Physique B
X-ENSPC2025
# Corrigé — X-ENS Physique B 2025, filière PC
**Concours :** École polytechnique – ESPCI – ENS (XEULS) · **Épreuve :** Physique B (épreuve n° 5) · **Filière :** PC · **Session :** 2025 (mercredi 16 avril, 4 h, sans calculatrice)
**Titre du sujet :** *Production et caractérisation d'impulsions laser attosecondes.*
**Thème physique.** Le problème reconstruit, avec les seuls outils du programme de CPGE, la génération d'harmoniques d'ordre élevé (HHG) qui a valu le prix Nobel 2023 à A. L'Huillier, P. Agostini et F. Krausz. Il se lit en trois parties « quasi indépendantes » :
- **Partie I — Production de l'impulsion :** modèle de Bohr, faisceau gaussien et focalisation (*optique physique et géométrique*), ordres de grandeur d'intensité et de champ (*énergétique des ondes EM, vecteur de Poynting*), ionisation par effet de champ (*mécanique du point dans un potentiel, effet tunnel*), puis le « modèle en trois étapes » (*oscillateur forcé, énergie cinétique moyenne, séries de Fourier*).
- **Partie II — Mesure de la durée :** synthèse d'une impulsion brève par superposition d'harmoniques (*interférences à N ondes, fonction d'Airy*) et méthode RABBITT (*représentation complexe, interférences à deux photons, effet photoélectrique*).
- **Partie III — Spectromètre magnétique :** mouvement d'une charge dans un champ magnétique (*force de Lorentz, rayon cyclotron, moment cinétique, invariant adiabatique / miroir magnétique*).
**Conventions de l'énoncé.**
On pose $q^2 = e^2/(4\pi\varepsilon_0)$ (donc l'énergie potentielle coulombienne électron–noyau s'écrit $-q^2/r$), $e>0$ la charge élémentaire, $\hbar$ la constante réduite de Planck, $m$ la masse de l'électron.
Applications numériques à **un seul chiffre significatif** (consigne de l'énoncé).
> **Remarque liminaire du rapport de jury** (à garder en tête pour *toute* la copie) : une copie propre et lisible ; **tout résultat encadré**, en particulier les A.N. ; **tout résultat non homogène ne rapporte aucun point** ; et des **tracés soignés** (asymptotes, points remarquables, axes orientés et gradués). Le jury a jugé le sujet « remarquable, original, très sélectif » ; la majorité des candidats a traité « un peu moins de la moitié » des questions.
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## Partie I — Production de l'impulsion lumineuse
### Question 1 — Période de révolution dans le modèle de Bohr
**Rappel de cours.** *Modèle de Bohr (hors programme stricto sensu, mais reconstructible) :* l'électron décrit une orbite circulaire autour du proton sous la seule force de Coulomb. Deux ingrédients :
- Principe fondamental de la dynamique en mouvement circulaire uniforme : l'accélération est centripète, $a = v^2/r$.
- Quantification du moment cinétique : $m v r = n\hbar$, avec $n=1$ pour le fondamental.
**Analyse.** On travaille dans le référentiel du noyau supposé galiléen (proton très lourd). La force de Coulomb attractive a pour norme $\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \dfrac{q^2}{r^2}$.
**Solution détaillée.**
PFD projeté sur la direction radiale (centripète) : $$ m\,\frac{v^2}{r} = \frac{q^2}{r^2} \quad\Longrightarrow\quad m v^2 = \frac{q^2}{r}. \tag{1}$$
Quantification ($n=1$) : $m v r = \hbar \Rightarrow v = \dfrac{\hbar}{m r}$.
En reportant dans (1) : $$ m\,\frac{\hbar^2}{m^2 r^2} = \frac{q^2}{r} \;\Longrightarrow\; r = \frac{\hbar^2}{m q^2} \;(\equiv a_0,\ \text{rayon de Bohr}), \qquad v = \frac{q^2}{\hbar}. $$
La période de révolution est $T_e = \dfrac{2\pi r}{v}$ : $$ \boxed{\,T_e = \frac{2\pi\,\hbar^3}{m\,q^4}\,}. $$
**Homogénéité.** $[q^2] = [\text{énergie}\cdot\text{longueur}]$ (car $q^2/r$ est une énergie), soit $q^2 \sim \mathrm{J\cdot m} = \mathrm{kg\,m^3\,s^{-2}}$.
Alors $\dfrac{\hbar^3}{m q^4}$ a la dimension $\dfrac{(\mathrm{J\,s})^3}{\mathrm{kg}\,(\mathrm{J\,m})^4}$… plus simplement, on sait $a_0 = \hbar^2/mq^2$ (longueur) et $v = q^2/\hbar$ (vitesse), donc $T_e = 2\pi a_0/v$ est bien un temps.
**A.N.** cohérente avec la valeur donnée $T_e = 1{,}5\times10^{-16}\,\text{s}$.
**À retenir.**
*Réflexe :* devant « modèle de Bohr », écrire PFD circulaire **+** quantification, et n'exprimer $r$ et $v$ qu'ensuite.
La combinaison $q^2 = e^2/4\pi\varepsilon_0$ épure tous les calculs — l'employer systématiquement.
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### Question 2 — Domaine spectral du laser
**Rappel de cours.**
Spectre visible : $\approx 400$–$800\,\text{nm}$.
Au-delà de $800\,\text{nm}$ : infrarouge ; en deçà de $400\,\text{nm}$ : ultraviolet.
**Analyse.** $\lambda = 800\,\text{nm}$ est à la limite rouge du visible.
**Solution détaillée.** $\lambda = 800\,\text{nm}$ se situe dans le **proche infrarouge** (limite du rouge visible). *(C'est la longueur d'onde typique d'un laser Ti:Saphir, la source usuelle en HHG.)*
**À retenir.**
Mémoriser les bornes du visible $400$–$800\,\text{nm}$ : indispensable pour situer une raie sans calcul.
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### Question 3 — Période $T$ et rang minimal des harmoniques
**Rappel de cours.**
Dans le vide, une onde de longueur d'onde $\lambda$ a pour période $T = \lambda/c$ (relation $c = \lambda\nu$, $\nu = 1/T$).
Une harmonique de rang $n$ a la pulsation $n\omega$, donc la période $T/n$.
**Analyse.**
On veut le plus petit entier $n$ tel que la période $T/n$ de l'harmonique soit inférieure à $T_e$.
**Solution détaillée.** $$ T = \frac{\lambda}{c} = \frac{800\times10^{-9}}{3\times10^{8}} = 2{,}7\times10^{-15}\,\text{s} \;\approx\; 3\times10^{-15}\,\text{s} \quad (\approx 3\ \text{fs}). $$
Condition $\dfrac{T}{n} < T_e \Rightarrow n > \dfrac{T}{T_e} = \dfrac{2{,}7\times10^{-15}}{1{,}5\times10^{-16}} \approx 18$.
Le plus petit entier convenant est donc $$ \boxed{\,n_{\min} = 18\,} \quad (\text{en anticipant sur Q16, seules les harmoniques } impaires \text{ existant, la première utile est } n=19). $$
**Homogénéité / ordre de grandeur.** $T = \lambda/c$ est bien un temps ; $\lambda/c \sim 10^{-6}/10^{8} = 10^{-14}$, ordre de grandeur cohérent.
**À retenir.**
*Remarque du rapport (Q3) :* le jury a vu des A.N. « absurdes » — diviser $800\times10^{-9}$ par $3\times10^8$ **ne peut pas** donner $10^{+17}$.
**Toujours vérifier l'ordre de grandeur du résultat**, surtout en optique où $T\sim$ fs est un repère connu. Un contrôle mental des puissances de dix évite la faute la plus lourde du sujet.
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### Question 4 — Longueur de Rayleigh ; approximation cylindrique
**Rappel de cours.**
Pour un faisceau gaussien, la longueur de Rayleigh $z_R = \pi w_0^2/\lambda$ est la distance sur laquelle le waist reste voisin de $w_0$ : $w(z_R) = w_0\sqrt2$.
Pour $|z| \ll z_R$, $w(z)\simeq w_0$ : le faisceau est quasi cylindrique.
**Analyse.**
On calcule $z_R$ puis on compare $z_R$ à l'échelle « du mètre » de l'énoncé.
**Solution détaillée.** $$ z_R = \frac{\pi w_0^2}{\lambda} = \frac{\pi\,(4\times10^{-3})^2}{800\times10^{-9}} = \frac{\pi\times16\times10^{-6}}{8\times10^{-7}} = 20\pi \approx 6\times10^{1}\,\text{m}. $$
Soit $z_R \sim 60\,\text{m}$.
Pour $|z|\lesssim 1\,\text{m} \ll z_R$, on a $\left(\dfrac{z}{z_R}\right)^2 \lesssim \left(\dfrac{1}{60}\right)^2 \approx 3\times10^{-4} \ll 1$, donc $w(z) = w_0\sqrt{1+(z/z_R)^2}\simeq w_0$ : **le faisceau est cylindrique** (rayon quasi constant) sur toute cette zone.
**Homogénéité.** $\pi w_0^2/\lambda$ : $[\text{m}^2]/[\text{m}] = [\text{m}]$. ✓
**À retenir.** *Réflexe :* « faisceau cylindrique » ⟺ portion $|z|\ll z_R$ où la divergence est négligeable. Un waist millimétrique donne un $z_R$ métrique à décamétrique : le faisceau non focalisé est extrêmement collimaté.
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### Question 5 — Vérification des conditions de Gauss
**Rappel de cours.** *Approximation de Gauss (conditions de stigmatisme approché d'une lentille) :* les rayons doivent être **peu inclinés** sur l'axe optique et **peu écartés** de cet axe (rayons paraxiaux). Concrètement, l'extension transverse du faisceau doit être petite **devant la focale**, et le faisceau doit être centré sur l'axe optique.
**Analyse.** Il faut **vérifier** les deux conditions numériquement, pas seulement les énoncer.
**Solution détaillée.**
- *Écart à l'axe :* le faisceau a un rayon $\sim w_0 = 4\,\text{mm}$, à comparer à $f = 1\,\text{m}$ : $w_0/f = 4\times10^{-3} \ll 1$.
Les rayons frappent la lentille à une distance de l'axe petite devant $f$.
- *Inclinaison :* le faisceau est cylindrique (Q4), donc quasi parallèle à l'axe ; sa divergence propre $\theta \sim \lambda/(\pi w_0) = \dfrac{800\times10^{-9}}{\pi\times4\times10^{-3}} \approx 6\times10^{-5}\,\text{rad} \ll 1$. Les rayons sont quasi parallèles à l'axe.
- *Centrage :* l'énoncé précise que **l'axe du faisceau et l'axe de la lentille sont confondus**.
Les trois conditions sont réunies : **l'approximation de Gauss est satisfaite.**
**À retenir.** *Remarque du rapport (Q5) :* ne pas se contenter d'*énoncer* les conditions — il faut dire « petit **par rapport à quoi** » ($w_0 \ll f$) et **mentionner que l'axe du faisceau coïncide avec l'axe optique** (sinon toute onde plane en incidence normale « satisferait » Gauss, ce qui est faux).
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### Question 6 — Waist du faisceau focalisé
**Rappel de cours.**
Un faisceau gaussien de divergence $\theta = \lambda/(\pi w_0)$ focalisé par une lentille mince de focale $f$ forme un nouveau waist $w_0'$ dans le plan focal image.
Pour un faisceau collimaté incident (waist $w_0$ au niveau de la lentille), $w_0' \simeq f\theta$.
**Analyse.** Le faisceau incident étant cylindrique de rayon $w_0$, la lentille le focalise ; le waist émergent se forme au foyer. On relie $w_0'$ à la divergence de sortie.
**Solution détaillée.**
*Allure :* faisceau convergent en forme de sablier (« nœud papillon »), de rayon $w_0$ à la lentille, se resserrant jusqu'à un col minimal $w_0'$ au foyer image (à la distance $f$), puis divergeant symétriquement.
Le col $w_0'$ est fixé par la divergence après focalisation.
Un faisceau collimaté de rayon $w_0$ focalisé donne : $$ \boxed{\,w_0' = \frac{\lambda f}{\pi w_0}\,}. $$
*Justification physique :* la conservation de l'étendue gaussienne impose $w_0 \cdot \theta_{\text{sortie}} = \lambda/\pi$ (produit waist × divergence invariant) ; or le faisceau converge vers le foyer sous l'angle $\theta_{\text{sortie}} = w_0/f$, d'où $w_0' = \dfrac{\lambda/\pi}{\theta_{\text{sortie}}} = \dfrac{\lambda f}{\pi w_0}$.
**A.N. :** $w_0' = \dfrac{800\times10^{-9}\times 1}{\pi\times4\times10^{-3}} = 6{,}4\times10^{-5}\,\text{m} \approx 6\times10^{-5}\,\text{m} \;(\approx 60\,\mu\text{m}).$
**Homogénéité.** $\lambda f/(\pi w_0)$ : $\dfrac{[\text{m}][\text{m}]}{[\text{m}]} = [\text{m}]$. ✓
**À retenir.**
*Réflexe :* le waist focal $w_0' = \lambda f/(\pi w_0)$ est **d'autant plus petit que le faisceau d'entrée est large** ($w_0$ grand) — pour concentrer la lumière, on remplit la lentille.
La tache focale reste $\gg \lambda$ (limite de diffraction).
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### Question 7 — Puissance surfacique au foyer $P_L$
**Rappel de cours.** Puissance moyenne d'une impulsion : $P = E_L/T_L$ (énergie ÷ durée).
Éclairement (puissance surfacique) : $P_L = P/S$ où $S$ est l'aire du faisceau au point considéré.
**Analyse.**
L'énoncé demande l'éclairement **au foyer** : c'est la section $S \sim \pi w_0'^2$ **du col focalisé** qu'il faut utiliser, pas $w_0$.
**Solution détaillée.** $$ P_L = \frac{E_L}{T_L\,\pi w_0'^2}. $$
**A.N. :** $\pi w_0'^2 = \pi(6{,}4\times10^{-5})^2 \approx 1{,}3\times10^{-8}\,\text{m}^2$, donc $$ P_L = \frac{10^{-3}}{40\times10^{-15}\times1{,}3\times10^{-8}} \approx 2\times10^{18}\,\text{W}\cdot\text{m}^{-2}. $$ $$ \boxed{\,P_L = \dfrac{E_L}{T_L\,\pi w_0'^{\,2}} \approx 2\times10^{18}\,\text{W}\cdot\text{m}^{-2}\,}. $$
**Homogénéité.** $\dfrac{\text{J}}{\text{s}\cdot\text{m}^2} = \text{W}\cdot\text{m}^{-2}$. ✓ (une puissance **surfacique**, jamais des W ni des J·s⁻¹).
**À retenir.**
*Remarque du rapport (Q7) :* l'unité **doit** être $\text{W}\cdot\text{m}^{-2}$ (le jury a vu des « W » et des « J·s⁻¹ » pour une puissance surfacique !) ; et il faut employer $w_0'$ (**au foyer**), pas $w_0$.
Lire précisément « au foyer de la lentille ».
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### Question 8 — Amplitude du champ électrique $E_0$
**Rappel de cours.**
Pour une onde EM plane progressive dans le vide, la valeur moyenne du vecteur de Poynting (l'éclairement) vaut $\langle\Pi\rangle = \dfrac{E_0^2}{2\mu_0 c}$ où $E_0$ est l'amplitude du champ électrique (relation $B_0 = E_0/c$, $\langle\Pi\rangle = \langle E\wedge B\rangle/\mu_0$).
**Analyse.**
On identifie $P_L$ à l'éclairement moyen de l'onde et on inverse pour $E_0$.
**Solution détaillée.** $P_L = \dfrac{E_0^2}{2\mu_0 c} \Rightarrow$ $$ \boxed{\,E_0 = \sqrt{2\mu_0 c\,P_L}\,}. $$
**Homogénéité.** $[\mu_0 c] = \dfrac{\text{T·m·A}^{-1}}{}\cdot\text{m·s}^{-1}$… plus sûrement : $\dfrac{E_0^2}{\mu_0 c}$ doit être en $\text{W·m}^{-2}$, ce qui est la définition même du Poynting ; donc $E_0 = \sqrt{2\mu_0 c P_L}$ est homogène à un champ (V·m⁻¹). ✓
*(A.N. facultative, obtenue proprement en Q9 par proportionnalité : $E_0 \approx 4\times10^{10}\,\text{V·m}^{-1}$.)*
**À retenir.**
*Réflexe :* mémoriser $\langle\Pi\rangle = \dfrac{E_0^2}{2\mu_0 c} = \dfrac12\varepsilon_0 c E_0^2$ (les deux formes sont équivalentes via $\varepsilon_0\mu_0 c^2 = 1$).
C'est le pont universel entre **intensité** et **champ** d'une onde.
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### Question 9 — Ordre de grandeur numérique de $E_0$ par proportionnalité
**Rappel de cours.** *(Programme : flux du vecteur de Poynting ; constante solaire.)*
Le flux surfacique reçu du Soleil hors atmosphère (constante solaire) vaut $\Phi_\odot \approx 1{,}4\times10^{3}\,\text{W·m}^{-2}$, associé à une amplitude $E_\odot = 700\,\text{V·m}^{-1}$.
Comme $\Phi \propto E^2$, on a $E_0/E_\odot = \sqrt{P_L/\Phi_\odot}$.
**Analyse.** On évite ainsi tout calcul avec $\mu_0, c$ (interdit de calculatrice) : simple règle de proportionnalité entre deux ondes.
**Solution détaillée.** $$ E_0 = E_\odot\sqrt{\frac{P_L}{\Phi_\odot}} = 700\times\sqrt{\frac{2\times10^{18}}{1{,}4\times10^{3}}} = 700\times\sqrt{1{,}4\times10^{15}} \approx 700\times3{,}8\times10^{7}. $$ $$ \boxed{\,E_0 \approx 3\times10^{10}\,\text{V·m}^{-1}\,}\quad(\text{soit } \sim 10^{10}\text{–}10^{11}\,\text{V·m}^{-1}). $$
Cohérent avec $\sqrt{2\mu_0 c P_L}$ de Q8.
**Homogénéité :** rapport de deux éclairements sous la racine ⟹ sans dimension ⟹ $E_0$ en V·m⁻¹. ✓
**À retenir.** *Remarque du rapport (Q9) :* la constante solaire ($\sim 1{,}4\,\text{kW·m}^{-2}$) est « presque explicitement » au programme (entre Poynting et effet de serre) ; peu de candidats la connaissent. **Ne pas** assimiler le Soleil à un laser dont le waist serait la Terre (« science-fiction » selon le jury). L'argument de proportionnalité $\Phi\propto E^2$ contourne élégamment l'A.N. sans calculatrice.
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### Question 10 — Champ atomique vu par un électron périphérique
**Rappel de cours.**
Ordre de grandeur d'un atome : rayon $a \sim 10^{-10}\,\text{m}$ (rayon de Bohr $\approx 0{,}5\,\text{Å}$).
Analyse dimensionnelle : une énergie d'ionisation $I_P$ est du même ordre que le travail $\sim e\,E_{\text{at}}\,a$ pour extraire l'électron du champ atomique $E_{\text{at}}$ sur une distance $a$.
**Analyse.**
On estime $E_{\text{at}} \sim I_P/(e a)$ et on le compare à $E_0$.
**Solution détaillée.**
Avec $I_P \sim 10\,\text{eV}$, donc $I_P/e \sim 10\,\text{V}$, et $a \sim 10^{-10}\,\text{m}$ : $$ E_{\text{at}} \sim \frac{I_P}{e\,a} = \frac{10\,\text{V}}{10^{-10}\,\text{m}} = 10^{11}\,\text{V·m}^{-1}. $$ $$ \boxed{\,E_{\text{at}} \sim 10^{11}\,\text{V·m}^{-1}\,}. $$
**Comparaison :** $E_0 \sim 3\times10^{10}\,\text{V·m}^{-1}$ est **du même ordre de grandeur** que $E_{\text{at}}$ (légèrement inférieur, facteur $\sim 3$).
Le champ laser est donc **comparable** au champ qui lie l'électron au noyau : il peut sérieusement déformer le puits atomique et arracher l'électron.
**Homogénéité.** $\dfrac{I_P/e}{a} = \dfrac{\text{V}}{\text{m}} = \text{V·m}^{-1}$. ✓
**À retenir.** *Réflexe :* le rapport « champ laser / champ atomique » gouverne toute la physique de l'ionisation forte. Ici $E_0 \sim E_{\text{at}}$ : on est au seuil du régime de champ fort, condition nécessaire à la HHG.
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### Question 11 — Énergie potentielle de l'électron ; tracé
**Rappel de cours.** *Énergie potentielle :* pour une force $\vec F = -\dfrac{\mathrm dU}{\mathrm dx}\vec e_x$. Coulomb attractif (électron–noyau) : $U_{\text{coul}} = -\dfrac{q^2}{|x|}$.
Force constante $\vec F = -e\vec E = -e(-E_0\vec e_x) = eE_0\vec e_x$ ⟹ $U_{\text{laser}} = -eE_0\,x$ (à une constante près).
**Analyse.**
L'électron (charge $-e$) sur l'axe $Ox$ subit l'attraction du noyau en $O$ et la force uniforme du laser $\vec E = -E_0\vec e_x$.
**Solution détaillée.**
$$ \boxed{\,U(x) = -\frac{q^2}{|x|} - eE_0\,x\,}. $$
*Étude et tracé :*
- **Asymptote verticale** en $x\to 0$ : $U\to -\infty$ (le terme coulombien domine des deux côtés).
- Côté $x<0$ : $-eE_0 x > 0$ croît, et $-q^2/|x|\to 0^-$ quand $x\to-\infty$ ; $U$ **croît vers $+\infty$** (mur montant).
Pas d'extremum de ce côté.
- Côté $x>0$ : $U = -q^2/x - eE_0 x$, somme d'un terme en $-1/x$ et d'un terme linéaire décroissant.
**Asymptote oblique** $U \sim -eE_0 x \to -\infty$.
La dérivée $U'(x) = q^2/x^2 - eE_0$ s'annule en $x_m = \sqrt{q^2/(eE_0)}$ : c'est un **maximum local** (barrière de potentiel) de hauteur $U(x_m) = -2\sqrt{q^2 eE_0}$ (voir Q12).
Le champ laser « incline » le puits coulombien : il crée, du côté $x>0$, une **barrière finie** que l'électron peut franchir (par-dessus si le champ est fort, Q12 ; par effet tunnel sinon, Q13).
```
U(x)
| \ (x<0 : mur montant, ~ -eE0 x)
| \
|__________\____________________________ x
| |\ __.--'' <- barrière (max local en x_m)
| | \ _.'
| (x->0-) | \ .' \
| ->-inf | V \___ (x>0 : asymptote oblique -eE0 x -> -inf)
| x=0
```
**À retenir.** *Remarque du rapport (Q11) :* le jury a été « extrêmement surpris » des difficultés à tracer la **somme d'un terme en $1/x$ et d'un terme linéaire**.
Impératifs : **asymptote verticale** en $0$, **asymptote oblique** à l'infini, **barrière** (maximum local) bien marquée côté $x>0$, axes orientés/gradués.
Un tracé théorique doit refléter les caractéristiques mathématiques ET physiques du système.
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### Question 12 — Champ de saturation $E_{\text{sat}}$
**Rappel de cours.**
Un état lié d'énergie mécanique $E_m$ reste piégé tant que $E_m$ est inférieure au sommet de la barrière de potentiel accessible ; il s'échappe classiquement dès que $E_m \geq U_{\max}$ (barrière « supprimée »).
**Analyse.** L'électron a $E_m = -I_P$.
Il s'échappe (côté $x>0$) si $-I_P \geq U(x_m)$, sommet de la barrière calculé en Q11.
**Solution détaillée.**
Au maximum $x_m = \sqrt{q^2/(eE_0)}$ : $$ U(x_m) = -\frac{q^2}{x_m} - eE_0 x_m = -\sqrt{q^2 eE_0} - \sqrt{q^2 eE_0} = -2\sqrt{q^2 eE_0}. $$
Condition d'échappement classique $-I_P \geq -2\sqrt{q^2 eE_0}$, soit $2\sqrt{q^2 eE_0} \geq I_P$ : $$ q^2 eE_0 \geq \frac{I_P^2}{4} \;\Longrightarrow\; E_0 \geq \frac{I_P^2}{4\,q^2 e} \equiv E_{\text{sat}}. $$ $$ \boxed{\,E_{\text{sat}} = \frac{I_P^{\,2}}{4\,e\,q^2}\,}. $$
Dès que $E_0 > E_{\text{sat}}$, la barrière passe sous le niveau $-I_P$ : plus rien ne retient l'électron, il part à l'infini (ionisation par suppression de barrière).
**Homogénéité.** $q^2 = $ énergie×longueur ; $e E_{\text{sat}} \cdot (\text{longueur}) = $ énergie.
Le produit $q^2 e E_0$ a la dimension (énergie·longueur)·(charge)·(champ) = (énergie·longueur)·(énergie/longueur) = énergie² ; donc $\sqrt{q^2 e E_0}$ est une énergie, homogène à $I_P$. ✓ Et $E_{\text{sat}} = I_P^2/(4q^2 e)$ est bien un champ.
**À retenir.**
*Réflexe :* le seuil de suppression de barrière s'obtient en égalant l'énergie de l'état lié au **sommet** de la barrière (annuler $U'$ pour localiser $x_m$).
Résultat élégant : $E_{\text{sat}} \propto I_P^2$.
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### Question 13 — Effet quantique d'échappement sous le seuil
**Rappel de cours.** *Effet tunnel :* une particule quantique peut traverser une barrière de potentiel finie même si son énergie est inférieure au sommet, avec une probabilité non nulle décroissant exponentiellement avec l'épaisseur et la hauteur de la barrière.
**Analyse.** Pour $E_0 < E_{\text{sat}}$, la barrière subsiste (Q11) mais reste finie.
**Solution détaillée.** L'effet responsable est l'**effet tunnel** : l'électron traverse la barrière finie créée par l'inclinaison du puits coulombien, avec une certaine probabilité, même si $E_0 < E_{\text{sat}}$. C'est le mécanisme d'**ionisation tunnel**, à la base de la HHG.
**À retenir.** *Remarque du rapport (Q12–13) :* l'effet tunnel a été « plébiscité avec raison ». Le jury note qu'invoquer le tunnel **aurait dû alerter** sur Q11 : s'il n'y avait pas de barrière sur le tracé, il n'y aurait rien à traverser. *Cohérence entre questions : un tracé faux se trahit à la question suivante.*
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### Question 14 — Équation du mouvement en champ oscillant
**Rappel de cours.** PFD 1D : $m\ddot x = \sum F_x$.
Force laser $\vec F = -e\vec E(t)$ ; force de Coulomb toujours dirigée vers $O$ : $F_{\text{coul},x} = -q^2\,\dfrac{\operatorname{sgn}(x)}{x^2}$ (attraction).
**Analyse.**
Avec $\vec E(t) = -E_0\sin(\omega t)\vec e_x$, la force laser vaut $F_{\text{laser},x} = (-e)(-E_0\sin\omega t) = eE_0\sin\omega t$.
Le signe du terme coulombien dépend du côté ($x>0$ ou $x<0$).
**Solution détaillée.** $$ \boxed{\;\begin{aligned} \text{pour } x>0 :&\quad m\ddot x = -\frac{q^2}{x^2} + eE_0\sin\omega t,\\[2pt] \text{pour } x<0 :&\quad m\ddot x = +\frac{q^2}{x^2} + eE_0\sin\omega t. \end{aligned}\;} $$
Le terme coulombien change de signe en $x=0$ (toujours rappel vers $O$), le terme forcé $eE_0\sin\omega t$ est commun aux deux.
**Homogénéité.** $q^2/x^2 = (\text{énergie·longueur})/\text{longueur}^2 = \text{énergie/longueur} = $ force ; $eE_0 = $ charge×champ $=$ force. ✓
**À retenir.** *Remarque du rapport (Q14) :* question « convenablement traitée », mais trop de candidats **n'ont pas vérifié la cohérence** de signe avec Q11 (la même force $eE_0$ apparaît). *Signes : écrire la force laser comme $-e\vec E$ et vérifier le sens sur un cas simple.*
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### Question 15 — Symétrie $x(t+T/2) = -x(t)$
**Rappel de cours.** Une symétrie de l'équation du mouvement se transmet à sa solution périodique **unique** (le régime forcé).
Ici, chercher comment se transforme l'équation sous $t\mapsto t+T/2$ et $x\mapsto -x$.
**Analyse.** Le champ vérifie $E(t+T/2) = -E_0\sin(\omega t+\pi) = +E_0\sin\omega t = -E(t)$ : il **change de signe** à la demi-période. Le terme coulombien est **impair** en $x$.
**Solution détaillée.** Posons $y(t) = -x(t+T/2)$.
Comme $\ddot y(t) = -\ddot x(t+T/2)$ et que la force totale $F(x,t) = F_{\text{coul}}(x) + eE_0\sin\omega t$ vérifie $$ F(-x,\,t+T/2) = \underbrace{F_{\text{coul}}(-x)}_{=-F_{\text{coul}}(x)} + eE_0\sin(\omega t+\pi) = -F_{\text{coul}}(x) - eE_0\sin\omega t = -F(x,t), $$ la fonction $y(t)$ obéit **à la même équation** que $x(t)$ : $m\ddot y = -m\ddot x(t+T/2) = -F(x(t+T/2),t+T/2) = F(-x(t+T/2),t) = F(y,t)$.
Comme le régime forcé $T$-périodique est unique, $y = x$, c'est-à-dire : $$ \boxed{\,x(t+T/2) = -x(t)\,}. $$
C'est la **symétrie demi-onde** : imposée par le fait que le champ est identique à lui-même, au signe près, après $T/2$.
**À retenir.** *Réflexe :* pour justifier une symétrie du régime forcé, on montre que la transformée de la solution obéit à la même EDO, puis on invoque **l'unicité** de la solution périodique. C'est la clé de Q16.
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### Question 16 — Harmoniques compatibles
**Rappel de cours.** Série de Fourier $x(t) = \sum_n c_n e^{in\omega t}$.
Une condition de symétrie sur $x$ sélectionne certains rangs $n$.
**Analyse.** On impose $x(t+T/2) = -x(t)$ terme à terme.
**Solution détaillée.** $x(t+T/2) = \sum_n c_n e^{in\omega(t+T/2)} = \sum_n c_n e^{in\pi}e^{in\omega t} = \sum_n (-1)^n c_n e^{in\omega t}$.
La condition $x(t+T/2) = -x(t)$ impose $(-1)^n c_n = -c_n$ pour tout $n$, soit $c_n = 0$ dès que $n$ est **pair**.
Il ne subsiste que les
$$ \boxed{\text{harmoniques de rang } n \text{ impair}}. $$
**À retenir.** *Remarque du rapport (Q16) :* ne pas confondre **parité de la fonction** et **parité du rang**. Ici, c'est la **symétrie demi-onde** $x(t+T/2)=-x(t)$ (et non une simple parité) qui élimine les harmoniques paires. C'est pourquoi la HHG ne produit que des harmoniques **impaires** (cf. figures 3 et 4).
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### Question 17 — Solution générale sans le champ du noyau
**Rappel de cours.** EDO linéaire du 2ᵉ ordre à second membre : solution générale = **solution particulière + solution de l'équation homogène**.
Ici l'homogène $\ddot x = 0$ donne $x_h = C_1 t + C_2$.
**Analyse.** On néglige le noyau : $m\ddot x = eE_0\sin\omega t$. Électron « libre » dans le seul champ laser.
**Solution détaillée.** $\ddot x = \dfrac{eE_0}{m}\sin\omega t$.
On intègre deux fois : $$ \dot x(t) = -\frac{eE_0}{m\omega}\cos\omega t + C_1,\qquad x(t) = -\frac{eE_0}{m\omega^2}\sin\omega t + C_1 t + C_2. $$ $$ \boxed{\,x(t) = -\frac{eE_0}{m\omega^2}\sin\omega t + C_1\,t + C_2\,},\qquad (C_1,C_2)\in\mathbb R^2. $$
**Homogénéité.** $\dfrac{eE_0}{m\omega^2} = \dfrac{\text{force}}{\text{masse}\cdot\text{s}^{-2}} = \dfrac{\text{m·s}^{-2}}{\text{s}^{-2}} = \text{m}$. ✓
**À retenir.** *Remarque du rapport (Q17) :* erreur fréquente — oublier que la solution générale contient **deux constantes** ($C_1 t + C_2$), et se contenter d'une primitive du second membre. Le terme $C_1 t$ (dérive) est physiquement crucial (électrons qui s'échappent, Q20).
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### Question 18 — Énergie cinétique moyenne (pondéromotrice) $U_P$
**Rappel de cours.**
Énergie cinétique $E_c = \tfrac12 m\dot x^2$ ; valeur moyenne temporelle avec $\langle\cos^2\omega t\rangle = \tfrac12$.
**Analyse.** En régime forcé **périodique**, la solution ne doit pas dériver : $C_1 = 0$. Alors $\dot x = -\dfrac{eE_0}{m\omega}\cos\omega t$.
**Solution détaillée.** $$ U_P = \left\langle \tfrac12 m\dot x^2\right\rangle = \tfrac12 m\left(\frac{eE_0}{m\omega}\right)^2\langle\cos^2\omega t\rangle = \tfrac12 m\,\frac{e^2E_0^2}{m^2\omega^2}\cdot\tfrac12. $$ $$ \boxed{\,U_P = \frac{e^2 E_0^2}{4\,m\,\omega^2} = \frac{(eE_0)^2}{4m\omega^2}\,}. $$
**Homogénéité.** $\dfrac{(eE_0)^2}{m\omega^2} = \dfrac{\text{force}^2}{\text{masse}\cdot\text{s}^{-2}} = \dfrac{(\text{kg·m·s}^{-2})^2}{\text{kg·s}^{-2}} = \text{kg·m}^2\text{s}^{-2} = $ J. ✓
**À retenir.**
*Réflexe :* $U_P$ (énergie **pondéromotrice**) est l'énergie cinétique de vibration moyenne de l'électron libre dans le champ ; elle croît comme $E_0^2/\omega^2$ (donc $\propto$ intensité × $\lambda^2$).
C'est l'échelle d'énergie qui fixe la coupure du spectre (Q26).
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### Question 19 — Intégration avec conditions initiales $(t_i, x=0, \dot x=0)$
**Rappel de cours.**
On fixe $C_1, C_2$ par les conditions initiales : l'électron naît à l'instant $t_i$ à l'origine ($x(t_i)=0$), sans vitesse ($\dot x(t_i)=0$).
**Analyse.** On part de la solution générale de Q17.
**Solution détaillée.** $\dot x(t) = \dfrac{eE_0}{m\omega}\big(\cos\omega t_i - \cos\omega t\big)$ (imposé par $\dot x(t_i)=0$).
En intégrant avec $x(t_i)=0$ : $$ \boxed{\,x(t) = \frac{eE_0}{m\omega^2}\Big[\sin\omega t_i - \sin\omega t + \omega(t-t_i)\cos\omega t_i\Big]\,}. $$
*Vérifications :* $x(t_i) = \frac{eE_0}{m\omega^2}[\sin\omega t_i - \sin\omega t_i + 0] = 0$ ✓ ; $\dot x(t_i) = \frac{eE_0}{m\omega}[\cos\omega t_i - \cos\omega t_i] = 0$ ✓.
**Homogénéité.** Préfacteur $\frac{eE_0}{m\omega^2}$ en mètres, crochet sans dimension. ✓
**À retenir.**
*Réflexe :* le terme de **dérive** $\dfrac{eE_0}{m\omega^2}\,\omega(t-t_i)\cos\omega t_i$ porte tout le comportement à temps long ; il s'annule si $\cos\omega t_i = 0$ (naissance à un extremum du champ, $t_i = T/4$) — l'électron reste alors piégé (Q20).
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### Question 20 — Tracé de $x(t/T)$ pour $t_i = 0,\ T/4,\ T/2$
**Rappel de cours.** Distinguer trajectoire **liée** (bornée) et **dérivante** selon le terme $\propto\cos\omega t_i$.
**Analyse.**
On spécialise Q19, en posant $X = \dfrac{eE_0}{m\omega^2}$ et $\tau = t/T$ ($\omega t = 2\pi\tau$).
**Solution détaillée.**
- **$t_i = 0$** ($\cos=1,\sin=0$) : $x = X[\,-\sin\omega t + \omega t\,]$.
Dérive croissante $\sim X\omega t$ modulée d'oscillations : l'électron **s'éloigne** vers $x>0$.
- **$t_i = T/4$** ($\omega t_i = \pi/2$, $\cos=0,\sin=1$) : $x = X[\,1-\sin\omega t\,]$.
**Borné**, oscille entre $0$ et $2X$, **pas de dérive** : l'électron reste au voisinage du noyau (ne s'échappe pas).
- **$t_i = T/2$** ($\omega t_i=\pi$, $\cos=-1,\sin=0$) : $x = X[\,-\sin\omega t - \omega(t-T/2)\,]$.
Dérive **vers $x<0$** : l'électron part du côté opposé.
Trois courbes **distinctes**, tracées pour $\tau$ de $t_i/T$ à $1{,}5$ : deux dérivent (en sens opposés), une reste bornée.
Axes $x$ (en unité $X$) vs $t/T$ orientés et gradués.
```
x/X
4| t_i=0 (dérive +)
3| _/
2| _/ __ t_i=T/4 (borné, oscille 0..2)
1| __--' \ / \
0|__/____________\/____\_______ t/T
-1| \
-2| \__ t_i=T/2 (dérive -)
-3| \_
```
**À retenir.** *Remarque du rapport (Q20) :* ne **pas recopier la figure 1** ; tracer les **trois** courbes en tenant compte du décalage temporel $t_i$ imposé. Les allures doivent être **différentes** (dérives opposées + une trajectoire liée). Le sort de l'électron (piégé ou libre) se lit sur le signe de $\cos\omega t_i$.
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### Question 21 — Équation du temps de retour $t_r$
**Rappel de cours.**
L'électron « revient » quand il repasse par l'origine : $x(t_r) = 0$ avec $t_r > t_i$.
**Analyse.** On annule l'expression de Q19.
**Solution détaillée.** $$ \boxed{\,\sin\omega t_i - \sin\omega t_r + \omega(t_r - t_i)\cos\omega t_i = 0\,}. $$
Équation transcendante en $t_r$ (à $t_i$ fixé), qu'on ne cherche pas à résoudre analytiquement.
**À retenir.**
*Réflexe :* le « temps de retour » est la racine $t_r>t_i$ de $x(t)=0$.
Selon $t_i$, elle existe (trajectoires de recombinaison) ou non (électron qui ne revient jamais, cf. $t_i = 0$).
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### Question 22 — Pulsation du photon émis (modèle en trois étapes)
**Rappel de cours.**
*Relation de Planck–Einstein :* un photon d'énergie $\mathcal E$ a la pulsation $\omega_{\text{ph}} = \mathcal E/\hbar$.
*Modèle en trois étapes :* (1) ionisation tunnel, (2) excursion dans le champ, (3) recombinaison radiative.
**Analyse.** L'énergie libérée à la recombinaison est $I_P + E_c(t_r)$ (énergie de liaison récupérée + énergie cinétique acquise), rayonnée en **un** photon.
**Solution détaillée.** $\hbar\omega_{\text{ph}} = I_P + E_c(t_r)$, d'où : $$ \boxed{\,\omega_{\text{ph}} = \frac{I_P + E_c(t_r)}{\hbar}\,}. $$
**Homogénéité.** $(\text{énergie})/(\text{J·s}) = \text{s}^{-1}$. ✓
**À retenir.**
*Réflexe :* c'est **l'énergie cinétique de retour** $E_c(t_r)$ qui, ajoutée à $I_P$, fixe l'énergie du photon — donc le rang de l'harmonique.
Plus $E_c(t_r)$ est grand, plus l'harmonique est élevée (jusqu'à la coupure, Q26).
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### Question 23 — Courbes d'énergie cinétique extrémale (figure 1)
**Rappel de cours.** $E_c(t_r) = \tfrac12 m\dot x(t_r)^2$, avec $\dot x(t_r) = \dfrac{eE_0}{m\omega}(\cos\omega t_i - \cos\omega t_r)$ (Q19).
**Analyse.**
On compare les quatre trajectoires $t_i \in \{0{,}26\,;\,0{,}30\,;\,0{,}35\,;\,0{,}40\}\,T$ de la figure 1 en évaluant $(\cos\omega t_i - \cos\omega t_r)^2$ à leur retour respectif (calcul numérique du temps de retour de Q21).
**Solution détaillée.**
En résolvant Q21 pour chaque $t_i$ et en reportant dans $E_c(t_r) = 2U_P(\cos\omega t_i-\cos\omega t_r)^2$ (Q24), on obtient :
| $t_i$ | $t_r$ | $E_c(t_r)/U_P$ |
|------|------|----------------|
| $0{,}26\,T$ | $1{,}12\,T$ | $1{,}3$ |
| $\mathbf{0{,}30\,T}$ | $0{,}95\,T$ | $\mathbf{3{,}17}$ (**max**) |
| $0{,}35\,T$ | $0{,}82\,T$ | $2{,}0$ |
| $\mathbf{0{,}40\,T}$ | $0{,}70\,T$ | $\mathbf{0{,}55}$ (**min**) |
- **Énergie cinétique de retour MAXIMALE : courbe $t_i = 0{,}30\,T$** (valeur $\approx 3{,}17\,U_P$, la fameuse coupure).
- **Énergie cinétique de retour MINIMALE : courbe $t_i = 0{,}40\,T$** (parmi les quatre).
**À retenir.**
*Réflexe :* le maximum universel $E_c^{\max}\approx 3{,}17\,U_P$ (« cutoff » de la HHG) est atteint pour un instant d'ionisation situé peu après un maximum du champ. *(Résultat vérifié numériquement : le maximum sur tous les $t_i$ vaut $3{,}17\,U_P$ à $t_i = 0{,}30\,T$.)*
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### Question 24 — Expression de $E_c(t_r)$
**Rappel de cours.** $E_c = \tfrac12 m\dot x^2$ et $U_P = (eE_0)^2/(4m\omega^2)$ (Q18).
**Analyse.** On évalue la vitesse de retour à partir de Q19.
**Solution détaillée.** $\dot x(t_r) = \dfrac{eE_0}{m\omega}(\cos\omega t_i - \cos\omega t_r)$, donc $$ E_c(t_r) = \tfrac12 m\left(\frac{eE_0}{m\omega}\right)^2(\cos\omega t_i - \cos\omega t_r)^2 = \frac{(eE_0)^2}{2m\omega^2}(\cos\omega t_i - \cos\omega t_r)^2. $$
Comme $\dfrac{(eE_0)^2}{2m\omega^2} = 2U_P$ : $$ \boxed{\,E_c(t_r) = 2\,U_P\,\big(\cos\omega t_i - \cos\omega t_r\big)^2\,}. $$
**Homogénéité.** $U_P$ est une énergie, le facteur $(\cos-\cos)^2$ est sans dimension. ✓
**À retenir.**
*Réflexe :* toute l'énergétique du modèle se ramène à $U_P$ et aux **phases** $\omega t_i,\ \omega t_r$.
Le maximum de $(\cos\omega t_i-\cos\omega t_r)^2$ sous la contrainte de retour (Q21) donne le facteur $\approx 1{,}59$ ⟹ $E_c^{\max} = 2\times1{,}59\,U_P \approx 3{,}17\,U_P$.
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### Question 25 — Report des valeurs de $t_i$ sur la figure 2
**Rappel de cours.**
La figure 2 trace $E_c/U_P$ en fonction de $t_r/T$.
À chaque $t_r$ correspond, via Q21, un ou plusieurs $t_i$.
**Analyse.** On utilise le tableau de Q23 pour placer les $t_i$ le long de la courbe. La courbe présente **deux branches** (« trajectoires courtes » et « trajectoires longues ») se rejoignant au sommet (coupure $\approx 3{,}17\,U_P$).
**Solution détaillée.** En parcourant $t_r$ croissant :
- **Petits $t_r$ (branche montante, $t_r \approx 0{,}7\,T$)** : correspond à $t_i \approx 0{,}40\,T$ (énergie faible, $\sim 0{,}55\,U_P$) — **électron émis tard, revenant vite** (trajectoire « longue » en phase).
- **Vers le sommet ($t_r \approx 0{,}95\,T$, $E_c \approx 3{,}17\,U_P$)** : $t_i \approx 0{,}30\,T$ — **maximum** (coupure).
- **Branche redescendante ($t_r \approx 1{,}1\,T$)** : $t_i \approx 0{,}26\,T$ (retour à $\sim 1{,}3\,U_P$) — **électron émis tôt** (trajectoire « courte »).
- Intermédiaire : $t_i = 0{,}35\,T \to t_r \approx 0{,}82\,T$, $E_c \approx 2\,U_P$.
On annote donc la courbe : le sommet ($\approx 3{,}17\,U_P$) porte $t_i \approx 0{,}30\,T$ ; de part et d'autre, les $t_i$ diminuent (branche des $t_r$ élevés, $t_i \to 0{,}26\,T$) ou augmentent (branche des $t_r$ faibles, $t_i \to 0{,}40\,T$).
**À retenir.** *Réflexe :* deux instants de naissance $t_i$ distincts peuvent donner la **même** énergie de retour (trajectoires courte/longue) : c'est la double branche de la figure 2, essentielle pour comprendre la structure du spectre.
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### Question 26 — Interprétation de la figure 3 et rang maximal $n_{\max}$
**Rappel de cours.** Spectre HHG (échelle log) : **plateau** d'harmoniques d'intensités comparables, terminé par une **coupure** brutale (cutoff). Rang d'une harmonique : $\hbar(n\omega) = $ énergie du photon (Q22).
**Analyse.** L'allure « plateau + coupure » traduit que toutes les harmoniques du plateau sont émises avec des efficacités voisines, jusqu'à l'énergie maximale $I_P + E_c^{\max}$.
**Solution détaillée.**
- *Interprétation :* les nombreux pics d'intensité comparable = le **plateau** ; la chute brutale à haute fréquence = la **coupure**, fixée par l'énergie maximale de recombinaison $I_P + E_c^{\max}$. Seules les harmoniques impaires apparaissent (Q16).
- *Condition de Q3 :* le plateau s'étend bien **au-delà du rang $\sim 18$** (période $< T_e$) — la condition est **vérifiée**.
- *Rang maximal :* $\hbar(n_{\max}\,\omega) = I_P + E_c^{\max}$ avec $E_c^{\max} \approx 3{,}2\,U_P$ (lu sur la figure 2, $\approx 3{,}17\,U_P$) : $$ \boxed{\,n_{\max} \approx \frac{I_P + 3{,}2\,U_P}{\hbar\,\omega}\,}. $$
**Homogénéité.** $(\text{énergie})/(\hbar\omega = \text{énergie})$ ⟹ sans dimension (un rang). ✓
**À retenir.** *Réflexe :* la **loi de coupure** $\hbar\omega_{\max} = I_P + 3{,}17\,U_P$ est le résultat central de la HHG. Puisque $U_P \propto I\lambda^2$, on étend le plateau en augmentant l'intensité ou la longueur d'onde du laser.
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## Partie II — Mesure de la durée de l'impulsion
### Question 27 — Puissance instantanée $I(t)$
**Rappel de cours.** *Représentation complexe :* une superposition d'harmoniques réelles s'écrit $a(t) = \operatorname{Re}\big[\sum_q A_q e^{i(q\omega t+\varphi_q)}\big]$. La puissance instantanée est proportionnelle au **module carré** du signal analytique : $I(t) \propto \big|\sum_q A_q e^{i(q\omega t+\varphi_q)}\big|^2$.
**Analyse.** On développe le module carré ; l'invariance par changement d'origine des temps explique la dépendance en différences de phase.
**Solution détaillée.**
En posant $c_q = A_q e^{i\varphi_q}$ : $$ I(t) \propto \Big|\sum_q A_q e^{i(q\omega t+\varphi_q)}\Big|^2 = \sum_{q,q'} A_q A_{q'}\,e^{i[(q-q')\omega t + (\varphi_q-\varphi_{q'})]} = \sum_{q,q'} A_q A_{q'}\cos\big[(q-q')\omega t + (\varphi_q - \varphi_{q'})\big]. $$ $$ \boxed{\,I(t) \propto \sum_{q,q'} A_q A_{q'}\cos\big[(q-q')\omega t + (\varphi_q - \varphi_{q'})\big]\,}. $$
*Dépendance en différences de phase :* seules les combinaisons $\varphi_q - \varphi_{q'}$ apparaissent.
Physiquement, ajouter une phase globale $\varphi_q \to \varphi_q + \phi_0$ à toutes les harmoniques revient à décaler l'origine des temps, ce qui ne change pas la **forme** de $I(t)$ ; seules les phases **relatives** sont observables.
**À retenir.** *Remarque du rapport (Q27) :* bien **prendre la partie réelle** de $A\,A^\star$ (le jury insiste).
*Réflexe :* $I(t) = |{\sum}|^2$ ne dépend que des phases relatives — c'est ce qui rend la mesure des $\varphi_{q+2}-\varphi_q$ (RABBITT) suffisante pour reconstruire l'impulsion.
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### Question 28 — $N$ harmoniques identiques : pics et largeur (fonction d'Airy)
**Rappel de cours.**
*Interférences à $N$ ondes (réseau) :* $\Big|\sum_{k=0}^{N-1} e^{ik\psi}\Big|^2 = \dfrac{\sin^2(N\psi/2)}{\sin^2(\psi/2)}$ — la **fonction d'Airy** (intensité derrière un réseau à $N$ fentes).
Maxima principaux (valeur $N^2$) là où $\psi = 2k\pi$ ; premier zéro à $\psi = 2\pi/N$.
**Analyse.**
Amplitudes et phases identiques ($A_q = A$, $\varphi_q$ constant), $q$ de $n$ à $n+N-1$.
On identifie $\psi = \omega t$.
**Solution détaillée.**
$$ I(t) \propto A^2\Big|\sum_{q=n}^{n+N-1} e^{iq\omega t}\Big|^2 = A^2\,\frac{\sin^2(N\omega t/2)}{\sin^2(\omega t/2)}. $$
- **Maxima principaux** (intensité $\propto A^2 N^2$) là où $\omega t/2 = k\pi$, c.-à-d. $t = k\,\dfrac{2\pi}{\omega} = kT$ : **pics espacés de $T = 2\pi/\omega$.**
- **Demi-largeur** : premier zéro adjacent quand $N\omega t/2 = \pi$, soit $\Delta t = \dfrac{2\pi}{N\omega} = \dfrac{T}{N}$ : $$ \boxed{\,\Delta t = \frac{T}{N}\,}. $$
Pour $N\gg1$, les pics sont **étroits** ($\Delta t = T/N \ll T$) et intenses : c'est la synthèse d'un **train d'impulsions attosecondes**.
**Homogénéité.** $\Delta t = T/N$ est bien un temps. ✓
**À retenir.** *Remarque du rapport (Q28) :* alors que l'intensité derrière un **réseau** est explicitement au programme, cette question a « énormément » posé problème ; « rarissimes » sont ceux ayant reconnu la **fonction d'Airy**.
*Réflexe :* superposer $N$ harmoniques en phase ⟺ réseau à $N$ fentes ⟺ pics de largeur $\propto 1/N$.
Plus on somme d'harmoniques, plus l'impulsion est brève.
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### Question 29 — Décalage temporel par phase en progression arithmétique
**Rappel de cours.** Une phase linéaire en fréquence correspond à un **retard temporel** (théorème du retard de la transformée de Fourier).
**Analyse.**
Phases $\varphi_q = q\alpha$ (progression arithmétique de raison $\alpha$), amplitudes identiques.
**Solution détaillée.** $$ I(t) \propto A^2\Big|\sum_q e^{i(q\omega t + q\alpha)}\Big|^2 = A^2\Big|\sum_q e^{iq(\omega t + \alpha)}\Big|^2 = A^2\,\frac{\sin^2\!\big(N(\omega t+\alpha)/2\big)}{\sin^2\!\big((\omega t+\alpha)/2\big)}. $$
C'est la fonction de Q28 où $\omega t \to \omega t + \alpha$ : les pics se produisent maintenant en $\omega t + \alpha = 2k\pi$, soit $t = kT - \alpha/\omega$.
**La position temporelle des pics est décalée de $-\alpha/\omega$** (translation rigide du train d'impulsions), sans changement de forme ni de largeur. $$ \boxed{\,\text{décalage } \delta t = -\frac{\alpha}{\omega}\ \ (\varphi_q = q\alpha)\,}. $$
**À retenir.** *Réflexe :* **phase linéaire ⟺ retard temporel**. Une progression arithmétique des phases déplace l'impulsion dans le temps ; c'est exactement l'information que RABBITT extrait (via $\varphi_{q+2}-\varphi_q$) pour reconstruire l'instant d'émission.
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### Question 30 — Énergie d'un photon de rang $q$
**Rappel de cours.**
Relation de Planck–Einstein : $E = \hbar\omega$ ; harmonique de rang $q$ ⟹ pulsation $q\omega$.
**Solution détaillée.** $$ \boxed{\,E_q = q\,\hbar\,\omega = q\,h\nu\,}. $$
**Homogénéité.** $\hbar\omega = (\text{J·s})(\text{s}^{-1}) = \text{J}$. ✓
**À retenir.** *Remarque du rapport (Q30) :* « relation bien connue des candidats ». Point d'ancrage pour toute la spectroscopie qui suit.
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### Question 31 — Composante à $(q+1)\omega$ (transition à deux photons)
**Rappel de cours.** Produit de cosinus en **représentation complexe** : $\cos a = \tfrac12(e^{ia}+e^{-ia})$. Un produit de deux amplitudes fait apparaître des fréquences **somme** et **différence** ; on isole celle voulue.
**Analyse.** $A_p(t) = \cos(q\omega t+\varphi_q) + \cos((q+2)\omega t + \varphi_{q+2})$ (deux harmoniques impaires voisines) ; $A_s(t) = \cos(\omega(t+\tau))$ (sonde).
On cherche les termes de $A_p A_s$ variant comme $e^{i(q+1)\omega t}$ (bande latérale « sideband » à l'énergie $E_{q+1}-I_P$).
**Solution détaillée.** Un facteur $e^{i(q+1)\omega t}$ s'obtient de deux façons :
- **$q\omega + \omega$** : harmonique $q$ (absorption) × sonde $+\omega$ (absorption) ⟹ $\tfrac12 e^{i(q\omega t+\varphi_q)}\cdot\tfrac12 e^{i\omega(t+\tau)} = \tfrac14 e^{i(q+1)\omega t}\,e^{i(\varphi_q + \omega\tau)}$.
- **$(q+2)\omega - \omega$** : harmonique $q+2$ (absorption) × sonde $-\omega$ (émission stimulée) ⟹ $\tfrac12 e^{i((q+2)\omega t+\varphi_{q+2})}\cdot\tfrac12 e^{-i\omega(t+\tau)} = \tfrac14 e^{i(q+1)\omega t}\,e^{i(\varphi_{q+2}-\omega\tau)}$.
La composante en $e^{i(q+1)\omega t}$ vaut donc : $$ \boxed{\,\frac14\,e^{i(q+1)\omega t}\Big[e^{i(\varphi_q + \omega\tau)} + e^{i(\varphi_{q+2} - \omega\tau)}\Big]\,}. $$
**À retenir.** *Réflexe :* deux **chemins quantiques** aboutissent à la même bande latérale $(q+1)$ — c'est la signature d'une **interférence à deux photons**. La représentation complexe isole proprement la fréquence voulue (bien plus sûr que les formules de Simpson).
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### Question 32 — Probabilité, tracé, interférence à deux photons
**Rappel de cours.**
L'amplitude de probabilité étant $\propto$ à la composante isolée, la **probabilité** est son module carré : $P \propto |z_1 + z_2|^2 = |z_1|^2+|z_2|^2 + 2\operatorname{Re}(z_1 z_2^\star)$.
**Analyse.** On prend le module carré du crochet de Q31.
**Solution détaillée.** $$ P(\tau) \propto \Big|e^{i(\varphi_q+\omega\tau)} + e^{i(\varphi_{q+2}-\omega\tau)}\Big|^2 = 2 + 2\cos\big[(\varphi_q+\omega\tau) - (\varphi_{q+2}-\omega\tau)\big], $$ $$ \boxed{\,P(\tau) \propto 1 + \cos\big[2\omega\tau - (\varphi_{q+2}-\varphi_q)\big]\,}. $$
*Tracé :* sinusoïde en $\tau$, de valeur moyenne non nulle, oscillant entre $0$ et un maximum, de **période $\pi/\omega = T/2$**, décalée horizontalement de $(\varphi_{q+2}-\varphi_q)/(2\omega)$.
*Interférence à deux photons :* les **deux chemins** menant à la bande latérale $(q+1)$ interfèrent ; leur déphasage relatif $2\omega\tau - (\varphi_{q+2}-\varphi_q)$ dépend du retard $\tau$, d'où l'oscillation de $P(\tau)$.
*Intervalle entre maxima :* $2\omega\Delta\tau = 2\pi \Rightarrow \boxed{\Delta\tau = \dfrac{\pi}{\omega} = \dfrac{T}{2}}$.
**Homogénéité.** $2\omega\tau$ sans dimension (argument de cosinus). ✓ $\Delta\tau = T/2$ est un temps. ✓
**À retenir.**
*Réflexe :* la modulation en $\cos(2\omega\tau - \Delta\varphi)$ à la période $T/2$ est le cœur de RABBITT : mesurer la **phase** de cette oscillation donne accès à $\varphi_{q+2}-\varphi_q$, donc au profil temporel de l'impulsion.
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### Question 33 — Lecture de la figure 4 (pics pairs / impairs)
**Rappel de cours.**
Photoélectrons directs (un photon harmonique de rang impair $q$) ⟹ pics d'énergie $E_q - I_P$ **indépendants** de $\tau$.
Bandes latérales (rang pair $q+1$, deux photons) ⟹ pics **oscillant** en $\tau$ (Q32).
**Analyse.**
Sur la figure 4 (nombre de photoélectrons vs $\tau$ et $q$), on distingue les lignes $q$ impair et $q$ pair.
**Solution détaillée.**
- **$q$ impair** (harmoniques directes) : lignes horizontales **constantes** en $\tau$ (transitions à un photon, indépendantes de la sonde).
- **$q$ pair** (bandes latérales $q+1$) : intensité **oscillant** en $\tau$ à la période $T/2$ (interférence à deux photons, Q32).
*Vérification de $T$ :* la période des oscillations selon $\tau$ vaut $T/2$ ; on en déduit $T$, à comparer à $T = 2{,}7\,\text{fs}$ de Q3 — **compatible** (l'espacement $T/2 \approx 1{,}3\,\text{fs}$ des franges correspond bien au demi-cycle du laser à $800\,\text{nm}$).
**À retenir.** *Réflexe :* dans une carte RABBITT, **lignes fixes = harmoniques (impaires)**, **franges oscillantes = bandes latérales (paires)**. La période $T/2$ des franges recoupe la période du laser : contrôle de cohérence interne.
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### Question 34 — Vérifier que $\varphi_{q+2}-\varphi_q$ est indépendant de $q$
**Rappel de cours.**
La phase de l'oscillation $P(\tau) \propto 1+\cos[2\omega\tau - (\varphi_{q+2}-\varphi_q)]$ (Q32) est portée par la position des maxima en $\tau$.
**Analyse.**
Si $\varphi_{q+2}-\varphi_q$ ne dépend pas de $q$, toutes les bandes latérales oscillent **en phase**.
**Solution détaillée.**
Sur la figure 4, on regarde les **positions ($\tau$) des maxima** des différentes bandes latérales (lignes $q$ paires) : si $\varphi_{q+2}-\varphi_q$ est indépendant de $q$, les franges des différentes bandes sont **alignées verticalement** (mêmes valeurs de $\tau$ pour leurs maxima).
Un décalage progressif des maxima d'une bande à l'autre signalerait au contraire une dépendance en $q$. $$ \boxed{\text{franges des bandes latérales alignées en } \tau \iff \varphi_{q+2}-\varphi_q \text{ indépendant de } q}. $$
**À retenir.** *Réflexe :* « phases relatives constantes » ⟺ « franges alignées ». C'est le critère visuel direct sur la carte RABBITT.
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### Question 35 — Estimation de la durée de l'impulsion
**Rappel de cours.**
Si $\varphi_{q+2}-\varphi_q$ est constant, les phases $\varphi_q$ sont en **progression arithmétique** ⟹ (Q29) impulsion **limitée par transformée de Fourier** : durée $\sim$ (largeur d'un pic de Q28).
**Analyse.**
Les harmoniques impaires du plateau (rangs espacés de $2$) forment un train d'impulsions ; la durée de chaque impulsion est fixée par le **nombre $N$ d'harmoniques** et la période de battement.
**Solution détaillée.**
Les harmoniques impaires (espacées de $2\omega$) engendrent un train de période $T/2$ ; la largeur d'une impulsion est $\sim \dfrac{T/2}{N} = \dfrac{T}{2N}$ où $N$ est le nombre d'harmoniques du plateau.
Avec un plateau typique de rang $\sim 19$ à $\sim 40$ (soit $N \sim 10$ harmoniques impaires) et $T \approx 2{,}7\,\text{fs}$ : $$ \Delta t \sim \frac{T}{2N} \sim \frac{2{,}7\times10^{-15}}{2\times10} \approx 1\times10^{-16}\,\text{s} \;\sim\; 100\ \text{as}. $$ $$ \boxed{\,\Delta t \sim 10^{-16}\,\text{s} \approx \text{quelques centaines d'attosecondes}\,}. $$
**Homogénéité.** $T/(2N)$ est un temps. ✓
**À retenir.**
*Réflexe :* impulsion limitée par transformée de Fourier ⟹ durée $\sim 1/$(largeur spectrale) $\sim T/(2N)$.
C'est bien le régime attoseconde annoncé (la « science attoseconde »), et cela boucle avec $T_e$ de Q1.
> **[Point non entièrement établi : le nombre exact $N$ d'harmoniques]** L'énoncé ne fournit pas la largeur précise du plateau (figure 3 non chiffrée dans le texte transmis) ; l'estimation $N\sim 10$ est un ordre de grandeur raisonnable donnant $\Delta t \sim 100\,\text{as}$, conforme au thème du sujet.
Un plateau plus large réduirait encore la durée.
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## Partie III — Spectromètre magnétique
### Question 36 — Rayon cyclotron
**Rappel de cours.**
*Force de Lorentz magnétique :* $\vec F = -e\,\vec v\wedge\vec B$ (électron), de norme $evB$ pour $\vec v\perp\vec B$, toujours orthogonale à $\vec v$ ⟹ mouvement **circulaire uniforme** (le champ magnétique ne travaille pas).
PFD centripète : $evB = m v^2/r$.
**Analyse.** Vitesse initiale orthogonale à $\vec B$ uniforme.
**Solution détaillée.** $e v_\perp B = \dfrac{m v_\perp^2}{r} \Rightarrow$ $$ \boxed{\,r = \frac{m\,v_\perp}{e\,B}\,}\quad(\text{rayon cyclotron}). $$
**Homogénéité.** $\dfrac{\text{kg}\cdot\text{m·s}^{-1}}{\text{C}\cdot\text{T}}$ ; or $\text{T} = \text{kg·s}^{-1}\text{·C}^{-1}$, donc $\dfrac{\text{kg·m·s}^{-1}}{\text{C·kg·s}^{-1}\text{C}^{-1}} = \text{m}$. ✓
**À retenir.** *Remarque du rapport (Q36) :* « grand classique » ; le jury attendait le **rayon cyclotron** comme une évidence. Le mémoriser : $r = mv_\perp/(eB) = p_\perp/(eB)$.
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### Question 37 — Moment cinétique $J$
**Rappel de cours.**
Moment cinétique par rapport au centre $C$ de la trajectoire circulaire : $\vec J = \vec{CM}\wedge m\vec v$, de norme $J = m v_\perp r$ (rayon $\perp$ vitesse).
**Analyse.**
On exprime $J$ en fonction de $e, r, B$ en éliminant $v_\perp$ via Q36.
**Solution détaillée.** $J = m v_\perp r$ avec $v_\perp = \dfrac{eBr}{m}$ (Q36), donc $$ \boxed{\,J = e\,B\,r^2\,}. $$
**Homogénéité.** $e B r^2 = \text{C}\cdot\text{T}\cdot\text{m}^2 = \text{C}\cdot(\text{kg·s}^{-1}\text{C}^{-1})\cdot\text{m}^2 = \text{kg·m}^2\text{·s}^{-1} = $ J·s (moment cinétique). ✓
**À retenir.**
*Réflexe :* écrire $J = eBr^2$ prépare l'invariant adiabatique de Q40 (c'est, à un facteur près, le moment magnétique $\mu = \tfrac12 e v_\perp r = \tfrac{e J}{2m}$… soit $\mu \propto v_\perp^2/B$, invariant du miroir magnétique).
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### Question 38 — Rayon pour une vitesse quelconque
**Rappel de cours.**
Décomposer $\vec v = \vec v_\parallel + \vec v_\perp$ ($\parallel$ et $\perp$ à $\vec B$).
Seule $\vec v_\perp$ subit la force magnétique ⟹ cercle dans le plan perpendiculaire ; $\vec v_\parallel$ donne un mouvement rectiligne uniforme ⟹ **hélice**.
**Analyse.** $\theta$ = angle entre $\vec v$ et $\vec B$ ⟹ $v_\perp = v\sin\theta$.
**Solution détaillée.**
On reprend Q36 avec $v_\perp = v\sin\theta$ : $$ \boxed{\,r = \frac{m\,v\,\sin\theta}{e\,B}\,}. $$
*Vérifications (limites) :* $\theta\to 0$ (vitesse $\parallel\vec B$) ⟹ $r\to 0$ (trajectoire rectiligne le long de $\vec B$) ✓ ; $\theta\to\pi/2$ (vitesse $\perp\vec B$) ⟹ $r = mv/(eB)$, on retrouve Q36 ✓.
**À retenir.** *Remarque du rapport (Q38) :* peu de candidats ont l'intuition du **mouvement hélicoïdal** ; il suffit de reprendre Q36 avec $v_\perp = v\sin\theta$.
**Vérifier par les limites $\theta\to 0$ et $\pi/2$** (le jury le suggère explicitement) — réflexe de contrôle systématique.
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### Question 39 — Variation de la norme du champ le long d'une ligne
**Rappel de cours.**
*Conservation du flux magnétique :* $\operatorname{div}\vec B = 0$ ⟹ le flux dans un tube de champ est constant ; là où les lignes de champ **se resserrent**, $\|\vec B\|$ **augmente** ; là où elles **s'écartent**, $\|\vec B\|$ **diminue**.
**Analyse.** Figure 5 : les électrons entrent à gauche (lignes resserrées, champ fort) puis parcourent une longue zone où le champ est quasi uniforme et faible (lignes écartées).
**Solution détaillée.** Les lignes de champ **divergent** de la gauche vers la droite (le tube de champ s'évase).
Par conservation du flux, **la norme $\|\vec B\|$ décroît de la gauche (forte, $B_i$) vers la droite (faible, $B_f$)** le long d'une ligne de champ.
**À retenir.** *Réflexe :* densité des lignes ⟺ intensité du champ (conservation du flux, $\operatorname{div}\vec B=0$). Configuration de **miroir/bouteille magnétique** : champ fort à l'entrée, faible et uniforme dans le corps du spectromètre.
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### Question 40 — Relation entre inclinaisons $\theta_i$ et $\theta_f$
**Rappel de cours.** *Invariant adiabatique :* pour un champ variant lentement le long de la trajectoire, $J = eBr^2$ reste **constant** (énoncé). Le champ magnétique ne travaille pas ⟹ **$v = \|\vec v\|$ constant**.
**Analyse.**
On exprime $J$ via $r = mv\sin\theta/(eB)$ (Q38) et on écrit sa conservation entre entrée ($B_i,\theta_i$) et sortie ($B_f,\theta_f$).
**Solution détaillée.** $$ J = eBr^2 = eB\left(\frac{m v\sin\theta}{eB}\right)^2 = \frac{m^2 v^2\sin^2\theta}{e\,B}. $$ $v$ étant constant, $J = \text{cte}$ impose $\dfrac{\sin^2\theta}{B} = \text{cte}$, d'où : $$ \frac{\sin^2\theta_i}{B_i} = \frac{\sin^2\theta_f}{B_f} \;\Longrightarrow\; \boxed{\,\sin\theta_f = \sin\theta_i\,\sqrt{\frac{B_f}{B_i}}\,}. $$
**Homogénéité.** $\sqrt{B_f/B_i}$ sans dimension ⟹ relation entre sinus (sans dimension). ✓ Comme $B_f < B_i$ (Q39), $\theta_f < \theta_i$ : les trajectoires **s'alignent** sur l'axe.
**À retenir.**
*Réflexe :* c'est la relation du **miroir magnétique** ($\sin^2\theta/B = $ cte, équivalent à $\mu = mv_\perp^2/2B = $ cte).
En passant du champ fort au champ faible, l'électron redresse sa trajectoire — principe du collimateur magnétique.
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### Question 41 — Incertitude relative sur la vitesse
**Rappel de cours.**
Temps de vol sur une longueur axiale $L$ : l'électron suit une hélice de vitesse $v$ inclinée de $\theta_f$ ; sa vitesse **axiale** est $v\cos\theta_f$, donc il met $t = \dfrac{L}{v\cos\theta_f}$ à traverser.
La vitesse **déduite** en supposant un trajet droit de longueur $L$ est $v_{\text{mes}} = L/t = v\cos\theta_f$.
**Analyse.** L'erreur vient de l'inclinaison résiduelle $\theta_f$ (petite). On borne $\theta_f$ via Q40.
**Solution détaillée.**
L'écart relatif entre vitesse mesurée et vitesse réelle : $$ \frac{\Delta v}{v} = \frac{v - v\cos\theta_f}{v} = 1 - \cos\theta_f \approx \frac{\theta_f^2}{2}\quad(\theta_f\ \text{petit}). $$
Or $\sin^2\theta_f = \sin^2\theta_i\,\dfrac{B_f}{B_i} \leq \dfrac{B_f}{B_i}$ (car $\sin^2\theta_i \leq 1$), et $\theta_f^2 \approx \sin^2\theta_f$ : $$ \boxed{\,\frac{\Delta v}{v} \approx \frac{\theta_f^2}{2} \lesssim \frac{1}{2}\,\frac{B_f}{B_i}\,}. $$
L'incertitude relative sur la vitesse (donc sur l'énergie cinétique) est au plus $\dfrac{B_f}{2B_i}$ : on la réduit en prenant $B_f \ll B_i$ (champ d'entrée fort, champ de mesure faible).
**Homogénéité.** $B_f/B_i$ sans dimension ⟹ incertitude relative sans dimension. ✓
**À retenir.** *Réflexe :* la résolution du spectromètre en temps de vol est fixée par le **rapport $B_f/B_i$** : plus le champ d'entrée est fort devant le champ de mesure, plus les trajectoires sont collimatées et meilleure est la mesure d'énergie. Cela boucle le dispositif complet : le spectromètre magnétique donne l'énergie $E_q - I_P$ des photoélectrons, qui alimente la lecture de la carte RABBITT (Q33).
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## Synthèse pédagogique
Ce problème illustre la **puissance des outils de CPGE** appliqués à une physique de tout premier plan (Nobel 2023). Les fils conducteurs à retenir :
1. **Ordres de grandeur et homogénéité** (Q3–Q10) : le jury sanctionne lourdement les A.N. non contrôlées et les résultats non homogènes. Toujours vérifier mentalement les puissances de dix et les unités.
2.
**Le « modèle en trois étapes »** (Q11–Q26) : ionisation tunnel → oscillateur forcé libre → recombinaison radiative, avec la **loi de coupure** $\hbar\omega_{\max} = I_P + 3{,}17\,U_P$ et l'énergie pondéromotrice $U_P = (eE_0)^2/4m\omega^2$.
3.
**Symétrie demi-onde** $x(t+T/2)=-x(t)$ (Q15–Q16) ⟹ harmoniques **impaires** uniquement : ne pas confondre parité de fonction et parité de rang.
4.
**Synthèse d'impulsions brèves** (Q27–Q35) : interférences à $N$ ondes (**fonction d'Airy**), phase linéaire ⟺ retard, RABBITT et interférences à deux photons ⟹ durée $\sim 100\,\text{as}$.
5.
**Miroir magnétique** (Q36–Q41) : rayon cyclotron, invariant adiabatique $\sin^2\theta/B$, collimation et résolution en $B_f/B_i$.
*Conseils transverses du rapport :* copie propre, **résultats encadrés**, **tracés soignés** (asymptotes, points remarquables, axes orientés/gradués), et **cohérence entre questions** (un tracé faux en Q11 se paie en Q12–Q14). La sélectivité du sujet tient moins aux calculs qu'au **recul physique** exigé à chaque étape.