Maths PC

# Sujet — Mathématiques, filière PC — X / ENS — 2025

X–ESPCI / ENS. Lundi 14 avril 2025, 08h00 - 12h00. Filière PC, épreuve n° 1. MATHEMATIQUES (XEULS). Durée : 4 heures.

Écart de libellé. Le slug du fichier est `maths-pc`. L’imprimé ne porte pas « Mathématiques PC » : l’intitulé est seulement MATHEMATIQUES, sans accent, et le code entre parenthèses est (XEULS). La filière est indiquée à part, sur la ligne « FILIERE PC - Epreuve n° 1 » (FILIERE et Epreuve sans accent). La page de garde est composée ainsi, accents absents sur les noms d’écoles :

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI

ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D’ADMISSION 2025

LUNDI 14 AVRIL 2025

08h00 - 12h00

FILIERE PC - Epreuve n° 1

MATHEMATIQUES (XEULS)

*Durée : 4 heures*

*L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve*

(La deuxième page du PDF est blanche.)

Le but de ce sujet est d’étudier les perturbations de rang 1 de matrices.

## Notations

Dans l’ensemble du sujet, $m$, $n$ désignent des entiers strictement positifs. On note $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ l’ensemble des matrices à $m$ lignes et $n$ colonnes à coefficients dans $\mathbb{R}$, et $\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) = \mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{R})$ l’ensemble des matrices réelles carrées de taille $n \times n$. On note $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ l’ensemble des matrices symétriques de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ l’ensemble des matrices inversibles de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On note $\mathbb{I}_n$ la matrice identité de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. La matrice transposée d’une matrice $A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ est notée $A^T$.

Les coefficients d’un vecteur $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n$ sont notés $x_1, \cdots, x_n$. Dans ce sujet, les vecteurs sont notés en gras, et sont identifiés à des matrices colonnes $\boldsymbol{x} \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$, par exemple

$$
\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}
\quad\text{de transposée}\quad
\boldsymbol{x}^T = \bigl( x_1 \quad x_2 \quad \cdots \quad x_n \bigr).
$$

Pour tous $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n$, la matrice $\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{y} \in \mathcal{M}_1(\mathbb{R})$ est identifiée au nombre réel $\sum_{i=1}^n x_i y_i$ ; l’espace euclidien $\mathbb{R}^n$ est muni de son produit scalaire et de sa norme usuels, notés respectivement

$$
\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \rangle = \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{y} = \sum_{i=1}^n x_i y_i,
\quad\text{et}\quad
\lVert \boldsymbol{x} \rVert = \sqrt{\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x} \rangle} = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}.
$$

Les deux premières parties peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre. Les parties 4 et 5 sont indépendantes entre elles, et s’appuient sur des résultats des parties précédentes.

À tout moment il est possible d’admettre le résultat d’une question et de l’utiliser ultérieurement, à condition de l’indiquer clairement.

## Première partie

**1.** Soient $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^n \setminus \{\boldsymbol{0}\}$. On pose $M = \boldsymbol{u}\boldsymbol{v}^T$. Monter que $M$ est une matrice carrée de taille $n \times n$, de rang 1.

**2.** Calculer avec justification le rang de la matrice $J \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ suivante :

$$
J = \begin{pmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & \cdots & 1
\end{pmatrix}.
$$

**3.** Réciproquement, soit $K \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice carrée de rang 1. Montrer qu’il existe $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^n \setminus \{\boldsymbol{0}\}$ tels que $K = \boldsymbol{u}\boldsymbol{v}^T$.

**4.** Soient $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n \setminus \{\boldsymbol{0}\}$. Montrer que $\boldsymbol{u}\boldsymbol{v}^T = \boldsymbol{x}\boldsymbol{y}^T$ si et seulement si il existe $\lambda \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ tel que

$$
\boldsymbol{u} = \lambda\boldsymbol{x}, \quad\text{et}\quad \boldsymbol{v} = \frac{1}{\lambda}\boldsymbol{y}.
$$

**5.** Soit $K \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice de rang 1, et soient $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^n$ tels que $K = \boldsymbol{u}\boldsymbol{v}^T$.

(a) Montrer que $\mathrm{Tr}(K) = \langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{u} \rangle$.

(b) Montrer que $K^2 = \mathrm{Tr}(K)\,K$.

(c) En déduire que $K$ est diagonalisable si et seulement si $\mathrm{Tr}(K) \neq 0$.

**6.** Soit $P \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $P$ est un projecteur orthogonal de rang 1 si et seulement si il existe $\boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n$ avec $\lVert \boldsymbol{y} \rVert = 1$ tels que $P = \boldsymbol{y}\boldsymbol{y}^T$.

## Deuxième partie

Soit $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ une matrice inversible, et soient $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^n$.

**7.** Calculer le produit matriciel par blocs

$$
\begin{pmatrix} \mathbb{I}_n & 0 \\ \boldsymbol{v}^T & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \mathbb{I}_n + \boldsymbol{u}\boldsymbol{v}^T & \boldsymbol{u} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \mathbb{I}_n & 0 \\ -\boldsymbol{v}^T & 1 \end{pmatrix}.
$$

**8.** Montrer que

$$
\det\bigl(\mathbb{I}_n + \boldsymbol{u}\boldsymbol{v}^T\bigr) = 1 + \langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{u} \rangle.
$$

**9.** Montrer plus généralement que

$$
\det\bigl(A + \boldsymbol{u}\boldsymbol{v}^T\bigr) = \det(A)\,\bigl(1 + \langle \boldsymbol{v}, A^{-1}\boldsymbol{u} \rangle\bigr).
$$

**10.** Montrer que $A + \boldsymbol{u}\boldsymbol{v}^T$ est inversible si et seulement si $\langle \boldsymbol{v}, A^{-1}\boldsymbol{u} \rangle \neq -1$.

**11.** On suppose que $A + \boldsymbol{u}\boldsymbol{v}^T$ est inversible. Montrer que

$$
\bigl(A + \boldsymbol{u}\boldsymbol{v}^T\bigr)^{-1} = A^{-1} - \frac{A^{-1}\boldsymbol{u}\boldsymbol{v}^T A^{-1}}{1 + \langle \boldsymbol{v}, A^{-1}\boldsymbol{u} \rangle}.
$$

**12.** Soit $C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice telle que $\det(C) = 0$. A-t-on toujours $\det(C + \boldsymbol{u}\boldsymbol{v}^T) = 0$ ? Justifiez votre réponse.

## Troisième partie

On s’intéresse maintenant au cas où $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ est symétrique. Soit $\boldsymbol{u} \in \mathbb{R}^n$ tel que $\lVert \boldsymbol{u} \rVert = 1$. On pose

$$
B = A + \boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^T.
$$

**13.** Montrer que $B \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$.

Soient $M, N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, et soit $(\boldsymbol{v}_1, \ldots, \boldsymbol{v}_n)$ une base orthonormale quelconque de $\mathbb{R}^n$. On rappelle que $M = N$ si et seulement si $M\boldsymbol{v}_k = N\boldsymbol{v}_k$ pour tout $1 \leqslant k \leqslant n$.

**14.** Soit $(\boldsymbol{v}_1, \ldots, \boldsymbol{v}_n)$ une base orthonormale quelconque de $\mathbb{R}^n$. Montrer que

$$
\mathbb{I}_n = \sum_{k=1}^n \boldsymbol{v}_k \boldsymbol{v}_k^T.
$$

**15.** On s’intéresse maintenant à la matrice symétrique $A$. En vertu du théorème spectral, on note $\lambda_1 \leqslant \cdots \leqslant \lambda_n$ les valeurs propres de $A$, et $(\boldsymbol{w}_1, \ldots, \boldsymbol{w}_n)$ une base orthonormée de vecteurs propres correspondante.

(a) Montrer que

$$
A = \sum_{k=1}^n \lambda_k \boldsymbol{w}_k \boldsymbol{w}_k^T.
$$

(b) Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{\lambda_1, \ldots, \lambda_n\}$, on a

$$
\bigl(x\mathbb{I}_n - A\bigr)^{-1} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{x - \lambda_k}\,\boldsymbol{w}_k \boldsymbol{w}_k^T.
$$

**16.** Soit $\lambda$ une valeur propre de $A$ de multiplicité $m \geqslant 2$. On pose $E = \mathrm{Ker}(A - \lambda\mathbb{I}_n)$.

(a) Montrer que $\dim E \cap \{\boldsymbol{u}\}^\perp \geqslant m - 1$.

(b) En déduire que $\lambda$ est une valeur propre de $B$ de multiplicité au moins $m - 1$.

**17.** On note $\chi_A(x) = \det(x\mathbb{I}_n - A)$ le polynôme caractéristique de $A$, et $\chi_B(x) = \det(x\mathbb{I}_n - B)$ celui de $B$. Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{\lambda_1, \ldots, \lambda_n\}$, on a

$$
\chi_B(x) = \chi_A(x)\left(1 - \sum_{k=1}^n \frac{\langle \boldsymbol{w}_k, \boldsymbol{u} \rangle^2}{x - \lambda_k}\right).
$$

**18.** Soit $J = \bigl\{ k \in \{1, 2, \ldots, n\},\; \langle \boldsymbol{w}_k, \boldsymbol{u} \rangle \neq 0 \bigr\}$ l’ensemble des indices $k$ tels que $\langle \boldsymbol{w}_k, \boldsymbol{u} \rangle \neq 0$.

(a) Montrer que $J \neq \varnothing$.

(b) Soit $\ell \notin J$. Montrer que $\lambda_\ell$ est une valeur propre de $B$.

(c) On suppose que $J = \{j\}$ pour un $j \in \{1, 2, \ldots, n\}$. Montrer que les valeurs propres de $B$ sont

$$
\bigl(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_{j-1}, \lambda_j + 1, \lambda_{j+1}, \ldots, \lambda_n\bigr).
$$

**19.** On suppose dans cette question que $\lambda_1 < \lambda_2 < \cdots < \lambda_n$, et que $J = \{1, 2, \ldots, n\}$. Pour $x \in \mathbb{R} \setminus \{\lambda_1, \ldots, \lambda_n\}$ on pose

$$
f(x) = \sum_{k=1}^n \frac{\langle \boldsymbol{w}_k, \boldsymbol{u} \rangle^2}{x - \lambda_k}.
$$

(a) Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R} \setminus \{\lambda_1, \ldots, \lambda_n\}$, et calculer sa dérivée $f'(x)$.

(b) Montrer que l’équation $f(x) = 1$ admet une unique solution dans chaque intervalle $]\lambda_\ell, \lambda_{\ell+1}[$ pour tout $\ell \in \{1, 2, \ldots, n - 1\}$, et dans $]\lambda_n, +\infty[$.

(c) On note $\mu_1 \leqslant \mu_2 \leqslant \cdots \leqslant \mu_n$ les valeurs propres de $B$. Montrer que

$$
\lambda_1 < \mu_1 < \lambda_2 < \mu_2 < \cdots < \lambda_n < \mu_n.
$$

## Quatrième partie

Dans cette quatrième partie, $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ est une matrice symétrique dont les valeurs propres sont notées $\lambda_1 \leqslant \lambda_2 \leqslant \cdots \leqslant \lambda_n$. Pour $x \in \mathbb{R}$ on note $\chi_A(x) = \det(x\mathbb{I}_n - A)$. On considère une base orthonormée $(\boldsymbol{u}_1, \ldots, \boldsymbol{u}_n)$ quelconque. Soit $\boldsymbol{U}$ une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ à valeurs dans l’ensemble fini $\{\boldsymbol{u}_1, \ldots, \boldsymbol{u}_n\}$, et qui suit la loi uniforme sur cet ensemble. On note $\mathbb{P}(A)$ la probabilité d’un événement $A \in \mathcal{A}$ et $\mathbb{E}[X]$ l’espérance d’une variable aléatoire $X$ sur $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ à valeurs réelles.

On considère la variable aléatoire $B$, à valeurs dans $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$, définie par

$$
B = A + \boldsymbol{U}\boldsymbol{U}^T.
$$

Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on note $\chi_B(x) = \det(x\mathbb{I}_n - B)$, qui est une variable aléatoire à valeurs réelles.

**20.** Montrer que pour tout $\boldsymbol{w} \in \mathbb{R}^n$, on a $\mathbb{E}\bigl[\langle \boldsymbol{U}, \boldsymbol{w} \rangle^2\bigr] = \dfrac{1}{n}\lVert \boldsymbol{w} \rVert^2$.

**21.** Soit $x \in \mathbb{R} \setminus \{\lambda_1, \ldots, \lambda_n\}$. Montrer que la variable aléatoire $\chi_B(x)$ a une espérance finie, et que, en notant $\chi'_A$ la dérivée du polynôme $\chi_A$, on a

$$
\mathbb{E}\bigl[\chi_B(x)\bigr] = \chi_A(x) - \frac{1}{n}\,\chi'_A(x).
$$

**22.** Montrer que pour tout $k \in \{1, 2, \ldots, n\}$, on a

$$
\mathbb{E}\bigl[\chi_B(\lambda_k)\bigr] = -\frac{1}{n}\,\chi'_A(\lambda_k).
$$

**23.** Démontrer qu’il existe $x \in \mathbb{R}$ tel que $\mathbb{E}\bigl[\chi_B(x)\bigr] \neq 0$.

## Cinquième partie

Comme dans la troisième partie, on suppose que

$$
B = A + \boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^T
$$

avec $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ une matrice symétrique, et $\boldsymbol{u} \in \mathbb{R}^n$ un vecteur tel que $\lVert \boldsymbol{u} \rVert = 1$. On note $\lambda_1 \leqslant \lambda_2 \leqslant \cdots \leqslant \lambda_n$ les valeurs propres de $A$ et $\mu_1 \leqslant \mu_2 \leqslant \cdots \leqslant \mu_n$ celles de $B$. On admet que

$$
\lambda_1 \leqslant \mu_1 \leqslant \lambda_2 \leqslant \mu_2 \leqslant \cdots \leqslant \lambda_n \leqslant \mu_n.
$$

On suppose de plus qu’il existe un entier $m \in \{1, 2, \ldots, n - 1\}$ tel que les valeurs propres de $A$ vérifient

$$
0 = \lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_m < \lambda_{m+1} \leqslant \cdots \leqslant \lambda_n.
$$

Soit $\varepsilon \in \,]0, \lambda_{m+1}[$.

**24.** Justifier que $(A - \varepsilon\mathbb{I}_n)$ est inversible.

On suppose dans la suite que $\langle \boldsymbol{u}, (A - \varepsilon\mathbb{I}_n)^{-1}\boldsymbol{u} \rangle < -1$.

**25.** Montrer que $(B - \varepsilon\mathbb{I}_n)$ est inversible.

**26.** Montrer que $\mathrm{Tr}\bigl((B - \varepsilon\mathbb{I}_n)^{-1}\bigr) > \mathrm{Tr}\bigl((A - \varepsilon\mathbb{I}_n)^{-1}\bigr)$.

**27.** Montrer que $\mu_m > \varepsilon$.