Maths A

# Sujet — Mathématiques A, filières MP-MPI — X / ENS — 2024

ECOLE POLYTECHNIQUE  
ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D’ADMISSION 2024

LUNDI 15 AVRIL 2024  
08h00 - 12h00  
FILIERES MP-MPI - Epreuve n° 1

**MATHEMATIQUES A (XLSR)**

Durée : 4 heures.  
L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

## COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

*Le problème comporte deux parties qui sont indépendantes.*

## Notations

On note $\mathbb{N}$ l’ensemble des entiers naturels et $\mathbb{N}^*$ l’ensemble des entiers naturels non nuls.

Soit $n$ un entier naturel non nul. On note $\mathfrak{S}_n$ le groupe des permutations de $\{1, \ldots, n\}$ et $\varepsilon(\sigma)$ la signature d’une permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$.

Si $\sigma \in \mathfrak{S}_n$, on appelle *point fixe* de $\sigma$ un élement $i \in \{1, \ldots, n\}$ tel que $\sigma(i) = i$. On note $\nu(\sigma)$ le nombre de points fixes de $\sigma$. On appelle *dérangement* une permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ n’ayant aucun point fixe. On note $\mathfrak{D}_n$ l’ensemble des dérangements de $\mathfrak{S}_n$ et $D_n$ son cardinal.

Si $k$ est un entier naturel tel que $k \leqslant n$, on note $\binom{n}{k}$ le coefficient binomial correspondant au nombre de parties à $k$ éléments d’un ensemble à $n$ éléments. Par convention, on pose $\binom{n}{k} = 0$ pour un entier naturel $k > n$.

On note $\mathbb{R}[X]$ l’ensemble des polynômes à une indéterminée et à coefficients réels. Si de plus $n \geqslant 0$ est un entier naturel, on note $\mathbb{R}_n[X]$ l’ensemble des éléments $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré inférieur ou égal à $n$.

Si $n \geqslant 0$ et $d \geqslant 1$ sont deux entiers naturels, on note $d \mid n$ la relation « $d$ divise $n$ ».

Si $x$ est un réel, on note $E(x)$ sa partie entière, c’est-à-dire l’unique entier $E(x)$ tel que $E(x) \leqslant x < E(x) + 1$.

Si $p$ est un nombre premier et $n$ un entier naturel non nul, on note

$$\nu_p(n) = \max\{\nu \in \mathbb{N} : p^\nu \mid n\}.$$

Soit $n$ un entier naturel non nul. On note $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ l’ensemble des matrices carrées de taille $n$ à coefficients réels.

Pour tout ensemble $E$, on note $\mathcal{P}(E)$ l’ensemble des parties de $E$.

On note $\ln_2$ la fonction de $]1, +\infty[$ dans $\mathbb{R}$ définie par $\ln_2(x) = \ln(\ln(x))$.

Si $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ désigne une suite de nombres réels, on note, pour tout nombre réel $x \in \mathbb{R}$,

$$\sum_{n \leqslant x} a_n = \sum_{n=1}^{E(x)} a_n, \qquad \sum_{\substack{p \leqslant x \\ p \text{ premier}}} a_p = \sum_{\substack{p=1 \\ p \text{ premier}}}^{E(x)} a_p, \qquad \prod_{\substack{p \leqslant x \\ p \text{ premier}}} a_p = \prod_{\substack{p=1 \\ p \text{ premier}}}^{E(x)} a_p$$

avec la convention que la somme indexée par l’ensemble vide vaut $0$ et le produit indexé par l’ensemble vide vaut $1$.

On pourra utiliser sans démonstration le fait qu’il existe un réel $\gamma$ tel que

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \underset{n \to +\infty}{=} \ln(n) + \gamma + O\left(\frac{1}{n}\right).$$

## Première partie

Soit un entier naturel $n \geqslant 2$. Pour tout nombre réel $x$, on considère la matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ suivante

$$M_x = \begin{pmatrix} x & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & x & \cdots & 1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & x & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 & x \end{pmatrix}.$$

**1a.** Montrer que la matrice $-M_0$ est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres.

**1b.** En déduire que pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a

$$\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma)\, x^{\nu(\sigma)} = (x-1)^{n-1}(x+n-1).$$

**2.** Calculer

$$\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma), \qquad \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma)\, \nu(\sigma) \quad \text{et} \quad \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \frac{\varepsilon(\sigma)}{\nu(\sigma)+1}.$$

**3.** Établir que

$$\mathrm{Card}\{\sigma \in \mathfrak{S}_n : \varepsilon(\sigma) = 1\} = \mathrm{Card}\{\sigma \in \mathfrak{S}_n : \varepsilon(\sigma) = -1\}$$

et en déduire la probabilité qu’une permutation de $\mathfrak{S}_n$ tirée uniformément au hasard soit de signature prescrite.

**4.** Pour $\sigma \in \mathfrak{S}_n$, préciser à quelle condition sur $\nu(\sigma)$, on a $\sigma \in \mathfrak{D}_n$. En déduire que

$$\mathrm{Card}\{\sigma \in \mathfrak{D}_n : \varepsilon(\sigma) = 1\} = \mathrm{Card}\{\sigma \in \mathfrak{D}_n : \varepsilon(\sigma) = -1\} + (-1)^{n-1}(n-1).$$

Soit $m \in \mathbb{N}$. On considère la matrice

$$M = \begin{pmatrix} \binom{0}{0} & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \\ \binom{1}{0} & \binom{1}{1} & 0 & & & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & & \vdots \\ \binom{m-1}{0} & & & \ddots & \binom{m-1}{m-1} & 0 \\ \binom{m}{0} & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \binom{m}{m} \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{m+1}(\mathbb{R}).$$

**5a.** Justifier que les familles $(1, X, \ldots, X^m)$ et $(1, (X-1), \ldots, (X-1)^m)$ sont des bases de $\mathbb{R}_m[X]$.

**5b.** Montrer que la transposée de $M$ est la matrice de l’application linéaire identité

$$\begin{align*} \mathbb{R}_m[X] &\longrightarrow \mathbb{R}_m[X] \\ P &\longmapsto P \end{align*}$$

dans les bases $(1, X, \ldots, X^m)$ au départ et $(1, (X-1), \ldots, (X-1)^m)$ à l’arrivée.

**5c.** Établir que $M$ est inversible et expliciter son inverse.

**5d.** En déduire que pour tous $(u_0, \ldots, u_m),\ (v_0, \ldots, v_m) \in \mathbb{R}^{m+1}$,

$$\text{si } \forall k \leqslant m,\ u_k = \sum_{\ell=0}^{k} \binom{k}{\ell} v_\ell, \quad \text{alors } \forall k \leqslant m,\ v_k = \sum_{\ell=0}^{k} (-1)^{k-\ell} \binom{k}{\ell} u_\ell.$$

**6.** Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul,

$$D_n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}.$$

Pour $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$, on considère l’espace probabilisé $(\mathfrak{D}_n, \mathcal{P}(\mathfrak{D}_n))$ muni de la probabilité uniforme. On définit une variable aléatoire $Y_n$ par $Y_n(\sigma) = \varepsilon(\sigma)$.

**7a.** Expliciter la loi de $Y_n$.

**7b.** Calculer, pour tout $\varepsilon \in \{-1, 1\}$,

$$\lim_{n \to +\infty} \mathbb{P}(Y_n = \varepsilon).$$

Pour $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$, on considère l’espace probabilisé $(\mathfrak{S}_n, \mathcal{P}(\mathfrak{S}_n))$ muni de la probabilité uniforme. On définit une variable aléatoire $Z_n$ par $Z_n(\sigma) = \nu(\sigma)$.

**8a.** Expliciter la loi de $Z_n$.

**8b.** Calculer, pour tout entier naturel $k \leqslant n$,

$$\lim_{n \to +\infty} \mathbb{P}(Z_n = k).$$

**8c.** Déterminer le nombre moyen de points fixes d’une permutation aléatoire ainsi que sa limite quand $n$ tend vers $+\infty$.

Soit $n$ un entier naturel non nul. Pour toute permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$, on rappelle qu’il existe, à l’ordre près, une unique décomposition $\sigma = c_1 c_2 \cdots c_{\omega(\sigma)}$, où $\omega(\sigma) \in \mathbb{N}^*$ où $c_1, \ldots, c_{\omega(\sigma)}$ sont des cycles à supports disjoints de longueurs respectives $\ell_1 \leqslant \ell_2 \leqslant \cdots \leqslant \ell_{\omega(\sigma)}$ et $\ell_1 + \ell_2 + \cdots + \ell_{\omega(\sigma)} = n$. En particulier, on prendra garde au fait que l’on prend ici en compte les cycles $c_i$ de longueur $1$, qui correspondent aux points fixes de $\sigma$, auquel cas $c_i$ est l’identité.

Par exemple, si $\sigma$ est la permutation identité de $\{1, \ldots, n\}$, on a $\omega(\sigma) = n$ et $\ell_{\omega(\sigma)} = 1$. Et si $\sigma$ est la permutation $(1, 2)$ de $\{1, 2, 3\}$, on a $\sigma = c_1 \circ c_2$ où $c_1$ est l’identité et $c_2 = (1, 2)$ de sorte que $\omega(\sigma) = 2$.

On obtient ainsi une application $\omega : \mathfrak{S}_n \to \mathbb{N}$. On se propose de montrer qu’en moyenne, $\omega(\sigma)$ est de l’ordre de $\ln(n)$ dans un sens que l’on précisera.

Pour un entier $k$ inférieur ou égal à $n$, on note $s(n, k)$ le nombre de permutations de $\mathfrak{S}_n$ telles que $\omega(\sigma) = k$. On considère alors, sur l’espace probabilisé $(\mathfrak{S}_n, \mathcal{P}(\mathfrak{S}_n))$ muni de la probabilité uniforme, la variable aléatoire $X_n$ définie par $X_n(\sigma) = \omega(\sigma)$.

**9.** Calculer, pour $n \in \{2, 3, 4\}$, la quantité

$$\frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \omega(\sigma).$$

**10.** Préciser $s(n, n)$ et $s(n, 1)$ puis montrer que, pour $2 \leqslant k \leqslant n-1$, on a

$$s(n, k) = s(n-1, k-1) + (n-1)\, s(n-1, k).$$

*Pour $\sigma \in \mathfrak{S}_n$, on pourra distinguer les cas $\sigma(1) = 1$ et $\sigma(1) \neq 1$.*

**11.** Établir que, pour tout réel $x$,

$$\prod_{i=0}^{n-1} (x+i) = \sum_{k=1}^{n} s(n, k)\, x^k.$$

**12.** Démontrer que

$$\mathbb{E}[X_n] \underset{n \to +\infty}{=} \ln(n) + \gamma + O\left(\frac{1}{n}\right).$$

**13a.** Montrer que

$$\frac{1}{n!} \sum_{k=1}^{n} k(k-1)\, s(n, k) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{ij} - \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i^2}.$$

**13b.** En déduire que

$$\frac{1}{n!} \sum_{k=1}^{n} k^2 s(n, k) = \mathbb{E}[X_n] + \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{ij} - \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i^2} \right).$$

**14a.** Montrer que

$$\frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \omega(\sigma)^2 \underset{n \to +\infty}{=} (2\gamma+1)\ln(n) + c + \ln(n)^2 + O\left(\frac{\ln(n)}{n}\right)$$

pour un réel $c$ à préciser.

**14b.** Montrer que

$$\frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \bigl(\omega(\sigma) - \ln(n)\bigr)^2 \underset{n \to +\infty}{=} \ln(n) + c + O\left(\frac{\ln(n)}{n}\right).$$

**15.** Justifier qu’il existe un nombre réel $C > 0$ tel que, pour tout réel $\varepsilon > 0$ et tout entier $n \geqslant 1$, on a

$$\mathbb{P}\bigl(|X_n - \ln(n)| > \varepsilon \ln(n)\bigr) \leqslant \frac{C}{\varepsilon^2 \ln(n)}.$$

## Deuxième partie

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose

$$\omega(n) = \mathrm{Card}\{p \text{ premier} : p \mid n\} = \sum_{\substack{p \mid n \\ p \text{ premier}}} 1.$$

Par exemple, $\omega(6) = \omega(12) = 2$.

**16.** Soit $(a_n)_{n \geqslant 2}$ une suite de nombres réels. Pour $t \in \mathbb{R}$, on pose $A(t) = \displaystyle\sum_{2 \leqslant k \leqslant t} a_k$. Soit $b : [2, +\infty[ \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$. Montrer que pour tout entier $n \geqslant 2$,

$$\sum_{k=2}^{n} a_k b(k) = A(n)\, b(n) - \int_2^n b'(t)\, A(t)\, \mathrm{d}t.$$

**17.** L’objectif de cette question est de démontrer que si $n$ est un entier naturel non nul, alors

$$\prod_{\substack{p \leqslant n \\ p \text{ premier}}} p \leqslant 4^n.$$

**17a.** Traiter les cas $n \in \{1, 2, 3\}$.

On suppose à présent $n \geqslant 4$ et le résultat connu au rang $k$ pour tout entier $k$ compris entre $1$ et $n-1$.

**17b.** Établir le résultat au rang $n$ si $n$ est pair.

**17c.** Soit $n = 2m+1$ avec $m \in \mathbb{N}$. Justifier que

$$\prod_{\substack{m+1 < p \leqslant 2m+1 \\ p \text{ premier}}} p \quad \text{divise} \quad \binom{2m+1}{m}$$

et montrer que

$$\binom{2m+1}{m} \leqslant 4^m.$$

**17d.** Conclure.

**18.** Soit $n$ un entier naturel non nul et soit $p$ un nombre premier. Justifier la formule

$$\nu_p(n!) = \sum_{k=1}^{+\infty} E\left(\frac{n}{p^k}\right)$$

et montrer que

$$\frac{n}{p} - 1 < \nu_p(n!) \leqslant \frac{n}{p} + \frac{n}{p(p-1)}.$$

**19a.** Par comparaison avec une intégrale, établir que

$$\sum_{k=1}^{n} \ln(k) \underset{n \to +\infty}{=} n\ln(n) - n + O(\ln(n)).$$

**19b.** Justifier que

$$n! = \prod_{\substack{p \leqslant n \\ p \text{ premier}}} p^{\nu_p(n!)}$$

et en déduire que

$$n \sum_{\substack{p \leqslant n \\ p \text{ premier}}} \frac{\ln(p)}{p} - n\ln(4) < \ln(n!) \leqslant n \sum_{\substack{p \leqslant n \\ p \text{ premier}}} \frac{\ln(p)}{p} + n \sum_{\substack{p \leqslant n \\ p \text{ premier}}} \frac{\ln(p)}{p(p-1)}.$$

**19c.** Justifier que la série

$$\sum_{k \geqslant 2} \frac{\ln(k)}{k(k-1)}$$

converge.

**19d.** Conclure que

$$\sum_{\substack{p \leqslant n \\ p \text{ premier}}} \frac{\ln(p)}{p} \underset{n \to +\infty}{=} \ln(n) + O(1).$$

**20a.** On pose, pour tout réel $t \geqslant 2$,

$$R(t) = \sum_{\substack{p \leqslant t \\ p \text{ premier}}} \frac{\ln(p)}{p} - \ln(t).$$

Montrer, en utilisant le résultat de la question **16**, que

$$\sum_{\substack{p \leqslant n \\ p \text{ premier}}} \frac{1}{p} = 1 + \ln_2(n) - \ln_2(2) + \frac{R(n)}{\ln(n)} + \int_2^n \frac{R(t)}{t\,(\ln(t))^2}\, \mathrm{d}t.$$

**20b.** Justifier que la fonction $t \mapsto \dfrac{R(t)}{t\,(\ln(t))^2}$ est intégrable sur $[2, +\infty[$.

**20c.** Établir que

$$\sum_{\substack{p \leqslant n \\ p \text{ premier}}} \frac{1}{p} \underset{n \to +\infty}{=} \ln_2(n) + c_1 + O\left(\frac{1}{\ln(n)}\right),$$

pour un réel $c_1 \in \mathbb{R}$ à préciser.

**21a.** Soient $x$ un réel positif supérieur ou égal à $1$ et $q \in \mathbb{N}^*$. Justifier que la quantité

$$\mathrm{Card}\{n \in \mathbb{N} \cap [1, x] : n \equiv 0 \pmod{q}\} - \frac{x}{q}$$

est bornée en valeur absolue par un réel indépendant de $x$ et de $q$.

**21b.** Démontrer, à l’aide d’une interversion de sommes, que

$$\frac{1}{x} \sum_{n \leqslant x} \omega(n) \underset{x \to +\infty}{=} \ln_2(x) + O(1).$$

**22a.** Montrer que

$$\frac{1}{x} \sum_{n \leqslant x} \bigl(\omega(n) - \ln_2(x)\bigr)^2 \underset{x \to +\infty}{=} \frac{1}{x}\left(\sum_{n \leqslant x} \omega(n)^2\right) - \ln_2(x)^2 + O(\ln_2(x)).$$

**22b.** Montrer que

$$\sum_{n \leqslant x} \omega(n)^2 = \sum_{\substack{p_1 \leqslant x \\ p_1 \text{ premier}}} \sum_{\substack{p_2 \leqslant x \\ p_2 \text{ premier}}} \mathrm{Card}\{n \in \mathbb{N}^* : n \leqslant x,\ p_1 \mid n \text{ et } p_2 \mid n\}.$$

**22c.** Montrer que

$$\left( \sum_{\substack{p_1, p_2 \leqslant x \\ p_1 \neq p_2 \text{ premiers}}} \mathrm{Card}\{n \in \mathbb{N}^* : n \leqslant x,\ p_1 \mid n \text{ et } p_2 \mid n\} \right) - x \ln_2(x)^2 \underset{x \to +\infty}{=} O\bigl(x \ln_2(x)\bigr).$$

*On pourra estimer le cardinal de l’ensemble des paires de nombres premiers $(p_1, p_2)$ tels que $p_1 p_2 \leqslant x$ quand $x$ tend vers $+\infty$.*

**22d.** Conclure que

$$\frac{1}{x} \left( \sum_{n \leqslant x} \bigl(\omega(n) - \ln_2(x)\bigr)^2 \right) \underset{x \to +\infty}{=} O(\ln_2(x)).$$

**23.** On pose

$$\mathcal{S} = \left\{ n \geqslant 3 : \left| \frac{\omega(n) - \ln_2(n)}{\sqrt{\ln_2(n)}} \right| \geqslant \bigl(\ln_2(n)\bigr)^{1/4} \right\}.$$

Montrer que

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \mathrm{Card}\{n \leqslant x : n \in \mathcal{S}\} = 0.$$

*On pourra commencer par écrire $\mathrm{Card}(\mathcal{S} \cap [1, x]) \underset{x \to +\infty}{=} \mathrm{Card}(\mathcal{S} \cap [\sqrt{x}, x]) + O(\sqrt{x})$ et remarquer que dans la somme du membre de droite, la différence $\lvert \ln_2(n) - \ln_2(x) \rvert$ reste bornée.*

On dit alors que l’ensemble $\mathcal{S}$ a densité $0$. De même que pour les permutations, on obtient que, en dehors d’un ensemble de densité nulle, $\omega(n) = \ln(\ln(n))\,(1+o(1))$.