Maths A

# Sujet — Mathématiques A, filières MP-MPI — X / ENS — 2026

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI

ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D’ADMISSION 2026

LUNDI 13 AVRIL 2026

08h00 - 12h00

FILIERES MP-MPI - Epreuve n° 1

MATHEMATIQUES A

*Durée : 4 heures*

*L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.*

## Préambule et notations

Dans tout le texte, la lettre $\mathbb{C}$ désigne le corps des nombres complexes muni de la conjugaison complexe $z \mapsto \overline{z}$. Pour $z \in \mathbb{C}$, on notera $|z| := \sqrt{z\overline{z}}$ le module de $z$. La lettre $\mathbb{R}$ désigne le corps des nombres réels et $\mathbb{R}_{+}$ l’ensemble des nombres réels qui sont positifs ou nuls. Pour $x \in \mathbb{C}$ et $\delta \in \mathbb{R}_{+}$, on notera

$$
\mathbb{D}(x,\delta) := \bigl\{ z \in \mathbb{C} \mid |z-x| \leqslant \delta \bigr\}
\quad\text{et}\quad
\partial\mathbb{D}(x,\delta) := \bigl\{ z \in \mathbb{C} \mid |z-x| = \delta \bigr\}
$$

respectivement le disque fermé et le cercle centrés en $x$ et de rayon $\delta$.

(I) Pour $n \geqslant 1$ entier, on considère le $\mathbb{C}$-espace vectoriel $\mathbb{C}^{n}$ que l’on munit de l’application $\mathbb{C}^{n} \times \mathbb{C}^{n} \to \mathbb{C}$ définie par

$$
(x,y) \mapsto \langle x | y \rangle := \sum_{i=1}^{n} x_{i}\overline{y}_{i},
$$

où les $x_{i}$ (resp. $y_{i}$) sont les coordonnées de $x$ (resp. $y$). On notera aussi pour $x \in \mathbb{C}^{n}$,

$$
\|x\| := \sqrt{\langle x | x \rangle}.
$$

Les candidates et candidats pourront utiliser sans justification les faits suivants :

- Pour $x \in \mathbb{C}^{n}$ fixé, l’application $\varphi_{x} : y \mapsto \langle x | y \rangle$ est semi-linéaire au sens où $\varphi_{x}(y + \alpha y') = \varphi_{x}(y) + \overline{\alpha}\,\varphi_{x}(y')$ alors que $\psi_{y} : x \mapsto \langle x | y \rangle$ est linéaire ;
- $x \mapsto \|x\|$ est une norme sur $\mathbb{C}^{n}$ ;
- $\bigl|\langle x | y \rangle\bigr| \leqslant \|x\| \cdot \|y\|$.

Par analogie avec le cas euclidien, $\langle \cdot | \cdot \rangle$ est souvent appelé produit scalaire hermitien et lorsque $(u_{1},\ldots,u_{n})$ est une famille de vecteurs de $\mathbb{C}^{n}$ telle que $\langle u_{i} | u_{j} \rangle = 0$ pour $i \neq j$ et $\|u_{i}\| = 1$ avec $1 \leqslant i,j \leqslant n$, on dira que $(u_{1},\ldots,u_{n})$ est une base orthonormale.

(II) Pour deux entiers $m \geqslant 1$ et $n \geqslant 1$, $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{C})$ désigne les matrices à $m$ lignes et $n$ colonnes à coefficients dans $\mathbb{C}$ et $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}) := \mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{C})$ les matrices carrées $n \times n$.

(i) Étant donnée une matrice $A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{C})$, on notera ${}^{t}A \in \mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{C})$ sa transposée et $\overline{A}$ la matrice dont les coefficients sont les conjugués dans $\mathbb{C}$ des coefficients de $A$. Les éléments de $\mathbb{C}^{n}$ seront identifiés aux éléments de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{C})$. On notera aussi $A^{*} := {}^{t}\overline{A}$. On pourra utiliser sans justification que pour tous $x$ et $y$ dans $\mathbb{C}^{n}$, on a

$$
\langle x | y \rangle = {}^{t}x\,\overline{y}
\quad\text{et}\quad
\langle Ax | y \rangle = \langle x | A^{*} y \rangle.
$$

(ii) On considère pour $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$

$$
\|A\| := \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|,
$$

qui définit une norme sur $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ (on ne demande pas de le démontrer) appelée norme subordonnée. Lorsque $P \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ est inversible, on définit le **conditionnement** de $P$ par

$$
\operatorname{cond}(P) := \|P\| \cdot \|P^{-1}\|.
$$

(iii) Une matrice $A$ de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ est dite **unitaire** si $A^{*}A = I_{n}$. Elle est dite **hermitienne** si $A^{*} = A$. On pourra utiliser sans démonstration que $A$ est unitaire si et seulement si pour tout $x \in \mathbb{C}^{n}$, on a $\|Ax\| = \|x\|$ ou encore si et seulement si les colonnes de $A$ forment une base orthonormale.

(III) Pour $(\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}) \in \mathbb{C}^{n}$, on notera $\operatorname{diag}(\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n})$ la matrice diagonale de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ dont les coefficients diagonaux sont données par les $\lambda_{i}$. Le théorème de réduction suivant pourra, et devra, être utilisé.

**Théorème.** *Soit $A$ une matrice unitaire (resp. hermitienne). Il existe alors une matrice unitaire $U$ telle que*

$$
A = U\operatorname{diag}(\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n})U^{-1}
$$

*où les $\lambda_{i}$ sont les valeurs propres de $A$ qui sont alors de module $1$ (resp. réelles).*

Autrement dit une matrice unitaire (resp. hermitienne) est diagonalisable en base orthonormale pour le produit scalaire hermitien avec valeurs propres de module $1$ (resp. réelles).

(IV) Pour tout polynôme à coefficients complexes $p = \sum_{i=0}^{r} p_{i} X^{i} \in \mathbb{C}[X]$ et toute matrice $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$, on rappelle que $p(A)$ est la matrice $\sum_{i=0}^{r} p_{i} A^{i}$. On s’intéresse alors à $\|p(A)\|$ que l’on essaie de majorer par

$$
\|p\|_{S} := \sup_{\alpha \in S} |p(\alpha)|
$$

pour un ensemble $S$ compact qui, bien sûr, va dépendre de $A$.

*Les candidates et candidats sont invités à ne pas rester bloqués sur une question (notamment celles, plus difficiles, situées en fin de partie). On attend toutefois un traitement de portions substantielles de chacune d’elles, plutôt qu’un « grappillage » de points.*

Dans toute la suite, on considère $n \geqslant 1$ entier.

## Préliminaires

1) Soit $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$. Justifier l’existence de $\|A\|$ et montrer que

$$
\|A\| = \max_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|}.
$$

2) Dans le cas où $A$ est une matrice diagonale $\operatorname{diag}(\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n})$, donner une expression de $\|A\|$ en fonction des $\lambda_{i}$.

3) Montrer que pour $A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$, on a $\|AB\| \leqslant \|A\| \cdot \|B\|$.

4) Vérifier que pour $U$ unitaire, on a $\|U\| = 1$ et montrer que pour tout $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$, on a $\|AU\| = \|UA\| = \|A\|$.

5) On suppose $A$ diagonalisable de sorte qu’il existe une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A = PDP^{-1}$. Montrer que pour $\operatorname{cond}(P)$ défini dans le préambule et $\sigma(A)$ l’ensemble des valeurs propres de $A$, on a pour tout $p \in \mathbb{C}[X]$

$$
\|p\|_{\sigma(A)} \leqslant \|p(A)\| \leqslant \operatorname{cond}(P)\,\|p\|_{\sigma(A)}.
$$

## A- Principe du maximum pour les polynômes

On note $\mathbb{D} := \mathbb{D}(0,1)$ le disque unité et $\partial\mathbb{D} := \partial\mathbb{D}(0,1)$ le cercle unité. Pour $p \in \mathbb{C}[X]$ de degré $n-1$ et $z \in \mathbb{D}$ on se propose de montrer que $|p(z)| \leqslant \|p\|_{\partial\mathbb{D}}$. On suppose ici $n \geqslant 2$. Soit $s = \sqrt{1-|z|^{2}}$. On introduit la matrice $U$ de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ et le vecteur $e_{1} \in \mathbb{C}^{n}$ par

$$
U =
\begin{pmatrix}
z & s & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & 0 & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \vdots & \ddots & 1 \\
s & -\overline{z} & 0 & \cdots & 0
\end{pmatrix},
\qquad
e_{1} =
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{pmatrix}.
$$

6) Montrer que $U$ est unitaire.

7) Montrer que $p(z) = e_{1}^{*} p(U) e_{1}$.

8) Montrer, en utilisant le théorème du préambule, que

$$
|p(z)| \leqslant \|p(U)\| \leqslant \|p\|_{\partial\mathbb{D}}.
$$

9) On suppose ici que $|z| < 1$. Montrer que $|p(z)| < \|p\|_{\partial\mathbb{D}}$.

10) Soit $S$ un fermé borné non vide de $\mathbb{C}$. On définit alors $\partial S \subset S$ comme suit : $x \in S \setminus \partial S$ si et seulement s’il existe $\delta > 0$ tel que le disque $\mathbb{D}(x,\delta) \subset S$. Montrer que $\|p\|_{S} = \|p\|_{\partial S}$.

## B- Inégalité de Von Neumann

On suppose que $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ est **une contraction** au sens où $\|A\| \leqslant 1$ et que $p \in \mathbb{C}[X]$. On veut montrer l’inégalité de Von Neumann suivante :

$$
\|p(A)\| \leqslant \|p\|_{\mathbb{D}}.
$$

11) En utilisant la question 5), traiter le cas où $A$ est unitaire.

12) Montrer qu’il existe une matrice hermitienne $D_{A}$ (resp. $D_{A^{*}}$) dont les valeurs propres sont réelles positives et telle que $D_{A}^{2} = I - A^{*}A$ (resp. $D_{A^{*}}^{2} = I - AA^{*}$).

*Indication : utiliser le théorème de réduction du préambule.*

13) Montrer qu’il existe $q \in \mathbb{C}[X]$ tel que $D_{A} = q(A^{*}A)$ et $D_{A^{*}} = q(AA^{*})$.

14) Déduire de la question précédente que

$$
A^{*} D_{A^{*}} = D_{A} A^{*}
\qquad
A D_{A} = D_{A^{*}} A.
$$

15) Montrer que la matrice $U \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})$ définie par

$$
U =
\begin{pmatrix}
A & D_{A^{*}} \\
-D_{A} & A^{*}
\end{pmatrix}
$$

est unitaire.

16) En utilisant les matrices

$$
U_{k} =
\begin{pmatrix}
A & D_{A^{*}} & 0_{n} & \cdots & 0_{n} \\
0_{n} & 0_{n} & I_{n} & & \\
\vdots & \vdots & & \ddots & \\
0_{n} & 0_{n} & & & I_{n} \\
-D_{A} & A^{*} & 0_{n} & \cdots & 0_{n}
\end{pmatrix},
$$

où $k$ est le nombre de matrice nulle $0_{n}$ de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ sur la première ligne, démontrer l’inégalité de Von Neumann.

*Indication : on notera l’analogie avec la matrice $U$ de la partie A. On montrera ainsi que pour $p$ de degré $\leqslant k+1$, le premier bloc en haut à gauche de $p(U_{k})$ est égal à $p(A)$.*

17) En déduire que pour toute matrice $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$, on a

$$
\|p(A)\| \leqslant \|p\|_{\mathbb{D}(0,\|A\|)}.
$$

## C- Hausdorffien et rayon numérique

Le Hausdorffien de $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ est par définition le sous-ensemble suivant de $\mathbb{C}$ :

$$
\mathcal{H}(A) := \bigl\{ \langle Ax | x \rangle \mid x \in \mathbb{C}^{n},\ \|x\| = 1 \bigr\}.
$$

18) Montrer que $\sigma(A) \subset \mathcal{H}(A)$ où $\sigma(A)$ est l’ensemble des valeurs propres de $A$.

19) Montrer que pour $(\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}) \in \mathbb{C}^{n}$, $\mathcal{H}\bigl(\operatorname{diag}(\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n})\bigr)$ est l’enveloppe convexe de $\{\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\}$ c’est à dire l’ensemble

$$
\Bigl\{ \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}\lambda_{i} \ \Big|\ \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} = 1 \text{ et } \alpha_{i} \in \mathbb{R}_{+} \Bigr\}.
$$

20) En déduire $\mathcal{H}(A)$ lorsque $A$ est unitaire (resp. hermitienne).

21) Montrer que

$$
\mathcal{H}\Biggl(
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\Biggr)
= \mathbb{D}\Bigl(0,\tfrac{1}{2}\Bigr).
$$

*Indication : on pourra commencer par calculer $\langle Ax | x \rangle$ pour $x = \begin{pmatrix} a \\ b e^{i\theta} \end{pmatrix}$ avec $a, b \in \mathbb{R}_{+}$ et $a^{2} + b^{2} = 1$.*

22) Montrer que $\mathcal{H}(A)$ est un fermé borné de $\mathbb{C}$.

On introduit le rayon numérique $r(A)$ de $A$ défini par

$$
r(A) := \max_{z \in \mathcal{H}(A)} |z|.
$$

23) Montrer que $\tfrac{1}{2}\|A\| \leqslant r(A) \leqslant \|A\|$.

*Pour la première inégalité, on pourra utiliser l’identité de polarisation*

$$
\begin{aligned}
4\langle Ax | y \rangle
&= \langle A(x+y) | x+y \rangle - \langle A(x-y) | x-y \rangle \\
&\qquad + i\langle A(x+iy) | x+iy \rangle - i\langle A(x-iy) | x-iy \rangle.
\end{aligned}
$$

24) Montrer que $r : A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}) \mapsto r(A) \in \mathbb{R}_{+}$ est une norme.

25) En considérant les matrices

$$
A =
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\quad\text{et}\quad
B = A^{*},
$$

montrer que l’inégalité $r(AB) \leqslant r(A)r(B)$ n’est pas vraie.

26) On veut dans cette question montrer l’inégalité $r(A^{k}) \leqslant r(A)^{k}$ pour tout $k \in \mathbb{N}$.

26-a) On suppose $k \geqslant 1$. On note $\omega_{k} = \exp\bigl(\frac{2i\pi}{k}\bigr)$ une racine primitive $k$-ème de l’unité. Partant de l’égalité polynomiale usuelle $X^{k} - 1 = \prod_{\ell=1}^{k} \bigl(X - \omega_{k}^{\ell}\bigr)$, en déduire les égalités polynomiales

$$
1 - X^{k} = \prod_{\ell=1}^{k} \bigl(1 - \omega_{k}^{\ell} X\bigr)
\quad\text{et}\quad
1 = \frac{1}{k} \sum_{j=1}^{k} \prod_{\substack{\ell=1 \\ \ell \neq j}}^{k} \bigl(1 - \omega_{k}^{\ell} X\bigr).
$$

26-b) Pour $x \in \mathbb{C}^{n}$ de norme $1$, on pose pour $j = 1,\ldots,k$

$$
x_{j} = \Biggl( \prod_{\substack{\ell=1 \\ \ell \neq j}}^{k} \bigl(I - \omega_{k}^{\ell} A\bigr) \Biggr) x.
$$

Déduire de la question précédente la formule suivante :

$$
\frac{1}{k} \sum_{j=1}^{k} \Bigl[ \|x_{j}\|^{2} - \langle \omega_{k}^{j} A x_{j} | x_{j} \rangle \Bigr]
= 1 - \langle A^{k} x | x \rangle.
$$

26-c) On suppose $r(A) \leqslant 1$. Soit $\theta$ un réel quelconque et soit $x \in \mathbb{C}^{n}$ un vecteur unitaire. En écrivant l’égalité précédente pour $e^{i\theta} A$, montrer que la partie réelle de $1 - e^{ik\theta}\langle A^{k} x | x \rangle$ est toujours positive et en déduire que $r(A^{k}) \leqslant 1$.

26-d) En déduire le résultat annoncé, i.e. $r(A^{k}) \leqslant r(A)^{k}$ pour tout $k \in \mathbb{N}$ et pour tout $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$.

## D- Conjecture de Crouzeix

La conjecture de Crouzeix s’énonce comme suit : pour toute matrice $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ et pour tout polynôme $p \in \mathbb{C}[X]$ on a

$$
\|p(A)\| \leqslant 2\|p\|_{\mathcal{H}(A)}.
\tag{1}
$$

27) En étudiant l’exemple de

$$
A =
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix},
$$

montrer que la constante $2$ dans la conjecture ne peut pas être améliorée.

28) En utilisant le résultat de la question 26), montrer que la formule (1) est toujours vérifiée pour les monômes $p(X) = X^{k}$ avec $k \geqslant 0$ entier.

29) Soient $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$, $z = r(A)e^{i\theta} \in \mathcal{H}(A)$ et $p(X) = \sum_{k=0}^{r} c_{k} X^{k} \in \mathbb{C}[X]$. On suppose qu’il existe $\varphi \in \mathbb{R}$ tel que $c_{k} = |c_{k}|e^{i(\varphi - k\theta)}$ pour $0 \leqslant k \leqslant r$. Montrer que (1) est vérifiée pour le couple $(A,p)$ considéré.

30) Un résultat de Okubo et Ando montre que si $B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ est telle que $r(B) \leqslant 1$ alors il existe une matrice inversible $X$ vérifiant $\operatorname{cond}(X) \leqslant 2$ telle que $C := X^{-1}BX$ soit une contraction.

30-a) En utilisant le résultat de Okubo-Ando, montrer que

$$
\|p(A)\| \leqslant 2\|p\|_{\mathbb{D}(0,r(A))}.
$$

30-b) En déduire, pour tout disque contenant $\mathcal{H}(A)$ de bord $\mathcal{C}$, que

$$
\|p(A)\| \leqslant 2\|p\|_{\mathcal{C}}.
$$