Maths A

# X-ENS 2025 — Mathématiques A (MP-MPI) — Corrigé « cours didactique »

**Concours :** École polytechnique / ENS · **Épreuve :** Mathématiques A (XULSR), n° 1
**Filière :** MP-MPI · **Année :** 2025 (durée 4 h, sans calculatrice)

## Thème, fil directeur et grandes notions en jeu

Le problème construit et démontre la **réduction de Jordan des endomorphismes nilpotents** : toute matrice nilpotente est semblable à une matrice diagonale par blocs de Jordan $J_r$, de façon **unique** quant aux tailles des blocs.

L'outil de démonstration est original : l'**algèbre des polynômes de Laurent** $\mathbb{C}[X^{\pm1}]=\mathcal{D}\oplus\mathbb{C}[X]$, dans laquelle vit un endomorphisme modèle $\xi$ dont les sous-espaces cycliques $\mathcal{D}_r$ réalisent les blocs de Jordan.

On établit ensuite une version **graduée** (en présence d'un $h$ diagonalisable avec $h^N=\mathrm{id}$, $huh^{-1}=\zeta u$), appliquée à la classification des couples de matrices rectangulaires.

**Notions du programme MP mobilisées :**
- *Réduction :* sous-espaces stables, endomorphisme induit, valeurs/vecteurs propres, **diagonalisabilité $\Leftrightarrow$ polynôme annulateur scindé à racines simples**, polynôme minimal, endomorphismes nilpotents, **lemme de décomposition des noyaux**, théorème de Cayley–Hamilton (admis), polynôme caractéristique, réduction de Jordan (démontrée ici).

- *Algèbre :* anneau $\mathbb{C}[X]$ **principal** (tout idéal engendré par un polynôme), algèbre $P(u)$ des polynômes d'un endomorphisme, matrices semblables, changement de bases.

- *Algèbre linéaire de base :* familles libres, supplémentaires, projecteurs, théorème du rang, matrices par blocs.

**Ce que dit le rapport (calibrage) :** le sujet est **très long** ; la partie VI et la question 14 n'ont quasiment jamais été traitées, et le jury précise qu'il n'était **pas** nécessaire de tout traiter pour une excellente note — la rigueur des questions abordées prime. Le point faible massif des copies : l'**algèbre des polynômes d'un endomorphisme** (identités fausses du type $(PQ)(u)(v)=P(Q(u)(v))$) et la **confusion idéal / sous-espace vectoriel**. Enfin, toute utilisation d'un résultat antérieur doit citer **précisément** la question et le résultat.

Convention : $J_r$ désigne le bloc de Jordan de taille $r$, avec des $1$ en position $(j+1,j)$ ($1\le j\le r-1$) et des $0$ ailleurs ; ainsi $J_r e_j=e_{j+1}$ pour $j<r$ et $J_r e_r=0$ (« décalage vers le bas »).

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# Partie I — Questions préliminaires

## Question 1° — Restriction d'un endomorphisme diagonalisable

**Rappel de cours.** *Théorème (caractérisation par un polynôme annulateur).*

Un endomorphisme $g$ d'un espace de dimension finie est diagonalisable **si et seulement si** il existe un polynôme **scindé à racines simples** qui l'annule ; c'est le cas de son polynôme minimal $\pi_g$, qui est alors $\prod_{i}(X-\lambda_i)$ (racines distinctes = valeurs propres).

Rappel : si $W$ est stable par $g$, l'endomorphisme induit $g_W:W\to W$ vérifie $g_W^k=(g^k)_{|W}$, donc $P(g_W)=P(g)_{|W}$ pour tout polynôme $P$.

**Analyse.**

On veut transmettre la diagonalisabilité de $h$ à sa restriction $h_W$.

La tentation « prendre une base de vecteurs propres et la restreindre » échoue : $W$ ne contient pas forcément de vecteurs propres visibles.

La bonne idée est **algébrique** : un polynôme qui annule $h$ annule aussi $h_W$ (car $W$ est stable), et si ce polynôme est scindé à racines simples, il diagonalise $h_W$.

**Solution détaillée.** $h$ diagonalisable, donc son polynôme minimal s'écrit $\pi_h=\prod_{i=1}^p(X-\lambda_i)$ avec $\lambda_1,\dots,\lambda_p$ **deux à deux distincts** (scindé à racines simples).

Soit $w\in W$.

Comme $W$ est stable par $h$, on a $h^k(w)=h_W^k(w)\in W$ pour tout $k$, donc pour tout polynôme $P$, $P(h_W)(w)=P(h)(w)$.

En particulier $$\pi_h(h_W)(w)=\pi_h(h)(w)=0.$$
Ceci valant pour tout $w\in W$, $\pi_h(h_W)=0$ : $\pi_h$ **annule** $h_W$.

Or $\pi_h$ est scindé à racines simples ; par le théorème rappelé, $h_W$ est diagonalisable. (Si $W=\{0\}$, c'est trivial.) $\blacksquare$

**À retenir.** *Méthode transférable :* « stabilité + polynôme annulateur scindé à racines simples » est la façon canonique de propager la diagonalisabilité (à une restriction, à un commutant, etc.). *Rapport :* question « trop souvent » ratée ; « le plus rapide était d'introduire le polynôme minimal de $h$ » — d'autres voies existaient mais exigeaient « d'être très rigoureux ». Ne jamais restreindre naïvement une base propre.

## Question 2° — Un invariant matriciel

**Rappel de cours.**

Deux matrices $M,M'$ sont **semblables** s'il existe $P$ inversible avec $M'=PMP^{-1}$ ; alors $M'^k=PM^kP^{-1}$.

Pour une matrice diagonale par blocs, $\mathrm{diag}(M_1,M_2)^k=\mathrm{diag}(M_1^k,M_2^k)$. Théorème du rang : $\dim\ker=\dim(\text{espace})-\operatorname{rg}$.

**Analyse.** $\delta_k(M)=-\dim\ker M^{k-1}+2\dim\ker M^k-\dim\ker M^{k+1}$ est une **différence seconde** (au signe près) de la suite $k\mapsto\dim\ker M^k$.

On attend trois propriétés : invariance par similitude (a), valeur sur un bloc de Jordan (b), additivité par blocs (c).

Ces trois propriétés feront de $\delta_k$ le **compteur du nombre de blocs de taille $k$** (utilisé en Q10).

**Solution détaillée.**

*(a) Invariance par similitude.*

Si $M'=PMP^{-1}$, alors $M'^k=PM^kP^{-1}$ et $x\mapsto Px$ est un isomorphisme de $\ker M^k$ sur $\ker M'^k$ (car $M'^k(Px)=PM^kx$).

Donc $\dim\ker M'^k=\dim\ker M^k$ pour tout $k$, d'où $\delta_k(M')=\delta_k(M)$.

*(b) Valeur sur $J_r$.*

On a $J_r^{\,j}e_i=e_{i+j}$ si $i+j\le r$, sinon $0$.

Les images non nulles $\{e_{i+j}\}$ sont libres, donc $\operatorname{rg}J_r^{\,j}=\max(r-j,0)$ et $$a_j:=\dim\ker J_r^{\,j}=\min(j,r),\qquad a_0=0.$$
La suite $(a_j)$ croît de $1$ à chaque pas jusqu'à $j=r$, puis stagne.

Comme $\delta_k(J_r)=(a_k-a_{k-1})-(a_{k+1}-a_k)$ et que $a_k-a_{k-1}=\mathbf 1_{k\le r}$, on obtient $$\delta_k(J_r)=\mathbf 1_{k\le r}-\mathbf 1_{k+1\le r}=\mathbf 1_{k=r}.$$
Donc $\delta_k(J_r)=1$ si $k=r$, $0$ sinon.

*(c) Additivité.*

Pour $M=\mathrm{diag}(M_1,M_2)$, $\binom{x}{y}\in\ker M^k\Leftrightarrow M_1^kx=0$ et $M_2^ky=0$, donc $\ker M^k=\ker M_1^k\times\ker M_2^k$ et $$\dim\ker M^k=\dim\ker M_1^k+\dim\ker M_2^k.$$
Par linéarité de la combinaison définissant $\delta_k$, $\delta_k(M)=\delta_k(M_1)+\delta_k(M_2)$, et par récurrence $\delta_k(\mathrm{diag}(M_1,\dots,M_s))=\sum_i\delta_k(M_i)$. $\blacksquare$

**À retenir.** *Idée-force :* fabriquer un **invariant de similitude** additif par blocs et « ponctuel » sur les blocs (ici il ne détecte que la taille $r$) est la stratégie standard pour prouver une **unicité** en réduction. *Rapport :* « globalement bien traitées » ; soigner l'argument d'isomorphisme en (a) plutôt qu'une invocation vague du rang.

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# Partie II — Algèbre linéaire sur les polynômes de Laurent

**Mise en place.** $\mathbb{C}[X^{\pm1}]=\mathrm{Vect}(X^k)_{k\in\mathbb{Z}}$, $\mathcal{D}=X^{-1}\mathbb{C}[X^{-1}]=\mathrm{Vect}(X^{-j})_{j\ge1}$ (degrés strictement négatifs), $\mathbb{C}[X^{\pm1}]=\mathcal{D}\oplus\mathbb{C}[X]$, $\Pi$ = projection sur $\mathcal{D}$ (on ne garde que les puissances $<0$). $\widehat\xi(F)=\Pi(XF)$ et $\xi=\widehat\xi_{|\mathcal{D}}$.

Image mentale : multiplier par $X$ **remonte** les degrés d'un cran, puis $\Pi$ **jette** ce qui atteint le degré $0$.

Sur la base : $\xi(X^{-j})=X^{-(j-1)}$ pour $j\ge2$, et $\xi(X^{-1})=0$.

## Question 3° — L'application $\widehat\xi$ et l'endomorphisme $\xi$

**Rappel de cours.**

Une projection $\Pi$ associée à une somme directe est linéaire et vérifie $\Pi_{|\mathcal{D}}=\mathrm{id}$, $\Pi_{|\mathbb{C}[X]}=0$.

Pour un polynôme $P=\sum p_kX^k$ et un endomorphisme $\xi$, $P(\xi)=\sum p_k\xi^k$.

**Analyse.** (a) dit que $\widehat\xi$ « ne voit pas » la partie polynomiale de $F$ : normal, car après multiplication par $X$ un polynôme reste un polynôme, tué par $\Pi$. (b) est la formule-clé $P(\xi)F=\Pi(PF)$ : elle transforme l'action de $P(\xi)$ en une simple **troncature** du produit $PF$.

On la prouve pour $P=X^n$ par récurrence, en réutilisant (a).

**Solution détaillée.**

*(a)* Écrivons $F=\Pi(F)+R$ avec $R\in\mathbb{C}[X]$.

Par linéarité, $\widehat\xi(F)-\widehat\xi(\Pi F)=\widehat\xi(R)=\Pi(XR)$.

Or $XR\in\mathbb{C}[X]$, donc $\Pi(XR)=0$ : $\widehat\xi(\Pi F)=\widehat\xi(F)$.

On retiendra la reformulation $\Pi(X\,\Pi(G))=\Pi(XG)$ pour tout $G$.

*(b)* Montrons $\xi^n(F)=\Pi(X^nF)$ pour $F\in\mathcal{D}$, par récurrence sur $n$.

- $n=0$ : $\xi^0(F)=F=\Pi(F)$ car $F\in\mathcal{D}$.

- Hérédité : supposons $\xi^n(F)=\Pi(X^nF)$.

Comme $\xi^n(F)\in\mathcal{D}$, $\xi$ y agit comme $\widehat\xi$, donc $$\xi^{n+1}(F)=\widehat\xi(\xi^nF)=\Pi\big(X\,\Pi(X^nF)\big)\overset{(a)}{=}\Pi(X^{n+1}F).$$
Pour $P=\sum p_nX^n$ quelconque, par linéarité : $P(\xi)F=\sum_n p_n\Pi(X^nF)=\Pi(PF)$. $\blacksquare$

**À retenir.**

*Point de méthode :* pour un « produit-troncature », on ramène tout aux monômes $X^n$ et on **fait tourner la définition** ($\xi=\widehat\xi$ sur $\mathcal{D}$, $\widehat\xi=\Pi\circ(X\,\cdot)$).

*Rapport :* « 3a bien traitée » ; « 3b : il était nécessaire de bien écrire la récurrence » — le chaînon $\Pi(X\Pi(X^nF))=\Pi(X^{n+1}F)$ est **exactement** (a), à ne pas sauter.

## Question 4° — Image et noyau des puissances de $\xi$

**Rappel de cours.**

Une famille de vecteurs deux à deux distincts d'une base est libre. $\xi^n$ surjectif signifie $\operatorname{Im}\xi^n=\mathcal{D}$.

**Analyse.**

On calcule $\xi^n$ sur la base via la formule Q3b : $\xi^n(X^{-j})=\Pi(X^{n-j})$.

Ce vecteur survit ssi $n-j<0$, i.e. $j>n$.

On lit alors immédiatement surjectivité et noyau.

**Solution détaillée.**

Pour $j\ge1$, $\xi^n(X^{-j})=\Pi(X^{n-j})=\begin{cases}X^{-(j-n)}&\text{si }j\ge n+1,\\0&\text{si }1\le j\le n.\end{cases}$

- *Surjectivité :* pour tout $i\ge1$, $X^{-i}=\xi^n(X^{-(i+n)})$ ; les $X^{-i}$ engendrant $\mathcal{D}$, $\xi^n$ est **surjectif**.

- *Noyau :* pour $F=\sum_{j\ge1}f_jX^{-j}$, $\xi^n(F)=\sum_{j\ge n+1}f_jX^{-(j-n)}$, nul ssi $f_j=0$ ($j\ge n+1$).

Donc $\ker\xi^n=\mathrm{Vect}(X^{-1},\dots,X^{-n})$, de **base $(X^{-1},\dots,X^{-n})$** et de dimension $n$. $\blacksquare$

**À retenir.**

*À réutiliser :* la **surjectivité de $\xi^r$** est le pivot de Q6d, et $\ker\xi^n$ (dimension $n$) sert en Q8c-d. *Rapport :* « n'a pas posé de difficulté, mais une rédaction rigoureuse était attendue » — justifier l'égalité (et non seulement l'inclusion) pour le noyau.

## Question 5° — Sous-espaces cycliques

**Rappel de cours.**

Le plus petit sous-espace stable par un endomorphisme $\xi$ contenant un vecteur $x$ est $\mathrm{Vect}(x,\xi x,\xi^2 x,\dots)$ (sous-espace cyclique engendré par $x$).

**Analyse.**

Partant de $X^{-r}$ et appliquant $\xi$, on descend $X^{-r}\to X^{-(r-1)}\to\dots\to X^{-1}\to 0$.

Le sous-espace cyclique est donc $\mathrm{Vect}(X^{-r},\dots,X^{-1})$, et la matrice de $\xi$ y est un bloc de Jordan.

**Solution détaillée.**

Tout sous-espace $S$ stable par $\xi$ contenant $X^{-r}$ contient $\xi^k(X^{-r})=X^{-(r-k)}$ pour $0\le k\le r-1$, donc $\mathrm{Vect}(X^{-r},\dots,X^{-1})$.

Réciproquement ce sous-espace contient $X^{-r}$ et est stable ($\xi$ envoie chaque générateur sur un générateur ou $0$).

Donc le plus petit est $$\mathcal{D}_r=\mathrm{Vect}(X^{-r},X^{-r+1},\dots,X^{-1})=\ker\xi^r,$$ de base $(X^{k-r})_{0\le k\le r-1}$ (sous-famille libre de la base de $\mathcal{D}$), $\dim=r$.

*Matrice.* Posons $b_k=X^{k-r}$.

Alors $\xi(b_k)=b_{k+1}$ pour $0\le k\le r-2$ et $\xi(b_{r-1})=0$.

Dans $(b_0,\dots,b_{r-1})$, la matrice a un $1$ en $(k+1,k)$ : c'est **$J_r$**. $\blacksquare$

**À retenir.**

*Idée centrale du sujet :* $(\mathcal{D}_r,\xi_{|\mathcal{D}_r})$ est le **modèle universel** d'un bloc de Jordan de taille $r$ ; toute la stratégie consiste à « copier » les blocs de $u$ dans $\mathcal{D}$.

*Rapport :* « sans difficulté », mais justifier le caractère **minimal** (nécessité + stabilité).

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# Partie III — Prolongements compatibles

**Cadre.** $V$ de dimension finie, $u$ nilpotent ; $W$ stable par $u$, $\varphi:W\to\mathcal{D}$ linéaire avec $\xi\circ\varphi=\varphi\circ u_W$ (on dit que $\varphi$ **entrelace** $u_W$ et $\xi$).

But : prolonger $\varphi$ à $V$ en gardant l'entrelacement.

## Question 6° — Prolongement donné par un vecteur

**Rappel de cours.**

*Idéal de $\mathbb{C}[X]$ :* partie $\mathcal{I}$ non vide, stable par addition, et **absorbante** ($P\in\mathcal{I},R\in\mathbb{C}[X]\Rightarrow RP\in\mathcal{I}$). $\mathbb{C}[X]$ est **principal** : tout idéal est de la forme $(P_0)=\{RP_0:R\}$ pour un unique $P_0$ unitaire (ou $\mathcal{I}=\{0\}$).

Les diviseurs unitaires de $X^n$ sont les $X^r$, $0\le r\le n$.

Algèbre des polynômes d'un endomorphisme : $(RP)(u)=R(u)\circ P(u)$, donc $(RP)(u)(v)=R(u)\big(P(u)(v)\big)$ — **et non** $R(u)(v)\cdot P(u)(v)$ ni $R(P(u)(v))$.

**Analyse.**

L'ensemble $\mathcal{I}$ des polynômes qui « ramènent $v$ dans $W$ » est un idéal ; comme $u$ est nilpotent, $X^n\in\mathcal{I}$, donc $\mathcal{I}=(X^r)$ avec $r\ge1$ (propre car $v\notin W$).

On construit $W'=\mathbb{C}[u](v)+W$, puis on définit le prolongement en imitant la relation $\xi^r(F_v)=\varphi(u^r v)$ ; la surjectivité de $\xi^r$ (Q4) fournit $F_v$.

La bonne définition repose sur : si $P(u)(v)\in W$ alors $P\in\mathcal{I}=(X^r)$.

**Solution détaillée.** ($W\subsetneq V$, $v\in V\setminus W$.)

*(a)* $\mathcal{I}=\{P:P(u)(v)\in W\}$. $0\in\mathcal{I}$.

Addition : $(P+Q)(u)(v)=P(u)(v)+Q(u)(v)\in W$.

Absorption : $(RP)(u)(v)=R(u)\big(P(u)(v)\big)\in W$ car $P(u)(v)\in W$ et $W$ (stable par $u$) est stable par $R(u)$.

Donc $\mathcal{I}$ est un **idéal**.

*(b)* $u^n=0$ pour $n$ assez grand, donc $u^n(v)=0\in W$, $X^n\in\mathcal{I}$, $\mathcal{I}\ne\{0\}$.

Comme $\mathbb{C}[X]$ est principal, $\mathcal{I}=(P_0)$ ; de $X^n\in\mathcal{I}$ on tire $P_0\mid X^n$, donc $P_0=X^r$.

Enfin $v\notin W\Rightarrow 1\notin\mathcal{I}\Rightarrow r\ge1$.

Ainsi $\mathcal{I}=(X^r)$, $r\ge1$.

*(c)* $W'=\{P(u)(v)+w\}$ contient $W$ ($P=0$) et $v$ ($P=1,w=0$), c'est un sous-espace, et $u\big(P(u)(v)+w\big)=(XP)(u)(v)+u(w)\in W'$ : **stable par $u$**.

*(d)* $u^r(v)\in W$ (car $X^r\in\mathcal{I}$), donc $G_v=\varphi(u^r v)\in\mathcal{D}$ est défini ; $\xi^r$ étant **surjectif** (Q4), il existe $F_v\in\mathcal{D}$ avec $G_v=\xi^r(F_v)$.

*(e)* Si $P(u)(v)=w\in W$, alors $P\in\mathcal{I}=(X^r)$, i.e. $P=QX^r$.

L'entrelacement $\xi\varphi=\varphi u_W$ donne par récurrence $\xi^k\varphi=\varphi u_W^k$, donc pour tout polynôme $Q$ : $$Q(\xi)\circ\varphi=\varphi\circ Q(u_W).\qquad(\star)$$
Comme $w=Q(u)(u^r v)=Q(u_W)(u^r v)$ ($u^rv\in W$), on calcule $$\varphi(w)=Q(\xi)\big(\varphi(u^r v)\big)=Q(\xi)(G_v)=Q(\xi)\big(\xi^r(F_v)\big)=(QX^r)(\xi)(F_v)=P(\xi)(F_v).$$

*(f)* **Bonne définition :** si $x=P_1(u)(v)+w_1=P_2(u)(v)+w_2$, poser $P=P_1-P_2$, $w=w_2-w_1$ : $P(u)(v)=w$, donc par (e) $P(\xi)(F_v)=\varphi(w)$, soit $P_1(\xi)F_v+\varphi(w_1)=P_2(\xi)F_v+\varphi(w_2)$.

Donc $\varphi'(x)=P(\xi)(F_v)+\varphi(w)$ ne dépend que de $x$.

**Compatibilité :** (i) $x\in W$ : $P=0,w=x$ donne $\varphi'(x)=\varphi(x)$. (ii) $u(x)=(XP)(u)(v)+u(w)$, donc $$\varphi'(u x)=(XP)(\xi)F_v+\varphi(u w)=\xi\big(P(\xi)F_v\big)+\xi\big(\varphi(w)\big)=\xi(\varphi'(x)),$$ via $\varphi(uw)=\xi(\varphi(w))$.

Donc $\xi\varphi'=\varphi'u_{W'}$ : $\varphi'$ est un prolongement compatible. $\blacksquare$

**À retenir.**

*Deux réflexes de sécurité :* (1) $(PQ)(u)=P(u)\circ Q(u)$ appliqué à $v$ — jamais de « produit de vecteurs » ; (2) **idéal** $(X^r)=\{RX^r\}$ $\ne$ sous-espace $\mathrm{Vect}(X^r)$.

Le lemme $(\star)$ (« un polynôme d'entrelacement s'entrelace ») est la clé de (e)–(f).

*Rapport :* 6a « connaître la définition d'un idéal », 6b « un idéal est engendré par un élément », 6d « utiliser un résultat antérieur » (surjectivité), 6e « voir que $P$ appartient à l'idéal » et « $Q(\xi)\circ\varphi=\varphi\circ Q(u_W)$ », 6f « rarement abordée ».

Les deux confusions (poly d'endo, idéal/s.e.v.) sont **explicitement** dénoncées dans les généralités du rapport.

## Question 7° — Prolongement à $V$ tout entier

**Rappel de cours.** Dans un espace de dimension finie, toute partie non vide de sous-espaces admet un élément de dimension maximale (les dimensions sont des entiers bornés par $\dim V$).

**Analyse.** On itère Q6 « le plus loin possible ». Formellement, on prend un prolongement compatible défini sur un sous-espace stable **de dimension maximale** ; s'il n'était pas $V$, Q6 le prolongerait strictement, contradiction. C'est l'argument propre remplaçant le « on continue jusqu'au bout ».

**Solution détaillée.**

Soit $\mathcal{E}$ l'ensemble des $(W'',\varphi'')$, $W\subset W''\subset V$ stable par $u$, $\varphi''$ prolongement compatible de $\varphi$. $\mathcal{E}\ne\varnothing$ (contient $(W,\varphi)$), et $\dim W''\le\dim V$.

Choisissons $(W^*,\psi)\in\mathcal{E}$ de dimension **maximale**.

Si $W^*\ne V$, prenons $v\in V\setminus W^*$ : Q6 appliquée à $(W^*,\psi)$ et $v$ fournit $(W^{**},\psi')\in\mathcal{E}$ avec $W^{**}\ni v$, donc $\dim W^{**}>\dim W^*$ — contradiction.

Donc $W^*=V$ et $\psi$ convient. $\blacksquare$

**À retenir.** *Méthode :* transformer un « on répète l'opération » en **argument de maximalité** (ou récurrence descendante sur $\dim V-\dim W$). *Rapport :* rigueur exigée ; « On voit bien qu'il est possible… » explicitement refusé.

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# Partie IV — Théorème de décomposition pour les endomorphismes nilpotents

$u$ nilpotent d'indice $n$ ($u^n=0$, $u^{n-1}\ne0$).

## Question 8° — Scindage d'un sous-espace cyclique maximal

**Rappel de cours.** Sous-espace cyclique : $\mathrm{Vect}(v_0,u v_0,\dots,u^{n-1}v_0)$. Endomorphisme induit et sa matrice dans une base adaptée. Théorème du rang. Une application linéaire injective envoie une famille libre sur une famille libre.

**Analyse.**

On isole un « plus gros » bloc de Jordan : le sous-espace cyclique $W$ engendré par un $v_0$ tel que $u^{n-1}(v_0)\ne0$ est de dimension $n=$ indice, avec $u_W=J_n$.

On y **copie** l'action de $\xi$ sur $\mathcal{D}_n$ (Q5) via $\varphi$, puis on prolonge (Q7).

L'entrelacement $\xi\psi=\psi u$ donne alors gratuitement un **supplémentaire stable** $\ker\psi$.

**Solution détaillée.** $c_i:=u^i(v_0)$, $0\le i\le n-1$.

*(a)* Si $\sum\lambda_ic_i=0$, appliquer $u^{n-1}$ : seul le terme $i=0$ survit, $\lambda_0u^{n-1}(v_0)=0$ donne $\lambda_0=0$ ; puis $u^{n-2},\dots$ donnent $\lambda_1=\dots=0$.

Famille **libre**. $W=\mathrm{Vect}(c_i)$ contient $v_0$, est stable ($u c_i=c_{i+1}$, $u c_{n-1}=0$), et $u_W=J_n$ dans $(c_0,\dots,c_{n-1})$.

*(b)* Posons $\varphi(c_i)=X^{i-n}$ (prolongée linéairement).

Les images $(X^{-n},\dots,X^{-1})$ sont libres, donc $\varphi$ **injective**.

Entrelacement : $\xi(\varphi(c_i))=X^{i-n+1}=\varphi(c_{i+1})$ pour $i\le n-2$, et $\xi(\varphi(c_{n-1}))=\xi(X^{-1})=0=\varphi(0)$.

Donc $\xi\varphi=\varphi u_W$. Par Q7, prolongement compatible $\psi:V\to\mathcal{D}$.

*(c)* $\xi^n\psi=\psi u^n=0$, donc $\operatorname{Im}\psi\subset\ker\xi^n$.

*(d)* $\ker\psi$ **stable** ($\psi(u x)=\xi(\psi x)=0$ si $\psi x=0$). $\ker\psi\cap W=\ker\varphi=\{0\}$ ($\psi_{|W}=\varphi$ injective).

Enfin $\varphi(W)\subset\operatorname{Im}\psi\subset\ker\xi^n$ avec $\dim\varphi(W)=n=\dim\ker\xi^n$ (Q4), donc $\operatorname{Im}\psi=\ker\xi^n$, $\operatorname{rg}\psi=n$, et $\dim\ker\psi=\dim V-n$.

Comme $\dim W+\dim\ker\psi=\dim V$ et $W\cap\ker\psi=\{0\}$ : $$V=W\oplus\ker\psi,\quad\ker\psi\text{ stable par }u.\ \blacksquare$$

**À retenir.** *Le tour de force :* l'entrelacement transforme « je cherche un supplémentaire stable » (difficile) en « je prends $\ker\psi$ » (immédiat). *Rapport :* 8a « très bien traitées » ; 8b « rigueur dans la définition de $\varphi$ » ; 8d « rigueur pour chacune des assertions ».

## Question 9° — Existence de la décomposition

**Rappel de cours.** Récurrence forte sur la dimension. Restriction d'un endomorphisme nilpotent à un sous-espace stable = nilpotent. Réunion de bases d'une somme directe = base.

**Analyse.** Q8 extrait un bloc $J_n$ et un supplémentaire stable strictement plus petit ; la récurrence traite ce dernier.

**Solution détaillée.**

Récurrence forte sur $\dim V$. $\dim V=0$ : aucun bloc.

Sinon, $n$ = indice de $u$ ; Q8 donne $V=W\oplus V'$ avec $u_W=J_n$ et $V'=\ker\psi$ stable, $\dim V'=\dim V-n<\dim V$. $u_{V'}$ est nilpotent ; par récurrence, base de $V'$ où $u_{V'}=\mathrm{diag}(J_{r_2},\dots)$.

Réunie avec $(c_0,\dots,c_{n-1})$, on obtient $u=\mathrm{diag}(J_n,J_{r_2},\dots)$, réordonné en $r_1\ge\dots\ge r_s$. $\blacksquare$

**À retenir.** *Schéma type de la réduction :* « extraire un bloc maximal + supplémentaire stable + récurrence ». *Rapport :* « raisonnement par récurrence attendu », rigueur de rédaction.

## Question 10° — Unicité des tailles de blocs

**Rappel de cours.** $\dim\ker u^k$ est intrinsèque (ne dépend pas de la base). $\delta_k$ est un invariant de similitude (Q2a) et additif (Q2c).

**Analyse.**

On calcule $\delta_k(u)$ de deux façons : via les blocs (il compte les blocs de taille $k$, Q2b), et via les dimensions de noyaux (intrinsèque).

Les deux coïncident, donc le nombre de blocs de chaque taille est imposé.

**Solution détaillée.**

Dans une base où $u=\mathrm{diag}(J_{r_1},\dots,J_{r_s})$, $$\delta_k(u)=\sum_i\delta_k(J_{r_i})=\#\{i:r_i=k\}=:N_k\quad(\text{Q2b, Q2c}).$$
Mais $\delta_k(u)$ ne dépend que de $\dim\ker u^{k-1},\dim\ker u^k,\dim\ker u^{k+1}$, quantités intrinsèques à $u$ (Q2a) : $N_k=\delta_k(u)$ est **déterminé par $u$**.

Donc $s=\sum_k N_k$ et le multi-ensemble des tailles sont uniques. $\blacksquare$

**À retenir.** *Principe :* un invariant additif qui « ne réagit qu'à une taille » compte les blocs et donne l'unicité. *Rapport :* suivre l'indication (Q2), rigueur.

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# Partie V — Version « graduée »

$V$ dim finie, $u$ nilpotent, $N\ge1$, $\zeta=e^{2i\pi/N}$, $h$ inversible, $h^N=\mathrm{id}_V$, $huh^{-1}=\zeta u$.

## Question 11° — Propriétés de $h$

**Rappel de cours.**

Diagonalisabilité par polynôme annulateur scindé à racines simples (cf. Q1). $X^N-1=\prod_{j=0}^{N-1}(X-\zeta^j)$, racines = racines $N$-èmes de l'unité, distinctes.

Espace propre $V_j=\ker(h-\zeta^j\mathrm{id})$.

**Analyse.** (a) $h^N=\mathrm{id}$ donne un annulateur idéal. (b)–(c) sont des manipulations de la **commutation tordue** $hu=\zeta uh$ : $u$ « décale le grade » ($V_j\to V_{j+1}$), et conjuguer $u$ par $h^k$ multiplie par $\zeta^k$.

**Solution détaillée.**

*(a)* $X^N-1$ annule $h$ et est scindé à racines simples $\Rightarrow$ $h$ **diagonalisable**, $\mathrm{Sp}(h)\subset\{\zeta^j\}$.

*(b)* $x\in V_j$ : $h(u x)=\zeta u(h x)=\zeta^{j+1}u x$, donc $u x\in V_{j+1}$ : $u(V_j)\subset V_{j+1}$ (avec $V_N=V_0$).

*(c)* Par récurrence, $h^k u h^{-k}=\zeta^k u$ pour $k\in\mathbb{Z}$ ; et $h u^l h^{-1}=(huh^{-1})^l=\zeta^l u^l$. $\blacksquare$

**À retenir.** *À garder sous la main :* $h^k u h^{-k}=\zeta^k u$ (sert en 12d et 13b). *Rapport :* « bien traitée, pas de problème particulier ».

## Question 12° — Recherche d'un supplémentaire stable (moyennisation)

**Rappel de cours.**

Projecteur $p$ sur $W$ parallèlement à $W'$ : $p^2=p$, $\operatorname{Im}p=W$, $\ker p=W'$, $p_{|W}=\mathrm{id}$.

Pour un projecteur, $V=\operatorname{Im}p\oplus\ker p$. Un sous-espace est stable par un endomorphisme qui commute avec un projecteur dont il est l'image/le noyau.

**Analyse.** $p$ commute avec $u$ (car $W,W'$ stables par $u$) mais **pas** avec $h$.

On le **moyennise** par le groupe cyclique $\{h^k\}$ : $\bar p=\frac1N\sum h^kph^{-k}$ reste un projecteur d'image $W$, commute avec $u$ **et** $h$ ; $\ker\bar p$ est le supplémentaire cherché.

C'est l'analogue du théorème de Maschke.

**Solution détaillée.**

*(a)* $x=x_W+x_{W'}$ : $u(x_W)\in W$, $u(x_{W'})\in W'$, donc $p(u x)=u(x_W)=u(p x)$ : $up=pu$.

*(b)* Pour tout $x$, $p(h^{-k}x)\in W$ et $h^k(W)\subset W$, donc $h^kph^{-k}(x)\in W$ : $\operatorname{Im}\bar p\subset W$.

Pour $w\in W$ : $h^{-k}w\in W$, $p(h^{-k}w)=h^{-k}w$, $h^k(h^{-k}w)=w$, donc $\bar p(w)=w$.

*(c)* $\bar p(x)\in W\Rightarrow\bar p(\bar p x)=\bar p x$ : projecteur. $\operatorname{Im}\bar p=W$ (car $\subset W$ et $\bar p_{|W}=\mathrm{id}$).

*(d)* **Avec $u$ :** de $h^{-k}uh^k=\zeta^{-k}u$ on tire $uh^{-k}=\zeta^{k}h^{-k}u$ et $uh^{k}=\zeta^{-k}h^{k}u$, d'où $$u(h^kph^{-k})=\zeta^{-k}h^k(up)h^{-k}=\zeta^{-k}h^k(pu)h^{-k}=\zeta^{-k}h^kp(uh^{-k})=(h^kph^{-k})u.$$
Donc $\bar p u=u\bar p$.

**Avec $h$ :** $h\bar p h^{-1}=\frac1N\sum_{k=1}^{N}h^kph^{-k}=\bar p$ (le terme $k=N$ = terme $k=0$ car $h^N=\mathrm{id}$), donc $\bar p h=h\bar p$.

*(e)* $V=\operatorname{Im}\bar p\oplus\ker\bar p=W\oplus\ker\bar p$, et $\ker\bar p$ stable par $u,h$ (commutation). $\blacksquare$

**À retenir.** *Technique fondamentale :* pour rendre un objet **invariant** sous un groupe fini, le **moyenniser** ($\frac1{|G|}\sum_{g}g\cdot(\ )\cdot g^{-1}$). *Rapport :* 12c « plus subtile » (conclure $\bar p^2=\bar p$), 12d « soigneusement » (utiliser 11c), 12e « peu traitée ».

## Question 13° — Version graduée de la décomposition

**Rappel de cours.** $V=\bigoplus_j V_j$ ($h$ diagonalisable).

Sous-espace cyclique d'un vecteur propre de $h$.

Combinaison Q8 (supplémentaire stable par $u$) + Q12 (le rendre stable par $u$ et $h$).

**Analyse.**

On refait la récurrence de Q9, mais en imposant que le vecteur générateur soit **propre pour $h$** : le bloc cyclique est alors stable par $h$ aussi, avec $h_W=D_{n,a}$.

Le supplémentaire, d'abord stable par $u$ (Q8d), est rendu stable par $u$ **et** $h$ (Q12) pour permettre la récurrence.

**Solution détaillée.**

*(a)* $n$ = indice de $u$ ; soit $x$ avec $u^{n-1}(x)\ne0$.

Décomposant $x=\sum_j x_j$ ($x_j\in V_j$), $u^{n-1}(x)=\sum u^{n-1}(x_j)\ne0$, donc un $u^{n-1}(x_j)\ne0$ : $v:=x_j\ne0$ est propre pour $h$ avec $u^{n-1}(v)\ne0$.

*(b)* Récurrence sur $\dim V$.

Soit $v$ comme en (a), $h v=\zeta^a v$. $W=\mathrm{Vect}(v,uv,\dots,u^{n-1}v)$ : par Q8a, $u_W=J_n$ ; et $h(u^i v)=(hu^ih^{-1})h(v)=\zeta^{a+i}(u^i v)$ (Q11c), donc $W$ stable par $h$ et $h_W=\mathrm{diag}(\zeta^a,\dots,\zeta^{a+n-1})=D_{n,a}$.

Type $(n,a)$.

Par Q8d, $W$ a un supplémentaire stable par $u$ ; par Q12, il a un supplémentaire $W''$ stable par $u$ **et** $h$.

Sur $W''$, $u$ nilpotent, $h^N=\mathrm{id}$, $huh^{-1}=\zeta u$ : par récurrence ($\dim W''<\dim V$), base de $W''$ en blocs $(J_r,D_{r,a})$.

Réunie à celle de $W$, on conclut. $\blacksquare$

**À retenir.**

*Enchaînement à mémoriser :* vecteur propre de $h$ + $u^{n-1}v\ne0$ (13a) → bloc $(J_n,D_{n,a})$ → Q8d → Q12 → récurrence.

*Rapport :* 13a « peu de candidats y sont arrivés » ; 13b « de nombreux points à vérifier », initialisation et hérédité soignées, « peu ont eu le temps ».

## Question 14° — Un exemple ($N=4$, $V_0=\{0\}$)

**Rappel de cours.** $\zeta=i$ ; $V=V_1\oplus V_2\oplus V_3$ ; $u_1:V_1\to V_2$, $u_2:V_2\to V_3$, $u(V_3)=0$.

Type $(r,a)$ = chaîne de grades $a,\dots,a+r-1$.

Rang d'une application, système linéaire.

**Analyse.** La graduation force la nilpotence d'indice $\le3$.

Les types admissibles sont les chaînes de grades dans $\{1,2,3\}$ ne passant pas par $0$ : il y en a 6.

Le nombre de blocs de chaque type se lit sur dimensions et rangs par un système linéaire triangulable.

**Solution détaillée.**

*(a)* $x\in V_j\Rightarrow u^k x\in V_{j+k}$ (mod 4). $V_0=\{0\}$ tue $u^3$ sur $V_1$, $u^2$ sur $V_2$, $u$ sur $V_3$ ; dans tous les cas $u^3=0$.

*(b)* Types admissibles (grades consécutifs $\subset\{1,2,3\}$) : $$(1,1),(1,2),(1,3),\ (2,1),(2,2),\ (3,1)\quad(\text{6 types}).$$
Réalisation : $V=$ somme de six blocs, chaque bloc $(r,a)$ de base $(f_0,\dots,f_{r-1})$, $u f_i=f_{i+1}$, $h f_i=\zeta^{a+i}f_i$.

On vérifie $huh^{-1}=\zeta u$, $h^4=\mathrm{id}$, et $V_0=\{0\}$ (aucun grade $\equiv0$).

*(c)* Avec $n_{r,a}$ = nombre de blocs de type $(r,a)$ : $$d_1=n_{1,1}+n_{2,1}+n_{3,1},\ d_2=n_{1,2}+n_{2,1}+n_{2,2}+n_{3,1},\ d_3=n_{1,3}+n_{2,2}+n_{3,1},$$ $$r_1=n_{2,1}+n_{3,1},\quad r_2=n_{2,2}+n_{3,1},\quad r_{21}=n_{3,1}.$$
D'où $$n_{3,1}=r_{21},\ n_{2,1}=r_1-r_{21},\ n_{2,2}=r_2-r_{21},$$ $$n_{1,1}=d_1-r_1,\ n_{1,2}=d_2-r_1-r_2+r_{21},\ n_{1,3}=d_3-r_2.$$
Tout est déterminé par $(d_1,d_2,d_3,r_1,r_2,r_{21})$. $\blacksquare$

**À retenir.** *Méthode :* traduire une classification en **dénombrement de types** puis en **système linéaire** dimensions/rangs. *Rapport :* « quasiment jamais traitées » — question chronophage, non prioritaire.

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# Partie VI — Classification des couples de matrices rectangulaires

$A\in\mathcal{M}_{n,m}$, $B\in\mathcal{M}_{m,n}$, $M=\begin{pmatrix}0_m&B\\A&0_n\end{pmatrix}$, $H=\mathrm{diag}(I_m,-I_n)$.

## Question 15° — Une réduction

**Rappel de cours.**

Changement de bases pour une application linéaire $\alpha:\mathbb{C}^m\to\mathbb{C}^n$ : matrices équivalentes $A'=QAP^{-1}$ ($P$ = passage dans la source, $Q$ dans le but).

Matrices semblables. Un endomorphisme qui commute avec $H$ stabilise ses espaces propres.

**Analyse.** (i)⟺(ii) est la traduction matricielle : mêmes bases $\Rightarrow$ mêmes passages $P,Q$ pour $\alpha$ **et** $\beta$ (rôles source/but échangés). (ii)⟺(iii) : encoder $(P,Q)$ en $R=\mathrm{diag}(P,Q)$ ; réciproquement $RHR^{-1}=H$ force $R$ bloc-diagonale (espaces propres de $H$).

**Solution détaillée.**

*(i)⟺(ii).*

Si $(A,B)$, $(A',B')$ représentent $(\alpha,\beta)$ dans $(\mathbf e,\mathbf f)$, $(\mathbf e',\mathbf f')$, avec $P\in\mathrm{GL}_m,Q\in\mathrm{GL}_n$ les passages, alors $A'=QAP^{-1}$ ($\alpha$) et $B'=PBQ^{-1}$ ($\beta$, source $\mathbb{C}^n$/but $\mathbb{C}^m$).

Réciproque : $P,Q$ définissent les bases voulues.

**Le couplage de $A$ et $B$ vient du partage des mêmes bases.**

*(ii)⟹(iii).* $R=\mathrm{diag}(P,Q)$ : $RMR^{-1}=\begin{pmatrix}0&PBQ^{-1}\\QAP^{-1}&0\end{pmatrix}=M_{A',B'}$ et $RHR^{-1}=H$.

*(iii)⟹(ii).* $RHR^{-1}=H\Leftrightarrow RH=HR$ ; $H$ ayant pour espaces propres $\mathbb{C}^m\times\{0\}$ ($+1$) et $\{0\}\times\mathbb{C}^n$ ($-1$), $R$ les stabilise : $R=\mathrm{diag}(P,Q)$, et le calcul redonne (ii). $\blacksquare$

**À retenir.**

*Idée :* transformer une équivalence « à deux matrices couplées » en une **similitude d'une seule matrice** $M$ commutant avec l'involution $H$.

*Rapport :* partie 6 « rarement abordée » ; 15 « commencée de manière incomplète ».

## Question 16° — Décomposition

**Rappel de cours.** $HMH^{-1}=-M$ ($H$, $M$ anticommutent), $H^2=I$.

Matrices semblables = même polynôme caractéristique.

**Lemme des noyaux :** si $P_1,P_2$ premiers entre eux annulent (par produit) $M$, alors $\ker(P_1P_2)(M)=\ker P_1(M)\oplus\ker P_2(M)$.

Cayley–Hamilton : $\chi_M(M)=0$.

**Analyse.** (a) calcul direct par blocs. (b) $M\sim-M$ symétrise le spectre. (c) décomposition en « partie nilpotente » ($\ker M^r$) et « partie inversible » ($\ker Q(M)=\operatorname{Im}M^r$), toutes deux stables par $H$ grâce à l'anticommutation.

**Solution détaillée.**

*(a)* $H^2=I_{m+n}$ ($H^{-1}=H$). $HMH=-M$, donc $HMH^{-1}=-M$ et $HM=-MH$. $HM^kH^{-1}=(-1)^kM^k$, d'où $HP(M)H^{-1}=P(-M)$.

*(b)* $M\sim-M$ (via $H$), donc $\chi_M=\chi_{-M}$ : la multiplicité de $\lambda$ dans $M$ = celle de $-\lambda$.

Donc $\lambda\in\mathrm{Sp}(M)\Rightarrow-\lambda\in\mathrm{Sp}(M)$, même multiplicité.

*(c)* $Q(0)\ne0\Rightarrow\gcd(X^r,Q)=1$. Cayley–Hamilton : $M^rQ(M)=\chi_M(M)=0$.

Lemme des noyaux : $$\mathbb{C}^{m+n}=\ker M^r\oplus\ker Q(M).$$ $M^rH=(-1)^rHM^r$ (anticommutation), donc pour $x\in\ker M^r$ : $M^r(Hx)=(-1)^rHM^rx=0$ : $\ker M^r$ stable.

Sur $\ker Q(M)$, $M$ inversible $\Rightarrow M^r$ bijectif $\Rightarrow\ker Q(M)=\operatorname{Im}M^r$, stable par $H$ (même anticommutation). $\blacksquare$

**À retenir.**

*Réflexe :* face à $\chi_M=X^rQ$ avec $Q(0)\ne0$, appliquer le **lemme des noyaux** ($X^r$ et $Q$ coprimes) pour séparer noyau (nilpotent) et image de $M^r$ (inversible).

*Rapport :* 16 « commencée de manière incomplète ».

## Question 17° — Cas nilpotent

**Rappel de cours.**

Partie V avec $N=2$ : $\zeta=e^{i\pi}=-1$.

Réordonnancement de base = conjugaison par une matrice de permutation = similitude simultanée.

**Analyse.** $M$ nilpotente + $H^2=I$ + $HMH^{-1}=-M$ : c'est **littéralement** la situation graduée avec $N=2$.

Q13 donne des blocs $(J_\rho,D_{\rho,a})$ où $H$ vaut $\pm1$ en alternance le long de la chaîne.

On **regroupe** les $+1$ et les $-1$ pour obtenir la forme $\begin{pmatrix}0&B_0\\A_0&0\end{pmatrix}$.

**Solution détaillée.**

Avec $u=M,h=H,N=2,\zeta=-1$, Q13 fournit une base où $M,H$ sont diagonales par blocs $(J_\rho,D_{\rho,a})$, $D_{\rho,a}=\mathrm{diag}((-1)^a,\dots,(-1)^{a+\rho-1})$.

Dans un bloc de base $(f_0,\dots,f_{\rho-1})$ ($M f_i=f_{i+1}$, $H f_i=(-1)^{a+i}f_i$), les $f_i$ sont vecteurs propres de $H$ pour $+1$ (si $a+i$ pair) ou $-1$ (sinon), en alternance.

En plaçant les $+1$ d'abord ($p_1,\dots,p_r$) puis les $-1$ ($q_1,\dots,q_s$), $H$ devient $\mathrm{diag}(I_r,-I_s)$ ($r+s=\rho$, $|r-s|\le1$) et $M$, envoyant chaque parité sur l'autre, prend la forme $\begin{pmatrix}0_r&B_0\\A_0&0_s\end{pmatrix}$.

Selon les parités de $a$ et $\rho$ :

| $a$ | $\rho$ | $(r,s)$ | $(A_0,B_0)$ |
|---|---|---|---|
| pair | impair | $r=s+1$ | $A_0=(I_s\,|\,0)$, $B_0=\binom{0}{I_s}$ |
| pair | pair | $r=s$ | $A_0=I_r$, $B_0=J_r$ |
| impair | pair | $r=s$ | $A_0=J_r$, $B_0=I_r$ |
| impair | impair | $s=r+1$ | $A_0=\binom{0}{I_r}$, $B_0=(I_r\,|\,0)$ |

Ces quatre motifs sont exactement ceux de l'énoncé. La somme directe des blocs conclut. $\blacksquare$

**À retenir.**

*La bonne lecture :* $(M,H)$ nilpotent-involutif **est** un objet gradué $N=2$.

Le passage aux quatre couples n'est qu'un **tri par parité** le long de la chaîne de Jordan. *Rapport :* partie 6 quasi non traitée.

## Question 18° — Cas inversible

**Rappel de cours.**

Une bijection linéaire entre $\mathbb{C}^m$ et $\mathbb{C}^n$ impose $m=n$.

Réduction de Jordan d'une matrice inversible (valeurs propres non nulles). Équivalence simultanée de $(A,B)$ (Q15).

**Analyse.** $M$ inversible force $A,B$ inversibles (donc $m=n$).

Grâce à Q15, on **normalise $A$ en $I_m$**, ce qui ramène la classification de $(A,B)$ à la **similitude** de $C=BA$ : sa forme de Jordan donne les blocs voulus.

**Solution détaillée.**

*(a)* $M\binom{x}{y}=\binom{By}{Ax}$. $M$ bijective $\Rightarrow A,B$ bijectives $\Rightarrow m=n$ et $A,B\in\mathrm{GL}_m$.

*(b)* Par Q15, $(A,B)\sim(QAP^{-1},PBQ^{-1})$.

Avec $P=I_m,Q=A^{-1}$ : $A\mapsto I_m$, $B\mapsto BA=:C\in\mathrm{GL}_m$.

La liberté restante ($A=I_m$ imposant $Q=P$) permet $C\mapsto PCP^{-1}$ : on met $C$ sous **forme de Jordan**, $C\sim\mathrm{diag}(\lambda_iI_{r_i}+J_{r_i})$, $\lambda_i\ne0$.

Chaque bloc donne $(A_1,B_1)=(I_r,\lambda I_r+J_r)$, i.e. le bloc de $M$ $$\begin{pmatrix}0_r&\lambda I_r+J_r\\I_r&0_r\end{pmatrix},\quad H\text{-bloc }\mathrm{diag}(I_r,-I_r),$$ de taille paire $2r$, $\lambda\ne0$. $\blacksquare$

**À retenir.**

*Normalisation :* utiliser la double liberté $(P,Q)$ pour **réduire $A$ à $I$**, puis conjuguer $C=BA$ (Jordan).

L'inversibilité de $M$ $\Leftrightarrow$ $\lambda\ne0$.

*Rapport :* partie 6 non traitée en pratique.

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## Bilan

Les **18 questions** (I à VI, toutes sous-questions) sont traitées, avec pour chacune rappel de cours, analyse, solution détaillée et point de méthode.

Tous les outils sont au programme MP (diagonalisabilité par polynôme annulateur, $\mathbb{C}[X]$ principal et idéaux, algèbre $P(u)$, lemme des noyaux, Cayley–Hamilton admis, réduction de Jordan construite par le sujet).

Conformément au rapport, l'accent didactique porte sur les deux écueils majeurs signalés — **manipulation correcte de $P(u)$** et **distinction idéal / sous-espace** — ainsi que sur les articulations logiques (Q8d→Q12→récurrence en Q13 ; identification $N=2$ en Q17 ; normalisation de $A$ en Q18).