Physique
X-ENSMP2026
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Épreuve n° 5, durée 4 h, calculatrice interdite. Sujet : *Étude des ondes mécaniques dans une plaque élastique*.
## I. Préambule : onde de compression unidimensionnelle
### Question 1
Un ressort de raideur $\kappa$ dont l'allongement algébrique (longueur moins longueur à vide) vaut $\delta_n$ emmagasine
$$\boxed{E_{p,n}=\tfrac12\,\kappa\,\delta_n^{2}}$$
### Question 2
Le $n$-ième ressort relie les molécules $n$ et $n+1$, de positions au repos $na$ et $(n+1)a$. Son allongement est $\delta_n=u\big((n+1)a,t\big)-u(na,t)$. Une longueur d'onde contient $\lambda/a$ ressorts :
$$\boxed{E_p^{\lambda}=\sum_{n=1}^{\lambda/a}\tfrac12\,\kappa\,\delta_n^{2}=\sum_{n=1}^{\lambda/a}\tfrac12\,\kappa\,\big[u((n+1)a,t)-u(na,t)\big]^2}$$
### Question 3
Comme $a\ll\lambda$, $\delta_n\simeq a\,\dfrac{\partial u}{\partial x}(x_n,t)$, d'où $\tfrac12\kappa\delta_n^2=\tfrac12\kappa a^2\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2$. Les ressorts sont espacés de $a$, donc une somme sur les ressorts se convertit en intégrale par $\sum_n f(x_n)\simeq\dfrac1a\displaystyle\int f(x)\,\mathrm{d}x$ (somme de Riemann de pas $a$). Ainsi
$$E_p^{\lambda}=\frac1a\int_0^{\lambda}\tfrac12\kappa a^2\Big(\frac{\partial u}{\partial x}\Big)^2\mathrm{d}x=\boxed{\tfrac12\,\kappa a\int_0^{\lambda}\Big(\frac{\partial u}{\partial x}\Big)^2\mathrm{d}x}$$
### Question 4
Chaque molécule, de masse $m$, a la vitesse $\partial u/\partial t$. Il y a une molécule par longueur $a$, d'où une masse linéique $m/a$ :
$$\boxed{E_c^{\lambda}=\sum_n\tfrac12 m\Big(\frac{\partial u}{\partial t}\Big)^2\simeq\frac{m}{2a}\int_0^{\lambda}\Big(\frac{\partial u}{\partial t}\Big)^2\mathrm{d}x}$$
### Question 5
Avec $u=U\sin(kx-\omega t)$ : $\partial_x u=Uk\cos(kx-\omega t)$, $\partial_t u=-U\omega\cos(kx-\omega t)$ et $\displaystyle\int_0^\lambda\cos^2(kx-\omega t)\,\mathrm{d}x=\frac{\lambda}{2}$. Donc
$$E_p^{\lambda}=\frac{\kappa a U^2k^2\lambda}{4},\qquad E_c^{\lambda}=\frac{mU^2\omega^2\lambda}{4a}.$$
L'égalité $E_c^\lambda=E_p^\lambda$ donne $\dfrac{m}{a}\omega^2=\kappa a k^2$, soit
$$\boxed{\omega^2=k^2c^2,\qquad c=a\sqrt{\frac{\kappa}{m}}}$$
$c$ est homogène à une vitesse ($\mathrm{m}\cdot\sqrt{\mathrm{N\,m^{-1}\,kg^{-1}}}=\mathrm{m\,s^{-1}}$). C'est la célérité des ondes de compression (vitesse du son) dans la chaîne, et aussi la vitesse de phase $\omega/k$ de l'OPPH.
### Question 6
Pour une OPPH, $\partial_t^2u=-\omega^2u$ et $\partial_x^2u=-k^2u$. La relation $\omega^2=c^2k^2$ est donc celle de
$$\boxed{\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\,\frac{\partial^2u}{\partial x^2}}$$
C'est l'équation de d'Alembert. Elle est linéaire, ce qui autorise la superposition. Elle est invariante par $t\to-t$, donc la propagation est réversible et sans atténuation. Elle est non dispersive : $v_\varphi=v_g=c$ pour toutes les fréquences, et un paquet d'ondes se propage sans se déformer.
## II. Énergie élastique pour une plaque en compression homogène
### Question 7
Tous les ressorts selon $(Ox)$ se raccourcissent de $\delta$, donc $\partial u/\partial x=-\delta/a$ est uniforme et $u(x)$ est **affine**. En prenant l'extrémité $x=0$ comme référence, $u(x)=-\dfrac{\Delta L}{L}\,x$ : une droite de pente $-\Delta L/L$ qui passe de $0$ en $x=0$ à $-\Delta L$ en $x=L$. Si la compression est symétrique, la droite passe par $0$ au milieu de la plaque ; la pente reste la même.
### Question 8
Une section droite $e\times l$ contient $\dfrac{e}{a}\cdot\dfrac{l}{a}$ chaînes parallèles à $(Ox)$, et chaque chaîne compte $L/a$ ressorts :
$$\boxed{N=\frac{e\,l\,L}{a^3}}$$
### Question 9
Chaque chaîne de $L/a$ ressorts se raccourcit de $\Delta L$, donc chaque ressort de $\delta=\dfrac{a\,\Delta L}{L}$. Alors
$$E_p^L=N\cdot\tfrac12\kappa\delta^2=\frac{elL}{a^3}\cdot\frac12\kappa\frac{a^2\Delta L^2}{L^2}=\boxed{\tfrac12\,K\,\frac{el}{L}\,\Delta L^2},\qquad K=\frac{\kappa}{a}.$$
$K$ s'exprime en $\mathrm{N\,m^{-2}}=\mathrm{Pa}$ : c'est un module d'élasticité (module d'Young du modèle).
## III. Flexion
### Question 10
$R_C$ est le **rayon de courbure** de la fibre neutre (distance de cette fibre au centre de courbure $C$). Sa longueur reste $L$ et c'est un arc d'angle $\theta$ :
$$\boxed{L=R_C\,\theta}$$
### Question 11
La fibre située à la distance algébrique $r$ de la fibre neutre est un arc de rayon $R_C+r$ et d'angle $\theta$. Sa longueur vaut $(R_C+r)\theta$ et son élongation
$$\boxed{\Delta L(r)=(R_C+r)\theta-R_C\theta=r\theta=\frac{r\,L}{R_C}}$$
Elle est positive pour $r>0$ (extension) et négative pour $r<0$ (compression).
### Question 12
L'élément compris entre $r$ et $r+\mathrm{d}r$ est une plaque d'épaisseur $\mathrm{d}r$, de largeur $l$ et de longueur $L$, allongée de $\Delta L(r)$. La question 9 s'applique avec $e\to\mathrm{d}r$ :
$$\mathrm{d}E_p=\frac12K\frac{l\,\mathrm{d}r}{L}\Big(\frac{rL}{R_C}\Big)^2=\boxed{\frac12\,K\,\frac{lL}{R_C^2}\,r^2\,\mathrm{d}r}$$
### Question 13
On intègre sur l'épaisseur, $r\in[-e/2,e/2]$, avec $\displaystyle\int_{-e/2}^{e/2}r^2\,\mathrm{d}r=\frac{e^3}{12}$ :
$$E_p^L=\frac12K\frac{lL}{R_C^2}\cdot\frac{e^3}{12}=\boxed{\frac1{24}\,K\,\frac{Lle^3}{R_C^2}},\qquad \boxed{A=\frac1{24}}$$
## IV. Relation de dispersion des ondes de flexion
### Question 14
La pente de la fibre neutre est $\tan\alpha=\partial Z/\partial x$. En faibles déformations, $\tan\alpha\simeq\alpha$ :
$$\boxed{\alpha(x,t)=\frac{\partial Z}{\partial x}(x,t)}$$
### Question 15
Localement, un élément de longueur $\mathrm{d}s\simeq\mathrm{d}x$ est un arc de rayon $R_c$. La question 13, avec $L\to\mathrm{d}x$, donne $\mathrm{d}E_p=AKle^3\,\mathrm{d}x/R_c^2=AKle^3(\partial_x^2Z)^2\,\mathrm{d}x$. Avec $\partial_x^2Z=-a_Zk^2\sin(kx-\omega t)$ et $\displaystyle\int_0^\lambda\sin^2=\lambda/2$ :
$$\boxed{E_p^{\lambda}=AKle^3a_Z^2k^4\,\frac{\lambda}{2}=\frac{K\,l\,e^3\,a_Z^2\,k^4\,\lambda}{48}}$$
### Question 16
Chaque tranche $\mathrm{d}x$, de masse $\rho\,e\,l\,\mathrm{d}x$, se déplace transversalement à la vitesse $\partial_tZ=-a_Z\omega\cos(kx-\omega t)$ :
$$E_c^{\lambda}=\int_0^\lambda\frac12\rho e l\Big(\frac{\partial Z}{\partial t}\Big)^2\mathrm{d}x=\boxed{\frac{\rho\,e\,l\,a_Z^2\,\omega^2\,\lambda}{4}}$$
### Question 17
Ici $E_p^\lambda$ et $E_c^\lambda$ ne dépendent pas du temps, ils sont donc égaux à leurs moyennes. L'égalité donne
$$\frac{Kle^3a_Z^2k^4\lambda}{48}=\frac{\rho e l a_Z^2\omega^2\lambda}{4}\iff 12\,\rho\,\omega^2=K e^2k^4\iff\boxed{12\,\omega^2=e^2c^2k^4,\quad c^2=\frac{K}{\rho}}$$
### Question 18
$$\boxed{c=\sqrt{\frac{K}{\rho}}}=\sqrt{\frac{70\times10^{9}}{2500}}=\sqrt{2{,}8\times10^{7}}\approx5{,}3\times10^{3}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$
Cette célérité est celle des ondes de **compression** du matériau (avec $\rho=m/a^3$ et $K=\kappa/a$, on retrouve exactement le $c=a\sqrt{\kappa/m}$ de la question 5). Sa valeur, environ 5 km/s, est typique de la vitesse du son dans un solide et vaut environ 15 fois celle dans l'air. Ce n'est pas la vitesse des ondes de flexion : celles-ci dépendent de $k$ et sont bien plus lentes tant que $ke\ll1$.
### Question 19
$\omega=\dfrac{ec}{\sqrt{12}}k^2$, d'où
$$v_\varphi=\frac{\omega}{k}=\frac{ec}{\sqrt{12}}\,k,\qquad v_g=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k}=\frac{2ec}{\sqrt{12}}\,k\quad\Longrightarrow\quad\boxed{v_g=2\,v_\varphi}$$
Comme $k=\left(\sqrt{12}\,\omega/(ec)\right)^{1/2}$, on a $v_\varphi=\left(\dfrac{ec\,\omega}{\sqrt{12}}\right)^{1/2}\propto\sqrt f$ et $v_g\propto\sqrt f$ : **les deux vitesses croissent comme la racine carrée de la fréquence**. Le milieu est dispersif. Un paquet d'ondes se déforme et s'étale au cours de la propagation : ses composantes de haute fréquence prennent de l'avance sur les basses, et l'énergie du paquet avance à $v_g$, deux fois plus vite que les crêtes.
### Question 20
Pour une OPPH, $\omega^2Z=-\partial_t^2Z$ et $k^4Z=\partial_x^4Z$. La relation $12\omega^2=e^2c^2k^4$ correspond donc à
$$\boxed{\frac{\partial^2Z}{\partial t^2}+\frac{e^2c^2}{12}\,\frac{\partial^4Z}{\partial x^4}=0}$$
Vérification : avec $Z=a_Z\sin(kx-\omega t)$, on obtient $(-\omega^2+e^2c^2k^4/12)Z=0$. Le terme $\partial_t^2Z$ est le terme d'inertie (accélération transverse, associée à la masse linéique $\rho el$). Le terme en $\partial_x^4Z$ est la force de rappel due à la rigidité de flexion : il fait intervenir la dérivée seconde de la courbure, et son coefficient $e^2c^2/12=Ke^2/(12\rho)$ croît avec l'épaisseur. L'ordre 4 en espace contre l'ordre 2 en temps rend la propagation dispersive. L'équation reste linéaire et réversible, sans terme de dissipation. C'est l'équation des poutres d'Euler–Bernoulli.
## V. Applications
### Modes propres d'un anneau (flûte à champagne)
### Question 21
Une condition aux limites périodique quantifie aussi le nombre d'onde dans le **modèle de Bohr** de l'atome d'hydrogène : l'onde de de Broglie de l'électron sur son orbite circulaire doit se refermer sur elle-même, soit $2\pi r=n\lambda$. Cela quantifie le moment cinétique et l'énergie. On peut citer aussi un électron confiné sur un anneau (molécule cyclique) ou les conditions de Born–von Kármán dans un cristal.
### Question 22
$Z(s,t)=2a_Z\sin(ks)\cos(\omega t)$ doit vérifier $Z(s+2\pi R_0,t)=Z(s,t)$ pour tout $s$, donc $2\pi R_0k\in2\pi\mathbb{Z}$ :
$$\boxed{k_n=\frac{n}{R_0},\quad n\in\mathbb{N}^*}$$
Autrement dit, le périmètre contient un nombre entier de longueurs d'onde.
### Question 23
La figure 5 du sujet (deux bosses et deux creux, $Z\propto\cos 2\varphi$, avec $\varphi$ l'angle polaire) est le mode $n=2$. Le premier mode est $n=1$ : $k=1/R_0$, une seule longueur d'onde sur le tour, et un déplacement radial $Z=2a_Z\cos\varphi\cos\omega t$, à l'origine des angles près (un côté s'écarte de $2a_Z$ pendant que le côté opposé se rapproche de $2a_Z$).
Au premier ordre en $a_Z$, un déplacement radial $2a_Z\cos\varphi$ décrit le même cercle translaté de $2a_Z$ selon la direction $\varphi=0$ (figure 2). Le verre oscille donc **en bloc**, d'un côté puis de l'autre, sans se déformer. Pour un anneau réel, ce mouvement ne met en jeu aucune élasticité. Il n'émet pas le son de flexion et il est bloqué par le pied du verre. C'est pourquoi le premier mode de vibration réelle est le mode $n=2$ de la figure 5 du sujet.
### Question 24
Mode $n=2$ : $k_2=2/R_0$. La question 17 donne $\omega=\dfrac{ec}{\sqrt{12}}k^2$, d'où
$$\omega_2=\frac{ec}{\sqrt{12}}\frac{4}{R_0^2}=\frac{2ec}{\sqrt3\,R_0^2},\qquad\boxed{f_2=\frac{\omega_2}{2\pi}=\frac{e}{\pi\sqrt3\,R_0^2}\sqrt{\frac{K}{\rho}}}$$
### Question 25
Avec $e=5\times10^{-4}$ m, $R_0=2\times10^{-2}$ m et $c\approx5{,}3\times10^3\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ :
$$f_2=\frac{5\times10^{-4}\times5{,}3\times10^{3}}{\pi\sqrt3\times4\times10^{-4}}=\frac{2{,}65}{5{,}4\times4\times10^{-4}}\approx1{,}2\times10^{3}\ \mathrm{Hz}$$
Discussion :
- $f_2\approx1$ kHz est une fréquence audible et aiguë, compatible avec le « chant » d'un verre, qui sonne entre quelques centaines de hertz et le kilohertz ;
- le modèle ne fait pas intervenir la hauteur $h$, puisque la déformation est supposée uniforme verticalement. Il ignore aussi l'encastrement au pied et la forme conique réelle ;
- il traite l'anneau comme une plaque plane : la courbure de l'anneau abaisse la fréquence d'un facteur de l'ordre de l'unité ;
- $f_2\propto e/R_0^2$ : un verre plus fin ou plus large chante plus grave, et un liquide ajouté (masse en plus) abaisse aussi la fréquence.
L'ordre de grandeur est le bon.
### Séismes
### Question 26
$$c=\sqrt{\frac{K}{\rho}}=\sqrt{\frac{10^{11}}{2{,}8\times10^{3}}}=\sqrt{3{,}6\times10^{7}}\approx6{,}0\times10^{3}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$
La vitesse des ondes P (6 km/s) est **cohérente** avec la célérité des ondes de compression longitudinales (parties I–II), qui sont non dispersives.
### Question 27
Les ondes de flexion sont dispersives : $v_\varphi$ et $v_g$ dépendent toutes deux de la fréquence, et $v_g=2v_\varphi$. Une vitesse sismique se mesure par le **temps d'arrivée** d'un train d'ondes entre la source et des stations éloignées. C'est donc la vitesse de propagation de l'énergie (de l'enveloppe du paquet) qui est mesurée, pas celle des crêtes, qui n'est pas accessible par un chronométrage. L'affirmation n'a de sens que pour la **vitesse de groupe**, prise à la fréquence dominante du train d'ondes.
### Question 28
$v_g=\dfrac{2ec}{\sqrt{12}}k=\dfrac{ec}{\sqrt3}k$, donc $k=\dfrac{\sqrt3\,v_g}{ec}$ et $\lambda=\dfrac{2\pi ec}{\sqrt3\,v_g}$. Avec $e=3\times10^4$ m, $c\approx6{,}0\times10^{3}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ et $v_g=4\times10^{3}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ :
$$k=\frac{1{,}73\times4\times10^{3}}{3\times10^{4}\times6\times10^{3}}\approx3{,}9\times10^{-5}\ \mathrm{m^{-1}},\qquad\boxed{\lambda\approx1{,}6\times10^{5}\ \mathrm{m}\approx1{,}6\times10^{2}\ \mathrm{km}}$$
Si l'on interprétait 4 km/s comme une vitesse de phase, on obtiendrait $\lambda=2\pi ec/(\sqrt{12}\,v_\varphi)\approx8\times10^{1}$ km. Dans les deux cas $\lambda$ n'est que quelques fois $e$ : l'hypothèse de plaque mince ($\lambda\gg e$) est à peine vérifiée, et la période correspondante, de l'ordre de la minute, est bien plus longue que celle des ondes S usuelles. Cela confirme que l'assimilation est « abusive ».
### Lac gelé
### Question 29
- On voit deux signaux identiques, un par impact, séparés d'environ 1,1 s (le premier commence vers 0,5 s, le second vers 1,7 s). Les deux impacts sont donc à des distances voisines du micro.
- Chaque signal est un balayage descendant (« chirp ») : environ 2 kHz au début, puis la fréquence décroît vers quelques dizaines de hertz en environ 0,5 s.
- L'énergie la plus intense est aux basses fréquences (traînée claire au voisinage de $f\approx0$).
- Interprétation : l'impact excite toutes les fréquences au même instant. Comme $v_g\propto\sqrt f$, les hautes fréquences arrivent les premières et les basses ensuite. La courbe $f(t)$ suit la loi d'arrivée $t=t_0+x/v_g(f)$, soit $f\propto(t-t_0)^{-2}$. C'est la signature directe de la dispersion des ondes de flexion, et l'origine du son « de pistolet laser » des lacs gelés.
### Question 30
D'après la question 19, $v_g(f)=2\left(\dfrac{\pi e c f}{\sqrt3}\right)^{1/2}=\beta\sqrt f$ avec $\beta=2\sqrt{\pi ec/\sqrt3}$. La composante de fréquence $f$, émise à l'instant $t_0$ de l'impact situé à la distance $x$, arrive à
$$t(f)=t_0+\frac{x}{\beta\sqrt f}.$$
L'origine des temps étant arbitraire, $t_0$ est inconnu. On relève sur la figure 6 plusieurs couples $(t,f)$ le long d'une branche et on trace $t$ en fonction de $1/\sqrt f$. On obtient une droite de pente $x/\beta$, ou bien on utilise une différence $t(f_1)-t(f_2)=\dfrac{x}{\beta}\left(f_1^{-1/2}-f_2^{-1/2}\right)$. Connaissant la distance $x$ de l'impact au micro et la célérité $c=\sqrt{K/\rho}$ de la glace, on obtient $\beta$, puis
$$\boxed{e=\frac{\sqrt3\,\beta^2}{4\pi c}}$$
### Question 31
L'écart d'arrivée entre deux fréquences, $\Delta t=x\left(\dfrac1{v_g(f_2)}-\dfrac1{v_g(f_1)}\right)$, est **proportionnel à la distance**. À 50 m, toutes les fréquences arrivent presque ensemble et l'on entend un claquement bref. À 500 m, le balayage dure environ dix fois plus longtemps et l'on entend un sifflement descendant nettement étalé. De plus, l'atténuation (amortissement interne, rayonnement dans l'air) est plus forte pour les hautes fréquences, ce qui rend le son lointain plus grave et plus faible. Le timbre et la durée du son diffèrent donc selon la distance.
## VI. Détection des ondes de flexion : vibrométrie laser
### Mesure de l'amplitude des vibrations
### Question 32
Une séparatrice idéale transmet ou réfléchit la moitié de l'énergie, donc multiplie l'amplitude par $1/\sqrt2$. Les miroirs ont un facteur 1.
- Référence $OS_0S_1M_1S_1S_3P$ : réflexion sur $S_0$, transmission par $S_1$, réflexion sur $M_1$, réflexion sur $S_1$, transmission par $S_3$, soit quatre facteurs $1/\sqrt2$.
- Sonde $OS_0S_2M_2S_2S_3P$ : transmission par $S_0$, transmission par $S_2$, réflexion sur $M_2$, réflexion sur $S_2$, réflexion sur $S_3$, soit quatre facteurs $1/\sqrt2$.
$$\boxed{a_1=a_2=\frac{a_0}{4}}$$
Un miroir à 45° placé en $S_1$ enverrait directement le faisceau de référence vers $S_3$ : on aurait alors $a_1=a_0/2\neq a_2=a_0/4$, et le contraste $\dfrac{2a_1a_2}{a_1^2+a_2^2}$ tomberait à $0{,}8$. La séparatrice impose **$a_1=a_2$, donc un contraste maximal égal à 1**. Elle permet aussi d'insérer le bras $S_1M_1$, dont le miroir monté sur vis micrométrique sert à régler finement le chemin optique de référence ($\epsilon$) et à équilibrer les deux bras.
### Question 33
Longueurs des trajets :
- référence : $OS_0+S_0S_1+2S_1M_1+S_1S_3+S_3P=6d+2\epsilon$ ;
- sonde : $OS_0+S_0S_2+2S_2M_2+S_2S_3+S_3P=4d+2D+2z(t)$.
Les phases s'écrivent donc
$$\boxed{\varphi_1=2\pi f_lt-\frac{2\pi}{\lambda_l}(6d+2\epsilon),\qquad\varphi_2=2\pi f_lt-\frac{2\pi}{\lambda_l}\big(4d+2D+2z(t)\big)}$$
Le retard de propagation dans $z$ (de l'ordre de 0,1 ns) est négligeable devant la période de vibration.
### Question 34
Les deux ondes viennent de la même source. Elles n'interfèrent que si la différence de marche $\delta=2(D-d)+2z-2\epsilon$ reste inférieure à la longueur de cohérence temporelle du laser, $\ell_c=c_0/\Delta f_l$. Comme $z$ et $\epsilon$ sont microscopiques :
$$\boxed{2\,|D-d|\lesssim\ell_c}$$
Ordres de grandeur : environ 1 mm à 1 cm pour une diode laser multimode, environ 10 cm à 1 m pour un laser à gaz usuel, et jusqu'à des centaines de mètres pour un laser monomode stabilisé ($\Delta f_l\sim1$ MHz). Avec un laser de vibrométrie, la distance $D$ peut aller de quelques centimètres au mètre autour de $d$. Le réglage $D=d$ annule la différence de marche géométrique.
### Question 35
L'intensité reçue est $I\propto\langle(s_1+s_2)^2\rangle$, moyennée sur le temps de réponse de la photodiode $\tau_d=5$ ns. Cette durée est très grande devant la période optique ($\sim10^{-15}$ s) et très petite devant la période de vibration (1 ms). Avec $a_1=a_2=a$ :
$$(s_1+s_2)^2=a^2\left[\cos^2\varphi_1+\cos^2\varphi_2+\cos(\varphi_1+\varphi_2)+\cos(\varphi_1-\varphi_2)\right].$$
On a $\langle\cos^2\varphi_i\rangle=1/2$, et $\langle\cos(\varphi_1+\varphi_2)\rangle=0$ car ce terme oscille à $2f_l$. Le terme $\cos(\varphi_1-\varphi_2)$ ne dépend que de $z(t)$, lent, et survit. Avec $D=d$ :
$$\varphi_2-\varphi_1=\frac{2\pi}{\lambda_l}\big(2\epsilon+2d-2D-2z\big)=-\frac{4\pi}{\lambda_l}\big(z(t)-\epsilon\big),$$
d'où $I\propto a^2\left[1+\cos\left(4\pi\dfrac{z-\epsilon}{\lambda_l}\right)\right]$. La tension étant proportionnelle à l'intensité :
$$\boxed{U(t)=U_0\left(1+\cos\left(4\pi\,\frac{z(t)-\epsilon}{\lambda_l}\right)\right)}$$
### Question 36
Avec $\epsilon=0$, $z=a_z\sin\omega t$ et $4\pi a_z/\lambda_l\ll1$, on a $\cos X\simeq1-X^2/2$ :
$$U(t)\simeq2U_0-\frac{8\pi^2a_z^2}{\lambda_l^2}U_0\sin^2\omega t=2U_0-\frac{4\pi^2a_z^2}{\lambda_l^2}U_0\big(1-\cos2\omega t\big)$$
La tension reste presque constante, égale à $2U_0$ (frange brillante), avec de minuscules creux, du second ordre en $a_z/\lambda_l$, à la fréquence double $2f$. Au contact optique on est sur un extremum de frange, où $\mathrm{d}U/\mathrm{d}z=0$. La sensibilité est nulle au premier ordre, le signal est quadratique, et le signe de $z$ est perdu puisque $z$ et $-z$ donnent le même signal. Ce réglage est mauvais.
### Question 37
Il faut se placer sur le **flanc d'une frange** (quadrature), là où $|\mathrm{d}U/\mathrm{d}z|=U_0\dfrac{4\pi}{\lambda_l}\left|\sin\dfrac{4\pi(z-\epsilon)}{\lambda_l}\right|$ est maximal en $z=0$ : $\dfrac{4\pi\epsilon}{\lambda_l}=\dfrac{\pi}{2}+p\pi$, soit
$$\boxed{\epsilon=\frac{\lambda_l}{8}+p\,\frac{\lambda_l}{4}\ ,\ p\in\mathbb{Z}\qquad(\epsilon=\lambda_l/8\approx39\ \mathrm{nm})}$$
On tourne la vis micrométrique pour déplacer $M_1$ d'un huitième de longueur d'onde à partir du contact optique. Le réglage doit être fait à une petite fraction de $\lambda_l/8$ près, soit à quelques nanomètres. Un écart $\delta\epsilon$ réduit la pente d'un facteur $\cos(4\pi\delta\epsilon/\lambda_l)$ et fait réapparaître un terme quadratique. Le réglage doit aussi rester stable, à mieux que quelques nanomètres, vis-à-vis des dilatations thermiques et des vibrations parasites.
### Question 38
Avec $\epsilon=\lambda_l/8$ : $U=U_0\left(1+\cos\left(\dfrac{4\pi z}{\lambda_l}-\dfrac{\pi}{2}\right)\right)=U_0\left(1+\sin\dfrac{4\pi z}{\lambda_l}\right)\simeq U_0\left(1+\dfrac{4\pi a_z}{\lambda_l}\sin\omega t\right)$.
Voir la figure 3, courbe du bas.
C'est une sinusoïde de fréquence $f$ (celle de la vibration) centrée sur $U_0$, d'amplitude $4\pi a_zU_0/\lambda_l$ proportionnelle à $a_z$. La réponse est linéaire et de sensibilité maximale.
### Question 39
$U(t)=U_0\left(1+\cos\left(\dfrac{4\pi a_z}{\lambda_l}\sin\omega t-\dfrac{4\pi\epsilon}{\lambda_l}\right)\right)$ avec $4\pi a_z/\lambda_l\gg1$. La phase balaie un grand nombre de franges. $U$ oscille entre $0$ et $2U_0$ avec une fréquence instantanée $\dfrac{2|\dot z|}{\lambda_l}=\dfrac{2a_z\omega|\cos\omega t|}{\lambda_l}$.
Les oscillations sont très serrées aux passages par $z=0$ ($t=0$, $T/2$, $T$), où la vitesse est maximale, et s'espacent jusqu'à s'arrêter aux points de rebroussement $z=\pm a_z$ ($t=T/4$, $3T/4$). Le motif est symétrique par rapport à ces instants. Sur une période on compte $8a_z/\lambda_l$ franges, soit environ 2 500 pour $a_z=100\ \mu$m. La fréquence maximale des franges, environ 4 MHz, reste compatible avec les 5 ns de la photodiode.
### Question 40
Entre deux rebroussements ($z$ passe de $-a_z$ à $+a_z$, pendant une demi-période), la phase $4\pi z/\lambda_l$ varie de $8\pi a_z/\lambda_l$. On compte donc $\mathcal N=4a_z/\lambda_l$ franges, une par déplacement de $\lambda_l/2$ en aller-retour. À l'oscilloscope, on compte le nombre $\mathcal N$ de maxima de $U$ entre deux instants où les franges s'arrêtent :
$$\boxed{a_z=\frac{\mathcal N\,\lambda_l}{4}}$$
La résolution est d'environ $\lambda_l/4\approx80$ nm. On peut aussi mesurer la fréquence maximale des franges, $f_{\max}=2a_z\omega/\lambda_l$, ce qui donne $a_z=\lambda_lf_{\max}/(2\omega)$.
### Mesure de la vitesse des vibrations
### Question 41
À $t=0$, un front atteint le miroir. Le front suivant est à la distance $c_0T$ en arrière et rattrape le miroir, qui fuit à la vitesse $v$, avec la vitesse relative $c_0-v$. Il l'atteint à l'instant $T'$ tel que $c_0T'=c_0T+vT'$ :
$$\boxed{T'=\frac{T}{1-v/c_0}\simeq T\left(1+\frac{v}{c_0}\right)}$$
On a bien $T'>T$ pour $v>0$.
### Question 42
Le front réémis à $t=0$ par le miroir se trouve à $t=T'$ à la distance $c_0T'$ de la position initiale du miroir, du côté de $S_2$. Le miroir, qui s'est éloigné de $vT'$, réémet alors le front suivant. Leur distance est
$$\boxed{\lambda''=(c_0+v)\,T',\qquad T''=\frac{\lambda''}{c_0}=T'\left(1+\frac{v}{c_0}\right)}$$
### Question 43
$$T''=T\,\frac{1+v/c_0}{1-v/c_0}\simeq T\left(1+\frac{2v}{c_0}\right)\ \Rightarrow\ f''=\frac1{T''}\simeq f_l\left(1-\frac{2v}{c_0}\right)\ \Rightarrow\ \boxed{f_D=f''-f_l=-2f_l\,\frac{v}{c_0}}$$
### Question 44
$$f_l=\frac{c_0}{\lambda_l}=\frac{3\times10^{8}}{3{,}15\times10^{-7}}\approx9{,}5\times10^{14}\ \mathrm{Hz}$$
La vitesse de la plaque est $v=\dot z=a_z\omega\cos\omega t$, d'amplitude $v_{\max}=2\pi fa_z=2\pi\times10^3\times10^{-4}\approx0{,}63\ \mathrm{m\,s^{-1}}$. Le décalage Doppler $f_D=-2v/\lambda_l$ oscille donc entre $\pm|f_D|_{\max}$ :
$$\boxed{|f_D|_{\max}=\frac{2v_{\max}}{\lambda_l}=\frac{2\times0{,}63}{3{,}15\times10^{-7}}\approx4\times10^{6}\ \mathrm{Hz}}$$
C'est environ $10^{-8}$ fois $f_l$.
### Question 45
Avec $\epsilon=0$ et $D=d$, l'onde de référence parcourt $6d$ à la fréquence $f_l$. L'onde sonde parcourt $3d$ ($OS_0S_2M_2$) à la fréquence $f_l$, puis $3d$ ($M_2S_2S_3P$) à $f_l+f_D$ après réflexion. La phase Doppler, acquise à la réflexion sur $M_2$ avec $z(0)=0$, est retardée de $3d/c_0$ :
$$\boxed{\varphi_1=2\pi f_l\Big(t-\frac{6d}{c_0}\Big),\qquad\varphi_2=2\pi f_l\Big(t-\frac{6d}{c_0}\Big)+2\pi f_D\Big(t-\frac{3d}{c_0}\Big)}$$
Intensité instantanée, avec $a_1=a_2=a$, développée puis linéarisée ($\cos^2X=\tfrac12(1+\cos2X)$, $2\cos A\cos B=\cos(A+B)+\cos(A-B)$) :
$$\boxed{I(t)\propto(s_1+s_2)^2=a^2\left[1+\tfrac12\cos2\varphi_1+\tfrac12\cos2\varphi_2+\cos(\varphi_1+\varphi_2)+\cos(\varphi_1-\varphi_2)\right]}$$
Les trois termes $\cos2\varphi_1$, $\cos2\varphi_2$ et $\cos(\varphi_1+\varphi_2)$ oscillent à environ $2f_l\approx2\times10^{15}$ Hz. Le terme $\cos(\varphi_1-\varphi_2)$ oscille à $f_D$, quelques mégahertz.
### Question 46
La formule de Fresnel s'obtient en moyennant sur une durée $\tau_{\text{int}}$ très grande devant la période optique, mais petite devant les temps d'évolution du signal utile :
$$\frac1{f_l}\sim10^{-15}\ \mathrm{s}\ \ll\ \tau_{\text{int}}\ \ll\ \frac1{|f_D|}\gtrsim2{,}5\times10^{-7}\ \mathrm{s}.$$
En pratique $\tau_{\text{int}}$ est le temps de réponse de la photodiode, 5 ns, qui convient. Les termes à $2f_l$ se moyennent à zéro. Le terme de battement à $f_D$, $10^7$ à $10^8$ fois plus lent, n'est pas moyenné. Les deux rayons, de fréquences voisines et issus de la même source (donc cohérents entre eux), produisent un **battement** : l'intensité moyenne varie à la fréquence $|f_D|$.
### Question 47
Après moyenne : $I\propto a^2\left[1+\cos(\varphi_2-\varphi_1)\right]$ avec $\varphi_2-\varphi_1=2\pi f_D(t-3d/c_0)$. La tension étant proportionnelle à l'intensité moyenne :
$$\boxed{U(t)=U_0\Big(1+\cos\big[2\pi f_D(t)\,(t-\tau)\big]\Big),\qquad\tau=\frac{D+2d}{c_0}=\frac{3d}{c_0}}$$
$\tau$ est le temps de vol de la lumière entre la plaque $M_2$, où elle acquiert le décalage Doppler, et la photodiode.
### Question 48
$$\tau=\frac{3\times10^{-2}}{3\times10^{8}}=1\times10^{-10}\ \mathrm{s}=0{,}1\ \mathrm{ns}$$
$\tau$ est négligeable devant le temps de réponse de la photodiode (5 ns), devant la période minimale du battement (250 ns) et devant la période de vibration (1 ms). Le déphasage $2\pi f_D\tau\lesssim2{,}5\times10^{-3}$ rad est négligeable, donc $U(t)\simeq U_0\left(1+\cos(2\pi f_Dt)\right)$ : la mesure est quasi instantanée.
### Question 49
$U$ ne dépend de $v$ qu'à travers $\cos(2\pi f_D(t-\tau))$, et le cosinus est pair : $f_D$ et $-f_D$, donc $v$ et $-v$, donnent le même signal. On mesure $|f_D|$, c'est-à-dire $|v|$, mais **pas le signe de la vitesse** : on ne sait pas si la plaque s'approche ou s'éloigne.
### Question 50
La sonde arrive sur $M_2$ à la fréquence $f_l+f_B$. Elle repart à $f_l+f_B+f_D'$ avec $f_D'=-2(f_l+f_B)v/c_0\simeq f_D$, car $f_B\ll f_l$. La référence reste à $f_l$. Le battement se fait donc à $f_B+f_D$ :
$$\boxed{U(t)=U_0\Big(1+\cos\big[2\pi\big(f_B+f_D(t)\big)t+\psi_0\big]\Big)}$$
où $\psi_0$ est une phase constante due aux chemins optiques. Comme $f_B=40$ MHz $>|f_D|_{\max}\approx4$ MHz, la fréquence du battement $f_B+f_D$ reste toujours positive et dans l'intervalle $[36,44]$ MHz. Elle est supérieure à $f_B$ si $v<0$ (la plaque s'approche) et inférieure à $f_B$ si $v>0$ (elle s'éloigne). Changer le signe de $v$ change le signal, donc l'indétermination est levée.
### Question 51
Le signal est une porteuse de fréquence $f_B=40$ MHz dont la **fréquence instantanée** $f_B+f_D(t)=f_B-\dfrac{2v(t)}{\lambda_l}$ varie au rythme de la vitesse de la plaque. L'information (le signal modulant $v(t)$, à 1 kHz) est codée dans la fréquence, et l'amplitude $U_0$ reste constante. C'est la définition d'une modulation de fréquence, d'excursion $\pm4$ MHz autour de la porteuse.
### Question 52
La sinusoïde reste comprise entre $0$ et $2U_0$, avec une amplitude constante. Ses oscillations se resserrent quand $v<0$ et s'espacent quand $v>0$, avec la période $1/f=1$ ms de la vibration. En réalité, chaque milliseconde contient environ $4\times10^4$ oscillations et la fréquence ne varie que de $\pm10\,\%$.
### Question 53
Le circuit est supposé à vide (aucun courant prélevé en sortie). Le courant $i$ traverse $C$ puis $R$ : $U_s=Ri$ et $i=C\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$ avec $u_C=U-U_s$ (loi des mailles). Donc
$$\frac{U_s}{R}=C\left(\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}-\frac{\mathrm{d}U_s}{\mathrm{d}t}\right)\iff\boxed{\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}=\frac{U_s}{RC}+\frac{\mathrm{d}U_s}{\mathrm{d}t}}$$
### Question 54
On a $U_s\simeq RC\,\dfrac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}$ si $\left|\dfrac{\mathrm{d}U_s}{\mathrm{d}t}\right|\ll\dfrac{|U_s|}{RC}$. En régime sinusoïdal à la pulsation $\Omega$, cela s'écrit $RC\,\Omega\ll1$. La fonction de transfert $\underline H=\dfrac{jRC\Omega}{1+jRC\Omega}$ se réduit alors à $jRC\Omega$. Le signal contient des fréquences jusqu'à $f_B+|f_D|_{\max}=44$ MHz, il faut donc
$$RC\ll\frac1{2\pi\times44\times10^{6}}\approx3{,}6\ \mathrm{ns}.$$
Par exemple $\boxed{R=10\ \Omega,\ C=10\ \mathrm{pF},\ RC=0{,}1\ \mathrm{ns}}$, ce qui donne $RC\Omega\le0{,}03$ et une erreur relative inférieure à $10^{-3}$ sur la pente. On ne peut pas descendre beaucoup plus bas, car l'amplitude de sortie, $\sim2\pi fRCU_0\approx0{,}03\,U_0$, diminue avec $RC$, et les capacités parasites sont de l'ordre du picofarad.
### Question 55
$U=U_0(1+\cos\Phi)$ avec $\Phi'(t)=2\pi(f_B+f_D(t))$, donc
$$U_s\simeq RC\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}=-2\pi RC\,U_0\big(f_B+f_D(t)\big)\sin\Phi(t).$$
On obtient une porteuse à environ 40 MHz, centrée sur zéro (la composante continue $U_0$ est éliminée), dont l'**amplitude** est proportionnelle à la fréquence instantanée. L'enveloppe varie entre $2\pi RCU_0(f_B-|f_D|_{\max})$ et $2\pi RCU_0(f_B+|f_D|_{\max})$, soit $\pm10\,\%$ autour de sa valeur moyenne, au rythme de $v(t)$. Le dérivateur a converti la modulation de fréquence en modulation d'amplitude.
### Question 56
On extrait l'enveloppe $E(t)=2\pi RCU_0\left(f_B+f_D(t)\right)$ par détection de crête : diode suivie d'un filtre RC de constante de temps comprise entre $1/f_B$ et $1/f$. Le rapport à sa valeur moyenne donne
$$\frac{E(t)-\langle E\rangle}{\langle E\rangle}=\frac{f_D(t)}{f_B}=-\frac{2v(t)}{\lambda_lf_B},$$
ce qui ne demande de connaître ni $U_0$ ni $RC$. On en déduit $v(t)=-\dfrac{\lambda_l}{2}f_D(t)$, une fonction sinusoïdale de pulsation $\omega$ et d'amplitude $v_{\max}=a_z\omega$. Si $m$ est la profondeur de modulation relative mesurée de l'enveloppe, $|f_D|_{\max}=mf_B$ et
$$\boxed{a_z=\frac{v_{\max}}{\omega}=\frac{\lambda_l\,|f_D|_{\max}}{2\omega}=\frac{\lambda_l\,m\,f_B}{4\pi f}}$$
Contrôle : $m=0{,}1$ donne $a_z=\dfrac{3{,}15\times10^{-7}\times4\times10^{6}}{4\pi\times10^{3}}\approx1{,}0\times10^{-4}$ m, ce qui redonne bien $100\ \mu$m. On peut aussi intégrer numériquement $v(t)$ pour reconstruire $z(t)$, au signe près. Cette méthode fonctionne quelle que soit l'amplitude, sans le réglage critique de $\epsilon$ ni le comptage de franges.
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