Maths B

# Sujet — Mathématiques B, filière MP — X — 2010

ÉCOLE POLYTECHNIQUE — FILIÈRE MP

CONCOURS D’ADMISSION 2010

**DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES**

(Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

## Sur les sous-groupes finis de $\mathrm{GL}_2(\mathbf{C})$

Le but de ce problème est de caractériser les sous-groupes finis de $\mathrm{GL}_2(\mathbf{C})$ ne contenant pas d’homothétie autre que l’identité.

### Notations et conventions

Soit $G$ un groupe fini (noté multiplicativement) de cardinal $|G|$. On note $\mathbf{1}_G$ l’unité de $G$. On rappelle que tout élément $g$ de $G$ vérifie $g^{|G|} = \mathbf{1}_G$ et on admet que si $p$ est un nombre premier qui divise $|G|$, alors il existe $g \in G \setminus \{\mathbf{1}_G\}$ tel que $g^p = \mathbf{1}_G$.

Si $E$ est un $\mathbf{C}$-espace vectoriel de dimension finie, on note $\mathrm{GL}(E)$ le groupe des endomorphismes inversibles de $E$ et $\mathrm{Id}_E$ l’identité de $E$. Si $\varphi$ un endomorphisme de $E$, on note $\operatorname{Tr}(\varphi)$ la trace de $\varphi$ et $\det(\varphi)$ son déterminant.

Si $G$ est un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}(E)$, et $V$ un sous-espace vectoriel de $E$, on note $V^G$ l’ensemble des vecteurs fixés par $G$ : $V^G = \{v \in V \mid \forall g \in G,\ g(v) = v\}$. On dit que $V$ est **stable** par $G$ si quels que soient $g \in G$, $v \in V$, on a $g(v) \in V$ et on dit que $E$ est **irréductible** pour $G$ si ses seuls sous-espaces stables par $G$ sont $E$ et $\{0\}$.

On note $\mathcal{M}_n(\mathbf{C})$ l’espace des matrices carrées de taille $n$ à coefficients complexes et $\mathrm{GL}_n(\mathbf{C})$ le groupe des matrices inversibles dans $\mathcal{M}_n(\mathbf{C})$.

On note $D_n$ le sous-groupe de $\mathrm{GL}_2(\mathbf{C})$ à $2n$ éléments formé des matrices $\begin{pmatrix} c^k & 0 \\ 0 & c^{-k} \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 0 & -c^k \\ -c^{-k} & 0 \end{pmatrix}$, où $k$ est un entier compris entre $0$ et $n - 1$ et $c = e^{2i\pi/n}$ (on ne demande pas de vérifier que $D_n$ est un groupe).

## I – Sous-groupes finis de $\mathrm{GL}(E)$

**1.** Soit $E$ un $\mathbf{C}$-espace vectoriel de dimension finie et soit $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}(E)$. Démontrer que, pour tout $g \in G$, $g$ est diagonalisable et que, si $G$ est commutatif, tous les éléments de $G$ sont diagonalisables dans une même base.

## II – Isométries du triangle

**2.** On se place dans le plan euclidien, muni d’un repère orthonormé centré en $O$. On s’intéresse au sous-groupe $\widetilde{D}_3$ des isométries du plan qui préservent un triangle équilatéral $ABC$ de centre $O$.

**2a.** Faire l’inventaire des éléments de $\widetilde{D}_3$ et démontrer que $\widetilde{D}_3$ est de cardinal $6$.

**2b.** En se plaçant dans la base (non orthonormée) $(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})$, démontrer que le groupe $\widetilde{D}_3$ est isomorphe à un sous-groupe de $\mathrm{GL}_2(\mathbf{C})$ formé de matrices $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ où $a, b, c, d$ sont dans $\{-1, 0, 1\}$.

**2c.** Diagonaliser dans $\mathbf{C}$ la matrice $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$. En déduire que le groupe $\widetilde{D}_3$ est isomorphe au groupe $D_3$.

## III – Lemme de Schur

Notons $\mathcal{A} = \mathcal{M}_n(\mathbf{C})$ et $E = \mathbf{C}^n$. Notons $I_n$ la matrice identité de $\mathcal{M}_n(\mathbf{C})$. On appelle homothétie une matrice de la forme $\lambda I_n$, $\lambda \in \mathbf{C}$. Soit $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\mathbf{C})$. Pour tout $B \in G$, on note $i(B)$ l’application :

$$
i(B) : \begin{cases} \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{A} \\ M \mapsto BMB^{-1} \end{cases}.
$$

**3.** Montrer que $i : B \mapsto i(B)$ est un morphisme de groupes de $G$ dans $\mathrm{GL}(\mathcal{A})$, et que $i$ est injectif si et seulement si $G$ ne contient pas d’homothéties autres que l’identité.

On note $\widetilde{G}$ l’image par $i$ de $G$ et $\mathcal{A}^{\widetilde{G}}$ l’ensemble des matrices $M \in \mathcal{A}$ telles que $i(B)(M) = M$ pour tout $B$ dans $\widetilde{G}$.

**4.** Soit $M \in \mathcal{A}^{\widetilde{G}}$. Démontrer que $\operatorname{Ker}(M)$ et $\operatorname{Im}(M)$ sont des sous-espaces stables par $G$.

**5.** On suppose que $E$ est irréductible pour $G$. Soit $M \in \mathcal{A}^{\widetilde{G}}$, démontrer que $M$ est soit nulle, soit inversible. En déduire que $\mathcal{A}^{\widetilde{G}}$ est de dimension $1$.

**6.** Soient $M, N \in \mathcal{A}$. On considère l’endomorphisme de $\mathcal{A}$ suivant, $\Phi : X \mapsto MXN$.

Démontrer que $\operatorname{Tr}(\Phi) = \operatorname{Tr}(M)\, \operatorname{Tr}(N)$.

**7.** Soit $\displaystyle P = \frac{1}{|G|} \sum_{B \in G} B$.

**7a.** Démontrer que $P^2 = P$. En déduire que $P$ est diagonalisable.

**7b.** Démontrer que $\operatorname{Im}(P) = E^G$ et en déduire que $\displaystyle \dim(E^G) = \frac{1}{|G|} \sum_{B \in G} \operatorname{Tr}(B)$.

**8.** Démontrer que $\displaystyle \dim(\mathcal{A}^{\widetilde{G}}) = \frac{1}{|G|} \sum_{B \in G} \operatorname{Tr}(B^{-1})\, \operatorname{Tr}(B)$.

(On pourra considérer d’abord le cas où $i$ est injectif.)

**On suppose, jusqu’à la fin de cette partie, que $E$ est irréductible pour $G$.**

**9a.** Soit $X$ dans $\mathcal{A}$ une matrice qui commute avec toutes les matrices de $G$. Démontrer que $\displaystyle X = \frac{1}{n} \operatorname{Tr}(X)\, I_n$.

**9b.** Soit $\displaystyle Y = \sum_{B \in G} \operatorname{Tr}(B^{-1})\, B$. Démontrer que $\displaystyle Y = \frac{|G|}{n} I_n$.

**10.** On garde la notation $Y$ jusqu’à la fin de cette partie. Soit $\zeta = e^{2i\pi/|G|}$. On note

$$
\mathbf{Z}_G = \{a_0 \zeta^0 + a_1 \zeta^1 + \cdots + a_{|G|-1} \zeta^{|G|-1},\ a_i \in \mathbf{Z}\}
$$

et $\mathbf{Z}_G[G]$ les combinaisons linéaires, à coefficients dans $\mathbf{Z}_G$, de matrices de $G$.

**10a.** Démontrer que pour tout $B \in G$, $\operatorname{Tr}(B)$ est dans $\mathbf{Z}_G$, puis que $Y$ est dans $\mathbf{Z}_G[G]$.

**10b.** On note $(C_k)_{1 \leq k \leq |G|^2}$ les $|G|^2$ matrices $\zeta^i B$ (où $1 \leq i \leq |G|$ et $B \in G$) de $\mathbf{Z}_G[G]$. Démontrer que pour tous $1 \leq k \leq |G|^2$, on peut trouver des coefficients $(a_{ij})_{1 \leq i,j \leq |G|^2}$ dans $\mathbf{Z}$ tels que $\displaystyle Y C_k = \sum_{1 \leq \ell \leq |G|^2} a_{\ell k} C_\ell$.

**10c.** On pose $A = (a_{ij})_{1 \leq i,j \leq |G|^2}$ et $\displaystyle R = \frac{|G|}{n} I_{|G|^2} - A$. Démontrer que $\det(R) = 0$.

**10d.** Démontrer que $\dfrac{|G|}{n}$ est racine d’un polynôme à coefficients dans $\mathbf{Z}$ de degré $|G|^2$ et de terme dominant égal à $1$. En déduire que $n$ divise $|G|$.

## IV - Une caractérisation de $D_n$, $n$ impair

Soit $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_2(\mathbf{C})$. Notons $\langle . \, , . \rangle$ le produit scalaire hermitien usuel sur $\mathbf{C}^2$, et posons pour tout $v, w \in \mathbf{C}^2$

$$
\langle v, w \rangle_0 = \frac{1}{|G|} \sum_{B \in G} \langle B(v), B(w) \rangle.
$$

**11a.** Montrer que $\langle . \, , . \rangle_0$ est un produit scalaire hermitien sur $\mathbf{C}^2$, vérifiant quels que soient $v, w \in \mathbf{C}^2$ et $B \in G$, $\langle B(v), B(w) \rangle_0 = \langle v, w \rangle_0$.

**11b.** Démontrer que si $\mathbf{C}^2$ n’est pas irréductible pour $G$, il existe une base orthogonale de $\mathbf{C}^2$ pour le produit scalaire hermitien $\langle . \, , . \rangle_0$ qui diagonalise les matrices de $G$. En déduire que $G$ est commutatif.

**12a.** On note $\mathrm{SL}_2(\mathbf{C})$ le sous-groupe de $\mathrm{GL}_2(\mathbf{C})$ des matrices de déterminant $1$. Quels sont les matrices $B \in \mathrm{SL}_2(\mathbf{C})$ telles que $B^2 = I_2$ ?

**12b.** Démontrer que si $G \subset \mathrm{SL}_2(\mathbf{C})$ est non commutatif, alors $|G|$ est pair. En déduire que $-I_2 \in G$. (Utiliser les rappels du préambule.)

**On suppose par la suite que $G$ est un sous groupe fini de $\mathrm{GL}_2(\mathbf{C})$ ne contenant aucune homothétie autre que l’identité. On note $G_0 = G \cap \mathrm{SL}_2(\mathbf{C})$**

**13a.** Démontrer que $G_0$ est commutatif. En déduire qu’il existe $P$ dans $\mathrm{GL}_2(\mathbf{C})$ et un sous-groupe $\Gamma_0$ de $\mathrm{GL}_2(\mathbf{C})$ formé de matrices diagonales de la forme $\begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix}$ tels que $B \mapsto PBP^{-1}$ soit un isomorphisme de $G_0$ sur $\Gamma_0$.

**13b.** Démontrer qu’il existe un entier $m$ tel que $\Gamma_0$ soit le groupe $\mathcal{Z}_m$ des matrices $\begin{pmatrix} c^k & 0 \\ 0 & c^{-k} \end{pmatrix}$ où $c = e^{2i\pi/m}$ et $k$ prend les valeurs de $0$ à $m - 1$.

**13c.** Si $G_0 = \{I_2\}$ démontrer qu’alors $G$ est commutatif (considérer le morphisme de groupe $\det : G \to \mathbf{C}^{*}$).

**On suppose dans les questions 14 et 15 que $G$ n’est pas commutatif et que $G_0$ est exactement le groupe $\mathcal{Z}_m$.**

**14.** Soit $B_0$ une matrice dans $G$ qui n’est pas diagonale.

**14a.** Démontrer que pour tout $C \in \mathcal{Z}_m$ on a $B_0 C B_0^{-1} \in \mathcal{Z}_m$. En déduire que $B_0$ est de la forme $B_0 = \begin{pmatrix} 0 & b \\ b' & 0 \end{pmatrix}$ avec $b, b' \in \mathbf{C}$.

**14b.** Calculer $B_0^2$ et en déduire que $b' = b^{-1}$.

**14c.** Montrer qu’il existe $Q \in \mathrm{GL}_2(\mathbf{C})$ diagonale telle que $QB_0 Q^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$.

**15a.** Soit $B$ une matrice diagonale dans $G$. Montrer que $B \in \mathcal{Z}_m$.

**15b.** Montrer que $B \mapsto QBQ^{-1}$ est un isomorphisme de $G$ sur le groupe $D_m$.

**16.** Soit $G$ un sous-groupe fini commutatif de $\mathrm{GL}_2(\mathbf{C})$ qui ne contient pas d’homothétie autre que l’identité.

**16a.** Montrer qu’il existe une matrice $P \in \mathrm{GL}_2(\mathbf{C})$ et deux morphismes de groupes $\chi_1, \chi_2 : G \to \mathbf{C}^{*}$ tels que toute matrice de $G$ s’écrive $B = P \begin{pmatrix} \chi_1(B) & 0 \\ 0 & \chi_2(B) \end{pmatrix} P^{-1}$.

**16b.** Montrer que $B \mapsto \chi_1(B)\chi_2(B)^{-1}$ est un isomorphisme de $G$ dans le groupe des racines $|G|$-ièmes de l’unité.

**16c.** Montrer que $G$ est le groupe des matrices de la forme $P \begin{pmatrix} c^k & 0 \\ 0 & d^k \end{pmatrix} P^{-1}$, $k$ variant de $0$ à $|G| - 1$, où l’on a posé $c = e^{2i\pi p/|G|}$ et $d = e^{2i\pi q/|G|}$, $p$ et $q$ étant deux entiers tels que $p - q$ est premier avec $|G|$.

**17.** Décrire à partir des questions précédentes tous les sous-groupes finis de $\mathrm{GL}_2(\mathbf{C})$ ne contenant pas d’homothétie autre que l’identité.

**18.** Montrer que le groupe fini commutatif $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ ne peut pas être isomorphe à un sous-groupe de $\mathrm{GL}_2(\mathbf{C})$.