\bigl(f(I), f(J), f(K)\bigr)$ est une base orthonormée directe de $\mathbb{H}^{\mathrm{im}}$ pour tout $f \in \mathrm{Aut}(\mathbb{H})$.

**13.** a) Montrer que l’application de restriction à $\mathbb{H}^{\mathrm{im}}$ induit un isomorphisme de groupes

$$\mathrm{Aut}(\mathbb{H}) \simeq \mathrm{SO}(\mathbb{H}^{\mathrm{im}}).$$

b) Montrer que

$$\mathrm{Aut}(\mathbb{H}) = \{\alpha(u, u) \mid u \in S\}.$$

## III — Normes euclidiennes sur $\mathbb{R}^2$

Le but de cette partie est la preuve du résultat suivant, qui sera utilisé dans la partie IV.

**Théorème A.** Soit $\|\cdot\|$ une norme sur le $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{R}^2$. Si

$$\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 \ge 4$$

pour tous $x, y \in \mathbb{R}^2$ vérifiant $\|x\| = \|y\| = 1$, alors $\|\cdot\|$ provient d’un produit scalaire sur $\mathbb{R}^2$.

On note $\|\cdot\|_2$ la norme euclidienne canonique sur $\mathbb{R}^2$ et on note

$$\mathcal{C} := \{x \in \mathbb{R}^2 \mid \|x\|_2 = 1\}.$$

On fixe une norme *quelconque* $\|\cdot\|$ sur $\mathbb{R}^2$ et on note

$$\mathcal{K} = \{A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \forall x \in \mathbb{R}^2\ \|x\|_2 \ge \|Ax\| \}.$$

**14.** a) Montrer que $\mathcal{K}$ est une partie compacte et convexe de $M_2(\mathbb{R})$.

b) Montrer qu’il existe $A \in \mathcal{K}$ tel que $\det A = \sup_{B \in \mathcal{K}} \det B$.

On fixe par la suite un élément $A$ de $\mathcal{K}$ tel que $\det A = \sup_{B \in \mathcal{K}} \det B$.

**15.** Montrer que $\det A > 0$ et qu’il existe $x \in \mathcal{C}$ tel que $\|Ax\| = 1$.

On fixe par la suite $x \in \mathcal{C}$ tel que $\|Ax\| = 1$.

**16.** Soit $B \in \mathrm{SO}(\mathbb{R}^2)$ une matrice telle que $x = B \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.

a) Montrer que pour tout $r \in \, ]0, 1[$ il existe $x_r \in \mathcal{C}$ tel que

$$\left\| AB \begin{pmatrix} r & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{r} \end{pmatrix} x_r \right\| > 1.$$

b) Montrer que si $x_r = \begin{pmatrix} y_r \\ z_r \end{pmatrix}$, alors $z_r^2 > \dfrac{r^2}{1 + r^2}$.

**17.** En utilisant ce qui précède, montrer qu’il existe une base $(e_1, e_2)$ de $\mathbb{R}^2$ telle que $\|Ax\| = \|x\|_2$ pour $x \in \{e_1, e_2\}$.

**18.** Soit $T$ une partie fermée de $\mathcal{C}$, telle qu’il existe $x, y \in T$ avec $y \notin \{-x, x\}$. On suppose que pour tous $a, b \in T$ avec $b \notin \{-a, a\}$, on a que $\dfrac{b - a}{\|b - a\|_2}$ et $\dfrac{b + a}{\|b + a\|_2}$ appartiennent à $T$. Montrer que $T = \mathcal{C}$.

**19.** Montrer le théorème A.

## IV — Algèbres valuées

Soit $A$ une $\mathbb{R}$-algèbre et $e$ son élément neutre. Dans cette partie, on identifiera $\mathbb{R}_A$ avec $\mathbb{R}$, et on notera (abusivement) $a$ l’élément $ae$ de $A$ pour $a \in \mathbb{R}$. On dit que $A$ est algébrique si pour tout $x \in A$ il existe un entier $n \ge 1$ et $a_0, \ldots, a_{n-1} \in \mathbb{R}$ tels que

$$x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 = 0.$$

On dit que $A$ est sans diviseur de zéro si $xy \neq 0$ pour tous $x, y \in A \setminus \{0\}$. Dans cette partie, nous allons montrer le théorème B ci-dessous, puis l’utiliser pour prouver le théorème C plus loin.

**Théorème B.** Une $\mathbb{R}$-algèbre algébrique et sans diviseur de zéro est isomorphe à $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ ou $\mathbb{H}$.

Soit $A$ une $\mathbb{R}$-algèbre algébrique et sans diviseur de zéro.

**20.** a) Montrer que $x^2 \in \mathbb{R} + \mathbb{R}x$ pour tout $x \in A$.

b) Montrer que si $x \in A \setminus \mathbb{R}$, alors $\mathbb{R} + \mathbb{R}x$ est une $\mathbb{R}$-algèbre isomorphe à $\mathbb{C}$.

On suppose que $A$ n’est pas isomorphe à une des algèbres $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

**21.** Montrer qu’il existe $i_A \in A$ tel que $i_A^2 = -1$.

On fixe par la suite un élément $i_A$ de $A$ tel que $i_A^2 = -1$. On note $U = \mathbb{R} + \mathbb{R} i_A$ et on définit l’application

$$T : A \to A, \quad T(x) = i_A x i_A.$$

On note $\mathrm{id} : A \to A$ l’application identité de $A$.

**22.** a) Montrer que $T(xy) = -T(x)T(y)$ pour tous $x, y \in A$.

b) Calculer $T^2 = T \circ T$ et en déduire que $A = \ker(T - \mathrm{id}) \oplus \ker(T + \mathrm{id})$.

**23.** Montrer que $\ker(T + \mathrm{id}) = U$ et en déduire que $\ker(T - \mathrm{id}) \neq \{0\}$.

**24.** On fixe $\beta \in \ker(T - \mathrm{id}) \setminus \{0\}$.

a) Montrer que l’application $x \mapsto \beta x$ envoie $\ker(T - \mathrm{id})$ dans $\ker(T + \mathrm{id})$. En déduire que $\beta^2 \in U$ et que $\ker(T - \mathrm{id}) = \beta U$.

b) Montrer que $\beta^2 \in \, ]-\infty, 0[$.

c) Démontrer le théorème B.

On se propose maintenant de démontrer le résultat suivant :

**Théorème C.** Soit $A$ une $\mathbb{R}$-algèbre. S’il existe une norme $\|\cdot\|$ sur le $\mathbb{R}$-espace vectoriel $A$ telle que

$$\forall x, y \in A \quad \|xy\| = \|x\| \cdot \|y\|,$$

alors $A$ est isomorphe à $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ ou $\mathbb{H}$.

On fixe une $\mathbb{R}$-algèbre comme dans l’énoncé du théorème ci-dessus.

**25.** Soient $x, y \in A$ tels que $xy = yx$ et tels que $V = \mathbb{R}x + \mathbb{R}y$ soit de dimension $2$ sur $\mathbb{R}$. Montrer que

$$\forall u, v \in V \quad \|u + v\|^2 + \|u - v\|^2 \ge 4\, \|u\| \cdot \|v\|$$

et que la restriction de $\|\cdot\|$ à $V$ provient d’un produit scalaire sur $V$.

**26.** Montrer que $x^2 \in \mathbb{R} + \mathbb{R}x$ pour tout $x \in A$. On pourra utiliser le résultat de la question 25 avec $y = 1$.

**27.** Conclure.