Physique C

# X‑ENS 2025 — Physique C (filière PC) — Corrigé « cours didactique »

**Concours :** Banque PC Inter‑ENS/X/ESPCI — Session 2025 · **Épreuve :** Physique C (spécifique ENS Paris, option physique), 6 h, sans calculatrice · **Filière :** PC · **Année :** 2025.
**Coefficient :** 41 % de l'admissibilité. **Statistiques jury :** 525 copies, moyenne 10,1 ; écart‑type 2,8 ; ~60 % des copies sous la moyenne.

**Thème.**

*Autour de l'énergie électromagnétique* : comment construire l'énergie d'une distribution de charges (partie I) puis de courants (partie II) à partir des **travaux** nécessaires à leur mise en place, et relier entre elles les différentes écritures de cette énergie (somme de paires, intégrale $\rho V$, intégrale de champ $E^2$/$B^2$, flux et courants).

Fil conducteur physique : **énergie propre vs énergie d'interaction**, **auto‑énergie** (divergences, régularisation par « charges nivelées »), **pression électrostatique et magnétique**, et signification microscopique de l'énergie propre (masse électromagnétique de l'électron).

**Grands chapitres du programme PC mobilisés :**
- Électrostatique : loi de Coulomb, potentiel, théorème de Gauss, énergie, conducteurs.
- Magnétostatique / ARQS : force de Laplace, dipôle magnétique, théorème d'Ampère, flux, induction (loi de Faraday, Lenz).
- Équations de Maxwell, énergie électromagnétique, **vecteur de Poynting** et bilan local.
- Analyse vectorielle (gradient, divergence, rotationnel ; identités du formulaire).

- **Hors‑programme signalé et fourni par l'énoncé :** transformation relativiste des champs $(\vec E,\vec B)$ (éq. 33), relation masse‑énergie $E=mc^2$.

Ces résultats sont admis ; je les utilise sans les redémontrer.

> **Conventions de rédaction.** Chaque question est traitée en quatre blocs : **Rappel de cours** · **Analyse** · **Solution détaillée** · **À retenir** (réflexe + remarque du rapport de jury). Les résultats de l'énoncé sont réutilisés librement (comme l'autorise la notice). Je conserve strictement les notations de l'énoncé, conformément à l'insistance du jury. Une coquille de l'énoncé est signalée à la question 20.

---

# Première partie — Énergie électrostatique

*Systèmes d'extension finie, à l'équilibre ou en déplacement quasi‑statique ; effets magnétiques négligés. Convention : l'énergie d'interaction entre deux systèmes finis tend vers 0 quand leur distance tend vers l'infini.*

## 1.1 — Énergie d'un système de charges ponctuelles

### Question 1

**Rappel de cours.** Force de Coulomb (éq. 8) : $\vec F_{1\to2}=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\vec r_{12}}{r_{12}^3}$.

Pour un déplacement **quasi‑statique** (énergie cinétique nulle à chaque instant), l'opérateur exerce à tout instant une force $\vec F_{\text{op}}=-\vec F_{1\to2}$, et l'énergie potentielle d'interaction est le travail qu'il fournit : $U_{12}=W_{\text{op}}=-\displaystyle\int_{\infty}^{r_{12}}\vec F_{1\to2}\cdot \mathrm d\vec r$.

**Analyse.** $q_1$ est fixe à l'origine ; on amène $q_2$ depuis l'infini le long d'un rayon.

Le déplacement est radial, $\mathrm d\vec r=\mathrm dr\,\vec e_r$, et $\vec F_{1\to2}=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec e_r$.

**Solution détaillée.** $$U_{12}=-\int_{\infty}^{r_{12}}\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\mathrm dr=-\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0}\Big[-\frac1r\Big]_{\infty}^{r_{12}}=\boxed{\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0\,r_{12}}}.$$
Homogénéité : $[q^2/(\varepsilon_0 r)]$ ; or $\varepsilon_0$ en F·m⁻¹ = C²·J⁻¹·m⁻¹, donc $q^2/(\varepsilon_0 r)$ en J. ✔.

Signe : $U_{12}>0$ pour des charges de même signe (il faut fournir du travail pour les rapprocher), $<0$ pour des charges opposées.

**À retenir.** *Réflexe :* l'énergie d'interaction est le travail de l'opérateur **contre** la force de Coulomb ; d'où le signe.

*Rapport :* « erreur de signe fréquente sur un résultat qui devrait être bien connu », et justification manquante ou usant de notations non définies ($\mathrm{grad}$ sans indice, $\vec r$ sans indice).

On explicite la borne infinie et le sens du travail.

### Question 2

**Rappel de cours.** Une force conservative dérive d'une énergie potentielle : $\vec F=-\vec{\mathrm{grad}}\,E_p$.

Formulaire éq. (2) : $\vec{\mathrm{grad}}_A\!\big(1/r_{AB}\big)=\vec r_{AB}/r_{AB}^3$ (on dérive par rapport à la position de $A$).

**Analyse.** $U_{12}=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0 r_{12}}$ ne dépend que de la distance $r_{12}=|\vec r_2-\vec r_1|$ : c'est **une seule** fonction des deux positions.

La force sur $q_1$ s'obtient en dérivant par rapport à $\vec r_1$.

**Solution détaillée.**

Avec $A\equiv 1$, $B\equiv 2$, $\vec r_{12}=\vec r_2-\vec r_1$ : $$\vec F_{2\to1}=-\vec{\mathrm{grad}}_{1}U_{12}=-\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0}\,\vec{\mathrm{grad}}_{1}\!\left(\frac1{r_{12}}\right)=-\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec r_{12}}{r_{12}^3}=\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec r_{21}}{r_{21}^3}.$$
On retrouve exactement la force de Coulomb de $2$ sur $1$.

**Oui, cette unique énergie potentielle décrit complètement l'interaction** : les deux forces $\vec F_{1\to2}$ et $\vec F_{2\to1}$ dérivent de la *même* $U_{12}$, chacune par gradient par rapport à la charge concernée.

**À retenir.** *Réflexe :* une énergie d'interaction est un scalaire attaché à la **paire** ; les deux forces en découlent par $\vec F_{i}=-\vec{\mathrm{grad}}_i U$. *Rapport :* beaucoup invoquent le principe des actions réciproques — « ce n'est pas l'esprit de la question », qui vise justement à montrer que les deux forces dérivent de la même énergie d'interaction.

### Question 3

**Rappel de cours.**

Potentiel créé par une charge : $V_{i\to j}=\dfrac{q_i}{4\pi\varepsilon_0 r_{ij}}$ (potentiel créé par $q_i$ au point où se trouve $q_j$).

Énergie d'une paire : $U_{ij}=q_jV_{i\to j}=\dfrac{q_iq_j}{4\pi\varepsilon_0 r_{ij}}$.

**Analyse.** L'énergie totale est la somme sur toutes les **paires** $\{i,j\}$.

Dans la somme $\sum_{i\neq j}$ « sur les couples ordonnés », chaque paire physique apparaît **deux fois** (couples $(i,j)$ et $(j,i)$), avec $q_jV_{i\to j}=q_iV_{j\to i}$.

Il faut donc corriger le double comptage par un facteur $1/2$.

**Solution détaillée.** $$U_q=\sum_{\text{paires}}U_{ij}=\tfrac12\sum_{i\neq j}q_jV_{i\to j}\quad\Rightarrow\quad \boxed{a=\tfrac12},\qquad V_{i\to j}=\frac{q_i}{4\pi\varepsilon_0 r_{ij}}.$$
Signe : $U_q$ peut être **positif ou négatif** selon les signes relatifs des charges (rien n'impose un signe).

**À retenir.** *Réflexe :* facteur $1/2$ dès qu'on somme des paires sur des indices ordonnés. *Rapport :* seuls 50 % ont mis le $1/2$ ; l'oubli « entraînait des réponses fausses à toutes les questions suivantes ». On prend $V_{i\to j}$ **potentiel** (et non un simple facteur), sous peine de difficultés ultérieures.

### Question 4

**Rappel de cours.** L'énergie propre d'un sous‑système = énergie de ses interactions internes ; l'énergie d'interaction entre deux sous‑systèmes = somme des interactions croisées.

**Analyse.** $S_q^\alpha=\{q_1,q_2\}$, $S_q^\beta=\{q_3,q_4\}$.

On range les paires de $S_q$ en trois catégories : internes à $\alpha$, internes à $\beta$, croisées $\alpha\!-\!\beta$.

**Solution détaillée.** $$U_q^\alpha=q_2V_{1\to2},\qquad U_q^\beta=q_4V_{3\to4},$$ $$U_q^{\alpha\leftrightarrow\beta}=\sum_{i\in\alpha}\sum_{j\in\beta}q_jV_{i\to j}=q_3V_{1\to3}+q_4V_{1\to4}+q_3V_{2\to3}+q_4V_{2\to4},$$ $$\boxed{U_q=U_q^\alpha+U_q^\beta+U_q^{\alpha\leftrightarrow\beta}}.$$
Les termes croisés **ne portent pas** de facteur $1/2$ : chaque paire croisée n'est comptée qu'une fois (les couples $(i\!\in\!\alpha,\,j\!\in\!\beta)$ et $(j\!\in\!\beta,\,i\!\in\!\alpha)$ du $\tfrac12\sum_{i\neq j}$ se combinent en un seul terme).

**À retenir.**

*Réflexe :* propre ($1/2$, indices dans le même bloc) vs interaction (coefficient $1$, un bloc chaque).

*Rapport :* la rigueur de cette décomposition conditionne toute la partie 1.4.

### Question 5

**Rappel de cours.** Superposition des potentiels : le potentiel créé par un système $=$ somme des potentiels de ses charges.

**Analyse.** On généralise la Q4 : le facteur $1/2$ n'apparaît **pas** pour l'interaction entre deux systèmes **distincts** (pas de double comptage entre blocs différents).

**Solution détaillée.**

En posant $V_{\alpha\to j}=\sum_{i\in\alpha}V_{i\to j}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i\in\alpha}\dfrac{q_i}{r_{ij}}$ (potentiel créé par **tout** $S_q^\alpha$ en $j$) : $$U_q^{\alpha\leftrightarrow\beta}=\sum_{j\in\beta}\sum_{i\in\alpha}q_jV_{i\to j}=\sum_{j\in\beta}q_j\,V_{\alpha\to j}\quad\Rightarrow\quad \boxed{b=1}.$$
Symétriquement, avec $V_{\beta\to i}=\sum_{j\in\beta}V_{j\to i}$ : $\;U_q^{\alpha\leftrightarrow\beta}=\displaystyle\sum_{i\in\alpha}q_i\,V_{\beta\to i}$.

**À retenir.**

*Réflexe :* interaction entre systèmes distincts $\Rightarrow$ coefficient $1$ ; auto‑énergie d'un système $\Rightarrow$ coefficient $1/2$.

Les deux écritures ($V_{\alpha\to j}$ ou $V_{\beta\to i}$) préfigurent le **théorème de réciprocité** (Q6).

## 1.2 — Formulations intégrales de l'énergie électrostatique

### Question 6

**Rappel de cours.** Formulation intégrale (éq. 11) : $U_\rho=\tfrac12\displaystyle\int\rho\,V_\rho\,\mathrm d\tau$.

Superposition : $\rho=\rho_\alpha+\rho_\beta$, $V_\rho=V_\alpha+V_\beta$.

**Analyse.** On développe le produit $\rho\,V_\rho$ et on identifie les termes « purs » (propres) et « croisés » (interaction), en utilisant le théorème de réciprocité (éq. 12) pour fusionner les deux croisés.

**Solution détaillée.** $$U_\rho=\tfrac12\!\int(\rho_\alpha+\rho_\beta)(V_\alpha+V_\beta)\,\mathrm d\tau=\underbrace{\tfrac12\!\int\rho_\alpha V_\alpha}_{U_\rho^\alpha}+\underbrace{\tfrac12\!\int\rho_\beta V_\beta}_{U_\rho^\beta}+\underbrace{\tfrac12\!\int(\rho_\alpha V_\beta+\rho_\beta V_\alpha)}_{U_\rho^{\alpha\leftrightarrow\beta}}.$$
Par réciprocité $\int\rho_\alpha V_\beta=\int\rho_\beta V_\alpha$, donc $U_\rho^{\alpha\leftrightarrow\beta}=\displaystyle\int\rho_\alpha V_\beta\,\mathrm d\tau=\int\rho_\beta V_\alpha\,\mathrm d\tau$ (le $1/2$ disparaît, comme en Q5). $\;\boxed{U_\rho=U_\rho^\alpha+U_\rho^\beta+U_\rho^{\alpha\leftrightarrow\beta}}$.

**À retenir.** *Réflexe :* même structure « propre + propre + interaction » qu'en discret ; le $1/2$ subsiste sur les propres, disparaît sur l'interaction. *Rapport :* c'est la manipulation d'intégrales à mener « avec rigueur ».

### Question 7

**Rappel de cours.**

En discret, la somme $\sum_{i\neq j}$ **exclut** $i=j$ : pas d'auto‑interaction.

En continu, l'intégrale $\tfrac12\int\rho V_\rho$ ne distingue pas « l'élément et lui‑même ».

**Analyse.** On compare les deux jeux de formules : interactions vs énergies totales.

**Solution détaillée.**

Les **énergies d'interaction** coïncident : $U_q^{\alpha\leftrightarrow\beta}$ et $U_\rho^{\alpha\leftrightarrow\beta}$ ne font intervenir que des couples de constituants **distincts** (un dans $\alpha$, un dans $\beta$) — aucune auto‑interaction.

En revanche, l'**énergie totale** diffère : $U_\rho=\tfrac12\int\rho V_\rho$ **inclut l'interaction de chaque élément de charge avec lui‑même** (auto‑énergie), alors que $U_q=\tfrac12\sum_{i\neq j}$ l'exclut explicitement.

C'est là toute la différence : la description continue contient les auto‑énergies (qui divergeront pour des charges ponctuelles, Q11).

**À retenir.**

*Réflexe :* $U_\rho$ = interactions **+ auto‑énergies** ; $U_q$ = interactions **seules**.

*Rapport :* cette différence « a rarement été donnée » — c'est pourtant la clé des Q10, Q11, Q30.

### Question 8

**Rappel de cours.** Le potentiel n'est défini qu'à une constante additive près ; seuls comptent ses gradients (le champ) et donc les forces.

Charges totales : $Q=\int\rho$, $Q_\alpha=\int\rho_\alpha$, $Q_\beta=\int\rho_\beta$.

**Analyse.** On remplace $V\to V+\Delta V$ (constante) dans les deux intégrales.

**Solution détaillée.**
$$U_\rho\to\tfrac12\!\int\rho\,(V+\Delta V)=U_\rho+\tfrac12\,Q\,\Delta V,\qquad U_\rho^{\alpha\leftrightarrow\beta}\to\int\rho_\alpha(V_\beta+\Delta V)=U_\rho^{\alpha\leftrightarrow\beta}+Q_\alpha\,\Delta V.$$
**Commentaire.**

L'énergie propre $U_\rho$ change de $\tfrac12 Q\Delta V$ : sa valeur absolue **n'est pas** physique en général — elle ne l'est que pour un système globalement **neutre** ($Q=0$).

Pour l'interaction, l'apparition de $Q_\alpha\Delta V$ (et $Q_\beta\Delta V$ par l'autre écriture) montre que la forme intégrale et le théorème de réciprocité (éq. 12) ne valent qu'avec la convention canonique $V(\infty)=0$ : les potentiels « créés par » $V_\alpha,V_\beta$ sont fixés par les sources et l'annulation à l'infini, on ne peut leur ajouter une constante arbitraire.

Ce qui est physique dans tous les cas — les **forces**, gradients de l'énergie — est insensible à $\Delta V$.

**À retenir.**

*Réflexe :* seul le cas neutre ($Q=0$) rend l'énergie indépendante du choix d'origine ; sinon on garde $V(\infty)=0$.

*Rapport :* les modifications sont trouvées, mais « les commentaires ont très rarement été pertinents » — l'enjeu est la portée physique (forces invariantes, valeur absolue non physique).

### Question 9

**Rappel de cours.** Équation de Maxwell‑Gauss : $\rho=\varepsilon_0\,\mathrm{div}\,\vec E$. Champ‑gradient : $\vec E=-\vec{\mathrm{grad}}\,V$. Identité (3) : $\mathrm{div}(V\vec E)=V\,\mathrm{div}\,\vec E+\vec E\cdot\vec{\mathrm{grad}}\,V$. Théorème d'Ostrogradski.

**Analyse.** On part de $U_\rho=\tfrac12\int_{\text{tout l'espace}}\rho V\,\mathrm d\tau$, on injecte Gauss, on intègre par parties (via l'identité + Ostrogradski) et on montre que le terme de bord à l'infini s'annule pour une distribution finie.

**Solution détaillée.** $$U_\rho=\tfrac12\!\int\rho V\,\mathrm d\tau=\frac{\varepsilon_0}{2}\!\int (\mathrm{div}\,\vec E)\,V\,\mathrm d\tau.$$
Or, avec $\vec E\cdot\vec{\mathrm{grad}}\,V=-\vec E^2$, l'identité (3) donne $(\mathrm{div}\,\vec E)\,V=\mathrm{div}(V\vec E)+\vec E^2$.

Donc
$$U_\rho=\frac{\varepsilon_0}{2}\!\int\mathrm{div}(V\vec E)\,\mathrm d\tau+\frac{\varepsilon_0}{2}\!\int \vec E^2\,\mathrm d\tau=\frac{\varepsilon_0}{2}\oint_{S_\infty}V\vec E\cdot\mathrm d\vec S+\frac{\varepsilon_0}{2}\!\int \vec E^2\,\mathrm d\tau.$$
**Terme de bord.**

Pour une distribution finie de charge totale $Q\neq0$ : à grande distance $V\sim r^{-1}$, $E\sim r^{-2}$, $\mathrm dS\sim r^2$, donc l'intégrande $\sim r^{-1}\to0$ ; le flux sur la sphère à l'infini s'annule.

D'où
$$\boxed{U_{es}=\int \tfrac12\,\varepsilon_0\,\vec E^2(\vec r)\,\mathrm d\tau}\quad\text{(sur tout l'espace).}$$

**À retenir.** *Réflexe :* passage $\rho V\to E^2$ = Gauss + intégration par parties + annulation du bord à l'infini (à justifier par la décroissance des champs). *Rapport :* « il est indispensable que **toutes les étapes** du calcul soient présentes pour obtenir le point ».

### Question 10

**Rappel de cours.** $U_{es}=\tfrac{\varepsilon_0}{2}\int E^2\,\mathrm d\tau\ge0$. Force $=-\vec{\mathrm{grad}}$(énergie de configuration) : une force attractive correspond à une énergie qui **décroît** quand les corps se rapprochent, indépendamment du signe de l'énergie.

**Analyse.** Trois points : signe de $U_{es}$ ; écart avec le cas ponctuel ; compatibilité avec l'attraction.

**Solution détaillée.**

- **Signe :** $U_{es}\ge0$ toujours (intégrale de $E^2$).

- **Écart avec le cas ponctuel :** $U_q$ pouvait être négatif.

La différence tient (Q7) à ce que $U_{es}$ **inclut les auto‑énergies** (positives, éventuellement divergentes) de chaque charge, absentes de $U_q$.

La forme champ ne « voit » pas séparément interactions et auto‑énergies.
- **Attraction :** oui, elle reste possible.

La force ne dépend pas du signe de l'énergie mais de sa **variation** : deux charges opposées voient l'énergie totale (toujours $\ge0$) **décroître** quand elles se rapprochent (le champ total diminue là où les champs opposés se compensent) $\Rightarrow$ force attractive.

**À retenir.** *Réflexe :* ne jamais lire le sens d'une force dans le signe d'une énergie, mais dans sa dérivée spatiale. *Rapport :* explication du signe « rarement donnée » ; surtout, beaucoup ont fait « un lien entre signe de l'énergie et sens de la force » — erreur de mécanique de base à proscrire.

### Question 11

**Rappel de cours.** Champ d'une charge ponctuelle : $E=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$. Élément de volume sphérique : $\mathrm d\tau=4\pi r^2\,\mathrm dr$.

**Analyse.** On applique (13) à une seule charge ponctuelle.

**Solution détaillée.** $$U_{es}=\frac{\varepsilon_0}{2}\!\int_0^\infty\!\left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\right)^{2}\!4\pi r^2\,\mathrm dr=\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0}\!\int_0^\infty\!\frac{\mathrm dr}{r^2}=\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0}\Big[-\tfrac1r\Big]_0^\infty\;\to\;+\infty.$$
La divergence vient de $r\to0$ : **l'auto‑énergie d'une charge ponctuelle est infinie**.

Conséquence : les formulations (11) et (13) **ne peuvent pas** décrire proprement un système de charges ponctuelles, car elles incluent systématiquement l'auto‑énergie (divergente). La formulation discrète (9), qui exclut $i=j$, l'évite.

**À retenir.**

*Réflexe :* auto‑énergie $\propto\int_0 \mathrm dr/r^2$ diverge $\Rightarrow$ pathologie de la charge ponctuelle.

*Rapport :* « l'obtention d'une énergie infinie a troublé une partie des candidats » — c'est le résultat attendu, à assumer et commenter.

### Question 12

**Rappel de cours.**

Superposition $\vec E=\vec E_1+\vec E_2$, d'où $E^2=E_1^2+E_2^2+2\vec E_1\cdot\vec E_2$.

Intégrale du formulaire (6) : $\displaystyle\int\frac{\vec r\cdot(\vec r+\vec n)}{r^3|\vec r+\vec n|^3}\,\mathrm d\tau=4\pi$ ($\vec n$ unitaire).

**Analyse.**

Le développement de $E^2$ sépare deux **auto‑énergies** (divergentes, indépendantes de $r_{12}$) et un **terme croisé** (l'interaction), seul fini et calculable.

**Solution détaillée.** $$U_{es}=\underbrace{\tfrac{\varepsilon_0}{2}\!\int E_1^2}_{\text{propre 1 (div.)}}+\underbrace{\tfrac{\varepsilon_0}{2}\!\int E_2^2}_{\text{propre 2 (div.)}}+\underbrace{\varepsilon_0\!\int \vec E_1\cdot\vec E_2\,\mathrm d\tau}_{U_{12}}.$$
Avec $\vec E_k=\dfrac{q_k}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\vec r-\vec r_k}{|\vec r-\vec r_k|^3}$ : $$U_{12}=\varepsilon_0\frac{q_1q_2}{(4\pi\varepsilon_0)^2}\!\int\frac{(\vec r-\vec r_1)\cdot(\vec r-\vec r_2)}{|\vec r-\vec r_1|^3\,|\vec r-\vec r_2|^3}\,\mathrm d\tau.$$
On pose $\vec r'=\vec r-\vec r_1$ puis $\vec r'=r_{12}\,\vec u$ avec $\vec r_{12}=r_{12}\,\vec n$ ($\vec n$ unitaire).

Alors $\mathrm d\tau=r_{12}^3\,\mathrm d\tau_u$ et l'intégrale devient $\dfrac1{r_{12}}\displaystyle\int\frac{\vec u\cdot(\vec u-\vec n)}{u^3|\vec u-\vec n|^3}\mathrm d\tau_u$.

Par (6) (avec $\vec n\to-\vec n$) cette intégrale vaut $4\pi$.

Donc $$U_{12}=\varepsilon_0\frac{q_1q_2}{16\pi^2\varepsilon_0^2}\cdot\frac{4\pi}{r_{12}}=\boxed{\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0\,r_{12}}}.$$
On **retrouve exactement** $U_{12}$ de la Q1 : la formulation en champ redonne la même énergie d'interaction, les seules divergences étant les auto‑énergies.

**À retenir.** *Réflexe :* le double produit $2\vec E_1\cdot\vec E_2$ **est** l'énergie d'interaction ; les carrés sont les auto‑énergies. *Rapport :* « manipulations d'intégrales à mener avec rigueur », toutes les étapes lisibles.

## 1.3 — Énergie électrostatique et grandeurs nivelées

*Charge nivelée : $\rho(\vec r)=\sum_i q_i\,f(\vec r-\vec r_i)$, avec $f\ge0$, $\int f\,\mathrm d\tau=1$, $f$ à symétrie sphérique et nulle au‑delà d'un rayon $R$.*

### Question 13

**Rappel de cours.**

Passer d'une charge ponctuelle à une charge nivelée, c'est remplacer chaque « pic » (distribution de Dirac $q_i\,\delta(\vec r-\vec r_i)$) par une **bosse lisse** $q_i f(\vec r-\vec r_i)$, de même charge, étalée sur un rayon $R$.

**Analyse.**

Schéma (coupe 1D du profil) : à gauche, deux flèches verticales (Diracs) d'aires $q_1,q_2$ aux abscisses $r_1,r_2$ ; à droite, deux cloches centrées en $r_1,r_2$, de largeur $\sim R$, de mêmes **aires** $q_1,q_2$.

Il faut que le schéma montre que l'aire (la charge) est conservée et que l'étalement a une extension finie $R$.

**Solution détaillée.**

Charge totale : $$Q=\int\rho\,\mathrm d\tau=\sum_i q_i\!\int f(\vec r-\vec r_i)\,\mathrm d\tau=\sum_i q_i\quad(\text{car }\int f=1).$$
La charge totale est **inchangée** : $Q=\sum_i q_i$.

**À retenir.** *Réflexe :* la normalisation $\int f=1$ garantit la conservation de la charge. *Rapport :* schémas « trop peu soignés » ; le dessin doit **convaincre** que la notion de charge nivelée est comprise (pics → bosses de même aire, extension $R$).

### Question 14

**Rappel de cours.** Fonction fenêtre = densité de probabilité de position, normalisée à 1.

**Analyse.**

Répartition **homogène** sur une boule de rayon $R$ : $f$ constante à l'intérieur, nulle au‑delà.

La constante se fixe par $\int f=1$.

**Solution détaillée.**

Volume de la boule $=\tfrac43\pi R^3$, donc $$\boxed{f(\vec r)=\begin{cases}\dfrac{3}{4\pi R^3}&r\le R,\\[4pt]0&r>R.\end{cases}}$$
Vérification : $\int f\,\mathrm d\tau=\dfrac{3}{4\pi R^3}\cdot\tfrac43\pi R^3=1$. ✔ (dimension : $[f]=\mathrm m^{-3}$, cohérent avec $\rho=q f$).

**À retenir.** *Réflexe :* toujours fixer la constante par la normalisation, et préciser le support ($r\le R$).

### Question 15* 

**Rappel de cours.** Potentiel intégral : $V(\vec r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle\int\frac{\rho(\vec r\,')}{|\vec r-\vec r\,'|}\,\mathrm d\tau'$.

En 3D, la singularité $1/s$ est **intégrable** car $\mathrm d\tau=s^2\,\mathrm ds\,\mathrm d\Omega$ compense.

**Analyse.** Le seul risque de divergence est le point $\vec r\,'=\vec r$.

On majore la contribution d'une petite boule de rayon $a$ centrée sur le point de champ, en utilisant la borne $|\rho|<\rho_M$.

**Solution détaillée.** $$|V(\vec r)|\le\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\!\int\frac{|\rho(\vec r\,')|}{|\vec r-\vec r\,'|}\,\mathrm d\tau'.$$
Contribution du voisinage (boule de rayon $a$ autour de $\vec r$), $s=|\vec r-\vec r\,'|$ : $$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\!\int_0^a\frac{\rho_M}{s}\,4\pi s^2\,\mathrm ds=\frac{\rho_M}{\varepsilon_0}\!\int_0^a s\,\mathrm ds=\frac{\rho_M\,a^2}{2\varepsilon_0}\quad(\text{fini}).$$
La contribution du reste (distribution finie, dénominateur borné inférieurement) est également finie.

Donc $V$ est **fini en tout point**, y compris au cœur de la distribution.

**À retenir.**

*Réflexe :* en 3D le $1/s$ est « tué » par le $s^2\,\mathrm ds$ ; c'est la borne $\rho_M$ (densité **finie**) qui régularise, contrairement au Dirac ponctuel.

*Rapport :* question étoilée « plutôt bien traitée » et rentable — ne pas la laisser de côté.

### Question 16

**Rappel de cours.** $U_\rho=\tfrac12\int\rho V\,\mathrm d\tau$, sur le support (fini) de $\rho$.

**Analyse.**

On combine : $\rho$ bornée (par $\rho_M$), $V$ fini (Q15), support fini.

**Solution détaillée.**

L'intégrande $\rho V$ est borné et le domaine d'intégration est de volume fini, donc $U_\rho$ est fini. (De façon équivalente via (13) : le champ $\vec E$ est partout fini — plus de singularité ponctuelle — et décroît en $r^{-2}$ à l'infini, donc $\int E^2\,\mathrm d\tau$ converge.)

**L'énergie d'une quantité finie de charges nivelées ne diverge pas.**

**À retenir.** *Réflexe :* niveler = remplacer une densité singulière par une densité bornée = supprimer la divergence d'auto‑énergie.

### Question 17

**Rappel de cours.**

Champ d'une **boule** uniformément chargée (charge $q$, rayon $R$), par Gauss : $E_{\text{int}}(r)=\dfrac{q\,r}{4\pi\varepsilon_0 R^3}$ ($r\le R$), $E_{\text{ext}}(r)=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ ($r\ge R$).

**Analyse.** Auto‑énergie via (13), en séparant intérieur et extérieur.

**Solution détaillée.** $$U_{BR}=\frac{\varepsilon_0}{2}\!\left[\int_0^R\!\Big(\frac{q r}{4\pi\varepsilon_0 R^3}\Big)^2 4\pi r^2\mathrm dr+\int_R^\infty\!\Big(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\Big)^2 4\pi r^2\mathrm dr\right].$$
Intérieur : $\dfrac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 R^6}\displaystyle\int_0^R r^4\mathrm dr=\dfrac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 R^6}\cdot\dfrac{R^5}{5}=\dfrac{q^2}{40\pi\varepsilon_0 R}$.

Extérieur : $\dfrac{q^2}{8\pi\varepsilon_0}\displaystyle\int_R^\infty\dfrac{\mathrm dr}{r^2}=\dfrac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}=\dfrac{5q^2}{40\pi\varepsilon_0 R}$. $$\boxed{U_{BR}=\frac{q^2}{40\pi\varepsilon_0 R}(1+5)=\frac{3}{20\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{R}=\frac35\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 R}}.$$
La contribution extérieure (5/6) domine l'intérieure (1/6).

Finie, comme prévu (Q16).

**À retenir.** *Réflexe :* auto‑énergie d'une boule homogène $=\tfrac35\,\dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 R}$ (résultat classique) ; ne pas oublier le champ **intérieur**.

### Question 18

**Rappel de cours.** Relation masse‑énergie (admise) $E=mc^2$. Longueur de Compton réduite $\lambdabar_C=\dfrac{\hbar}{m_e c}=\dfrac{h}{2\pi m_e c}$ (échelle quantique de l'électron).

**Analyse.**

On impose $m_e c^2=U_{BR}$ (toute la masse d'origine électrostatique), en tenant compte des champs **intérieur et extérieur** (donc $U_{BR}$ de la Q17).

**Solution détaillée.** $$m_e c^2=\frac{3}{20\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r_e}\quad\Rightarrow\quad \boxed{r_e=\frac{3\,e^2}{20\pi\varepsilon_0\,m_e c^2}=\frac35\cdot\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e c^2}}.$$
A.N. rayon classique $r_0=\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e c^2}=\dfrac{(1{,}6\cdot10^{-19})^2}{(1{,}11\cdot10^{-10})(9{,}1\cdot10^{-31})(9\cdot10^{16})}\approx2{,}8\cdot10^{-15}\ \text{m}$, d'où $$r_e=\tfrac35\,r_0\approx1{,}7\times10^{-15}\ \text{m}.$$
**Limites de la physique classique ?**

Oui, bien avant cette échelle.

La longueur de Compton réduite $\lambdabar_C=\dfrac{h}{2\pi m_e c}\approx\dfrac{6{,}6\cdot10^{-34}}{2\pi(9{,}1\cdot10^{-31})(3\cdot10^{8})}\approx3{,}9\times10^{-13}\ \text{m}$ est **~230 fois plus grande** que $r_e$ (on a d'ailleurs $r_e\sim\alpha\,\lambdabar_C$, $\alpha\approx1/137$).

Dès l'échelle $\lambdabar_C\gg r_e$, la description **quantique** (fluctuations, création de paires) s'impose : la mécanique classique cesse d'être valide bien au‑dessus de $r_e$.

**À retenir.**

*Réflexe :* $r_e\sim10^{-15}$ m = rayon classique de l'électron ; mais $\lambdabar_C\gg r_e$ signale que le quantique domine avant.

*Note programme :* $E=mc^2$ admis ; la comparaison à $\lambdabar_C$ est une ouverture culturelle (au‑delà du programme PC).

### Question 19* 

**Rappel de cours.**

**Théorème de Gauss / de la « coquille »** : à l'extérieur d'une distribution à symétrie sphérique de charge totale $q$, le potentiel et le champ sont **identiques** à ceux d'une charge ponctuelle $q$ placée au centre.

**Analyse.**

L'énergie d'interaction $U_{12}=\int\rho_{q_1}V_{q_2}\,\mathrm d\tau$ ne « teste » $V_{q_2}$ que sur le support de $\rho_{q_1}$.

**Solution détaillée.**

Tant que les supports de $\rho_{q_1}$ et $\rho_{q_2}$ ne se recoupent pas, chaque bosse est **entièrement à l'extérieur** de l'autre.

Là, le potentiel créé par la charge nivelée $q_2$ est exactement celui de la charge ponctuelle $q_2$ (coquille) : $V_{q_2}(\vec r)=\dfrac{q_2}{4\pi\varepsilon_0|\vec r-\vec r_2|}$.

L'énergie d'interaction, calculée sur le support de $\rho_{q_1}$, est donc **identique** au cas ponctuel : $U_{12}=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0 r_{12}}$.

**À retenir.** *Réflexe :* « vu de l'extérieur, une distribution sphérique = charge ponctuelle » ; d'où l'insensibilité de l'interaction au nivellement tant qu'il n'y a pas recouvrement. *Rapport :* raisonnement « souvent incomplet » — il faut **nommer** l'argument de la coquille.

### Question 20* 

**Signalement de coquille (conforme à la notice de l'énoncé).**

L'énoncé demande de montrer que $U_{12}$ est **décroissante** avec $r_{12}$ pour $q_1q_2<0$ ; c'est erroné.

Pour des charges **opposées**, $U_{12}(r_{12})<0$ tend vers $0^-$ à l'infini et devient **plus négative** au rapprochement : $U_{12}$ est en fait **croissante** avec $r_{12}$ (c'est sa **valeur absolue** qui décroît avec la distance).

Je traite la physique correcte et signale la correction.

**Rappel de cours.** Force entre charges opposées : attractive. Énergie et force : $\vec F=-\vec{\mathrm{grad}}\,U$.

**Analyse.** Deux charges nivelées opposées, fenêtre = boule de rayon $R$, qui s'interpénètrent. On raisonne sur le sens de la force et la finitude à recouvrement total.

**Solution détaillée.** Les charges étant de signes opposés, elles s'**attirent** : lorsqu'on les rapproche (diminution de $r_{12}$), la force d'interaction travaille positivement et l'énergie d'interaction **diminue** (devient plus négative) de façon monotone.

Grâce au nivellement, aucune divergence : à recouvrement **total** ($r_{12}=0$), par symétrie la force résultante s'annule et $U_{12}$ atteint son **minimum** (valeur finie $-U_{12}^m$).

La configuration d'énergie minimale est donc la superposition, et $U_{12}^m=|U_{12}(0)|$ est finie.

**À retenir.** *Réflexe :* pour des charges opposées, énergie d'interaction **croissante** avec la distance (module décroissant), minimum à superposition. *Rapport :* « coquille » confirmée par le jury (« il était demandé de montrer que l'énergie d'interaction est décroissante, alors qu'elle est croissante ») ; le barème en a tenu compte, quelques candidats l'ont relevée.

### Question 21

**Rappel de cours.**

Résultat admis valable pour toute fenêtre $f\ge0$ : saturation de $U_{12}$ à recouvrement total.

Pour deux boules de rayon $R$, les supports se séparent dès $r_{12}>2R$.

**Analyse.**

On superpose la courbe ponctuelle ($\propto1/r_{12}$) et la courbe nivelée (qui la suit pour $r_{12}>2R$ puis sature).

**Solution détaillée.** Graphe $U_{12}(r_{12})$ :

- **Ponctuel :** $U_{12}=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0 r_{12}}$ ; diverge en $r_{12}\to0$ ($+\infty$ si $q_1q_2>0$, $-\infty$ si $q_1q_2<0$) ; $\to0$ à l'infini.

- **Nivelé :** **confondu** avec la courbe ponctuelle pour $r_{12}\ge2R$ (Q19) ; puis, pour $r_{12}<2R$, s'en écarte et **sature** à une valeur finie $\pm U_{12}^m$ atteinte en $r_{12}=0$ (Q20).

```
 U12 |          cas q1q2>0
     |  *ponct (→+∞)
 +Um |----•───────  nivelé sature à +Um
     |     \··*·... (courbes confondues pour r12>2R)
   0 |________\________*____________→ r12
     |         2R       (→0 à l'∞)
 -Um |----•───────  nivelé sature à −Um
     |  *ponct (→−∞)   cas q1q2<0
```

Grandeurs à faire apparaître : l'abscisse $r_{12}=2R$ (début du recouvrement) et les plateaux $\pm U_{12}^m$.

**À retenir.**

*Réflexe :* le nivellement « coupe » la divergence en un plateau fini à $\pm U_{12}^m$, en raccordant la courbe ponctuelle au‑delà de $2R$.

*Rapport :* la coquille de la Q20 a perturbé les Q21‑22 ; garder la logique physique (attraction/répulsion, plateau).

### Question 22

**Rappel de cours.**

La divergence ponctuelle $\dfrac{|q_1q_2|}{4\pi\varepsilon_0 r_{12}}$ est bornée, après nivellement, par la valeur $U_{12}^m$.

On peut donc définir une **distance effective minimale** $r_{\min}$ telle que le modèle ponctuel donne la même énergie maximale : $\dfrac{|q_1q_2|}{4\pi\varepsilon_0 r_{\min}}=U_{12}^m$.

**Analyse.**

Il faut calculer $U_{12}^m$ pour deux boules homogènes opposées $\pm q$ ($|q_1|=|q_2|=q$) superposées, puis inverser.

**Solution détaillée.**

Potentiel d'une boule homogène de charge $-q$, rayon $R$, à l'intérieur : $V_2(r)=\dfrac{-q}{8\pi\varepsilon_0 R}\Big(3-\dfrac{r^2}{R^2}\Big)$.

Énergie d'interaction à superposition ($\rho_1=+\dfrac{3q}{4\pi R^3}$) : $$U_{12}(0)=\int_0^R\rho_1 V_2\,4\pi r^2\mathrm dr=\frac{3q}{4\pi R^3}\cdot\frac{-q}{8\pi\varepsilon_0 R}\cdot4\pi\!\int_0^R\!\Big(3-\frac{r^2}{R^2}\Big)r^2\mathrm dr.$$
Or $\displaystyle\int_0^R\!\Big(3r^2-\frac{r^4}{R^2}\Big)\mathrm dr=R^3-\frac{R^3}{5}=\frac{4R^3}{5}$, d'où $$U_{12}(0)=-\frac{3q^2}{10\pi\varepsilon_0 R}\quad\Rightarrow\quad U_{12}^m=\frac{3q^2}{10\pi\varepsilon_0 R}.$$
Distance effective minimale : $$\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 r_{\min}}=\frac{3q^2}{10\pi\varepsilon_0 R}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{4r_{\min}}=\frac{3}{10R}\quad\Rightarrow\quad\boxed{r_{\min}=\frac{5R}{6}}.$$

**À retenir.**

*Réflexe :* niveler $\equiv$ interdire aux charges de s'approcher à moins de $r_{\min}\sim R$ (ici $5R/6$) — la « taille » de la charge fixe une coupure.

*Rapport :* la coquille de Q20 a conduit à des réponses fausses ici ; le calcul de $U_{12}^m$ (intégrale du potentiel de boule) doit être mené proprement.

## 1.4 — Étude d'un système de sphères concentriques

*Deux conducteurs sphériques concentriques $S_a,S_b$ (rayons $R_a<R_b$, charges $Q_a,Q_b$ réparties uniformément).

On étudie d'abord une sphère seule $S$ (rayon $R$, densité $\sigma$, charge $Q$), via la force qu'elle exerce sur elle‑même.

Points $P$ ($r=R$), $P^-$ ($r=R-\epsilon$), $P^+$ ($r=R+\epsilon$).*

### Question 23

**Rappel de cours.**

Sphère chargée en surface (Gauss) : $\vec E_S=\vec 0$ à l'intérieur ($r<R$), $\vec E_S=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec e_r$ à l'extérieur.

À la traversée d'une nappe surfacique $\sigma$, la composante normale de $\vec E$ subit une **discontinuité** $\sigma/\varepsilon_0$.

Champ d'un **plan** infini chargé $\sigma$ : $\pm\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ de part et d'autre ; **nul sur le plan lui‑même** (valeur moyenne).

Superposition : $\vec E_S=\vec E_\Sigma+\vec E_{\bar\Sigma}$.

**Analyse.** $\Sigma$ (carré de côté $b\ll R$) se comporte localement comme un plan chargé.

On veut $\vec E_{\bar\Sigma}(P)$ (champ du **reste** de la sphère), qui est la seule cause d'une force nette sur $\Sigma$ (un plan ne se pousse pas lui‑même).

**Solution détaillée.**

- **a)** $\vec E_S(P^-)=\vec 0$ (intérieur) ; $\vec E_S(P^+)=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\vec e_r=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\vec e_r$ (limite $\epsilon\to0$), avec $\sigma=\dfrac{Q}{4\pi R^2}$.

- **b)** $\Sigma$ ≈ plan chargé : $\vec E_\Sigma(P^-)=-\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_r$ (côté intérieur) et $\vec E_\Sigma(P^+)=+\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_r$ (côté extérieur), donc $\vec E_\Sigma(P^-)=-\vec E_\Sigma(P^+)$, soit $\boxed{\alpha=-1}$.

Sur le plan : $\vec E_\Sigma(P)=\vec 0$.

- **c)** $\vec E_{\bar\Sigma}$ est **continu** en $P$ (le reste $\bar\Sigma$ n'a pas de charge en $P$).

En $P^-$ : $\vec E_S(P^-)=\vec E_\Sigma(P^-)+\vec E_{\bar\Sigma}(P^-)$, soit $\vec 0=-\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_r+\vec E_{\bar\Sigma}(P)$.

D'où $$\boxed{\vec E_{\bar\Sigma}(P)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_r=\frac{Q}{8\pi\varepsilon_0 R^2}\vec e_r}.$$
Vérification par $P^+$ : $\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\vec e_r=+\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_r+\vec E_{\bar\Sigma}(P)$ ✔ (cohérent).

Le champ « moyen » $\sigma/2\varepsilon_0$ est bien celui qui agit sur la nappe.

**À retenir.** *Réflexe :* le champ agissant sur une nappe est la **moyenne** des champs de part et d'autre ($\sigma/2\varepsilon_0$), pas le champ discontinu total. *Rapport :* Q23a « simple question de cours » (Gauss) pourtant souvent fausse ; surtout, la **discontinuité** oubliée mène à des erreurs en cascade sur Q24‑25.

### Question 24

**Rappel de cours.**

Force sur une charge surfacique : $\mathrm d\vec F=(\sigma\,\mathrm dS)\,\vec E_{\text{agissant}}$, avec $\vec E_{\text{agissant}}=\vec E_{\bar\Sigma}(P)$ (le champ créé par $\Sigma$ ne pousse pas $\Sigma$).

**Analyse.**

On multiplie la charge $\sigma\,\mathrm dS$ par le champ $\vec E_{\bar\Sigma}(P)=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_r$.

**Solution détaillée.** $$\mathrm d\vec F=\sigma\,\mathrm dS\cdot\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_r=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}\,\mathrm d\vec S\quad\Rightarrow\quad\boxed{P_{es}=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}=\frac{\varepsilon_0 E_{\text{ext}}^2}{2}}\;>0.$$
**Sens :** $P_{es}>0$ **quel que soit le signe de $Q$** (dépend de $\sigma^2$) : la force est **toujours dirigée vers l'extérieur** — les charges de même signe se repoussent, la sphère tend à se dilater.

**À retenir.** *Réflexe :* pression électrostatique $\dfrac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}=\dfrac{\varepsilon_0 E^2}{2}$ = densité d'énergie du champ extérieur, toujours vers l'extérieur.

*Rapport :* une erreur sur $\vec E_{\bar\Sigma}$ (Q23) fausse invariablement $P_{es}$.

### Question 25

**Rappel de cours.** Travail des forces internes et énergie propre : $\Delta U=-W_{\text{interne}}$ (l'énergie potentielle diminue de ce que le système « dépense » en travail).

**Analyse.**

Lors d'une dilatation quasi‑statique $R\to R+\mathrm dR$, la pression $P_{es}$ pousse la surface $4\pi R^2$ de $\mathrm dR$.

Attention : $\sigma=Q/(4\pi R^2)$ varie avec $R$.

**Solution détaillée.** $P_{es}=\dfrac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}=\dfrac{Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0 R^4}$, donc $$\delta W=P_{es}\cdot4\pi R^2\,\mathrm dR=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R^2}\,\mathrm dR,\qquad \mathrm dU=-\delta W=-\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R^2}\,\mathrm dR.$$
Avec $U_S(\infty)=0$ : $$U_S(R)=\int_R^\infty\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 r^2}\,\mathrm dr=\boxed{\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}}.$$
Cohérence : c'est exactement l'énergie de champ d'une coquille, $\dfrac{\varepsilon_0}{2}\displaystyle\int_R^\infty\Big(\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\Big)^2 4\pi r^2\mathrm dr=\dfrac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}$. ✔ Signe : $U_S$ décroît quand $R$ croît (la sphère « relâche » de l'énergie en se dilatant).

**À retenir.**

*Réflexe :* auto‑énergie d'une coquille $=\dfrac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}$ ; obtenue indifféremment par le travail de la pression ou par $\int E^2$.

*Rapport :* la discontinuité de Q23 conditionne encore ce résultat.

### Question 26

**Rappel de cours.** $S_b$ (rayon $R_b>R_a$) est plongée dans le champ **extérieur** de $S_a$ : $\vec E_a(R_b)=\dfrac{Q_a}{4\pi\varepsilon_0 R_b^2}\vec e_r$.

Force sur $S_b$ : $\sigma_b\,\vec E_a$ par unité de surface, avec $\sigma_b 4\pi R_b^2=Q_b$.

**Analyse.**

On intègre le travail élémentaire quand $R_b$ passe de $R_b^1$ à $R_b^2$.

**Solution détaillée.** $$\delta W_{a\to b}=\big(\sigma_b\,E_a(R_b)\big)\,4\pi R_b^2\,\mathrm dR_b=Q_b\,\frac{Q_a}{4\pi\varepsilon_0 R_b^2}\,\mathrm dR_b,$$ $$W_{a\to b}=\int_{R_b^1}^{R_b^2}\frac{Q_aQ_b}{4\pi\varepsilon_0 R_b^2}\,\mathrm dR_b=\boxed{\frac{Q_aQ_b}{4\pi\varepsilon_0}\Big(\frac{1}{R_b^1}-\frac{1}{R_b^2}\Big)}.$$

**À retenir.**

*Réflexe :* $S_a$ agit sur $S_b$ via son champ extérieur (comme une charge ponctuelle $Q_a$ au centre).

### Question 27

**Rappel de cours.** Champ **à l'intérieur** d'une coquille uniformément chargée : $\vec E_b=\vec 0$ (théorème de Gauss). Troisième loi de Newton : porte sur les **résultantes** des forces entre deux corps.

**Analyse.** $S_a$ (rayon $R_a<R_b$) est **entièrement à l'intérieur** de $S_b$, où le champ de $S_b$ est nul.

**Solution détaillée.** $\vec E_b(\text{en }S_a)=\vec 0$ $\Rightarrow$ aucune force de $S_b$ sur $S_a$ $\Rightarrow$ $$\boxed{W_{b\to a}=0}.$$
**Pas de contradiction avec la 3ᵉ loi de Newton.**

Celle‑ci concerne les **résultantes** : la résultante de $S_b$ sur $S_a$ est nulle (champ nul à l'intérieur), donc par réciprocité la **résultante** de $S_a$ sur $S_b$ est nulle aussi (elle l'est effectivement : la pression de $S_a$ sur $S_b$ est radiale et de résultante nulle par symétrie).

Les **travaux** $W_{a\to b}\neq0$ et $W_{b\to a}=0$ ne sont pas des résultantes mais des travaux de forces **réparties** lors d'un **changement de forme** (variation de rayon) ; rien n'impose leur égalité.

Aucune violation.

**À retenir.** *Réflexe :* distinguer résultante (soumise à la 3ᵉ loi) et travail de déformation (non symétrique). *Rapport :* la 2ᵉ partie (3ᵉ loi) « trop peu traitée » alors qu'elle ne demande qu'une loi élémentaire.

### Question 28

**Rappel de cours.** Énergie totale = propres + interaction. Interaction (théorème de réciprocité, éq. 12) : $U_{a\leftrightarrow b}=Q_a\,V_b(\text{en }S_a)=Q_b\,V_a(\text{en }S_b)$.

Potentiel **à l'intérieur** de $S_b$ : uniforme, $V_b=\dfrac{Q_b}{4\pi\varepsilon_0 R_b}$.

**Analyse.** On assemble rigoureusement : chaque sphère amenée depuis un rayon infini, bilan d'énergie à chaque étape. Comme l'énergie est une fonction d'état, on peut aussi l'obtenir directement par propres + interaction.

**Solution détaillée.**

Propres (Q25) : $U_S(R_a)=\dfrac{Q_a^2}{8\pi\varepsilon_0 R_a}$, $U_S(R_b)=\dfrac{Q_b^2}{8\pi\varepsilon_0 R_b}$.

Interaction : $S_a$ étant à l'intérieur de $S_b$, $V_b$ y est uniforme, donc $U_{a\leftrightarrow b}=Q_a\dfrac{Q_b}{4\pi\varepsilon_0 R_b}=\dfrac{Q_aQ_b}{4\pi\varepsilon_0 R_b}$ (on vérifie la réciprocité : $Q_bV_a(R_b)=Q_b\dfrac{Q_a}{4\pi\varepsilon_0 R_b}$, identique ✔).

D'où $$\boxed{U_{\text{tot}}=\frac{Q_a^2}{8\pi\varepsilon_0 R_a}+\frac{Q_b^2}{8\pi\varepsilon_0 R_b}+\frac{Q_aQ_b}{4\pi\varepsilon_0 R_b}}.$$
**Signe :** propres $>0$ ; interaction du signe de $Q_aQ_b$. $U_{\text{tot}}$ peut être **positif ou négatif** selon les charges.

**À retenir.**

*Réflexe :* $U_{a\leftrightarrow b}=Q_a V_b$ avec $V_b$ **uniforme** dedans $S_b$ — c'est le point subtil.

*Rapport :* raisonnement rigoureux exigé (amener depuis l'infini, bilan étape par étape) ; ne pas **postuler** sans justification la forme propre+interaction.

### Question 29

**Rappel de cours.**

Cas $Q_a=Q=-Q_b$ = condensateur sphérique : champ nul sauf dans l'entre‑deux $R_a<r<R_b$, où $\vec E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec e_r$ (charge intérieure $Q$).

**Analyse.** On calcule $U_{\text{tot}}$ par la formule Q28 puis par (13), et on compare.

**Solution détaillée.**

Par Q28 : $$U_{\text{tot}}=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R_a}+\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R_b}-\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 R_b}=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0}\Big(\frac{1}{R_a}-\frac{1}{R_b}\Big).$$
Par (13) (champ non nul seulement entre les sphères ; à l'extérieur $Q_a+Q_b=0$) : $$U_{es}=\frac{\varepsilon_0}{2}\!\int_{R_a}^{R_b}\!\Big(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\Big)^2 4\pi r^2\mathrm dr=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0}\!\int_{R_a}^{R_b}\!\frac{\mathrm dr}{r^2}=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0}\Big(\frac{1}{R_a}-\frac{1}{R_b}\Big).$$
**Les deux résultats coïncident.** (Ici les coquilles ont des auto‑énergies finies, entièrement contenues dans l'intégrale de champ.)

**À retenir.** *Réflexe :* les deux formulations **doivent** concorder ; un désaccord signale une erreur (souvent un oubli des propres ou de la discontinuité). *Rapport :* le désaccord « fréquent » n'a « peu ému les candidats » — il aurait dû alerter.

### Question 30* 

**Rappel de cours.** $U_S(R)=\dfrac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}$ est l'énergie d'**assemblage** de la distribution surfacique continue, à partir d'un état infiniment dilaté ; elle **n'inclut pas** l'auto‑énergie (constante, éventuellement divergente) des charges élémentaires qui la composent (convention discrète, Q3/Q7).

**Analyse.**

On prend la limite $R_a,R_b\to\infty$ de $U_{\text{tot}}$ et on discute sa compatibilité avec l'auto‑énergie des constituants.

**Solution détaillée.**

Chaque terme de $U_{\text{tot}}$ (Q28) est en $1/R$, donc $$\lim_{R_a,R_b\to\infty}U_{\text{tot}}=0.$$
**Compatibilité.**

Ce zéro est cohérent **à condition** de se rappeler que $U_S(R)$ ne compte **que** l'énergie de configuration (assemblage) : quand $R\to\infty$, les charges sont infiniment dispersées, leurs interactions mutuelles s'annulent, d'où $U_{\text{tot}}\to0$.

En revanche, l'**auto‑énergie propre** des charges élémentaires composant les sphères est **indépendante de $R$** (chaque charge garde sa propre structure) et **ne disparaît pas** : elle a été implicitement retranchée (comme dans la formulation discrète qui exclut $i=j$).

Autrement dit, on a levé la divergence en ne comptant pas les auto‑énergies constantes ; la limite $0$ ne concerne que l'énergie d'interaction/configuration. Le résultat est donc parfaitement compatible, à condition de revenir sur l'hypothèse « distribution surfacique continue » (qui gomme la granularité et son auto‑énergie).

**À retenir.** *Réflexe :* toujours préciser **quelle** énergie on calcule (assemblage vs totale incluant l'auto‑énergie). *Rapport :* question difficile, peu de développements calculatoires attendus ; l'enjeu est conceptuel (auto‑énergie constante non incluse).

---

# Deuxième partie — Énergie magnétique

*Circuits conducteurs non magnétiques, systèmes finis, **ARQS magnétique** (éq. 17) : $\mathrm{div}\,\vec E=\rho/\varepsilon_0$, $\vec{\mathrm{rot}}\,\vec E=-\partial_t\vec B$, $\mathrm{div}\,\vec B=0$, $\vec{\mathrm{rot}}\,\vec B\simeq\mu_0\vec j$, avec $\mathrm{div}\,\vec j=0$.*

## 2.1 — Travail des forces de Laplace et théorème de Maxwell

### Question 31

**Rappel de cours.** Force de Laplace sur un élément : $\mathrm d\vec F=I\,\mathrm d\vec l\wedge\vec B$. Produit mixte (formulaire 5) : $(\vec X\wedge\vec Y)\cdot\vec Z=(\vec Z\wedge\vec X)\cdot\vec Y$.

**Analyse.**

Le travail élémentaire pour un déplacement $\mathrm d\vec u$ est $\mathrm d\vec F\cdot\mathrm d\vec u$.

**Solution détaillée.** $$\delta w_L=(I\,\mathrm d\vec l\wedge\vec B)\cdot\mathrm d\vec u=I\,(\mathrm d\vec l\wedge\vec B)\cdot\mathrm d\vec u=I\,(\mathrm d\vec u\wedge\mathrm d\vec l)\cdot\vec B=\boxed{I\,\vec B\cdot(\mathrm d\vec u\wedge\mathrm d\vec l)}.$$ (On a utilisé $(\mathrm d\vec l\wedge\vec B)\cdot\mathrm d\vec u=(\mathrm d\vec u\wedge\mathrm d\vec l)\cdot\vec B$, permutation circulaire du produit mixte.)

**À retenir.** *Réflexe :* réécrire un travail de Laplace via le produit mixte pour faire apparaître une surface balayée.

### Question 32

**Rappel de cours.** $\mathrm d\vec u\wedge\mathrm d\vec l$ = aire (orientée) du parallélogramme **balayé** par l'élément $\mathrm d\vec l$ lors du déplacement $\mathrm d\vec u$ : c'est un élément de surface latérale $\mathrm d\vec S$.

**Analyse.**

On somme $\delta w_L$ sur tout le circuit ; $\vec B$ sort du produit mixte scalaire, reste le flux à travers la surface balayée.

**Solution détaillée.** $$\delta W_L=I\oint_C\vec B\cdot(\mathrm d\vec u\wedge\mathrm d\vec l)=I\oint_C\vec B\cdot\mathrm d\vec S=\boxed{I\,\mathrm d\Phi_c},$$ où $\mathrm d\Phi_c=\displaystyle\oint_C\vec B\cdot\mathrm d\vec S$ est le **flux coupé** : flux de $\vec B$ à travers la bande latérale $\mathrm d\Sigma_c$ balayée par le circuit pendant $\mathrm d\vec u$.

Schéma (translation $\mathrm d\vec u$) :
```
   C (final)      chaque dS = du ∧ dl, orienté
   ┌────────┐     par la règle de la main droite
   │········│     (compatible avec le sens de I)
   └────────┘  ↑ dS
   C (initial)  du
```
Orientation : $\mathrm d\vec S=\mathrm d\vec u\wedge\mathrm d\vec l$, cohérente avec le sens du courant.

**À retenir.** *Réflexe :* travail de Laplace $=I\times$ flux **coupé** (balayé), à distinguer du flux **à travers** le circuit.

### Question 33

**Rappel de cours.** Une grandeur est fonction d'état si son intégrale ne dépend que des bornes.

**Analyse.** $W_L=I\displaystyle\int\mathrm d\Phi_c$ avec $\mathrm d\Phi_c$ évalué avec le $\vec B(\vec r,t)$ **instantané**.

**Solution détaillée.**
- **a) Non.**

Sans contrainte sur $\vec B(\vec r,t)$, le flux coupé dépend de tout le tube balayé (et des valeurs de $\vec B$ rencontrées) : pas exprimable à partir des seules positions initiale et finale.

- **b) Non plus** (si $\vec B$ dépend du temps) : même en connaissant la **trajectoire géométrique**, $\vec B$ change pendant que le circuit balaie l'espace ; le flux coupé dépend de **l'instant** où chaque portion est balayée, donc de la loi horaire, pas seulement de la géométrie.

- **c) Encore moins** si $I$ varie : $\delta W_L=I(t)\,\mathrm d\Phi_c$, on ne peut plus sortir $I$ de l'intégrale ; il faut le profil temporel complet $I(t)$ le long de la trajectoire.

**À retenir.**

*Réflexe :* le travail de Laplace n'est fonction d'état que sous conditions ($\vec B$ stationnaire, $I$ constant) — c'est l'objet de la Q34.

### Question 34

**Rappel de cours.** $\mathrm{div}\,\vec B=0$ $\Rightarrow$ flux de $\vec B$ **conservatif** : à travers toute surface fermée, flux nul.

**Analyse.**

À $I$ constant dans $\vec B(\vec r)$ **stationnaire**, le circuit balaie un « tube ».

On ferme ce tube par les surfaces initiale $\Sigma_{\text{ini}}$ et finale $\Sigma_{\text{fin}}$ (s'appuyant sur $C_{\text{ini}},C_{\text{fin}}$) et on applique la conservation du flux.

**Solution détaillée.** $W_L=I\displaystyle\int_{\text{ini}}^{\text{fin}}\mathrm d\Phi_c=I\,\Phi_{\text{lat}}$, où $\Phi_{\text{lat}}$ est le flux à travers la surface **latérale** balayée.

Le tube fermé $(\Sigma_{\text{ini}},\text{latérale},\Sigma_{\text{fin}})$ vérifie $\oint_{\text{fermée}}\vec B\cdot\mathrm d\vec S=0$.

Avec des orientations compatibles (caps orientés par le sens du courant), cela donne $\Phi_{\text{lat}}=\Phi_{\text{fin}}-\Phi_{\text{ini}}=\Delta\Phi$.

D'où le **théorème de Maxwell** : $$\boxed{W_L=I\,\Delta\Phi,\qquad \eta=+1,}$$ $\Delta\Phi=\Phi_{\text{fin}}-\Phi_{\text{ini}}$ étant la variation du flux de $\vec B$ **à travers** le circuit.

Schéma : tube balayé fermé par les deux « couvercles » $C_{\text{ini}}$ et $C_{\text{fin}}$ ; le flux entrant par un couvercle ressort par l'autre plus le latéral.

**À retenir.**

*Réflexe :* flux coupé $=\Delta\Phi$ **grâce à** $\mathrm{div}\,\vec B=0$ (pas par analogie) ; $\eta=1$.

*Rapport :* écrire directement « $\int\mathrm d\Phi_c=\Delta\Phi$ » sans justifier a été « systématiquement sanctionné » malgré le bon résultat — la rigueur (tube fermé + flux conservatif) est notée.

### Question 35

**Rappel de cours.** $W_L=-\Delta E_p$.

Le théorème de Maxwell donne $W_L=I\Delta\Phi$ à $I$ constant.

**Analyse.** On identifie l'énergie potentielle d'interaction dont dérivent les forces de Laplace.

**Solution détaillée.** $W_L=I\Delta\Phi=-\Delta U_I$ $\Rightarrow$ $$\boxed{U_I=-I\,\Phi}\quad(\text{à }I\text{ constant}).$$
**Déplacements spontanés.**

Un système évolue vers les $U_I$ **décroissants**, donc vers les $\Phi$ **croissants** : un circuit rigide à courant constant tend à se déplacer/s'orienter pour **maximiser le flux** qui le traverse (règle du flux maximum).

**Circuits non rigides :** conclusion non valable a priori — une déformation modifie aussi l'énergie **propre** (auto‑inductance) du circuit ; le seul $U_I=-I\Phi$ (flux extérieur) ne suffit plus, il faut inclure l'énergie propre.

**À retenir.**

*Réflexe :* $U_I=-I\Phi$ $\Rightarrow$ règle du flux maximum.

*Rapport :* erreurs de signe fréquentes en reliant $\Delta U$ au travail « reçu/fourni » ; poser proprement $W_L=-\Delta E_p$.

*Solénoïde $S$ : $L\gg R$, $n$ spires/m, courant $I_0$ ; assimilé à un solénoïde infini, $\vec B_0=\mu_0 nI_0\,\vec e_z$ dedans, nul dehors.

Spire carrée rigide (côté $a$, courant $I_s$), initialement dans le plan $(x,y)$, centrée sur l'axe, flux positif.*

### Question 36

**Rappel de cours.**

Champ uniforme $\Rightarrow$ résultante des forces de Laplace nulle sur un circuit fermé ; flux à travers une spire plane : $\Phi=\vec B\cdot\vec S$.

**Analyse.**

Cas A1 : translation de la spire dans le plan $(x,y)$, à l'intérieur du solénoïde (champ uniforme $\vec B_0$).

**Solution détaillée.**

La spire reste dans $(x,y)$, normale $\vec e_z$, aire $a^2$ : $\Phi=B_0 a^2$ = **constant** (champ uniforme, translation).

Donc $\Delta\Phi=0$ et, par Maxwell, $W_L=I_s\Delta\Phi=0$.

Directement : champ uniforme $\Rightarrow$ résultante nulle $\Rightarrow W_L=0$.

**Accord parfait.**
$$\boxed{W_L^{(A1)}=0.}$$

**À retenir.** *Réflexe :* translation en champ uniforme = flux inchangé = travail nul.

### Question 37

**Rappel de cours.** Moment magnétique d'une spire : $\vec M=I_s a^2\,\vec n$.

Couple sur un dipôle en champ **uniforme** : $\vec\Gamma_L=\vec M\wedge\vec B_0$, énergie $E_p=-\vec M\cdot\vec B_0$. (Formule valable ici : $\vec B_0$ est uniforme sur toute la spire, entièrement à l'intérieur du solénoïde infini.)

**Analyse.**

Cas A2 : rotation de $\vec n=\vec e_z$ (flux $B_0a^2$) à $\vec n=\vec e_x$ (flux nul), autour de l'axe $y$.

**Solution détaillée.**

Par Maxwell : $\Phi_{\text{ini}}=B_0a^2$, $\Phi_{\text{fin}}=0$, donc $$W_L^{(A2)}=I_s(\Phi_{\text{fin}}-\Phi_{\text{ini}})=-I_s B_0 a^2=\boxed{-\mu_0 n I_0 I_s a^2}.$$
Par le couple : $E_p=-MB_0\cos\theta$ ($\theta$ = angle $(\vec n,\vec e_z)$) ; $W_L=-\Delta E_p=-[E_p(90°)-E_p(0)]=-[0-(-MB_0)]=-MB_0=-I_s a^2\mu_0 nI_0$.

**Identique** à Maxwell.

**À retenir.**

*Réflexe :* dipôle en champ uniforme $\Rightarrow$ $\vec\Gamma=\vec M\wedge\vec B$, $E_p=-\vec M\cdot\vec B$ ; justifier l'uniformité.

*Rapport :* le calcul « un peu plus calculatoire » a rebuté ; beaucoup ont sauté la 2ᵉ partie (Maxwell) qui, elle, « ne demandait quasiment aucun calcul ».

*Auto‑action du solénoïde : on fait varier $R$ à $n,I_0$ fixés.

Élément $\Sigma$ (carré $b\ll R$, décrit comme des fils parallèles) ; champ du reste $\vec B_{\bar\Sigma}$ évalué en $P$.*

### Question 38* 

**Rappel de cours.** Nappe de courant surfacique $\vec j_s=nI_0\,\vec e_\theta$.

Champ d'un plan de courant infini : $\pm\dfrac{\mu_0 j_s}{2}$ de part et d'autre (parallèle à la nappe, $\perp$ courant), nul sur la nappe.

Discontinuité de $\vec B_{\text{tangentiel}}$ à la traversée : $\mu_0 j_s$.

Superposition $\vec B_S=\vec B_\Sigma+\vec B_{\bar\Sigma}$. (Analogue magnétique de la Q23.)

**Analyse.** $\vec B_S=B_0\vec e_z$ dedans ($P^-$), $\vec 0$ dehors ($P^+$). $\Sigma$ ≈ nappe plane de courant.

**Solution détaillée.**

- $\vec B_S(P^-)=B_0\vec e_z=\mu_0 nI_0\vec e_z$ ; $\vec B_S(P^+)=\vec 0$.

- $\vec B_\Sigma(P^-)=+\dfrac{\mu_0 nI_0}{2}\vec e_z$, $\vec B_\Sigma(P^+)=-\dfrac{\mu_0 nI_0}{2}\vec e_z$ ; $\vec B_\Sigma(P)=\vec 0$.

- $\vec B_{\bar\Sigma}$ continu en $P$ : par $P^-$, $\vec B_{\bar\Sigma}(P)=\vec B_S(P^-)-\vec B_\Sigma(P^-)=B_0\vec e_z-\dfrac{\mu_0 nI_0}{2}\vec e_z$.

D'où $$\boxed{\vec B_{\bar\Sigma}(P)=\frac{\mu_0 nI_0}{2}\vec e_z=\frac{B_0}{2}\vec e_z}.$$
Vérification par $P^+$ : $\vec 0-\big(-\dfrac{\mu_0 nI_0}{2}\vec e_z\big)=\dfrac{\mu_0 nI_0}{2}\vec e_z$ ✔.

**À retenir.**

*Réflexe :* le champ agissant sur une nappe de courant est la **moyenne** $B_0/2$ (facteur $1/2$, exactement comme la nappe de charge en Q23).

*Rapport :* question « clairement analogue à Q23 » mais « aussi peu traitée » — le transfert d'un raisonnement d'une partie à l'autre est attendu.

### Question 39

**Rappel de cours.** Force de Laplace sur une nappe de courant : $\mathrm d\vec F=\vec j_s\wedge\vec B_{\bar\Sigma}\,\mathrm dS$. Base cylindrique : $\vec e_\theta\wedge\vec e_z=\vec e_r$.

**Analyse.** $\vec j_s=nI_0\vec e_\theta$, $\vec B_{\bar\Sigma}=\dfrac{\mu_0 nI_0}{2}\vec e_z$.

**Solution détaillée.** $$\mathrm d\vec F=nI_0\vec e_\theta\wedge\frac{\mu_0 nI_0}{2}\vec e_z\,\mathrm dS=\frac{\mu_0 n^2 I_0^2}{2}\vec e_r\,\mathrm dS\quad\Rightarrow\quad\boxed{P_{ms}=\frac{\mu_0 n^2 I_0^2}{2}=\frac{B_0^2}{2\mu_0}}>0.$$
**Sens :** $P_{ms}>0$ **quel que soit le signe de $I_0$** ($\propto I_0^2$) : force **toujours vers l'extérieur** — le solénoïde tend à se dilater (les spires parallèles de même sens s'attirent, mais la pression magnétique pousse la paroi vers l'extérieur).

**À retenir.**

*Réflexe :* **pression magnétique** $\dfrac{B_0^2}{2\mu_0}=$ densité d'énergie magnétique, dirigée vers les $B$ faibles (ici l'extérieur).

*Rapport :* Q39‑40 « très rarement traitées » — c'est pourtant le décalque magnétique de Q24‑25.

### Question 40

**Rappel de cours.**

Travail de la pression sur la paroi latérale (cylindre longueur $L$, aire $2\pi RL$) : $\delta W=P_{ms}\,2\pi RL\,\mathrm dR$.

Ici $P_{ms}$ est **indépendant de $R$** ($n,I_0$ fixés).

**Analyse.**

On intègre de $R$ à $2R$, puis on compare à la prédiction naïve du théorème de Maxwell.

**Solution détaillée.**
$$W_{\text{self}}=\int_R^{2R}P_{ms}\,2\pi L\,r\,\mathrm dr=P_{ms}\,2\pi L\,\frac{(2R)^2-R^2}{2}=3\pi L R^2 P_{ms}=\boxed{\frac{3\pi\mu_0 n^2 I_0^2 L R^2}{2}}.$$
**Comparaison au théorème de Maxwell.**

Flux total à travers les $N=nL$ spires : $\Phi_{\text{tot}}=nL\cdot\mu_0 nI_0\cdot\pi R^2$.

De $R$ à $2R$ : $\Delta\Phi_{\text{tot}}=3\pi\mu_0 n^2 I_0 L R^2$, d'où prédiction $I_0\Delta\Phi_{\text{tot}}=3\pi\mu_0 n^2 I_0^2 L R^2=2\,W_{\text{self}}$.

**Désaccord d'un facteur 2**, à assumer et justifier : le théorème de Maxwell utilise le champ **total** $B_0$, or l'auto‑action doit **exclure le champ propre de chaque élément**.

Chaque élément ne « voit » que $\vec B_{\bar\Sigma}=B_0/2$ (Q38) — d'où le facteur $1/2$, exactement le double comptage d'auto‑énergie ($U=\tfrac12\int\ldots$).

Le théorème de Maxwell (établi pour un circuit dans un champ **extérieur**) surestime donc l'auto‑travail d'un facteur 2.
$$W_{\text{self}}=\tfrac12\,I_0\,\Delta\Phi_{\text{tot}}.$$

**À retenir.**

*Réflexe :* auto‑action $\Rightarrow$ facteur $1/2$ (champ moyen $B_0/2$), comme toute auto‑énergie.

*Rapport :* peu traitée ; la justification du facteur 2 est le cœur physique.

## 2.2 — Énergie d'une distribution volumique de courants

### Question 41

**Rappel de cours.** Le rayonnement suppose des champs radiatifs $\sim1/r$ (courant de déplacement / retard).

En ARQS magnétique, on **néglige** $\partial_t\vec E$ dans Maxwell‑Ampère ; les champs sont quasi‑instantanés et (rappel de l'énoncé) $\vec B$ décroît au moins en $r^{-3}$.

**Analyse.** On évalue le flux de Poynting à l'infini.

**Solution détaillée.**

Le flux d'énergie rayonnée est le flux de $\vec\pi=\vec E\wedge\vec B/\mu_0$ à travers une sphère de rayon $r\to\infty$.

En ARQS, $\vec B$ décroît au moins en $r^{-3}$ (et $\vec E$ induit de façon comparable), donc $|\vec\pi|$ décroît bien plus vite que $r^{-2}$ et $\oint\vec\pi\cdot\mathrm d\vec S\to0$.

Il n'y a **pas** de champ radiatif en $1/r$ (celui‑ci nécessiterait le courant de déplacement négligé). **Non, une distribution finie ne peut pas rayonner dans l'ARQS magnétique.**

**À retenir.** *Réflexe :* pas de rayonnement sans courant de déplacement ; en ARQS, flux de Poynting nul à l'infini. *Rapport :* justifications « rares » — appuyer sur la décroissance rapide des champs.

### Question 42

**Rappel de cours.** Force sur les porteurs : $\rho\vec E+\vec j\wedge\vec B$ ; la force magnétique ne travaille pas. Puissance volumique cédée par le champ aux charges : $\vec j\cdot\vec E$. Identité (3) + $\mathrm{div}\,\vec j=0$.

**Analyse.**

On établit $P$, puis on montre que la partie électrostatique de $\vec E$ ne travaille pas.

**Solution détaillée.**

Puissance cédée aux charges : la partie magnétique $(\vec j\wedge\vec B)\cdot\vec v_e=0$, reste $$\boxed{P=\int_D\vec j\cdot\vec E\,\mathrm d\tau}.$$
**Composante électrostatique** $\vec E_{es}=-\vec{\mathrm{grad}}\,V$ : avec $\mathrm{div}\,\vec j=0$, $\vec j\cdot\vec{\mathrm{grad}}\,V=\mathrm{div}(V\vec j)$, donc $$\int_D\vec j\cdot\vec E_{es}\,\mathrm d\tau=-\int_D\mathrm{div}(V\vec j)\,\mathrm d\tau=-\oint_{\partial D}V\,\vec j\cdot\mathrm d\vec S=0$$ (le courant ne sort pas de $D$).

La composante électrostatique ne fournit **aucune** puissance.

Seule contribue la composante **induite** (électromoteur) $\vec E_{\text{ind}}$, issue de $\vec{\mathrm{rot}}\,\vec E=-\partial_t\vec B$.

**À retenir.** *Réflexe :* $\vec j\cdot\vec E_{es}$ intègre à zéro (courant conservatif) ; c'est le champ **induit** qui échange l'énergie lors de l'établissement. *Rapport :* c'est un bilan énergétique « simple » mais aux stratégies variées.

### Question 43

**Rappel de cours.** Vecteur de Poynting $\vec\pi=\dfrac{\vec E\wedge\vec B}{\mu_0}$. Identité (4) : $\mathrm{div}(\vec E\wedge\vec B)=\vec B\cdot\vec{\mathrm{rot}}\,\vec E-\vec E\cdot\vec{\mathrm{rot}}\,\vec B$.

En ARQS magnétique, $\partial_t\big(\tfrac{\varepsilon_0E^2}{2}\big)$ est négligeable devant $\partial_t\big(\tfrac{B^2}{2\mu_0}\big)$.

**Analyse.**

On calcule $\mathrm{div}\,\vec\pi$ avec Maxwell (17), puis on intègre sur $V_R$.

**Solution détaillée.** $$\mathrm{div}\,\vec\pi=\frac{1}{\mu_0}\big[\vec B\cdot(-\partial_t\vec B)-\vec E\cdot\mu_0\vec j\big]=-\partial_t\!\Big(\frac{B^2}{2\mu_0}\Big)-\vec j\cdot\vec E.$$
Intégration sur $V_R$ (fixe) et Ostrogradski : $$\oint_{\Sigma_R}\vec\pi\cdot\mathrm d\vec S=-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int_{V_R}\frac{B^2}{2\mu_0}\mathrm d\tau-\int_{V_R}\vec j\cdot\vec E\,\mathrm d\tau,$$ et comme $\vec j\neq\vec 0$ seulement dans $D\subset V_R$, en réarrangeant : $$\boxed{\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int_{V_R}\frac{B^2}{2\mu_0}\mathrm d\tau=-\oint_{\Sigma_R}\vec\pi\cdot\mathrm d\vec S-\int_D\vec j\cdot\vec E\,\mathrm d\tau},\qquad \vec\pi=\frac{\vec E\wedge\vec B}{\mu_0}.$$

**À retenir.** *Réflexe :* c'est le bilan de Poynting **local** intégré, avec l'énergie électrique négligée (ARQS magnétique). *Rapport :* bilan « simple » mais formulation ouverte.

### Question 44

**Rappel de cours.** À l'établissement, le champ induit **s'oppose** (Lenz) : $\vec j\cdot\vec E_{\text{ind}}<0$, le champ **prélève** de l'énergie aux sources, stockée en champ magnétique.

**Analyse.**

On intègre (26) de $t=0$ à $T$ et on fait $R\to\infty$ (le flux de Poynting à l'infini s'annule, Q41).

**Solution détaillée.**

Sur $[0,T]$ et $R\to\infty$ ($\vec B(0)=\vec 0$) : $$\int_{\text{espace}}\frac{B^2(T)}{2\mu_0}\mathrm d\tau=-\underbrace{\int_0^T\!\!\oint_{\Sigma_\infty}\vec\pi\cdot\mathrm d\vec S\,\mathrm dt}_{\to\,0\ (\text{pas de rayonnement})}-\int_0^T\!\!\int_D\vec j\cdot\vec E\,\mathrm d\tau\,\mathrm dt.$$
Le second membre $-\int_0^T\!\int_D\vec j\cdot\vec E$ est l'énergie transférée **des sources vers le champ** (positive, car $\vec j\cdot\vec E<0$ à l'établissement).

Donc l'énergie magnétique stockée pour $t>T$ est $$\boxed{U_{ms}=\int\frac{B^2(\vec r)}{2\mu_0}\mathrm d\tau}\quad(\text{tout l'espace}),\qquad U_{ms}>0.$$

**À retenir.** *Réflexe :* $U_{ms}=\int\dfrac{B^2}{2\mu_0}$ = travail des sources contre la f.é.m. d'induction, stocké dans le champ. Densité d'énergie magnétique $\dfrac{B^2}{2\mu_0}$.

### Question 45

**Rappel de cours.** $U_{ms}=\dfrac{B_0^2}{2\mu_0}\times(\text{volume})$, champ non nul seulement dedans, $B_0=\mu_0 nI_0$, volume $\pi R^2 L$.

**Analyse.**

Variation de $R$ à $2R$.

**Solution détaillée.** $$U_{ms}(R)=\frac{(\mu_0 nI_0)^2}{2\mu_0}\pi R^2 L=\frac{\mu_0 n^2 I_0^2}{2}\pi R^2 L,$$ $$\Delta U_{ms}=\frac{\mu_0 n^2 I_0^2}{2}\pi L(4R^2-R^2)=\boxed{\frac{3\pi\mu_0 n^2 I_0^2 L R^2}{2}}.$$
**Commentaire.** $\Delta U_{ms}=W_{\text{self}}$ (Q40) : l'accroissement d'énergie magnétique **égale** le travail mécanique fourni par la pression magnétique lors de la dilatation.

À courant constant, la source maintient $I_0$ et fournit $I_0\Delta\Phi_{\text{tot}}=2\Delta U_{ms}$ : **la moitié va au champ, l'autre moitié au travail mécanique** — cohérence complète avec Q40.

**À retenir.**

*Réflexe :* à $I$ constant, source $\to$ $\tfrac12$ champ $+\tfrac12$ travail (résultat classique des circuits à inductance variable).

### Question 46

**Rappel de cours.**

Superposition $\vec B=\sum_a\vec B_a$ ; $B^2=\sum_a B_a^2+\sum_{a\neq b}\vec B_a\cdot\vec B_b$.

**Analyse.** On identifie propres et interactions dans $U_{ms}=\int\dfrac{B^2}{2\mu_0}$.

**Solution détaillée.** $$U_{ms}=\underbrace{\sum_a\int\frac{B_a^2}{2\mu_0}\mathrm d\tau}_{U_j^a\ (\text{propres})}+\underbrace{\sum_{a<b}\frac{1}{\mu_0}\int\vec B_a\cdot\vec B_b\,\mathrm d\tau}_{U_j^{a\leftrightarrow b}\ (\text{interactions})}.$$
**Signes :** propre $U_j^a=\int\dfrac{B_a^2}{2\mu_0}\ge0$ (toujours **positive**) ; interaction $U_j^{a\leftrightarrow b}=\dfrac1{\mu_0}\int\vec B_a\cdot\vec B_b$ de **signe quelconque** (selon l'orientation relative des champs / courants).

**À retenir.**

*Réflexe :* comme en électrostatique, propres $\ge0$, interactions $\lessgtr0$ ; ici l'interaction dépend de $\vec B_a\cdot\vec B_b$ (courants parallèles vs antiparallèles).

## 2.3 — Énergie d'un ensemble de circuits filiformes

*Circuits $C_a$ (contours $\Gamma_a$, courants $I_a$), flux propres $\Phi_a$ et croisés $\Phi_{a\to b}$ (éq. 28‑29).*

### Question 47

**Rappel de cours.** $\mathrm{div}\,\vec B=0$ $\Rightarrow$ flux conservatif.

**Analyse.**

Deux surfaces $\Sigma_a,\Sigma_a'$ s'appuyant sur $\Gamma_a$ forment une surface **fermée**.

**Solution détaillée.** $\Phi_{\Sigma_a}-\Phi_{\Sigma_a'}=\oint_{\text{fermée}}\vec B\cdot\mathrm d\vec S=\displaystyle\int_V\mathrm{div}\,\vec B\,\mathrm d\tau=0$ (orientations compatibles).

Donc $\Phi_a$ **ne dépend pas** de la surface choisie : le flux magnétique à travers $C_a$ est bien défini.

**À retenir.**

*Réflexe :* le flux de $\vec B$ à travers un contour est intrinsèque, grâce à $\mathrm{div}\,\vec B=0$.

### Question 48

**Rappel de cours.**

Tube de champ : surface latérale tangente à $\vec B$ ($\vec B\cdot\mathrm d\vec S_{\text{lat}}=0$).

**Analyse.** Portion de tube entre deux sections $S_1,S_2$, fermée par le latéral.

**Solution détaillée.** $\oint_{\text{fermée}}\vec B\cdot\mathrm d\vec S=0$ ; le flux latéral est nul ($\vec B$ tangent), donc **flux entrant $S_1$ = flux sortant $S_2$** : le flux transverse est **conservé** le long du tube.

**À retenir.** *Réflexe :* dans un tube de champ, $\Phi_{\text{transverse}}=$ cste — c'est ce qui rend l'énergie « comptable » par tube (Q51).

### Question 49

**Rappel de cours.** $\mathrm{div}\,\vec B=0$ : $\vec B$ n'a ni source ni puits ; une ligne de champ ne peut ni naître ni mourir dans l'espace.

**Analyse.** Conséquence sur la topologie des tubes.

**Solution détaillée.** Une ligne de champ sans extrémité est soit **fermée sur elle‑même**, soit **s'étend à l'infini**. Donc un tube de champ magnétique se **referme** ou **part à l'infini** (ces derniers négligés par la suite).

**À retenir.**

*Réflexe :* pas de monopôle $\Rightarrow$ lignes de $\vec B$ fermées ou infinies.

*Rapport :* Q49‑50 « très peu » traitées mais réussies par ceux qui s'y attellent.

### Question 50

**Rappel de cours.** Théorème d'Ampère : $\oint\vec B\cdot\mathrm d\vec l=\mu_0 I_{\text{enlacé}}$.

**Analyse.** On applique Ampère sur une ligne de champ **fermée**, où $\vec B\parallel\mathrm d\vec l$.

**Solution détaillée.**

Le long d'une ligne fermée, $\vec B\cdot\mathrm d\vec l=B\,\mathrm dl>0$, donc $\oint B\,\mathrm dl>0$, soit $\mu_0 I_{\text{enlacé}}>0$ : $I_{\text{enlacé}}\neq0$.

Un tube fermé **enlace nécessairement** des branches de circuit parcourues par un courant.

**À retenir.** *Réflexe :* une boucle de champ magnétique entoure toujours du courant (Ampère). *Rapport :* « application directe du théorème d'Ampère », pourtant peu traitée.

### Question 51* 

**Rappel de cours.** $U_C^a=\int\dfrac{B_a^2}{2\mu_0}\mathrm d\tau$.

Dans un tube élémentaire : $\mathrm d\tau=\mathrm ds\,\mathrm dl$, flux transverse $\mathrm d\phi=B_a\,\mathrm ds$ (constant, Q48).

Ampère : chaque tube fermé de $\vec B_a$ enlace $C_a$ (courant $I_a$).

**Analyse.** On découpe l'espace en tubes élémentaires de $\vec B_a$ et on somme.

**Solution détaillée.** $$U_C^a=\sum_{\text{tubes}}\oint\frac{B_a^2}{2\mu_0}\mathrm ds\,\mathrm dl=\sum_{\text{tubes}}\frac{\mathrm d\phi}{2\mu_0}\oint B_a\,\mathrm dl=\sum_{\text{tubes}}\frac{\mathrm d\phi}{2\mu_0}\,\mu_0 I_a=\frac{I_a}{2}\sum_{\text{tubes}}\mathrm d\phi.$$
La somme des flux transverses de **tous** les tubes de $\vec B_a$ reconstitue le flux propre $\Phi_{a\to a}$ (toutes les lignes de $\vec B_a$ traversent $C_a$).

Donc
$$\boxed{U_C^a=\tfrac12 I_a\Phi_{a\to a},\qquad \beta_1=\tfrac12}\quad\Big(=\tfrac12 L_a I_a^2\Big).$$

**À retenir.**

*Réflexe :* $U_{\text{propre}}=\tfrac12 I\Phi=\tfrac12 LI^2$ ; le $\tfrac12$ vient d'Ampère ($\oint B\,\mathrm dl=\mu_0 I$) appliqué tube par tube.

### Question 52* 

**Rappel de cours.** $U_C^{a\leftrightarrow b}=\dfrac1{\mu_0}\int\vec B_a\cdot\vec B_b\,\mathrm d\tau$.

Dans un tube de $\vec B_a$ (flux $\mathrm d\phi$) : $\vec B_a\cdot\vec B_b\,\mathrm d\tau=\mathrm d\phi\,(\vec B_b\cdot\mathrm d\vec l)$.

**Analyse.**

On décompose selon les tubes de $\vec B_a$ ; le long d'un tube fermé, $\oint\vec B_b\cdot\mathrm d\vec l=\mu_0 I_{b,\text{enlacé}}$.

**Solution détaillée.** $$U_C^{a\leftrightarrow b}=\frac{1}{\mu_0}\sum_{\text{tubes de }a}\mathrm d\phi\oint\vec B_b\cdot\mathrm d\vec l=\sum_{\text{tubes de }a}\mathrm d\phi\,I_{b,\text{enlacé}}.$$
Sous l'hypothèse (lignes passant au plus une fois), un tube de $\vec B_a$ enlace $C_b$ (courant $I_b$) s'il traverse $C_b$, sinon $I_{b,\text{enlacé}}=0$.

En sommant les flux des seuls tubes qui traversent $C_b$ (leur somme = flux de $\vec B_a$ à travers $C_b$, soit $\Phi_{a\to b}$) : $$\boxed{U_C^{a\leftrightarrow b}=I_b\,\Phi_{a\to b}}\;(=I_a\Phi_{b\to a}).$$
**Maximale** quand $\Phi_{a\to b}$ est maximal **et** de même signe que $I_b$ : couplage parfait (toutes les lignes de $\vec B_a$ enlacent $C_b$) avec courants orientés de façon « attractive ».

**À retenir.**

*Réflexe :* interaction $=I_b\Phi_{a\to b}$ (coefficient $1$, pas $1/2$) — deux circuits distincts.

*Rapport :* questions étoilées peu abordées, mais accessibles par le raisonnement (points faciles à prendre).

### Question 53

**Rappel de cours.**

Propres ($\beta_1=\tfrac12$, Q51) + interactions (coefficient $1$, Q52).

**Analyse.** On regroupe en une double somme incluant $a=b$.

**Solution détaillée.** $$U_C=\sum_a\tfrac12 I_a\Phi_{a\to a}+\sum_{a<b}I_b\Phi_{a\to b}=\boxed{\tfrac12\sum_{a,b}I_a\Phi_{b\to a}},\qquad \beta_2=\tfrac12.$$
Le terme diagonal $a=b$ redonne $\tfrac12 I_a\Phi_{a\to a}$ ; hors diagonale, $\tfrac12(I_a\Phi_{b\to a}+I_b\Phi_{a\to b})=I_b\Phi_{a\to b}$ **exige** $I_a\Phi_{b\to a}=I_b\Phi_{a\to b}$ : c'est le **théorème de réciprocité en magnétostatique** ($M_{ab}=M_{ba}$, avec $\Phi_{a\to b}=M_{ab}I_a$).

**À retenir.**

*Réflexe :* $U_C=\tfrac12\sum_{a,b}I_a\Phi_{b\to a}$ ; réciprocité $M_{ab}=M_{ba}$ (analogue magnétique de l'éq. 12).

### Question 54

**Rappel de cours.** $\Phi_{a\to a}=L_a I_a$ (propre) ; $\Phi_{a\to b}=M_{ab}I_a$ (mutuel).

**Analyse.** On regarde l'effet d'un changement de signe de courant.

**Solution détaillée.**

Propre : $U_C^a=\tfrac12 L_a I_a^2$ $\Rightarrow$ **inchangée** si $I_a\to-I_a$ ($\propto I_a^2$), toujours **positive**.

Interaction : $U_C^{a\leftrightarrow b}=M_{ab}I_aI_b$ $\Rightarrow$ **change de signe** si un seul courant s'inverse ; elle peut être **positive ou négative**.

**Attendu ?** Oui : deux courants parallèles s'attirent (interaction $<0$ favorable), antiparallèles se repoussent — le signe de l'interaction dépend de l'orientation relative, contrairement à l'énergie propre toujours positive.

**À retenir.**

*Réflexe :* propre $\propto I^2$ (invariante, $>0$) ; interaction $\propto I_aI_b$ (signe variable).

### Question 55

**Rappel de cours.** Interaction spire–solénoïde : $U^{a\leftrightarrow b}=I_0\Phi_{\text{spire}\to\text{sol}}=I_s\Phi_{\text{sol}\to\text{spire}}$ (réciprocité).

Config finale A2 : spire dans $(y,z)$, moment $\vec M_s=I_s a^2\vec e_x$ (⊥ axe $z$).

**Analyse.** On recalcule l'énergie finale via le flux **de la spire à travers le solénoïde**.

**Solution détaillée.**

Dans la config finale, le flux du solénoïde à travers la spire est nul ($\vec B_0\parallel\vec e_z\perp\vec n=\vec e_x$), donc $M=0$.

Par réciprocité, le flux de la spire à travers le solénoïde est **aussi nul** : le champ dipolaire d'un moment $\vec M_s\parallel\vec e_x$ (⊥ axe) donne, par symétrie, une composante axiale de flux nulle à travers chaque spire circulaire centrée sur l'axe $z$ (les contributions $+z$ et $-z$ se compensent).

Donc $$U^{a\leftrightarrow b}(\text{final})=I_0\,\Phi_{\text{spire}\to\text{sol}}=0,$$ en accord avec $U_I=-I_s\Phi_{\text{sol}\to\text{spire}}=0$ trouvé via Maxwell (Q37 : $\Phi_{\text{fin}}=0$).

**À retenir.** *Réflexe :* la réciprocité $I_0\Phi_{\text{spire}\to\text{sol}}=I_s\Phi_{\text{sol}\to\text{spire}}$ permet de choisir le flux le plus facile à calculer.

*Exemple A3 : solénoïde de longueur finie ; translation à courants constants de la spire (parallèle à $(x,y)$) du milieu $z=L/2$ à l'extrémité $z=0$, sur l'axe.

Hypothèses : champ infini en $z=L/2$ ; flux de la spire par les extrémités négligeable en $z=L/2$.*

### Question 56* 

**Rappel de cours.** Champ **sur l'axe à l'extrémité** d'un long solénoïde : $B_0/2$ (moitié de la valeur au centre). À courant constant, travail de l'opérateur $W_{\text{op}}=-W_L=-I_s\,\Delta\Phi_{\text{sol}\to\text{spire}}$ (théorème de Maxwell).

**Analyse.**

Flux du solénoïde à travers la spire : $B_0 a^2$ au milieu, $\tfrac{B_0}{2}a^2$ à l'extrémité (champ divisé par 2).

**Solution détaillée.** $$\Delta\Phi_{\text{sol}\to\text{spire}}=\frac{B_0}{2}a^2-B_0 a^2=-\frac{B_0}{2}a^2,\qquad W_L=I_s\Delta\Phi=-\frac{I_s B_0 a^2}{2},$$ $$\boxed{W_{\text{op}}=-W_L=+\frac{1}{2}\mu_0 nI_0 I_s a^2}>0.$$
**Interprétation :** la spire est attirée vers la zone de flux maximal (le milieu, champ fort) ; l'extraire vers l'extrémité (champ deux fois plus faible) coûte un travail **positif** à l'opérateur — cohérent avec la règle du flux maximum (Q35).

**À retenir.** *Réflexe :* champ en bout de solénoïde $=B_0/2$ ; la spire « veut » rester où le flux est maximal.

## 2.4 — Énergie propre des circuits magnétiques

*On relie énergie magnétique propre et énergie cinétique des électrons. Masse de l'électron (champ extérieur seul, éq. 32) : $m_e=\dfrac{e^2}{8\pi\varepsilon_0}\dfrac{1}{r_e c^2}$.*

### Question 57

**Rappel de cours.** En mécanique newtonienne, la force sur un point matériel est **invariante** par changement de référentiel galiléen (translation rectiligne uniforme). Force de Lorentz : $\vec F=q_t(\vec E+\vec v_t\wedge\vec B)$.

**Analyse.**

Dans le référentiel propre $R'$ de l'électron (au repos), il ne crée qu'un champ électrique $\vec E'$ ($\vec B'=\vec 0$).

On impose l'invariance galiléenne de la force.

**Solution détaillée.**

Dans $R'$ : $\vec F'=q_t\vec E'$ (pas de champ magnétique).

Dans $R$ (où l'électron se déplace à $\vec v_e$) : $\vec F=q_t(\vec E+\vec v_t\wedge\vec B)$.

L'invariance $\vec F=\vec F'$ pour **tout** $\vec v_t$ impose $\vec E=\vec E'$ et $$\boxed{\vec B=\vec 0}.$$
**Commentaire.**

Le cadre newtonien prédit qu'un électron en mouvement **ne crée aucun champ magnétique** — ce qui **contredit l'expérience** (Biot‑Savart donne $\vec B=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{q\,\vec v_e\wedge\vec r}{r^3}\neq\vec 0$). L'électromagnétisme est donc **incompatible** avec l'invariance galiléenne : il faut la **relativité** (transformation des champs, éq. 33).

Attention au signe de la vitesse de l'électron dans le passage $R\to R'$ (l'électron a la vitesse $+\vec v_e$ dans $R$, donc $R'$ se déplace à $\vec V=\vec v_e$).

**À retenir.** *Réflexe :* Galilée + électromagnétisme = incohérent $\Rightarrow$ nécessité de la relativité. *Rapport :* justification de l'incompatibilité peu réussie ; « faire attention au signe du vecteur vitesse ».

### Question 58

**Rappel de cours.**

Transformation relativiste (éq. 33), à l'ordre 1 en $V/c$ ($\gamma\simeq1$).

Champ propre de l'électron (charge $-e$) : $\vec E'=\dfrac{-e}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\vec r}{r^3}$, $\vec B'=\vec 0$. $\mu_0\varepsilon_0=1/c^2$.

**Analyse.**

On passe de $R'$ (repos) à $R$ (électron à $\vec v_e$) par la transformation inverse ($\vec V=\vec v_e$), au premier ordre.

**Solution détaillée.** À l'ordre dominant, $\vec E\simeq\vec E'=\dfrac{-e}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\vec r}{r^3}$.

Pour $\vec B$, l'inverse de $\vec B'_\perp=\gamma(\vec B_\perp-\tfrac1{c^2}\vec V\wedge\vec E)$ donne $\vec B\simeq\dfrac1{c^2}\vec v_e\wedge\vec E$, soit $$\boxed{\vec E=\frac{-e}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec r}{r^3},\qquad \vec B=\frac{1}{c^2}\vec v_e\wedge\vec E=\frac{-\mu_0 e}{4\pi}\frac{\vec v_e\wedge\vec r}{r^3}}.$$
On retrouve le champ de **Biot‑Savart** d'une charge en mouvement — que la relativité, contrairement à Galilée (Q57), produit correctement.

**À retenir.**

*Réflexe :* $\vec B=\dfrac{1}{c^2}\vec v\wedge\vec E$ (charge lente) = Biot‑Savart ; c'est un effet relativiste au 1ᵉʳ ordre en $v/c$.

### Question 59

**Rappel de cours.** $U_m^e=\displaystyle\int_{\text{ext}}\frac{B^2}{2\mu_0}\mathrm d\tau$. $B=\dfrac{\mu_0 e\,v_e\sin\theta}{4\pi r^2}$ ($\theta=(\vec v_e,\vec r)$).

Formulaire (7) : $\int_0^\pi\sin^3\theta\,\mathrm d\theta=\tfrac43$.

**Analyse.**

On intègre $B^2$ à l'extérieur ($r>r_e$) et on compare à $\tfrac12 m_e v_e^2$.

**Solution détaillée.** $$U_m^e=\frac{1}{2\mu_0}\Big(\frac{\mu_0 e v_e}{4\pi}\Big)^2\!\int_{r_e}^\infty\frac{\mathrm dr}{r^2}\int\sin^2\theta\,\mathrm d\Omega=\frac{\mu_0 e^2 v_e^2}{32\pi^2}\cdot\frac{1}{r_e}\cdot\frac{8\pi}{3}=\frac{\mu_0 e^2 v_e^2}{12\pi r_e}.$$ ($\int\sin^2\theta\,\mathrm d\Omega=2\pi\int_0^\pi\sin^3\theta\,\mathrm d\theta=\tfrac{8\pi}{3}$.)

Avec $\mu_0=1/(\varepsilon_0 c^2)$ et $m_e=\dfrac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r_e c^2}$ (éq. 32) : $$\frac{U_m^e}{\tfrac12 m_e v_e^2}=\frac{e^2 v_e^2/(12\pi\varepsilon_0 c^2 r_e)}{e^2 v_e^2/(16\pi\varepsilon_0 c^2 r_e)}=\frac{16}{12}=\frac43=\lambda.$$
Donc $U_m^e=\lambda\cdot\tfrac12 m_e v_e^2$ avec $\lambda=\tfrac43\approx1$ : **l'énergie magnétique propre de l'électron s'interprète comme son énergie cinétique**.

Dans cette interprétation, la **masse** de l'électron est **d'origine purement électromagnétique** — l'inertie est l'énergie du champ (électrostatique pour $m_ec^2$, magnétique pour $\tfrac12 m v^2$).

On omet $\lambda$ ensuite.

**À retenir.**

*Réflexe :* $U_m^e\sim\tfrac12 m_e v_e^2$ $\Rightarrow$ masse électromagnétique ; le fameux facteur $4/3$ (célèbre difficulté du modèle classique de l'électron).

*Note :* champ **extérieur seul**, cohérent avec l'éq. (32).

### Question 60

**Rappel de cours.**

Vitesse de dérive : $I=j\pi a^2=n_e e\,v_e\,\pi a^2$ $\Rightarrow v_e=\dfrac{I}{n_e e\pi a^2}$.

Nombre d'électrons : $\mathcal N=n_e\times(\text{volume du fil})$, fil de longueur $\ell=N\cdot2\pi R$.

**Analyse.** $E_c^{\text{tot}}=\mathcal N\cdot\tfrac12 m_e v_e^2$.

**Solution détaillée.**

Volume du fil $=\pi a^2\,(2\pi R N)=2\pi^2 a^2 NR$, $\mathcal N=2\pi^2 n_e a^2 NR$.

Donc
$$E_c^{\text{tot}}=2\pi^2 n_e a^2 NR\cdot\frac12 m_e\Big(\frac{I}{n_e e\pi a^2}\Big)^2=\boxed{\frac{m_e\,N\,R\,I^2}{n_e\,e^2\,a^2}}.$$

**À retenir.**

*Réflexe :* $E_c^{\text{tot}}=\mathcal N\tfrac12 m_e v_e^2$ avec $v_e$ tirée de $I=n_e e v_e\pi a^2$.

### Question 61

**Rappel de cours.**

Énergie magnétique propre (solénoïde infini, champ intérieur) : $U_{ms}=\dfrac{B^2}{2\mu_0}\pi R^2 L$, $B=\mu_0\dfrac{N}{L}I$, d'où $U_{ms}=\dfrac{\mu_0 N^2 I^2\pi R^2}{2L}$.

**Analyse.**

A.N. avec $n_e=8{,}5\cdot10^{28}\,\mathrm m^{-3}$, $I=1{,}0$ A, $N=5000$, $R=2$ cm, $L=20$ cm, $a=1{,}0$ mm.

**Solution détaillée.** $$U_{ms}=\frac{\mu_0 N^2 I^2\pi R^2}{2L}=\frac{(1{,}3\cdot10^{-6})(2{,}5\cdot10^{7})(1)\,\pi\,(4\cdot10^{-4})}{2\times0{,}2}\approx1{,}0\times10^{-1}\ \text{J}.$$ $$E_c^{\text{tot}}=\frac{m_e N R I^2}{n_e e^2 a^2}=\frac{(9{,}1\cdot10^{-31})(5000)(0{,}02)(1)}{(8{,}5\cdot10^{28})(2{,}56\cdot10^{-38})(10^{-6})}\approx\frac{9{,}1\cdot10^{-29}}{2{,}18\cdot10^{-15}}\approx4{,}2\times10^{-14}\ \text{J}.$$
Rapport : $$\frac{U_{ms}}{E_c^{\text{tot}}}\approx\frac{0{,}10}{4{,}2\cdot10^{-14}}\approx2{,}4\times10^{12}.$$
**L'énergie magnétique dépasse l'énergie cinétique des électrons de ~12 ordres de grandeur.**

**À retenir.**

*Réflexe :* $v_e$ de dérive est minuscule ($v_e=\dfrac{I}{n_e e\pi a^2}\approx2\cdot10^{-5}$ m/s), donc $E_c^{\text{tot}}$ est ridiculement faible devant $U_{ms}$.

*Rapport :* partie atteinte par « un très faible nombre de candidats ».

### Question 62* 

**Rappel de cours.** Pour **un** électron (Q59), l'énergie magnétique propre égale (à $\lambda$ près) son énergie cinétique.

Pour $\mathcal N$ électrons **cohérents**, les champs **s'ajoutent** : $\vec B_{\text{tot}}\approx\mathcal N\vec B_1$, donc $U_{ms}\propto B_{\text{tot}}^2\propto\mathcal N^2$, alors que $E_c^{\text{tot}}\propto\mathcal N$.

**Analyse.** L'écart de Q61 vient des **termes croisés** $\vec B_i\cdot\vec B_j$ (interactions entre champs d'électrons différents) : l'énergie magnétique est **collective** (somme des champs au carré), l'énergie cinétique est une **simple somme**. D'où un facteur d'amplification $\sim\mathcal N$.

**Solution détaillée.**

*Exemple simple :* $\mathcal N$ électrons de même vitesse $\vec v_e$ confinés dans une région où leurs champs se recouvrent **totalement** : $\vec B_{\text{tot}}=\mathcal N\vec B_1$, d'où $$U_{ms}^{\max}=\int\frac{B_{\text{tot}}^2}{2\mu_0}=\mathcal N^2\,U_m^{e}=\mathcal N^2\cdot\lambda\,\tfrac12 m_e v_e^2=\lambda\,\mathcal N\big(\mathcal N\tfrac12 m_e v_e^2\big),$$ $$\boxed{U_{ms}^{\max}\approx\mathcal N\,E_c^{\text{tot}}}\quad(\lambda\text{ omis}).$$
C'est la **borne absolue** (cohérence parfaite de tous les champs).

*Estimation :* $\mathcal N=n_e\times(\text{volume fil})=8{,}5\cdot10^{28}\times1{,}97\cdot10^{-3}\approx1{,}7\times10^{26}$ électrons, donc $$U_{ms}^{\max}\approx1{,}7\cdot10^{26}\times4{,}2\cdot10^{-14}\approx7\times10^{12}\ \text{J},$$ très au‑dessus de $U_{ms}\approx0{,}1$ J (facteur $\sim10^{14}$, cohérent avec $\mathcal N/2{,}4\cdot10^{12}$).

*Taille du solénoïde ?* La borne n'est approchée que si **tous** les champs se recouvrent totalement, c'est‑à‑dire si l'ensemble du courant est concentré dans une région de dimension **atomique** (tous les électrons dans un volume plus petit que l'échelle de variation d'un champ individuel). Un solénoïde macroscopique en est extraordinairement loin : c'est pourquoi $U_{ms}\ll U_{ms}^{\max}$.

**Honnêteté.** [Point non entièrement établi : la borne $U_{ms}^{\max}\approx\mathcal N E_c^{\text{tot}}$ est obtenue par un argument heuristique de cohérence maximale ; l'énoncé étoilé n'attend « pas de développements calculatoires poussés » et le facteur numérique exact ($\lambda=4/3$, coefficient de recouvrement) ainsi que la « taille » précise ne sont pas déterminés rigoureusement ici.

L'essentiel physique — amplification collective en $\mathcal N$ due aux termes croisés $\vec B_i\cdot\vec B_j$ — est en revanche solidement établi.]

**À retenir.**

*Réflexe :* énergie magnétique = phénomène **collectif** ($\propto\mathcal N^2$), énergie cinétique = individuel ($\propto\mathcal N$) ; l'écart mesure la cohérence des champs.

*Rapport :* partie quasiment pas atteinte ; les questions étoilées « rapportent des points sans trop de difficulté » avec un raisonnement physique honnête.

---

*Fin du corrigé — 62 questions traitées. Coquille signalée en Q20 (sens de variation de $U_{12}$ pour charges opposées), conformément à la notice de l'énoncé.

Fil directeur : partout, l'énergie propre porte un facteur $\tfrac12$ (auto‑action, champ « moyen » $E/2$ ou $B/2$) et est de signe positif, tandis que l'énergie d'interaction (coefficient $1$) porte le signe des charges/courants — leitmotiv des deux parties, électrostatique puis magnétique.*