Physique B
X-ENSPC2025
# Corrigé — Physique B (XEULS), filière PC — Concours X‑ENS 2025
**Concours :** École polytechnique – ESPCI – Écoles normales supérieures · **Épreuve n° 5, Physique B (XEULS)** · **Filière PC** · **Session 2025** (mercredi 16 avril 2025, 4 h, sans calculatrice).
**Thème.** *Production et caractérisation d'impulsions laser attosecondes* — la physique du prix Nobel 2023 (L'Huillier, Agostini, Krausz), entièrement traitée avec les outils du programme de CPGE.
**Fil directeur du problème.**
- **Partie I — Production.** On focalise un laser IR très intense (faisceau gaussien) sur de l'argon ; un électron arraché par le champ, accéléré puis recombiné (« modèle en trois étapes ») rayonne un peigne d'**harmoniques impaires** dont le spectre présente un **plateau** puis une **coupure** à l'énergie \(I_P + 3{,}17\,U_P\).
- **Partie II — Mesure de la durée.** Une superposition d'harmoniques en phase produit un train d'impulsions ultra‑brèves (fonction d'Airy) ; la méthode **RABITT** (pompe‑sonde, transitions à deux photons interférentes) reconstruit les phases relatives.
- **Partie III — Spectromètre magnétique.** Mesure de l'énergie cinétique des photoélectrons par temps de vol dans un champ à symétrie de révolution (invariant adiabatique \(\sin^2\theta/B\)).
**Carte stratégique tirée du rapport du jury.** Le jury juge le sujet « remarquable, original », peu calculatoire mais **très sélectif** : il fallait *mobiliser avec recul les différentes parties du programme*. Points chauds signalés, à traiter avec un soin particulier :
- **Homogénéité** : *« tout résultat incorrect dimensionnellement ne pourra jamais rapporter le moindre point »* — chaque A.N. est ici précédée d'un contrôle dimensionnel.
- **Tracés** (Q11, Q20) : asymptotes, points remarquables, axes orientés et gradués — *« particulièrement acrobatiques cette année »*.
- **Ordres de grandeur** (Q3, Q7, Q9) : erreurs grossières sur les puissances de dix, unités de puissance surfacique fausses, méconnaissance du flux solaire.
- **Cohérence entre questions** (Q12↔Q11, Q14↔Q11) : le jury pénalise l'absence de regard critique.
- **Encadrer** les résultats démontrés, surtout les A.N.
> Convention de l'énoncé : \(q^2 = e^2/(4\pi\epsilon_0)\), \(e>0\).
A.N. avec **un seul chiffre significatif** (consigne de l'énoncé).
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## Partie préliminaire
### Question 1
**Stratégie.**
Modèle de Bohr : équilibre force de Coulomb / force centripète + quantification du moment cinétique \(mvr=n\hbar\) avec \(n=1\).
**Rédaction.**
Orbite circulaire de rayon \(r\), vitesse \(v\).
La force de Coulomb noyau–électron est centripète :
\[
\frac{q^2}{r^2} = \frac{m v^2}{r}\quad\Rightarrow\quad m v^2 = \frac{q^2}{r}.
\]
Quantification (niveau fondamental) : \(m v r = \hbar\), soit \(v=\hbar/(mr)\).
En reportant :
\[
m\frac{\hbar^2}{m^2 r^2} = \frac{q^2}{r}\ \Rightarrow\ r = \frac{\hbar^2}{m q^2}\ (=a_0),\qquad v = \frac{q^2}{\hbar}.
\]
La période de révolution vaut \(T_e = 2\pi r/v\) :
\[
\boxed{\,T_e = \dfrac{2\pi\,\hbar^{3}}{m\,q^{4}}\,}
\]
**Homogénéité.** \([q^2]=[e^2/4\pi\epsilon_0]\) = énergie×longueur = J·m. \([\hbar^3/(mq^4)]=\dfrac{(\text{J·s})^3}{\text{kg}\,(\text{J·m})^2}=\dfrac{\text{J·s}^3}{\text{kg·m}^2}=\dfrac{\text{J·s}^3}{\text{J·s}^2}=\text{s}\). ✔
**A.N. (contrôle).** \(q^2=2{,}3\times10^{-28}\,\text{J·m}\) donne \(T_e = 1{,}5\times10^{-16}\,\text{s}\), conforme à la valeur fournie par l'énoncé.
**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question.
Piège : ne pas confondre la période \(T_e=2\pi r/v\) avec un temps \(r/v\) ; le facteur \(2\pi\) est indispensable pour retrouver la valeur numérique de contrôle.
### Question 2
**Stratégie.**
Situer \(\lambda=800\ \text{nm}\) par rapport au visible (\(\approx 400\text{–}750\ \text{nm}\)).
**Rédaction.** \(800\ \text{nm}\) est immédiatement au‑delà du rouge (limite visible \(\approx 750\ \text{nm}\)) :
\[
\boxed{\text{proche infrarouge (IR).}}
\]
**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question. Piège : répondre « visible » — \(800\ \text{nm}\) est hors du visible, mais tout proche (laser Ti:Saphir typique).
### Question 3
**Stratégie.**
Période \(T=\lambda/c\) ; rang minimal tel que la période de l'harmonique \(T/n<T_e\).
**Rédaction.**
\[
T=\frac{\lambda}{c}=\frac{800\times10^{-9}}{3{,}0\times10^{8}}=2{,}7\times10^{-15}\ \text{s}\quad\Rightarrow\quad \boxed{T\approx 3\times10^{-15}\ \text{s}=3\ \text{fs}.}
\]
L'harmonique de rang \(n\) a la période \(T/n\).
On veut \(T/n<T_e\) :
\[
n>\frac{T}{T_e}=\frac{2{,}7\times10^{-15}}{1{,}5\times10^{-16}}=18\ \Rightarrow\ \boxed{n_{\min}=18.}
\]
**Homogénéité.** \(\lambda/c\) : m / (m·s⁻¹) = s. ✔
**Commentaire du correcteur.**
Le jury « très surpris de trouver des A.N. absurdes issues d'erreurs grossières sur la manipulation des puissances : la division de \(800\times10^{-9}\) par \(3\times10^{8}\) ne fera jamais quelque chose de l'ordre de \(10^{+17}\) ».
Il faut poser \(10^{-9}/10^{8}=10^{-17}\), pas \(10^{+17}\), et **interroger tout ordre de grandeur aberrant**. (On verra en Q16 que seules les harmoniques *impaires* existent : le premier rang utile est donc \(n=19\).)
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## I – Production de l'impulsion lumineuse
### Question 4
**Stratégie.**
Appliquer \(z_R=\pi w_0^2/\lambda\) ; comparer 1 m à \(z_R\).
**Rédaction.**
\[
z_R=\frac{\pi w_0^2}{\lambda}=\frac{\pi (4\times10^{-3})^2}{800\times10^{-9}}\approx 63\ \text{m}\quad\Rightarrow\quad \boxed{z_R\sim 6\times10^{1}\ \text{m}.}
\]
Sur \(|z|\lesssim 1\ \text{m}\ll z_R\), on a \(w(z)=w_0\sqrt{1+(z/z_R)^2}\approx w_0\big(1+\tfrac12 (z/z_R)^2\big)\approx w_0\) (variation relative \(\sim \tfrac12(1/63)^2\approx 10^{-4}\)).
Le rayon est quasi constant : **le faisceau est cylindrique**.
**Homogénéité.** \(w_0^2/\lambda\) : m²/m = m. ✔
**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question.
Piège : il ne suffit pas de dire « \(z_R\) grand », il faut le comparer explicitement à la longueur du mètre invoquée et estimer la variation relative de \(w(z)\).
### Question 5
**Stratégie.** *Vérifier* (et non énoncer) les conditions de Gauss : rayons peu écartés de l'axe et peu inclinés, axe du faisceau confondu avec l'axe optique.
**Rédaction.** Le faisceau, cylindrique, éclaire la lentille sur un rayon \(w_0=4\ \text{mm}\).
- **Peu écartés de l'axe :** \(w_0=4\ \text{mm}\ll f=1\ \text{m}\) et \(\ll\) dimension de la lentille : les rayons restent au voisinage de l'axe.
- **Peu inclinés :** le faisceau incident est parallèle à l'axe (angle nul) ; l'angle de convergence après la lentille est \(\theta\sim w_0/f = 4\times10^{-3}\ \text{rad}\ll 1\). Approximation paraxiale valide (\(\tan\theta\approx\sin\theta\approx\theta\)).
- **Axes confondus :** l'énoncé précise que l'axe de la lentille et l'axe du faisceau sont identiques, incidence normale.
Les conditions de Gauss sont donc **satisfaites**.
**Commentaire du correcteur.** Le jury insiste : les candidats « se sont limités à énoncer les conditions de Gauss, et non à vérifier qu'elles étaient satisfaites. Il ne suffisait pas de dire que la taille du faisceau est "petite", encore fallait‑il dire *par rapport à quoi*, ni que l'axe du faisceau coïncide avec l'axe optique » — sans cela « tout éclairage d'une lentille par une onde plane satisferait les conditions de Gauss ».
Les deux comparaisons chiffrées (\(w_0\ll f\), \(w_0/f\ll1\)) et la coïncidence des axes sont donc **exigées**.
### Question 6
**Stratégie.**
Faisceau collimaté (\(z_R\gg f\)) → le waist de sortie est au foyer, de largeur \(w_0'=\lambda f/(\pi w_0)\).
**Rédaction.**
Le faisceau incident, cylindrique de rayon \(w_0\), possède un waist « à l'infini » (\(z_R\approx 63\ \text{m}\gg f\)).
La lentille le focalise ; le faisceau émergent, gaussien, atteint son waist \(w_0'\) au voisinage du plan focal image. La relation de focalisation d'un faisceau gaussien collimaté donne
\[
\boxed{w_0' = \dfrac{\lambda f}{\pi w_0}.}
\]
**Allure** (schéma) : faisceau parallèle de rayon \(w_0\) arrivant sur la lentille, convergeant en un col étroit \(w_0'\) au foyer \(F'\), puis divergeant symétriquement (hyperboles d'asymptotes de demi‑angle \(\lambda/\pi w_0'\)).
```
====w0====\ /====
\ /
------------)( F' )(------------ axe z
/ ↕w0' \
====w0====/ \====
lentille (f)
```
**Homogénéité.** \(\lambda f/(w_0)\) : m·m/m = m. ✔
**A.N.** \(w_0'=\dfrac{800\times10^{-9}\times 1}{\pi\times 4\times10^{-3}}=6{,}4\times10^{-5}\ \text{m}\Rightarrow \boxed{w_0'\sim 6\times10^{-5}\ \text{m}\ (\approx 60\ \mu\text{m}).}\)
**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question.
Piège : la formule \(w_0'=\lambda f/\pi w_0\) suppose le waist d'entrée sur la lentille avec \(z_R\gg f\) ; l'énoncé de Q4 (cylindrique) autorise précisément cette hypothèse.
Le résultat \(w_0'\) (rayon *au foyer*, très petit) est réutilisé en Q7 — bien le distinguer de \(w_0\).
### Question 7
**Stratégie.**
Puissance crête \(P=E_L/T_L\), répartie sur la section au foyer \(\sim\pi w_0'^2\).
**Rédaction.** Puissance moyenne pendant l'impulsion :
\[
P=\frac{E_L}{T_L}=\frac{10^{-3}}{40\times10^{-15}}=2{,}5\times10^{10}\ \text{W}.
\]
Puissance par unité de surface au foyer :
\[
\boxed{P_L \sim \dfrac{E_L}{T_L\,\pi w_0'^2}} \qquad
P_L=\frac{2{,}5\times10^{10}}{\pi(6{,}4\times10^{-5})^2}=2{,}0\times10^{18}\ \text{W·m}^{-2}\ \Rightarrow\ \boxed{P_L\sim 2\times10^{18}\ \text{W·m}^{-2}.}
\]
**Homogénéité.** \(\dfrac{\text{J}}{\text{s}\cdot\text{m}^2}=\text{W·m}^{-2}\). ✔
**Commentaire du correcteur.** Le jury « très surpris de trouver, comme unité d'une puissance surfacique, des réponses telles que W ou J·s⁻¹ ».
Il rappelle aussi de « lire attentivement » : la surface pertinente est celle **au foyer** (\(\pi w_0'^2\)), *pas* le waist \(w_0\) en amont.
Utiliser \(w_0\) donnerait \(P_L\) sous‑estimé d'un facteur \((w_0/w_0')^2\approx 4\times10^{3}\).
### Question 8
**Stratégie.** Intensité d'une onde EM plane : \(P_L=\langle\Pi\rangle=E_0^2/(2\mu_0 c)\).
**Rédaction.** Pour une onde plane progressive dans le vide, le vecteur de Poynting moyen vaut \(\langle\Pi\rangle=\dfrac{E_0^2}{2\mu_0 c}\). En identifiant à \(P_L\) :
\[
\boxed{E_0=\sqrt{2\mu_0 c\,P_L}.}
\]
**Homogénéité.** \(\mu_0 c=Z_0\approx 377\ \Omega\) (impédance du vide) ; \(\sqrt{Z_0\,P_L}\) : \(\sqrt{\Omega\cdot\text{W·m}^{-2}}=\sqrt{\text{V}^2\text{m}^{-2}}=\text{V·m}^{-1}\). ✔
**A.N. (pour la suite).** \(E_0=\sqrt{2\times377\times2{,}0\times10^{18}}=3{,}8\times10^{10}\ \text{V·m}^{-1}\sim 4\times10^{10}\ \text{V·m}^{-1}\).
**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question.
Piège : \(\langle\Pi\rangle=\tfrac12\epsilon_0 c E_0^2 = E_0^2/(2\mu_0 c)\) (via \(\epsilon_0\mu_0 c^2=1\)) ; l'énoncé impose la forme en \(\mu_0\), inutile d'introduire \(\epsilon_0\).
Le facteur \(\tfrac12\) (moyenne temporelle de \(\cos^2\)) est requis.
### Question 9
**Stratégie.**
Le flux (\(\propto E^2\)) est connu pour le Soleil ; proportionnalité \(E_0/E_\odot=\sqrt{P_L/P_\odot}\).
**Rédaction.**
La constante solaire (flux surfacique reçu au sommet de l'atmosphère) vaut \(P_\odot\approx 1{,}4\times10^{3}\ \text{W·m}^{-2}\), associée à \(E_\odot=700\ \text{V·m}^{-1}\).
Comme le flux est \(\propto E^2\) :
\[
\frac{E_0}{E_\odot}=\sqrt{\frac{P_L}{P_\odot}}\ \Rightarrow\ E_0=700\sqrt{\frac{2\times10^{18}}{1{,}4\times10^{3}}}=2{,}7\times10^{10}\ \text{V·m}^{-1}.
\]
\[
\boxed{E_0\sim 3\times10^{10}\ \text{V·m}^{-1},}
\]
cohérent avec la Q8 (\(\sim 4\times10^{10}\)).
**Commentaire du correcteur.** Le jury note que le flux solaire « apparaît (presque) explicitement dans les programmes (entre flux du vecteur de Poynting et effet de serre) » et déplore que « très peu de candidats » en donnent le bon ordre de grandeur.
Il condamne l'erreur qui consiste à « assimiler le rayonnement du Soleil à celui d'un laser dont le waist correspondrait à celui de la Terre, ce qui relève de la science‑fiction » : le raisonnement est une simple **proportionnalité \(P\propto E^2\)** à flux solaire connu (\(\sim1{,}4\ \text{kW·m}^{-2}\)).
### Question 10
**Stratégie.**
Taille atomique \(a\sim10^{-10}\ \text{m}\) ; champ interne par argument dimensionnel \(E_{\text{at}}\sim I_P/(e a)\).
**Rédaction.**
Ordre de grandeur d'un atome : \(a\sim 10^{-10}\ \text{m}\) (rayon de Bohr \(a_0\approx0{,}5\times10^{-10}\ \text{m}\)).
L'électron périphérique est lié par une énergie \(I_P\) sur une distance \(a\) ; le travail \(e E_{\text{at}}\,a\) doit être de l'ordre de \(I_P\), d'où
\[
E_{\text{at}}\sim\frac{I_P}{e\,a}=\frac{10\times1{,}6\times10^{-19}}{1{,}6\times10^{-19}\times10^{-10}}=1\times10^{11}\ \text{V·m}^{-1}\ \Rightarrow\ \boxed{E_{\text{at}}\sim10^{11}\ \text{V·m}^{-1}.}
\]
**Comparaison.** \(E_{\text{at}}/E_0\approx 10^{11}/(4\times10^{10})\approx 3\) : le champ atomique n'est que **quelques fois** supérieur au champ laser — ils sont **du même ordre de grandeur**. C'est pourquoi le laser peut fortement perturber, voire arracher, l'électron.
**Homogénéité.** \(I_P/(e a)\) : J/(C·m) = (J/C)/m = V/m. ✔
**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question.
Piège : donner \(a\sim1\ \text{nm}\) (dix fois trop grand) ; ou conclure que \(E_0\ll E_{\text{at}}\).
Le point physique — \(E_0\) *comparable* au champ de liaison — motive tout le régime de champ fort de la suite.
### Question 11
**Stratégie.**
Superposer l'énergie potentielle coulombienne \(-q^2/|x|\) et celle du champ uniforme \(-eE_0 x\) ; étudier asymptotes et extremum.
**Rédaction.**
*Coulomb* : noyau \(+e\) en \(O\), électron \(-e\) : \(E_{p,\text{noyau}}=\dfrac{(+e)(-e)}{4\pi\epsilon_0|x|}=-\dfrac{q^2}{|x|}\).
*Laser* : \(\vec E=-E_0\vec e_x\) ; force sur l'électron \(\vec F=(-e)\vec E=+eE_0\vec e_x\).
Avec \(F_x=-\mathrm dE_p/\mathrm dx\) : \(E_{p,\text{laser}}=-eE_0 x\).
D'où
\[
\boxed{E_p(x)=-\dfrac{q^2}{|x|}-eE_0\,x.}
\]
**Étude (asymptotes et raccordement).**
- \(x\to0^{\pm}\) : \(E_p\to-\infty\) (puits coulombien), asymptote verticale \(x=0\).
- \(x\to+\infty\) : \(E_p\to -eE_0 x\to-\infty\) (droite de pente \(-eE_0\)).
- \(x\to-\infty\) : \(E_p\to -eE_0 x\to +\infty\) (même droite).
- Côté \(x>0\) : \(\mathrm dE_p/\mathrm dx = q^2/x^2 - eE_0 = 0\) en \(x^\star=\sqrt{q^2/eE_0}\), **maximum local** \(E_p^{\max}=-2\sqrt{q^2 eE_0}\) : c'est le sommet de la barrière.
Allure : puits infini en \(x=0\) ; côté \(x<0\) la courbe remonte vers \(+\infty\) ; côté \(x>0\) elle passe par un maximum (barrière) puis plonge vers \(-\infty\).
```
E_p | \ asymptote -eE0 x
| \ (barrière)
| \____ x* •
---+-----|---\--/------\------------> x
| | \| \____
| x<0 | 0 x>0 \ (→ -∞)
(puits -∞ en x=0)
```
**Commentaire du correcteur.** Le jury « extrêmement surpris par les difficultés à tracer le graphe d'une fonction somme d'un terme en \(1/x\) et d'un terme linéaire ».
Il rappelle (remarques générales) qu'un tracé théorique doit faire apparaître **asymptotes** (verticale \(x=0\), droite \(-eE_0x\)), **points remarquables** (le maximum \(x^\star\)) et **axes orientés**.
L'inclinaison de la barrière (abaissée du côté \(x>0\)) est le cœur du sujet.
### Question 12
**Stratégie.** L'électron d'énergie \(-I_P\) s'échappe classiquement si le sommet de barrière descend jusqu'à son niveau.
**Rédaction.** L'électron part à l'infini (par‑dessus la barrière) dès que \(E_p^{\max}\le -I_P\) :
\[
-2\sqrt{q^2 eE_0}\le -I_P\ \Rightarrow\ 2\sqrt{q^2 eE_0}\ge I_P\ \Rightarrow\ eE_0\ge \frac{I_P^2}{4q^2}.
\]
\[
\boxed{E_{\text{sat}}=\dfrac{I_P^{2}}{4\,e\,q^{2}}.}
\]
**Homogénéité.** \(\dfrac{\text{J}^2}{\text{C}\cdot\text{J·m}}=\dfrac{\text{J}}{\text{C·m}}=\text{V·m}^{-1}\). ✔
**A.N. (cohérence).** \(E_{\text{sat}}=\dfrac{(1{,}6\times10^{-18})^2}{4\times1{,}6\times10^{-19}\times2{,}3\times10^{-28}}\approx 1{,}7\times10^{10}\ \text{V·m}^{-1}\). On a \(E_0\approx4\times10^{10}>E_{\text{sat}}\) : le champ laser **dépasse** la saturation — ionisation par suppression de barrière possible.
**Commentaire du correcteur.** Le jury lie explicitement Q11 et Q12 : à la Q13 « l'effet tunnel a été plébiscité (avec raison), ce qui aurait dû amener les candidats à s'interroger sur le résultat de la question précédente lorsqu'aucune barrière de potentiel n'était mise en évidence ». Autrement dit : sans le tracé correct de la barrière (Q11), l'existence d'un seuil \(E_{\text{sat}}\) et le rôle du tunnel deviennent incompréhensibles.
### Question 13
**Stratégie.** Nommer le mécanisme quantique de franchissement d'une barrière.
**Rédaction.**
\[
\boxed{\text{L'effet tunnel (ionisation tunnel).}}
\]
Même pour \(E_0<E_{\text{sat}}\), la barrière (finie et abaissée par le champ) est franchie avec une certaine probabilité par effet tunnel.
**Commentaire du correcteur.** Le jury valide « avec raison » l'effet tunnel, mais attend une lecture **cohérente avec Q11** : le tunnel n'a de sens que si une barrière *finie* a été identifiée au tracé.
### Question 14
**Stratégie.**
PFD 1D avec la force coulombienne (impaire en \(x\)) + force laser \(eE_0\sin\omega t\), en séparant \(x>0\) et \(x<0\).
**Rédaction.** Force laser : \(\vec F=(-e)\vec E(t)=(-e)(-E_0\sin\omega t\,\vec e_x)=+eE_0\sin\omega t\,\vec e_x\).
Force coulombienne (attractive vers \(O\)) : \(F_{\text{coul},x}=-\dfrac{q^2}{x^2}\) pour \(x>0\) et \(+\dfrac{q^2}{x^2}\) pour \(x<0\).
Le PFD \(m\ddot x=F_{\text{coul},x}+eE_0\sin\omega t\) donne :
\[
\boxed{x>0:\quad m\ddot x = eE_0\sin\omega t - \dfrac{q^2}{x^2}} \qquad
\boxed{x<0:\quad m\ddot x = eE_0\sin\omega t + \dfrac{q^2}{x^2}.}
\]
**Commentaire du correcteur.**
Question « généralement bien traitée », mais le jury déplore que « trop de copies ne se sont pas interrogées sur la cohérence entre ce résultat et celui de la Q11 » : les signes de la force coulombienne \((\mp q^2/x^2)\) doivent découler de \(-\mathrm d(-q^2/|x|)/\mathrm dx\) obtenu en Q11.
### Question 15
**Stratégie.** Exploiter la symétrie de l'équation sous \(t\to t+T/2\) (le forçage change de signe) et l'imparité de la force de Coulomb, puis l'unicité de la solution forcée.
**Rédaction.** Posons \(y(t)=-x(t+T/2)\).
Comme \(\sin\omega(t+T/2)=\sin(\omega t+\pi)=-\sin\omega t\) et comme la force coulombienne \(F_{\text{coul}}(x)\) est **impaire** (\(F_{\text{coul}}(-x)=-F_{\text{coul}}(x)\)), on vérifie que \(y\) obéit à **la même** équation du mouvement que \(x\) :
\[
m\ddot y=-m\ddot x(t+T/2)=-\big[eE_0\sin\omega(t+T/2)+F_{\text{coul}}(x(t+T/2))\big]=eE_0\sin\omega t+F_{\text{coul}}(y).
\]
La solution forcée (périodique de période \(T\)) étant unique, \(y(t)=x(t)\), c'est‑à‑dire
\[
\boxed{x\!\left(t+\tfrac{T}{2}\right)=-x(t).}
\]
**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question. Piège : invoquer une « parité » — c'est une **antisymétrie par demi‑période**, conséquence du changement de signe du forçage combiné à l'imparité de la force. L'unicité de la solution forcée est l'argument clé (à énoncer).
### Question 16
**Stratégie.**
Injecter \(x(t+T/2)=-x(t)\) dans la série de Fourier \(x(t)=\sum_q c_q e^{iq\omega t}\).
**Rédaction.** \(x(t+T/2)=\sum_q c_q e^{iq\omega t}e^{iq\pi}=\sum_q c_q(-1)^q e^{iq\omega t}\).
La condition \(=-x(t)\) impose \((-1)^q=-1\), donc
\[
\boxed{\text{seules les harmoniques de rang } q \text{ impair sont présentes.}}
\]
**Commentaire du correcteur.** Le jury alerte : « beaucoup confondent la parité de la *fonction* et le *rang* des harmoniques. Ici, seules les impaires sont présentes non pas à cause d'une simple parité, mais en raison de la **symétrie particulière** du signal » (l'antisymétrie \(x(t+T/2)=-x(t)\) de Q15). Ce résultat justifie a posteriori que le spectre (fig. 3) ne contient que des harmoniques impaires.
### Question 17
**Stratégie.**
Négliger le noyau : oscillateur libre forcé \(m\ddot x=eE_0\sin\omega t\) ; solution = particulière + homogène (\(C_1t+C_2\)).
**Rédaction.**
\[
\ddot x=\frac{eE_0}{m}\sin\omega t\ \Rightarrow\ \dot x=-\frac{eE_0}{m\omega}\cos\omega t+C_1\ \Rightarrow\
\boxed{x(t)=-\dfrac{eE_0}{m\omega^{2}}\sin\omega t + C_1 t + C_2.}
\]
**Homogénéité.** \(\dfrac{eE_0}{m\omega^2}\) : \(\dfrac{\text{C·V·m}^{-1}}{\text{kg·s}^{-2}}=\dfrac{\text{N}}{\text{kg·s}^{-2}}=\dfrac{\text{kg·m·s}^{-2}}{\text{kg·s}^{-2}}=\text{m}\). ✔
**Commentaire du correcteur.** Le jury : « de nombreux étudiants ont eu du mal à intégrer \(m\ddot x=eE_0\sin\omega t\) ; confusion fréquente : oubli que la solution générale est la somme d'une solution particulière et de la solution homogène ».
Les **deux constantes** \(C_1,C_2\) (le terme de dérive \(C_1t\)) sont indispensables — elles portent toute la physique du « modèle en trois étapes ».
### Question 18
**Stratégie.**
Régime forcé *périodique* : pas de dérive (\(C_1=0\)) ; moyenner \(\tfrac12 m\dot x^2\).
**Rédaction.**
Solution périodique : \(x(t)=-\dfrac{eE_0}{m\omega^2}\sin\omega t\), donc \(\dot x=-\dfrac{eE_0}{m\omega}\cos\omega t\).
L'énergie cinétique moyenne :
\[
U_P=\left\langle \tfrac12 m\dot x^2\right\rangle=\tfrac12 m\frac{(eE_0)^2}{m^2\omega^2}\langle\cos^2\omega t\rangle=\frac{(eE_0)^2}{2m\omega^2}\cdot\frac12.
\]
\[
\boxed{U_P=\dfrac{(eE_0)^{2}}{4m\omega^{2}}\quad(\text{énergie pondéromotrice}).}
\]
**A.N. (repère).** \(U_P\approx 12\ \text{eV}\) (comparable à \(I_P\)), à retenir pour Q24–Q26.
**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question.
Piège : oublier le facteur \(\langle\cos^2\rangle=\tfrac12\) (erreur d'un facteur 2), ou garder la dérive \(C_1\neq0\) alors que le régime demandé est *périodique*.
### Question 19
**Stratégie.**
Intégrer \(m\ddot x=eE_0\sin\omega t\) avec conditions \(x(t_i)=0,\ \dot x(t_i)=0\).
**Rédaction.** \(\dot x=\dfrac{eE_0}{m\omega}(\cos\omega t_i-\cos\omega t)\) (impose \(\dot x(t_i)=0\)).
En intégrant avec \(x(t_i)=0\) :
\[
\boxed{x(t)=\dfrac{eE_0}{m\omega^{2}}\Big[\sin\omega t_i-\sin\omega t+\omega(t-t_i)\cos\omega t_i\Big].}
\]
**Vérifications.** \(x(t_i)=0\) ✔ ; \(\dot x(t_i)=0\) ✔.
**Commentaire du correcteur.** Même reproche qu'en Q17 : ne pas se contenter d'une primitive « nue » ; les deux constantes sont fixées par les **conditions initiales à \(t_i\)** (position et vitesse nulles). Le terme de dérive \(\propto(t-t_i)\cos\omega t_i\) est ce qui permet à l'électron de s'éloigner puis de revenir.
### Question 20
**Stratégie.**
Spécialiser \(x(t)\) à \(t_i=0,\ T/4,\ T/2\) ; identifier dérive/oscillation ; trois courbes **distinctes**.
**Rédaction.** Notons \(A=\dfrac{eE_0}{m\omega^2}\).
- **\(t_i=0\)** (\(\cos\omega t_i=1,\ \sin\omega t_i=0\)) : \(x=A(\omega t-\sin\omega t)\), croissante (\(\dot x\propto1-\cos\ge0\)), **dérive vers \(x>0\)**, sans retour.
- **\(t_i=T/4\)** (\(\cos=0,\ \sin=1\)) : \(x=A(1-\sin\omega t)\), **oscille** entre \(0\) et \(2A\), pas de dérive (repasse par \(0\)).
- **\(t_i=T/2\)** (\(\cos=-1,\ \sin=0\)) : \(x=A(\pi-\omega t-\sin\omega t)\), décroissante, **dérive vers \(x<0\)**.
Tracer les trois sur \([t_i/T,\,1{,}5]\) : une courbe montante (\(t_i=0\)), une bornée oscillante (\(t_i=T/4\)), une descendante (\(t_i=T/2\)), toutes issues de \(x=0\) avec pente nulle en \(t_i\).
```
x/A | t_i=0 (dérive +)
2 | __---
1 | /\ _- t_i=T/4 (oscille, borné)
0 |_/__\/________________________ t/T
| \__
-1 | --__ t_i=T/2 (dérive -)
```
**Commentaire du correcteur.** Le jury : « il ne fallait pas recopier le graphe de la figure 1 mais tenir compte des précisions de l'énoncé… Les courbes attendues étaient **distinctes**, traduisant le décalage temporel de l'excitation ». Les instants de départ, la pente nulle en \(t=t_i\) et le comportement dérive/oscillation doivent être visibles.
### Question 21
**Stratégie.** Poser \(x(t_r)=0\) dans le résultat de Q19.
**Rédaction.**
L'électron revient en \(x=0\) au temps \(t_r\) :
\[
\boxed{\sin\omega t_i-\sin\omega t_r+\omega(t_r-t_i)\cos\omega t_i=0.}
\]
(équation transcendante en \(t_r\), non résolue).
**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question.
Piège : la solution triviale \(t_r=t_i\) est à écarter (c'est l'instant de départ) ; on cherche le premier retour \(t_r>t_i\).
### Question 22
**Stratégie.**
Photon unique d'énergie \(I_P+E_c(t_r)\) ; \(\hbar\omega_{\text{ph}}=\) énergie libérée.
**Rédaction.**
L'énergie rayonnée est \(I_P+E_c(t_r)\), portée par un unique photon de pulsation \(\omega_{\text{ph}}\) telle que \(\hbar\omega_{\text{ph}}=I_P+E_c(t_r)\) :
\[
\boxed{\omega_{\text{ph}}=\dfrac{I_P+E_c(t_r)}{\hbar}.}
\]
**Homogénéité.** \(\text{J}/(\text{J·s})=\text{s}^{-1}\). ✔
**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question. Physique : c'est la 3ᵉ étape (recombinaison) ; l'énergie de liaison récupérée \(I_P\) *plus* l'énergie cinétique acquise dans le champ fixent le photon émis (harmonique élevée).
### Question 23
**Stratégie.** \(E_c(t_r)\propto(\cos\omega t_i-\cos\omega t_r)^2\) (cf. Q24) ; évaluer/comparer les quatre trajectoires de la figure 1.
**Rédaction.**
En résolvant Q21 pour chaque \(t_i\) puis en évaluant \(E_c(t_r)=2U_P(\cos\omega t_i-\cos\omega t_r)^2\), on obtient :
| \(t_i\) | \(t_r\) | \(E_c(t_r)/U_P\) |
|---|---|---|
| \(0{,}26\,T\) | \(1{,}12\,T\) | \(1{,}3\) |
| \(0{,}30\,T\) | \(0{,}95\,T\) | \(\mathbf{3{,}17}\) |
| \(0{,}35\,T\) | \(0{,}82\,T\) | \(2{,}0\) |
| \(0{,}40\,T\) | \(0{,}70\,T\) | \(0{,}55\) |
\[
\boxed{E_c(t_r)\ \text{maximale : courbe } t_i=0{,}30\,T\ (E_c\simeq 3{,}17\,U_P)\ ;\quad \text{minimale : courbe } t_i=0{,}40\,T.}
\]
**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question. Résultat‑phare : le maximum universel \(E_c^{\max}\simeq 3{,}17\,U_P\) (« cutoff » de la génération d'harmoniques), obtenu pour un départ juste **après** le maximum du champ. Il fixe la coupure du spectre (Q26).
### Question 24
**Stratégie.** \(E_c=\tfrac12 m\dot x(t_r)^2\) avec \(\dot x\) de Q19, exprimé via \(U_P\).
**Rédaction.** \(\dot x(t_r)=\dfrac{eE_0}{m\omega}(\cos\omega t_i-\cos\omega t_r)\), donc
\[
E_c(t_r)=\tfrac12 m\dot x^2=\frac{(eE_0)^2}{2m\omega^2}(\cos\omega t_i-\cos\omega t_r)^2.
\]
Comme \(U_P=\dfrac{(eE_0)^2}{4m\omega^2}\), soit \(\dfrac{(eE_0)^2}{2m\omega^2}=2U_P\) :
\[
\boxed{E_c(t_r)=2\,U_P\,(\cos\omega t_i-\cos\omega t_r)^{2}.}
\]
**Vérif. de borne.** \(|\cos\omega t_i-\cos\omega t_r|\le2\Rightarrow E_c\le8U_P\) ; le maximum *effectif* (contraint par Q21) est \(3{,}17\,U_P\). ✔
**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question.
Piège : garder \(E_0,m,\omega\) au lieu de factoriser par \(U_P\) — l'énoncé impose l'expression réduite.
### Question 25
**Stratégie.**
La figure 2 (\(E_c/U_P\) vs \(t_r/T\)) est parcourue par deux « branches » ; y reporter les \(t_i\) via le tableau de Q23.
**Rédaction.**
Recopier la courbe (montée de \(E_c=0\) jusqu'au pic \(3{,}17\,U_P\) vers \(t_r\simeq0{,}95\,T\), puis redescente).
Le même \(E_c\) est atteint par **deux** \(t_r\) → deux familles :
- **Trajectoires « courtes »** (à gauche du pic, \(t_r\lesssim0{,}95\,T\)) : \(t_i\) grand (départ tardif).
Points repères : \(t_r=0{,}70\,T\to t_i=0{,}40\,T\) ; \(t_r=0{,}82\,T\to t_i=0{,}35\,T\).
- **Sommet** : \(t_r\simeq0{,}95\,T\to t_i\simeq0{,}30\,T\) (\(E_c=3{,}17\,U_P\)).
- **Trajectoires « longues »** (à droite du pic) : \(t_i\) petit (départ près du maximum du champ). Repère : \(t_r=1{,}12\,T\to t_i=0{,}26\,T\).
```
Ec/Up | • 3.17 (t_i=0.30)
3 | / \
2 | •(0.35) \• (…)
1 | (0.40)• \•(0.26)
0 |__/___________\____________ t_r/T
0.5 0.7 0.95 1.1
courtes | longues
```
**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question.
Piège : ne pas voir la **double branche** (deux \(t_i\) pour un même \(t_r\) selon les côtés du pic) — origine physique des trajectoires « courtes » et « longues » de la génération d'harmoniques.
### Question 26
**Stratégie.** Interpréter plateau + coupure ; relier la coupure à \(I_P+3{,}17\,U_P\).
**Rédaction.** *Interprétation.* Le spectre (échelle log) présente une série de **pics d'intensité comparable** (le « plateau »), aux harmoniques **impaires** (Q16), puis une **chute brutale** au‑delà d'une fréquence : la **coupure**. Le plateau vient de ce que des énergies de recombinaison variées sont émises avec des poids voisins ; la coupure correspond à l'énergie de recombinaison **maximale**.
*Condition Q3.*
Le plateau s'étend bien au‑delà du rang 18 (jusqu'à \(n_{\max}\) ci‑dessous), donc des harmoniques de période \(<T_e\) existent : **condition vérifiée**.
*Rang maximal.*
Photon le plus énergétique (Q22 + \(E_c^{\max}=3{,}17\,U_P\) de Q23) : \(\hbar\omega_{\max}=I_P+3{,}17\,U_P\), et \(n_{\max}=\omega_{\max}/\omega\) :
\[
\boxed{n_{\max}\simeq\dfrac{I_P+3{,}17\,U_P}{\hbar\omega}.}
\]
**A.N. (repère).** \(\hbar\omega=hc/\lambda\approx1{,}55\ \text{eV}\), \(I_P\approx10\ \text{eV}\), \(3{,}17\,U_P\approx37\ \text{eV}\) : \(n_{\max}\approx47/1{,}55\approx30\).
**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question. C'est la **loi de coupure de la génération d'harmoniques d'ordre élevé** (\(\hbar\omega_{\max}=I_P+3{,}17U_P\)), aboutissement des parties « trois étapes ». Piège : oublier \(I_P\) (l'énergie de liaison rendue) dans la coupure.
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## II – Mesure de la durée de l'impulsion
### Question 27
**Stratégie.**
Signal analytique \(a(t)=\sum_q A_q e^{i(q\omega t+\varphi_q)}\) ; puissance \(I(t)=a\,a^\star\).
**Rédaction.**
\[
I(t)=\Big|\sum_q A_q e^{i(q\omega t+\varphi_q)}\Big|^2=\sum_{q,q'}A_qA_{q'}\,e^{i[(q-q')\omega t+(\varphi_q-\varphi_{q'})]}
=\boxed{\sum_{q,q'}A_qA_{q'}\cos\!\big[(q-q')\omega t+(\varphi_q-\varphi_{q'})\big].}
\]
Le produit \(a\,a^\star\) fait apparaître les phases **uniquement** par les combinaisons \(\varphi_q-\varphi_{q'}\) : une phase globale ajoutée à tous les \(\varphi_q\) disparaît (elle s'annule entre \(a\) et \(a^\star\)). \(I(t)\) ne dépend donc que des **différences** de phases.
**Commentaire du correcteur.**
Le jury : « il serait intéressant que les candidats s'interrogent sur la nécessité d'extraire la partie réelle du produit de \(A\) par son conjugué lorsqu'ils écrivent \(\mathrm{Re}(AA^\star)\) ».
Or \(AA^\star=|A|^2\) est **déjà réel** : c'est \(a\,a^\star\) (et non \(a^2\)) qui est la puissance, et c'est précisément ce qui fait disparaître les phases globales.
### Question 28
**Stratégie.**
Somme géométrique de \(N\) harmoniques successives en phase → fonction d'Airy (réseau) ; pics en \(t=kT\), largeur \(\sim T/N\).
**Rédaction.**
Amplitudes et phases identiques (\(A_q=A,\varphi_q=0\)), \(q=n\ldots n+N-1\) :
\[
a(t)=A\sum_{q=n}^{n+N-1}e^{iq\omega t}=A\,e^{in\omega t}\frac{e^{iN\omega t}-1}{e^{i\omega t}-1}\ \Rightarrow\
I(t)=A^2\,\frac{\sin^2(N\omega t/2)}{\sin^2(\omega t/2)}.
\]
C'est la **fonction d'Airy** d'un réseau de \(N\) traits.
Pics principaux là où \(\sin(\omega t/2)=0\), i.e. \(\omega t/2=k\pi\Rightarrow t=kT\) : pics **espacés de \(T\)**, de hauteur \(N^2\).
Premier zéro autour d'un pic : \(N\omega\,\Delta t/2=\pi\), d'où
\[
\boxed{\text{demi‑largeur } \Delta t\simeq\dfrac{T}{N}\quad(\text{pics d'autant plus fins que } N\gg1).}
\]
**Commentaire du correcteur.** Le jury « surpris » que cette question, dont le calcul « de l'intensité derrière un réseau est explicitement au programme », ait tant coûté : « rarissimes ont été les candidats qui ont conclu en identifiant la **fonction d'Airy**, grand classique de l'optique ondulatoire ». Nommer la fonction d'Airy et donner \(\Delta t\sim T/N\) sont attendus.
### Question 29
**Stratégie.** Phases en progression arithmétique \(\varphi_q=\varphi_0+q\alpha\) → décalage temporel global.
**Rédaction.**
\[
a(t)=A\sum_q e^{i(q\omega t+\varphi_0+q\alpha)}=A\,e^{i\varphi_0}\sum_q e^{iq(\omega t+\alpha)}.
\]
On retrouve le résultat de Q28 avec \(\omega t\to\omega t+\alpha\). Les pics sont donc en \(\omega t+\alpha=2k\pi\), soit
\[
\boxed{t_k=kT-\dfrac{\alpha}{\omega}:}
\]
tout le train de pics est **décalé** temporellement de \(\Delta t=-\alpha/\omega\) (retard de groupe associé à la phase linéaire), sans changer leur forme ni leur espacement.
**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question.
Point clé pour la suite : une **phase linéaire en \(q\)** ⇔ simple retard temporel ; toute autre dépendance de \(\varphi_q\) élargit/déforme les impulsions.
### Question 30
**Stratégie.**
Relation de Planck‑Einstein pour l'harmonique \(q\) de pulsation \(q\omega\).
**Rédaction.**
\[
\boxed{E_q=\hbar\,(q\omega)=q\,\hbar\omega\ (=q\,h\nu).}
\]
**Commentaire du correcteur.** Le jury : « relation bien connue des candidats ». (À énoncer proprement, avec \(\hbar\omega=hc/\lambda\approx1{,}55\ \text{eV}\).)
### Question 31
**Stratégie.**
Développer \(A_p(t)A_s(t)\) en exponentielles complexes et isoler les termes en \(e^{i(q+1)\omega t}\).
**Rédaction.** \(A_p=\cos(q\omega t+\varphi_q)+\cos((q+2)\omega t+\varphi_{q+2})\), \(A_s=\cos\omega(t+\tau)\).
En \(\cos=\tfrac12(e^{i\cdot}+e^{-i\cdot})\), les termes de pulsation \((q+1)\omega\) proviennent de :
- \((q\omega)\) de \(A_p\) **\(+\)** \((+\omega)\) de \(A_s\) : \(\tfrac14 e^{i[(q+1)\omega t+\varphi_q+\omega\tau]}\) ;
- \(((q+2)\omega)\) de \(A_p\) **\(-\)** \((\omega)\) de \(A_s\) : \(\tfrac14 e^{i[(q+1)\omega t+\varphi_{q+2}-\omega\tau]}\).
\[
\boxed{\big[A_pA_s\big]_{q+1}=\tfrac14\,e^{i(q+1)\omega t}\Big(e^{i(\varphi_q+\omega\tau)}+e^{i(\varphi_{q+2}-\omega\tau)}\Big).}
\]
**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question.
Physique (RABITT) : **deux chemins quantiques** mènent au même état final \(E_{q+1}-I_P\) — absorber l'harmonique \(q\) puis un photon sonde (\(+\omega\)), ou absorber l'harmonique \(q+2\) puis émettre un photon sonde (\(-\omega\)).
### Question 32
**Stratégie.** Probabilité \(\propto|\cdot|^2\) du terme de Q31 ; interférence des deux chemins.
**Rédaction.**
\[
P(\tau)\propto\Big|e^{i(\varphi_q+\omega\tau)}+e^{i(\varphi_{q+2}-\omega\tau)}\Big|^2=2+2\cos\big(2\omega\tau+\varphi_q-\varphi_{q+2}\big).
\]
\[
\boxed{P(\tau)\propto 1+\cos\big(2\omega\tau+\varphi_q-\varphi_{q+2}\big).}
\]
C'est une **interférence à deux photons** : les deux amplitudes de transition (chemins de Q31) s'ajoutent avant élévation au carré, d'où la modulation en \(\cos\). Intervalle entre deux maximums (\(2\omega\Delta\tau=2\pi\)) :
\[
\boxed{\Delta\tau=\dfrac{\pi}{\omega}=\dfrac{T}{2}.}
\]
**Tracé :** sinusoïde de \(P\) vs \(\tau\), période \(T/2\), phase à l'origine \(-(\varphi_{q+2}-\varphi_q)/(2\omega)\).
**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question ; il relie (via Q27) l'importance de bien élever au carré la **somme** des amplitudes (et non les sommer après module).
Piège : donner \(\Delta\tau=T\) au lieu de \(T/2\) (la modulation est en \(2\omega\tau\)).
### Question 33
**Stratégie.**
Distinguer bandes \(q\) impaires (photoionisation directe, indépendantes de \(\tau\)) et \(q\) paires (bandes latérales oscillant en \(\tau\), période \(T/2\)).
**Rédaction.**
- **\(q\) impair** : correspond aux harmoniques réellement présentes (fig. 3).
Ces électrons \((E_q-I_P)\) viennent de l'absorption d'**un seul** photon harmonique : leur nombre est **indépendant de \(\tau\)** → bandes horizontales.
- **\(q\) pair** (bandes latérales, entre deux harmoniques impaires) : produits par le processus à **deux photons** (Q31‑32) → nombre **oscillant en \(\tau\)** avec la période \(T/2\).
La période des oscillations des bandes paires vaut \(\Delta\tau=T/2=1{,}3\times10^{-15}\ \text{s}\), soit \(T=2{,}7\times10^{-15}\ \text{s}\) : **compatible avec la Q3**. ✔
**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question. Lecture attendue de la figure 4 : alternance bandes fixes (impaires) / bandes oscillantes (paires), l'oscillation donnant accès à \(T\).
### Question 34
**Stratégie.** Comparer les phases des oscillations des différentes bandes latérales.
**Rédaction.**
La bande latérale \(q+1\) oscille comme \(\cos(2\omega\tau-(\varphi_{q+2}-\varphi_q))\) : la **position en \(\tau\)** de ses maximums est décalée de \((\varphi_{q+2}-\varphi_q)/(2\omega)\).
Donc :
\[
\boxed{\text{si les maximums de toutes les bandes paires sont alignés (même } \tau)\ \Rightarrow\ \varphi_{q+2}-\varphi_q \text{ indépendant de } q.}
\]
Sinon, un glissement progressif des maximums avec \(q\) révèle une variation de \(\varphi_{q+2}-\varphi_q\).
**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question. Piège : chercher l'information dans l'amplitude des oscillations plutôt que dans la **position (phase)** de leurs maximums.
### Question 35
**Stratégie.** Phases relatives constantes ⇔ progression arithmétique ⇔ (Q29) impulsions les plus brèves ; durée \(\sim\) inverse de la largeur spectrale.
**Rédaction.** Si \(\varphi_{q+2}-\varphi_q\) est constant, les phases sont en **progression arithmétique** : d'après Q29, les harmoniques sont « en phase » et engendrent (Q28) les impulsions les plus courtes possibles.
Le peigne ne contenant que les impaires (espacées de \(2\omega\)), le train a la période \(T/2\) ; la durée d'une impulsion est \(\sim\) l'inverse de la largeur spectrale totale \(\Delta\omega\simeq(n_{\max}-n_{\min})\omega\) :
\[
\tau_{\text{imp}}\sim\frac{2\pi}{\Delta\omega}=\frac{T}{\,n_{\max}-n_{\min}\,}.
\]
**A.N.** avec \(n_{\min}\approx18\), \(n_{\max}\approx30\) (Q26), \(T\approx2{,}7\ \text{fs}\) :
\[
\tau_{\text{imp}}\sim\frac{2{,}7\times10^{-15}}{12}\approx2\times10^{-16}\ \text{s}\ \Rightarrow\ \boxed{\tau_{\text{imp}}\sim10^{-16}\ \text{s}\ (\text{une centaine d'attosecondes}).}
\]
**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question.
C'est la **conclusion du problème** : phases verrouillées + large peigne d'harmoniques ⇒ impulsion de \(\sim100\ \text{as}\), conforme au préambule (\(T_e=1{,}5\times10^{-16}\ \text{s}\)).
Piège : la valeur exacte dépend du nombre d'harmoniques retenues ; seul l'**ordre de grandeur** \(\sim10^{-16}\ \text{s}\) est attendu. [Point non entièrement établi : \(n_{\min}\) et \(n_{\max}\) sont lus/estimés sur la figure 3, non fournis chiffrés ; la durée peut varier d'un facteur \(\sim2\) selon la largeur de plateau retenue, sans changer l'ordre de grandeur.]
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## III – Spectromètre magnétique
### Question 36
**Stratégie.** Force de Lorentz centripète : rayon cyclotron.
**Rédaction.**
Vitesse \(\vec v_\perp\perp\vec B\) : \(\|q_e\vec v\wedge\vec B\|=e v_\perp B=m v_\perp^2/r\), d'où
\[
\boxed{r=\dfrac{m\,v_\perp}{eB}\quad(\text{rayon cyclotron}).}
\]
**Homogénéité.** \(\dfrac{\text{kg·m·s}^{-1}}{\text{C·T}}=\dfrac{\text{kg·m·s}^{-1}}{\text{C·kg·C}^{-1}\text{s}^{-1}}=\text{m}\). ✔
**Commentaire du correcteur.** Le jury : « grand classique de mécanique, pour lequel le rayon cyclotron devait apparaître comme une évidence… Ce ne fut pas le cas ». Résultat à connaître par cœur.
### Question 37
**Stratégie.** \(J=m v_\perp r\) au centre du cercle ; éliminer \(v_\perp\) via Q36.
**Rédaction.**
Par rapport au centre de la trajectoire, \(\vec v_\perp\perp\vec r\) donc \(J=m v_\perp r\).
Or \(m v_\perp=eBr\) (Q36), d'où
\[
\boxed{J=eB\,r^{2}.}
\]
**Homogénéité.** \(\text{C·T·m}^2=\text{C}\cdot\text{kg·C}^{-1}\text{s}^{-1}\cdot\text{m}^2=\text{kg·m}^2\text{·s}^{-1}\) (moment cinétique). ✔
**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question. Piège : ce moment cinétique orbital (proportionnel au flux \(B\,\pi r^2\)) est celui qui va servir d'**invariant** (Q40).
### Question 38
**Stratégie.** Reprendre Q36 avec \(v_\perp=v\sin\theta\) (mouvement hélicoïdal).
**Rédaction.**
La composante \(\vec v_\parallel=v\cos\theta\) le long de \(\vec B\) est libre (mouvement uniforme) ; la composante \(v_\perp=v\sin\theta\) donne le cercle.
Donc
\[
\boxed{r=\dfrac{m\,v\sin\theta}{eB}.}
\]
**Vérifs.** \(\theta\to\pi/2\) : \(r\to mv/eB\) (Q36) ✔ ; \(\theta\to0\) : \(r\to0\) (trajectoire rectiligne le long de \(\vec B\)) ✔.
**Commentaire du correcteur.** Le jury : « très peu de candidats ont une intuition correcte du mouvement **hélicoïdal**… il suffisait de reprendre la Q36 avec \(v_\perp=v\sin\theta\).
Prendre les limites \(\theta\to0\) ou \(\pi/2\) aurait dû aider à porter un regard critique ».
Les deux limites sont à écrire.
### Question 39
**Stratégie.** Conservation du flux magnétique ⇒ resserrement/écartement des lignes de champ.
**Rédaction.** \(\nabla\!\cdot\!\vec B=0\) : le flux se conserve dans un tube de lignes de champ.
À l'entrée (gauche) les lignes sont **resserrées** (champ fort \(B_i\)) ; le long du spectromètre elles **s'écartent** vers un champ faible et quasi uniforme \(B_f\) (droite).
Donc
\[
\boxed{\|\vec B\| \text{ décroît de la gauche (entrée, fort) vers la droite (sortie, faible).}}
\]
(configuration de miroir/bouteille magnétique.)
**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question. Piège : conclure sans invoquer la conservation du flux (resserrement des lignes ⇔ champ intense).
### Question 40
**Stratégie.**
Invariant adiabatique \(J=eBr^2=\text{cste}\) ; injecter \(r=mv\sin\theta/(eB)\), \(v=\text{cste}\).
**Rédaction.** De Q37‑38 : \(J=eB\,r^2=eB\left(\dfrac{mv\sin\theta}{eB}\right)^2=\dfrac{m^2v^2\sin^2\theta}{eB}\).
Or \(J\) est conservé et \(v=\text{cste}\) (force magnétique de travail nul), donc \(\dfrac{\sin^2\theta}{B}=\text{cste}\) :
\[
\boxed{\dfrac{\sin^2\theta_i}{B_i}=\dfrac{\sin^2\theta_f}{B_f}\quad\Longleftrightarrow\quad \sin^2\theta_f=\dfrac{B_f}{B_i}\sin^2\theta_i.}
\]
**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question.
C'est l'**invariant du miroir magnétique** (\(\sin^2\theta/B=\text{cste}\)) ; comme \(B_f<B_i\), \(\theta_f<\theta_i\) : le champ décroissant **aligne** progressivement la vitesse sur l'axe.
### Question 41
**Stratégie.**
Trajectoire hélicoïdale d'angle \(\theta_f\) : longueur réelle \(L/\cos\theta_f\) ; incertaine car \(\theta_f\neq0\).
**Rédaction.**
Dans le champ uniforme \(B_f\), l'électron avance en hélice d'angle \(\theta_f\) : la longueur parcourue est \(\ell=L/\cos\theta_f>L\).
On mesure le temps de vol \(t\) et on suppose un trajet droit \(L\) : la vitesse déduite est \(v_{\text{mes}}=L/t=v\cos\theta_f\).
L'écart relatif :
\[
\frac{\Delta v}{v}=\frac{v-v_{\text{mes}}}{v}=1-\cos\theta_f\simeq\frac{\theta_f^2}{2}\quad(\theta_f\ll1).
\]
Cas le plus défavorable \(\theta_i=\pi/2\) : \(\sin^2\theta_f=B_f/B_i\), donc \(\theta_f^2\simeq B_f/B_i\), d'où
\[
\boxed{\dfrac{\Delta v}{v}\simeq\dfrac{1}{2}\,\dfrac{B_f}{B_i}.}
\]
Choisir \(B_f\ll B_i\) rend l'incertitude arbitrairement petite (et \(\theta_f\) petit, ce qui « aligne » les électrons).
**Homogénéité.** \(B_f/B_i\) sans dimension, comme une incertitude relative. ✔
**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question.
Piège : oublier que le trajet réel est \(L/\cos\theta_f\) (et non \(L\)) ; le développement \(1-\cos\theta_f\simeq\theta_f^2/2\) puis \(\theta_f^2\simeq B_f/B_i\) (worst case) sont les deux étapes attendues.
Physiquement : un champ d'entrée \(B_i\) très intense minimise l'erreur sur l'énergie cinétique mesurée.
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*Fin du corrigé — 41 questions traitées, numérotation de l'énoncé respectée intégralement.
Résultats de contrôle : \(T_e=1{,}5\times10^{-16}\,\text{s}\), coupure \(E_c^{\max}=3{,}17\,U_P\), impulsion \(\sim10^{-16}\,\text{s}\).*