Physique B

# X-ENS PC — Physique B 2026 · Corrigé brut

*Corrigé rédigé par IA (La Belle Copie), non officiel. Signalez toute erreur.*

*De la topologie dans les ondes : de la matière condensée à El Niño.* Durée 4 h, calculatrice interdite. 45 questions (numérotation du sujet, sous-questions comprises).

## Partie I — Chaînes masse-ressort

### 1. Chaîne monoatomique

#### Question 1

La masse $n$ est reliée à $n+1$ et $n-1$ par deux ressorts de raideur $\beta$, d'allongements respectifs $u_{n+1}-u_n$ et $u_n-u_{n-1}$. Le principe fondamental de la dynamique projeté sur $\vec e_x$ (poids et réaction compensés) donne

$$\boxed{m\,\ddot u_n=\beta\,(u_{n+1}-u_n)-\beta\,(u_n-u_{n-1})=\beta\,(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n)}$$

#### Question 2

Avec $\underline{u_n}=\underline{U_0}\,e^{i(kna-\omega t)}$ : $\ddot{\underline{u_n}}=-\omega^2\underline{u_n}$ et $\underline{u_{n\pm1}}=e^{\pm ika}\,\underline{u_n}$. En simplifiant par $\underline{u_n}\neq0$ :

$$-m\omega^2=\beta\left(e^{ika}+e^{-ika}-2\right)=2\beta(\cos ka-1)=-4\beta\sin^2\frac{ka}{2}$$

(formule $\cos2\theta=1-2\sin^2\theta$ avec $\theta=ka/2$). Avec $\omega\geq0$ :

$$\boxed{\omega(k)=2\sqrt{\frac{\beta}{m}}\,\left|\sin\frac{ka}{2}\right|}$$

#### Question 3

$\omega$ dépend de $k$ par $\sin^2(ka/2)$, de période $2\pi/a$ : $k$ et $k+2\pi/a$ donnent d'ailleurs exactement les mêmes déplacements $u_n$ puisque $e^{i2\pi n}=1$. La période centrée sur l'origine est

$$\boxed{k\in\left[-\frac{\pi}{a},\ \frac{\pi}{a}\right]}$$

#### Question 4

Sur $[-\pi/a,\pi/a]$, $\omega(k)$ est paire, nulle en $k=0$, croissante sur $[0,\pi/a]$ et atteint son maximum $\omega_{\max}=2\sqrt{\beta/m}$ en $k=\pm\pi/a$, avec une tangente horizontale. En $k=0$, la courbe présente un point anguleux : demi-tangentes de pentes $\pm a\sqrt{\beta/m}$.

| $k$ | $-\pi/a$ | $0^-$ | $0$ | $0^+$ | $\pi/a$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\omega$ | $2\sqrt{\beta/m}$ | | $0$ | | $2\sqrt{\beta/m}$ |
| pente | $0$ | $-a\sqrt{\beta/m}$ | point anguleux | $+a\sqrt{\beta/m}$ | $0$ |

![Figure 1 — Relation de dispersion ω(k) de la chaîne monoatomique sur la première zone de Brillouin, avec ses demi-tangentes en 0 et ses tangentes horizontales en ±π/a](/figures/corriges/x-ens_pc_physique-b_2026/q4-dispersion-monoatomique.svg)

Deux arcs concaves symétriques : une arche de sinus « redressée ».

#### Question 5

Pour $|k|a\ll1$, $\sin(ka/2)\simeq ka/2$, d'où $\omega\simeq a\sqrt{\beta/m}\,|k|$. La relation est linéaire : vitesses de phase et de groupe sont égales,

$$\boxed{c_s=a\sqrt{\frac{\beta}{m}}}$$

C'est la célérité du son dans la chaîne : aux grandes longueurs d'onde ($\lambda\gg a$), la chaîne se comporte comme un milieu élastique continu, **non dispersif** (équation de d'Alembert). La pente est $+c_s$ pour $k>0$ (onde vers $+x$) et $-c_s$ pour $k<0$ (onde vers $-x$).

#### Question 6

Sur $[0,\pi/a]$, $v_g=\dfrac{\mathrm d\omega}{\mathrm dk}=a\sqrt{\dfrac{\beta}{m}}\cos\dfrac{ka}{2}$, donc

$$\boxed{v_g\left(\pm\frac{\pi}{a}\right)=0}$$

L'énergie n'est pas transportée : en $k=\pm\pi/a$ ($\lambda=2a$), deux masses voisines oscillent en opposition de phase et la superposition des ondes $\pm\pi/a$ (qui sont le même mode) est une **onde stationnaire**. C'est une condition de type Bragg : les réflexions sur chaque maille interfèrent constructivement.

#### Question 7.1

On impose $\omega=\alpha\sqrt{\beta/m}$, $\alpha>2$. La relation de la question 2 exige

$$\sin^2\frac{ka}{2}=\frac{m\omega^2}{4\beta}=\frac{\alpha^2}{4}>1$$

ce qui est impossible pour $k$ réel puisque $|\sin(ka/2)|\leq1$. La pulsation dépasse la pulsation de coupure $2\sqrt{\beta/m}$ : il faut chercher $\underline k=k'+ik''$ complexe.

#### Question 7.2

Avec $x=k'a/2$, $y=k''a/2$ : $\sin(\underline ka/2)=\sin x\,\mathrm{ch}\,y+i\cos x\,\mathrm{sh}\,y$. Son carré doit être le réel positif $\alpha^2/4$, donc $\sin(\underline ka/2)=\pm\alpha/2$ est réel : $\cos x\,\mathrm{sh}\,y=0$. Le cas $y=0$ ramène au cas réel impossible, donc $\cos x=0$, $k'a/2\equiv\pi/2\ [\pi]$. Dans la première zone de Brillouin :

$$\boxed{k'=\pm\frac{\pi}{a}}$$

(deux bords de zone équivalents, $e^{i\pi n}=e^{-i\pi n}=(-1)^n$ ; on garde $k'=\pi/a$).

#### Question 7.3

Avec $\sin x=\pm1$ : $\sin(\underline ka/2)=\pm\mathrm{ch}(k''a/2)$, d'où $\mathrm{ch}(k''a/2)=\alpha/2>1$, ce qui est possible :

$$\boxed{k''=\pm\frac{2}{a}\,\mathrm{argch}\frac{\alpha}{2}}$$

Le déplacement vaut $\underline{u_n}=\underline{U_0}\,(-1)^n e^{-k''na}e^{-i\omega t}$, de module $|U_0|e^{-k''na}$. L'énergie provient de la source en $n=0$ ; une amplitude croissant exponentiellement loin de la source n'est pas physique (énergie infinie). On garde donc $k''>0$ pour $n>0$ et $k''<0$ pour $n<0$ : dans les deux cas l'amplitude décroît en s'éloignant de la source.

#### Question 7.4

Avec $\ell=\dfrac{1}{|k''|}=\dfrac{a}{2\,\mathrm{argch}(\alpha/2)}$ et $\underline{U_0}=U_0$ réel :

$$\boxed{u_n(t)=U_0\,(-1)^n\,e^{-|n|a/\ell}\cos\omega t}$$

À un instant donné, les déplacements alternent de signe d'une masse à la suivante sous une enveloppe $\pm U_0e^{-|n|a/\ell}$ symétrique par rapport à $n=0$.

| $n$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $u_n/(U_0\cos\omega t)$ | $+e^{-2a/\ell}$ | $-e^{-a/\ell}$ | $1$ | $-e^{-a/\ell}$ | $+e^{-2a/\ell}$ |

![Figure 2 — Profil de l'onde évanescente : déplacements alternés de part et d'autre de la source n = 0, sous les enveloppes ±U0 e^(−|n|a/ℓ)](/figures/corriges/x-ens_pc_physique-b_2026/q7-4-profil-evanescent.svg)

#### Question 7.5

Toutes les masses oscillent en phase ou en opposition de phase avec la source : la phase ne dépend pas de la position de façon progressive ($k'$ est bloqué au bord de zone), aucun front d'onde ne se déplace, et l'amplitude s'éteint exponentiellement sur la longueur $\ell$. En régime établi, la puissance moyenne transmise d'une masse à la suivante est nulle (les forces et les vitesses sont en quadrature) : l'onde est **évanescente**, pas propagative.

$$\boxed{0\leq\omega\leq2\sqrt{\frac{\beta}{m}}\ :\ \text{ondes propagatives}\qquad\omega>2\sqrt{\frac{\beta}{m}}\ :\ \text{ondes évanescentes}}$$

La chaîne est un filtre mécanique passe-bas.

### 2. Chaîne dimérisée : le modèle SSH mécanique

#### Question 8

D'après la figure, la masse $2n$ est liée à $2n+1$ par $\beta_1$ et à $2n-1$ par $\beta_2$ ; la masse $2n+1$ est liée à $2n$ par $\beta_1$ et à $2n+2$ par $\beta_2$.

$$\boxed{\begin{aligned}m\,\ddot u_{2n}&=\beta_1\,(u_{2n+1}-u_{2n})+\beta_2\,(u_{2n-1}-u_{2n})\\ m\,\ddot u_{2n+1}&=\beta_2\,(u_{2n+2}-u_{2n+1})+\beta_1\,(u_{2n}-u_{2n+1})\end{aligned}}$$

#### Question 9

Avec $\underline{u_{2n}}=U_0e^{i(2kna-\omega t)}$, $\underline{u_{2n+1}}=U_1e^{i(2kna-\omega t)}$ : $\underline{u_{2n-1}}=U_1e^{-2ika}e^{i(2kna-\omega t)}$ et $\underline{u_{2n+2}}=U_0e^{2ika}e^{i(2kna-\omega t)}$. En divisant par $-m\,e^{i(2kna-\omega t)}$ :

$$\begin{aligned}\omega^2U_0&=(\omega_1^2+\omega_2^2)U_0-\left(\omega_1^2+\omega_2^2e^{-2ika}\right)U_1\\ \omega^2U_1&=-\left(\omega_1^2+\omega_2^2e^{2ika}\right)U_0+(\omega_1^2+\omega_2^2)U_1\end{aligned}$$

soit $\omega^2\begin{pmatrix}U_0\\U_1\end{pmatrix}=\mathbf D(k)\begin{pmatrix}U_0\\U_1\end{pmatrix}$ avec

$$\boxed{\mathbf D(k)=\begin{pmatrix}\omega_1^2+\omega_2^2 & -\left(\omega_1^2+\omega_2^2e^{-2ika}\right)\\ -\left(\omega_1^2+\omega_2^2e^{2ika}\right) & \omega_1^2+\omega_2^2\end{pmatrix}}$$

$\mathbf D$ est hermitienne : ses valeurs propres $\omega^2$ sont réelles.

#### Question 10

Une solution non nulle existe si et seulement si $\det(\mathbf D-\omega^2\mathbb I)=0$ :

$$(\omega_1^2+\omega_2^2-\omega^2)^2=\left|\omega_1^2+\omega_2^2e^{-2ika}\right|^2=(\omega_1^2+\omega_2^2\cos2ka)^2+\omega_2^4\sin^22ka=\omega_1^4+\omega_2^4+2\omega_1^2\omega_2^2\cos2ka$$

d'où

$$\boxed{\omega^2=\omega_1^2+\omega_2^2\pm\sqrt{\omega_1^4+\omega_2^4+2\omega_1^2\omega_2^2\cos(2ka)}}$$

#### Question 11

La relation de dispersion ne fait intervenir que $\omega_1^2+\omega_2^2$, $\omega_1^4+\omega_2^4$ et $\omega_1^2\omega_2^2$, symétriques dans l'échange $\omega_1\leftrightarrow\omega_2$. **Les cas $\omega_1/\omega_2=2/3$ et $3/2$ ont exactement la même relation de dispersion** (mêmes bandes, même bande interdite). Ce n'est pas un hasard : pour une chaîne infinie, échanger $\beta_1$ et $\beta_2$ revient à décaler d'un site le choix de la maille ($2n$ associée à $2n-1$ au lieu de $2n+1$). Le spectre de volume ne peut donc pas distinguer les deux situations. Elles ne diffèrent que par la façon dont la maille est choisie, c'est-à-dire par le ressort qui termine la chaîne lorsqu'on la coupe : c'est la différence qu'exploitera la section 3.

#### Question 12

La dépendance en $k$ est en $\cos(2ka)$, de période $\pi/a$. La première zone de Brillouin est

$$\boxed{k\in\left[-\frac{\pi}{2a},\ \frac{\pi}{2a}\right]}$$

deux fois plus petite que celle de la chaîne monoatomique, ce qui reflète le doublement de la période spatiale ($2a$ au lieu de $a$). En contrepartie, il y a deux branches (deux masses par maille) : la branche de la chaîne monoatomique est « repliée » sur la zone réduite, et pour $\omega_1\neq\omega_2$ une bande interdite s'ouvre au point de repliement.

#### Question 13.1

En $k=0$, le radicande vaut $(\omega_1^2+\omega_2^2)^2$ :

$$\boxed{\omega=0\ \ (\text{branche }-,\ \text{acoustique})\qquad\omega=\sqrt{2(\omega_1^2+\omega_2^2)}\ \ (\text{branche }+,\ \text{optique})}$$

$\omega=0$ correspond à la translation d'ensemble ($U_0=U_1$) ; le mode optique à l'opposition de phase des deux masses de la maille ($U_0=-U_1$).

#### Question 13.2

En $k=\pm\pi/(2a)$, $\cos2ka=-1$ et le radicande vaut $(\omega_1^2-\omega_2^2)^2$ : $\omega^2=\omega_1^2+\omega_2^2\pm|\omega_1^2-\omega_2^2|$, soit

$$\boxed{\omega=\sqrt2\,\min(\omega_1,\omega_2)\ \ (\text{branche }-)\qquad\omega=\sqrt2\,\max(\omega_1,\omega_2)\ \ (\text{branche }+)}$$

Il existe une bande interdite $\left]\sqrt2\min(\omega_1,\omega_2),\sqrt2\max(\omega_1,\omega_2)\right[$ dès que $\omega_1\neq\omega_2$.

#### Question 13.3

$\cos2ka=1-2k^2a^2+o(k^2)$ donc le radicande vaut $(\omega_1^2+\omega_2^2)^2-4\omega_1^2\omega_2^2a^2k^2+o(k^2)$ et

$$\sqrt{\cdots}=(\omega_1^2+\omega_2^2)-\frac{2\omega_1^2\omega_2^2a^2k^2}{\omega_1^2+\omega_2^2}+o(k^2)$$

$$\boxed{\omega_-^2=\frac{2\omega_1^2\omega_2^2a^2}{\omega_1^2+\omega_2^2}\,k^2+o(k^2)\qquad\omega_+^2=2(\omega_1^2+\omega_2^2)-\frac{2\omega_1^2\omega_2^2a^2}{\omega_1^2+\omega_2^2}\,k^2+o(k^2)}$$

À basse fréquence (branche acoustique) $\omega\simeq c|k|$ avec

$$\boxed{c=a\,\omega_1\omega_2\sqrt{\frac{2}{\omega_1^2+\omega_2^2}}}$$

Contrôle : pour $\omega_1=\omega_2=\sqrt{\beta/m}$, $c=a\sqrt{\beta/m}$ (question 5).

#### Question 13.4

- En $k=0$ : branche acoustique, demi-tangentes de pentes $\pm c$ (point anguleux, comme en question 5) ; branche optique, $\omega_+^2$ est paire et régulière en $k$, pente **nulle**.
- En $k=\pm\pi/(2a)$, si $\omega_1\neq\omega_2$ : $\dfrac{\mathrm d(\omega^2)}{\mathrm dk}=\pm\dfrac{-4a\omega_1^2\omega_2^2\sin2ka}{2\sqrt{R}}$ avec $R=(\omega_1^2-\omega_2^2)^2\neq0$ et $\sin2ka=0$ : **pente nulle** pour les deux branches (vitesse de groupe nulle, onde stationnaire).
- Cas particulier $\omega_1=\omega_2=\omega_0$ : $R$ s'annule en bord de zone, le calcul précédent ne s'applique pas. Alors $\sqrt R=2\omega_0^2|\cos ka|$, $\omega_-=2\omega_0|\sin(ka/2)|$ et $\omega_+=2\omega_0\cos(ka/2)$ : en $k=\pi/(2a)$ les deux branches se rejoignent en $\sqrt2\,\omega_0$ avec des pentes $\pm a\omega_0/\sqrt2$ non nulles.

#### Question 14

On prend $\omega_2$ comme unité.

- **$\omega_1/\omega_2=2/3$.** Branche acoustique : de $0$ en $k=0$ (demi-tangentes de pente $\pm c$, $c=2\sqrt2\,a\omega_2/\sqrt{13}\approx0{,}78\,a\omega_2$) jusqu'à $\sqrt2\,\omega_1\approx0{,}94\,\omega_2$ en $k=\pm\pi/(2a)$, où elle arrive à tangente horizontale. Branche optique : maximum $\sqrt{2(\omega_1^2+\omega_2^2)}=\sqrt{26}\,\omega_2/3\approx1{,}70\,\omega_2$ en $k=0$ (tangente horizontale), décroissante jusqu'à $\sqrt2\,\omega_2\approx1{,}41\,\omega_2$ en bord de zone (tangente horizontale). Bande interdite $]0{,}94\,\omega_2;1{,}41\,\omega_2[$.
- **$\omega_1/\omega_2=1$.** $\omega_-=2\omega_2|\sin(ka/2)|$ et $\omega_+=2\omega_2\cos(ka/2)$ : branche acoustique de $0$ (pente $\pm a\omega_2$) à $\sqrt2\,\omega_2$ ; branche optique de $2\omega_2$ (tangente horizontale) à $\sqrt2\,\omega_2$. Les deux branches se touchent en bord de zone avec des pentes $\pm a\omega_2/\sqrt2$ : pas de bande interdite, c'est la courbe de la question 4 repliée sur $[-\pi/(2a),\pi/(2a)]$.

| | $k=0$ | $k=\pm\pi/(2a)$ |
|---|---|---|
| $2/3$, acoustique | $0$, pentes $\pm0{,}78\,a\omega_2$ | $0{,}94\,\omega_2$, pente nulle |
| $2/3$, optique | $1{,}70\,\omega_2$, pente nulle | $1{,}41\,\omega_2$, pente nulle |
| $1$, acoustique | $0$, pentes $\pm a\omega_2$ | $1{,}41\,\omega_2$, pente $\pm a\omega_2/\sqrt2$ |
| $1$, optique | $2\,\omega_2$, pente nulle | $1{,}41\,\omega_2$, pente $\mp a\omega_2/\sqrt2$ |

![Figure 3 — Relation de dispersion de la chaîne dimérisée pour ω1/ω2 = 2/3 (bande interdite entre √2ω1 et √2ω2) et pour ω1/ω2 = 1 (branches raccordées en bord de zone)](/figures/corriges/x-ens_pc_physique-b_2026/q14-dispersion-dimerisee.svg)

#### Question 15.1

Pour $\omega\in]\sqrt2\omega_1,\sqrt2\omega_2[$ (ou l'intervalle inverse), la relation de dispersion impose $\cos(2\underline ka)=\dfrac{(\omega_1^2+\omega_2^2-\omega^2)^2-\omega_1^4-\omega_2^4}{2\omega_1^2\omega_2^2}$, réel. Avec $x=2k'a$, $y=2k''a$ : $\cos(2\underline ka)=\cos x\,\mathrm{ch}\,y-i\sin x\,\mathrm{sh}\,y$. Comme $k''\neq0$, il faut $\sin(2k'a)=0$, soit $2k'a\equiv0\ [\pi]$. Dans la première zone de Brillouin ($\pm\pi/(2a)$ étant équivalents) :

$$\boxed{k'=0\qquad\text{ou}\qquad k'=\frac{\pi}{2a}}$$

#### Question 15.2

Notons $S=\omega_1^2+\omega_2^2$.

- $k'=0$ : $\cos(2\underline ka)=\mathrm{ch}(2k''a)>1$, donc le radicande est strictement supérieur à $S^2$. La branche $-$ donne $\omega^2<0$ (exclu) et la branche $+$ donne $\omega^2>2S$ : pulsation au-dessus de la bande optique, pas dans la bande interdite.
- $k'=\pi/(2a)$ : $\cos(2\underline ka)=-\mathrm{ch}(2k''a)<-1$, donc $0\leq\omega_1^4+\omega_2^4-2\omega_1^2\omega_2^2\,\mathrm{ch}(2k''a)<(\omega_1^2-\omega_2^2)^2$ et $\omega^2=S\pm\sqrt{\cdots}$ décrit l'intervalle $]2\min(\omega_1^2,\omega_2^2),2\max(\omega_1^2,\omega_2^2)[$ : c'est exactement la bande interdite.

$$\boxed{\text{seule }k'=\frac{\pi}{2a}\text{ convient dans la bande interdite}}$$

Le module $k''$ est fixé par $\mathrm{ch}(2k''a)=\dfrac{\omega_1^4+\omega_2^4-(S-\omega^2)^2}{2\omega_1^2\omega_2^2}$ ; comme en 7.3 on choisit $k''>0$ pour $n>0$.

#### Question 15.3

Avec $\underline k=\pi/(2a)+ik''$, $k''>0$ : $e^{2i\underline ka}=-e^{-2k''a}$, d'où, d'une maille à la suivante,

$$\boxed{u_{2n}=U_0\,(-1)^n e^{-2k''na}\cos\omega t,\qquad u_{2n+1}=U_1\,(-1)^n e^{-2k''na}\cos\omega t\qquad(n>0)}$$

Le rapport $U_1/U_0=\dfrac{S-\omega^2}{\omega_1^2-\omega_2^2e^{2k''a}}$ (première équation de la question 9) est **réel** : les deux masses d'une même maille oscillent en phase ou en opposition. Le profil est le même qu'en 7.4 à l'échelle de la maille : le signe s'inverse d'une maille à la suivante (période spatiale $4a$) sous une enveloppe exponentielle décroissante : l'amplitude est divisée par $e^{2k''a}$ à chaque maille de longueur $2a$ (longueur d'atténuation $1/k''$).

| maille $n$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|
| $u_{2n}/\cos\omega t$ | $U_0$ | $-U_0e^{-\gamma}$ | $U_0e^{-2\gamma}$ | $-U_0e^{-3\gamma}$ |
| $u_{2n+1}/\cos\omega t$ | $U_1$ | $-U_1e^{-\gamma}$ | $U_1e^{-2\gamma}$ | $-U_1e^{-3\gamma}$ |

avec $\gamma=2k''a$.

#### Question 16

Pour $\omega_1=\omega_0+\delta\omega$, $\omega_2=\omega_0-\delta\omega$, les courbes du diagramme sont, de bas en haut : $\sqrt2\min(\omega_1,\omega_2)$, $\sqrt2\max(\omega_1,\omega_2)$ (les deux droites qui se croisent en $\sqrt2\,\omega_0$) et $\sqrt{2(\omega_1^2+\omega_2^2)}=2\sqrt{\omega_0^2+\delta\omega^2}\approx2\omega_0$.

- **Bandes de propagation (zones grisées)** : $0\leq\omega\leq\sqrt2\min(\omega_1,\omega_2)$ (bande acoustique) et $\sqrt2\max(\omega_1,\omega_2)\leq\omega\leq\sqrt{2(\omega_1^2+\omega_2^2)}$ (bande optique), où $k$ est réel.
- **Bandes interdites (zones blanches)** : entre les deux droites ($k'=\pi/(2a)$, question 15) et au-dessus de $\sqrt{2(\omega_1^2+\omega_2^2)}$ ($k'=0$), où seules existent des ondes évanescentes.

En $\omega_1/\omega_2=1$ la bande interdite centrale se **ferme** (largeur $\sqrt2|\omega_1-\omega_2|=0$) : on retrouve la chaîne monoatomique. De part et d'autre, les bords de bande s'échangent : le bord haut de la bande acoustique vaut $\sqrt2\omega_1$ pour $\omega_1<\omega_2$ et $\sqrt2\omega_2$ pour $\omega_1>\omega_2$. On ne peut pas passer continûment d'un régime à l'autre sans fermer le gap.

### 3. Interprétation topologique

#### Question 17

$d_0\mathbb I+d_x\sigma_x+d_y\sigma_y=\begin{pmatrix}d_0 & d_x-id_y\\ d_x+id_y & d_0\end{pmatrix}$. Par identification avec $\mathbf D(k)$ :

$$-\left(\omega_1^2+\omega_2^2e^{-2ika}\right)=-(\omega_1^2+\omega_2^2\cos2ka)+i\,\omega_2^2\sin2ka=d_x-id_y$$

$$\boxed{d_0=\omega_1^2+\omega_2^2,\qquad d_x(k)=-\left(\omega_1^2+\omega_2^2\cos2ka\right),\qquad d_y(k)=-\,\omega_2^2\sin2ka}$$

(le coefficient inférieur $d_x+id_y=-(\omega_1^2+\omega_2^2e^{2ika})$ est bien vérifié). On retrouve $\omega^2=d_0\pm\|\vec d\|$.

#### Question 18

Avec $\theta=2ka\in[-\pi,\pi]$ :

$$\vec d=\begin{pmatrix}-\omega_1^2\\0\end{pmatrix}+\omega_2^2\begin{pmatrix}\cos(\theta+\pi)\\ \sin(\theta+\pi)\end{pmatrix}$$

**La trajectoire est le cercle de centre $(-\omega_1^2,0)$ et de rayon $\omega_2^2$, parcouru une fois dans le sens trigonométrique.** Il part de $(\omega_2^2-\omega_1^2,0)$ en $k=-\pi/(2a)$, passe par $(-\omega_1^2-\omega_2^2,0)$ en $k=0$ et revient au point de départ.

- $\omega_1>\omega_2$ : le cercle est entièrement dans le demi-plan $d_x<0$, l'origine est **à l'extérieur**.
- $\omega_1<\omega_2$ : le point de départ $(\omega_2^2-\omega_1^2,0)$ est sur l'axe $d_x>0$, l'origine est **à l'intérieur**.

![Figure 4 — Trajectoire de d(k) : cercle de centre (−ω1², 0) et de rayon ω2², parcouru dans le sens trigonométrique, origine extérieure si ω1 > ω2 et intérieure si ω1 < ω2](/figures/corriges/x-ens_pc_physique-b_2026/q18-trajectoire-vecteur-d.svg)

Sur chaque trajectoire, le point représenté donne $\vec d(k)$, issu de $O$, et l'angle $\phi(k)$ mesuré depuis $(Ox)$.

#### Question 19

$\nu$ est le nombre de tours de $\vec d$ autour de l'origine.

- $\omega_1>\omega_2$ : origine extérieure, $\phi$ oscille dans un intervalle d'amplitude inférieure à $\pi$ (autour de $\pi$) et revient à sa valeur initiale : $\boxed{\nu=0}$.
- $\omega_1<\omega_2$ : origine intérieure, $\phi$ augmente de $2\pi$ (sens trigonométrique, $k$ croissant) : $\boxed{\nu=1}$.

$\nu$ est entier ; il ne peut changer que si le cercle passe par l'origine, c'est-à-dire si $\|\vec d\|$ s'annule pour un $k$, soit $\omega_1=\omega_2$ : fermeture du gap (question 16).

#### Question 20

À droite, $\omega_1^d/\omega_2^d>1$ : $\boxed{\nu_d=0}$ dans tout le graphique. À gauche :

- $\omega_1^g/\omega_2^g<1$ (partie gauche du graphique) : $\nu_g=1$ et $|\nu_g-\nu_d|=1$ ;
- $\omega_1^g/\omega_2^g>1$ (partie droite) : $\nu_g=0$ et $|\nu_g-\nu_d|=0$ ;
- $\omega_1^g/\omega_2^g=1$ : gap fermé à gauche, $\nu_g$ non défini.

Le graphique montre exactement **une** fréquence propre dans la zone blanche pour $\omega_1^g/\omega_2^g<1$ (la ligne horizontale de points au milieu du gap) et **aucune** pour $\omega_1^g/\omega_2^g>1$ :

$$\boxed{N_{\text{gap}}=|\nu_g-\nu_d|}$$

C'est la correspondance volume-bord : des invariants calculés sur les chaînes infinies prédisent le nombre de modes d'interface.

#### Question 21

La fréquence du mode est dans la bande interdite des deux chaînes : de chaque côté la solution est du type de la question 15 ($k'=\pi/(2a)$), avec une amplitude décroissante en s'éloignant de l'interface ($k''>0$ à droite, $k''<0$ à gauche). Le profil est donc :

- maximal au voisinage de l'interface $n=0$ ;
- décroissant exponentiellement vers $n\to+\infty$ et vers $n\to-\infty$, avec des longueurs d'atténuation différentes de part et d'autre (les deux chaînes ont des $\omega_1/\omega_2$ différents) ;
- de signe alterné d'une maille à la suivante (facteur $e^{i\pi}=-1$ par maille).

Précision : sur le graphique, la fréquence du mode ne dépend pas de $\omega_1^g/\omega_2^g$ et se trouve au milieu du gap, en $\omega^2=d_0=\omega_1^2+\omega_2^2$. Pour cette valeur, les équations de la question 8 pour les masses paires deviennent $\omega_1^2u_{2n+1}+\omega_2^2u_{2n-1}=0$, soit $u_{2n+1}=-(\omega_2/\omega_1)^2u_{2n-1}$, et celles des masses impaires $\omega_2^2u_{2n+2}+\omega_1^2u_{2n}=0$. À droite ($\omega_1^d>\omega_2^d$), la solution décroissante n'occupe que les masses impaires, avec le facteur $-(\omega_2^d/\omega_1^d)^2$ par maille ; à gauche ($\omega_1^g/\omega_2^g=0{,}7$), la solution décroissant vers $n\to-\infty$ occupe aussi les masses impaires, avec le facteur $-(\omega_1^g/\omega_2^g)^2=-0{,}49$ par maille. Les masses paires restent (quasiment) immobiles. Pour $\omega_1^g>\omega_2^g$, les deux solutions décroissantes occuperaient des sous-réseaux différents et ne pourraient pas se raccorder : il n'y a pas de mode, ce qui confirme la question 20.

| masse $n$ | $-5$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| allure | $-0{,}24$ | $0$ | $+0{,}49$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $+r$ | $0$ | $-r\rho$ | $0$ | $+r\rho^2$ |

($\rho=(\omega_2^d/\omega_1^d)^2<1$ ; $r>0$ dépend du ressort de jonction.)

![Figure 5 — Mode de bord pour ω1g/ω2g = 0,7 : seules les masses impaires bougent, avec une amplitude alternée qui décroît de part et d'autre de l'interface](/figures/corriges/x-ens_pc_physique-b_2026/q21-mode-de-bord.svg)

On parle de **mode de bord** (ou d'interface) parce que l'énergie est concentrée sur quelques mailles autour de la jonction : sa fréquence étant dans la bande interdite des deux milieux, il ne peut pas rayonner dans le volume, et son existence, fixée par la différence d'invariants entiers, résiste aux perturbations qui ne ferment pas le gap.

## Partie II — Ondes équatoriales : états de bord topologiques

### 1. Mise en équation du problème

#### Question 22

- $\dfrac{\partial h}{\partial t}+\mathrm{div}(h\vec u)=0$ : **conservation de la masse** (équation de continuité) d'une couche de fluide incompressible d'épaisseur $h$, intégrée sur l'épaisseur ; $h\vec u$ est le débit volumique par unité de largeur.
- $\dfrac{\partial\vec u}{\partial t}+(\vec u\cdot\overrightarrow{\mathrm{grad}})\vec u=-g\,\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,h+\vec F_c$ : **équation d'Euler** (fluide parfait) dans le référentiel terrestre, avec le gradient de pression hydrostatique $-g\,\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,h$ et la force de Coriolis massique.

L'ensemble forme les **équations de Saint-Venant** (eau peu profonde) en rotation.

#### Question 23

$\vec\Omega$ est porté par l'axe des pôles et fait l'angle $\pi/2-\hat\ell$ avec la verticale locale $\vec e_z$ :

$$\boxed{f=2\Omega\sin\hat\ell}$$

À l'équateur, $\hat\ell=0$ et $f=0$ : la composante utile de la force de Coriolis s'annule ; $f$ change de signe d'un hémisphère à l'autre ($f>0$ au nord, $f<0$ au sud).

#### Question 24

$\vec e_z\wedge\vec u=u\,\vec e_y-v\,\vec e_x$, d'où

$$\boxed{F_{c,x}=f\,v,\qquad F_{c,y}=-f\,u,\qquad F_{c,z}=0}$$

#### Question 25

Avec $h=H+\eta$, $\eta\ll H$ et $u,v$ d'ordre 1 : $h\vec u=H\vec u+O(2)$ et $(\vec u\cdot\overrightarrow{\mathrm{grad}})\vec u=O(2)$. Au premier ordre ($H$ uniforme) :

$$\boxed{\begin{aligned}\frac{\partial\eta}{\partial t}+H\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\right)&=0\\ \frac{\partial u}{\partial t}&=-g\frac{\partial\eta}{\partial x}+f\,v\\ \frac{\partial v}{\partial t}&=-g\frac{\partial\eta}{\partial y}-f\,u\end{aligned}}$$

### 2. Hypothèse de Lord Kelvin

#### Question 26

Avec $\partial_t\to-i\omega$, $\partial_x\to ik_x$, $\partial_y\to ik_y$, $f=f_0$, puis en multipliant chaque équation par $i$ :

$$\omega\eta_0=Hk_xu_0+Hk_yv_0,\qquad\omega u_0=gk_x\eta_0+if_0v_0,\qquad\omega v_0=gk_y\eta_0-if_0u_0$$

$$\boxed{\mathbf M=\begin{pmatrix}0 & Hk_x & Hk_y\\ gk_x & 0 & if_0\\ gk_y & -if_0 & 0\end{pmatrix}}$$

#### Question 27

$$\det(\mathbf M-\omega\mathbb I)=\begin{vmatrix}-\omega & Hk_x & Hk_y\\ gk_x & -\omega & if_0\\ gk_y & -if_0 & -\omega\end{vmatrix}=-\omega\left[\omega^2-f_0^2-gH(k_x^2+k_y^2)\right]$$

(les deux termes croisés $\pm iHgf_0k_xk_y$ se compensent). Avec $k^2=k_x^2+k_y^2$ :

$$\boxed{\omega=0\qquad\text{ou}\qquad\omega=\pm\sqrt{f_0^2+gH\,k^2}}$$

#### Question 28

Pour $gHk^2\gg f_0^2$, soit $|\omega|\gg|f_0|$, $\omega\simeq\pm\sqrt{gH}\,k$ : relation linéaire, non dispersive, de célérité

$$\boxed{c=\sqrt{gH}}$$

(ondes de gravité en eau peu profonde, la rotation devient négligeable).

#### Question 29

Pour $k_y=0$ : $\omega=0$ et $\omega=\pm\sqrt{f_0^2+c^2k_x^2}$.

- $f_0=\pm1$ : deux branches hyperboliques, $\omega\geq1$ et $\omega\leq-1$, de minimum $|\omega|=1$ en $k_x=0$ (tangente horizontale) et d'asymptotes $\omega=\pm ck_x$, plus la bande plate $\omega=0$. **Les tracés pour $f_0=1$ et $f_0=-1$ sont identiques**, la relation ne dépendant que de $f_0^2 $ : comme pour la question 11, le spectre ne distingue pas les deux hémisphères.
- $f_0=0$ : les hyperboles dégénèrent en les droites $\omega=\pm ck_x$, plus la droite $\omega=0$ ; les trois branches se croisent à l'origine.

![Figure 6 — Les trois branches (+), (0) et (−) dans le plan (kx, ω) pour f0 = ±1 (bandes interdites 0 < |ω| < 1) et pour f0 = 0 (branches concourantes)](/figures/corriges/x-ens_pc_physique-b_2026/q29-dispersion-kelvin.svg)

#### Question 30

Les bandes de Poincaré vérifient $|\omega|\geq|f_0|$ et la troisième bande est $\omega=0$ :

$$\boxed{0<|\omega|<|f_0|\ :\ \text{bandes interdites}}$$

soit $]0,|f_0|[$ et $]-|f_0|,0[$ (aucune pour $f_0=0$). La rotation ouvre les gaps, comme la dimérisation dans la partie I.

### 3. Le cas équatorial

#### Question 31

Avec $f(y)=\beta y$, $f>0$ au nord ($y>0$) et $f<0$ au sud. Loin de l'équateur, chaque hémisphère se comporte localement comme un milieu « de Kelvin » homogène, avec les invariants

$$\text{nord}:\ \{\mathscr C^{(-)},\mathscr C^{(0)},\mathscr C^{(+)}\}=\{2,0,-2\},\qquad\text{sud}:\ \{-2,0,2\}$$

Les deux hémisphères ont **les mêmes bandes** (relation de dispersion en $f_0^2$) mais des **invariants opposés** : l'équateur, où $f=0$ et où le gap se ferme, est une interface entre deux milieux de topologies différentes, exactement comme la jonction des deux chaînes SSH. **Conséquence** : par correspondance volume-bord, il existe des modes piégés au voisinage de l'équateur, dont les fréquences traversent les bandes interdites, en nombre fixé par le saut d'invariant, et robustes vis-à-vis des perturbations.

#### Question 32

Avec $\Psi=\Psi(y)e^{i(k_xx-\omega t)}$ : $\partial_x\to ik_x$, $\partial_t\to-i\omega$, mais $\partial_y$ reste un opérateur. En multipliant par $i$ les équations de la question 25 avec $f=\beta y$ :

$$\omega\eta=Hk_xu-iH\frac{\mathrm dv}{\mathrm dy},\qquad\omega u=gk_x\eta+i\beta y\,v,\qquad\omega v=-ig\frac{\mathrm d\eta}{\mathrm dy}-i\beta y\,u$$

$$\boxed{\underline{\mathbf M}(y)=\begin{pmatrix}0 & Hk_x & -iH\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dy}\\ gk_x & 0 & i\beta y\\ -ig\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dy} & -i\beta y & 0\end{pmatrix}}$$

C'est la matrice de la question 26 où $k_y\to-i\,\mathrm d/\mathrm dy$ et $f_0\to\beta y$ : un opérateur différentiel, et non plus une matrice numérique.

#### Question 33

Sur la figure de Matsuno, les modes de Poincaré ($|\omega|\gtrsim\sqrt3\sqrt{\beta c}$) jouent le rôle des bandes $(\pm)$ et les modes de Rossby ($\omega\approx0$) celui de la bande $(0)$. Entre eux, deux branches traversent chaque bande interdite :

- **gap supérieur** ($\omega>0$) : l'onde de Kelvin $\omega=ck_x$, et la branche supérieure de l'onde de Yanai, $\omega=\tfrac12\left(ck_x+\sqrt{c^2k_x^2+4\beta c}\right)$, qui part de la bande de Rossby ($\omega\to0^+$ quand $k_x\to-\infty$) et rejoint les modes de Poincaré ($\omega\simeq ck_x$ quand $k_x\to+\infty$) ;
- **gap inférieur** ($\omega<0$) : de même l'onde de Kelvin et la branche inférieure de Yanai.

Soit **2 modes par bande interdite**, tous de pente $\mathrm d\omega/\mathrm dk_x>0$ (vitesse de groupe vers l'Est). La branche de Yanai provient de la solution $n=0$ de l'équation de Matsuno, qui se factorise en $(\omega+ck_x)\left(\omega^2-ck_x\omega-\beta c\right)=0$ (la racine $\omega=-ck_x$ est parasite).

Compatibilité avec l'invariant : en traversant l'équateur, $\mathscr C^{(+)}$ et $\mathscr C^{(-)}$ changent de signe ; l'invariant de bande $|\mathscr C^{(\pm)}|=2$ donné par l'énoncé correspond aux 2 modes qui traversent chaque gap, comme $|\nu_g-\nu_d|=1$ donnait 1 mode dans la chaîne SSH. Les modes topologiques recherchés sont **l'onde de Kelvin et l'onde de Yanai** (onde de Rossby-gravité mixte), piégées à l'équateur.

#### Question 34

Avec $A=\dfrac{\beta}{c}(2n+1)>0$ :

$$\boxed{v_\varphi=\frac{\omega}{k_x}=-\frac{\beta}{k_x^2+A}<0}$$

pour tout $k_x$ : la phase des ondes de Rossby se propage toujours vers les $x$ décroissants, c'est-à-dire **vers l'Ouest** ($\vec e_x$ pointe vers l'Est).

#### Question 35

$$v_g=\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dk_x}=-\beta\,\frac{(k_x^2+A)-2k_x^2}{(k_x^2+A)^2}=\beta\,\frac{k_x^2-A}{(k_x^2+A)^2}$$

$v_g$ change de signe en $|k_x|=\sqrt A$, soit une longueur d'onde critique

$$\boxed{\lambda_c=\frac{2\pi}{\sqrt A}=2\pi\sqrt{\frac{c}{\beta(2n+1)}}}$$

- $\lambda>\lambda_c$ ($|k_x|<\sqrt A$) : $v_g<0$, les paquets d'ondes de Rossby **longs** se propagent vers l'**Ouest** ;
- $\lambda<\lambda_c$ : $v_g>0$, les paquets **courts** se propagent vers l'**Est**, en sens inverse de leur phase.

#### Question 36

L'onde de Kelvin équatoriale est non dispersive ($v_\varphi=v_g=c$), piégée près de l'équateur (pas de fuite vers les hautes latitudes) et se propage **uniquement vers l'Est** : c'est un mode topologique unidirectionnel.

En temps normal, les alizés poussent les eaux chaudes de surface vers l'Ouest du Pacifique, où elles s'accumulent, tandis que l'upwelling fait remonter des eaux froides le long des côtes du Pérou. Lors d'un épisode El Niño, les alizés faiblissent : l'excédent d'eau chaude accumulé à l'Ouest est libéré sous forme d'une perturbation de hauteur ($\eta>0$, thermocline enfoncée) qui ne peut partir que vers l'Est, portée par l'onde de Kelvin. Elle traverse le Pacifique sans se disperser ni s'étaler en latitude et vient buter sur la côte américaine : l'eau chaude **s'accumule au large du Pérou**. La thermocline s'y approfondit, l'upwelling d'eaux froides est bloqué et la surface se réchauffe anormalement, ce qui est la signature d'El Niño.