Maths B

# Sujet — École polytechnique, filière MP, 2011 — Mathématiques B (X)

**ÉCOLE POLYTECHNIQUE**

**CONCOURS D’ADMISSION 2011** — **FILIÈRE MP**

**COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES – B – (X)**

(Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

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## Transformation d’Euler et accélération de la convergence

Dans ce problème, \(\mathbf{R}\) désigne l’ensemble des réels, \(\mathbf{R}_{+}\) est l’ensemble des réels positifs et \(\mathbf{R}_{+}^{*}\) l’ensemble des réels strictement positifs. La notation \(\mathbf{N}\) désigne l’ensemble des entiers naturels et \(\mathbf{N}^{*}\) l’ensemble des entiers naturels non nuls.

On note \(E\) l’espace vectoriel des suites réelles. On note \(u = (u_{n})_{n \in \mathbf{N}}\) une suite réelle de terme général \(u_{n}\). On considère l’endomorphisme \(\Delta\) de \(E\) qui à toute suite \(u = (u_{n})_{n \in \mathbf{N}}\) associe la suite de terme général \((\Delta u)_{n} = u_{n+1} - u_{n}\), \(n \in \mathbf{N}\).

On pose, pour \(k\) et \(n\) dans \(\mathbf{N}\),

\[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]

si \(n \geq k\). On convient que \(0! = 1\) et que

\[
\binom{n}{k} = 0
\]

si \(k > n\).

Les candidats vérifieront la convergence des séries qu’ils rencontrent, même si cela n’est pas explicitement demandé.

### Première partie : suites complètement monotones

Pour tout \(p \in \mathbf{N}^{*}\), on note \(\Delta^{p}\) le \(p\)-ième itéré de \(\Delta\) défini par \(\Delta^{p} = \Delta \circ \Delta^{p-1}\), et par convention, \(\Delta^{0}\) est l’identité de \(E\).

On dit qu’une suite \((u_{n})_{n \in \mathbf{N}}\) est *complètement monotone* si pour tous entiers naturels \(p\) et \(n\) on a

\[
(-1)^{p} \, (\Delta^{p} u)_{n} > 0.
\]

**1.** Soit \(f\) une fonction sur \(\mathbf{R}_{+}\) à valeurs réelles et indéfiniment dérivable. On considère la suite de terme général \(u_{n} = f(n)\).

**1a.** Montrer que pour tout entier \(p \geq 1\) et tout entier \(n\), il existe un réel \(x\) dans l’intervalle \(]n,\, n + p[\) tel que

\[
(\Delta^{p} u)_{n} = f^{(p)}(x).
\]

On pourra raisonner par récurrence en considérant la fonction \(g(x) = f(x + 1) - f(x)\) et la suite de terme général \(v_{n} = g(n)\).

**1b.** On considère la suite de terme général \(a_{n} = \dfrac{1}{n + 1}\). Montrer que \((a_{n})_{n \in \mathbf{N}}\) est complètement monotone.

**2a.** Démontrer que pour tout \(p \geq 1\), on a

\[
(\Delta^{p} u)_{n} = \sum_{k=0}^{p} (-1)^{p-k} \binom{p}{k} u_{n+k}.
\]

**2b.** Soit \(b \in \left]0,\, 1\right[\). On considère la suite de terme général \(b_{n} = b^{n}\). Calculer \((\Delta^{p} b)_{n}\) pour tous les entiers naturels \(n\) et \(p\) et en déduire que \((b_{n})_{n \in \mathbf{N}}\) est complètement monotone.

Soit \(\omega\) une fonction continue et positive sur \([0,\, 1]\), non identiquement nulle. Jusqu’à la fin de la première partie, on considère la suite de terme général

\[
u_{n} = \int_{0}^{1} t^{n} \, \omega(t) \, dt.
\]

**3a.** Montrer que la série de terme général \((-1)^{k} u_{k}\) converge et que

\[
\sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^{k} u_{k} = \int_{0}^{1} \frac{\omega(t)}{1 + t} \, dt.
\]

**3b.** Montrer que la suite \((u_{n})_{n \in \mathbf{N}}\) est complètement monotone.

**3c.** Démontrer que

\[
\sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^{k} u_{k} = \frac{1}{2} \sum_{p=0}^{+\infty} \int_{0}^{1} \left( \frac{1 - t}{2} \right)^{p} \omega(t) \, dt.
\]

**3d.** En déduire que l’on a

\[
\sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^{k} u_{k} = \sum_{p=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{p}}{2^{p+1}} \, (\Delta^{p} u)_{0}.
\]

**4.** Déduire des questions précédentes que

\[
\ln 2 = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n + 1} = \sum_{p=0}^{+\infty} \frac{1}{(p + 1) \, 2^{p+1}}.
\]

**5.** On pose

\[
\mathcal{E}_{n} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n} \int_{0}^{1} \left( \frac{1 - t}{2} \right)^{k} \omega(t) \, dt.
\]

**5a.** Montrer que

\[
\mathcal{E}_{n} = \sum_{p=0}^{n} \frac{(-1)^{p}}{2^{p+1}} \, (\Delta^{p} u)_{0}.
\]

**5b.** On pose \(S = \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^{k} u_{k}\). Montrer que \(\displaystyle\left| S - \mathcal{E}_{n} \right| \leq \frac{S}{2^{n+1}}\).

### Deuxième partie : Transformée d’Euler

Dans cette partie, on se donne une suite \((u_{n})_{n \in \mathbf{N}}\) telle que la série de terme général \((-1)^{n} u_{n}\) soit convergente, et l’on note \(S\) sa somme. **On ne suppose aucune autre propriété particulière de cette suite** \((u_{n})_{n \in \mathbf{N}}\). Le but est de démontrer que

\[
S = \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^{k} u_{k} = \sum_{p=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{p}}{2^{p+1}} \, (\Delta^{p} u)_{0}.
\]

On dit que la série \(\displaystyle\sum \frac{(-1)^{p}}{2^{p+1}} \, (\Delta^{p} u)_{0}\) est la transformée d’Euler de la série \(\displaystyle\sum (-1)^{k} u_{k}\).

**6a.** Montrer que pour tout \(p \in \mathbf{N}\), on a \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} (\Delta^{p} u)_{n} = 0\).

**6b.** Montrer que pour toute suite \((r_{n})_{n \in \mathbf{N}}\) de limite nulle, on a

\[
\lim_{p \to \infty} \frac{1}{2^{p}} \sum_{k=0}^{p} \binom{p}{k} r_{k} = 0.
\]

**7a.** Montrer que pour tout \(n \in \mathbf{N}\), on a

\[
u_{n} = \sum_{p=0}^{+\infty} \left( \frac{(-1)^{p}}{2^{p}} \, (\Delta^{p} u)_{n} - \frac{(-1)^{p+1}}{2^{p+1}} \, (\Delta^{p+1} u)_{n} \right).
\]

**7b.** Montrer que pour tout \(p \in \mathbf{N}\), on a

\[
\frac{(-1)^{p}}{2^{p+1}} \, (\Delta^{p} u)_{0} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n} \left( \frac{(-1)^{p}}{2^{p}} \, (\Delta^{p} u)_{n} - \frac{(-1)^{p+1}}{2^{p+1}} \, (\Delta^{p+1} u)_{n} \right).
\]

**8a.** On pose \(E_{n} = \displaystyle\sum_{p=0}^{n} \frac{(-1)^{p}}{2^{p+1}} \, (\Delta^{p} u)_{0}\). Montrer que

\[
E_{n} - S = -\frac{1}{2^{n+1}} \sum_{p=0}^{n+1} \binom{n+1}{p} \left( \sum_{k \geq p} (-1)^{k} u_{k} \right).
\]

**8b.** Conclure.

### Troisième partie : une amélioration de la méthode

Dans cette partie, comme dans la question 3, on se donne une fonction \(\omega\) continue et positive sur \([0,\, 1]\), non identiquement nulle. On considère la suite de terme général \(u_{n} = \displaystyle\int_{0}^{1} t^{n} \, \omega(t) \, dt\) et on pose

\[
S = \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^{k} u_{k}.
\]

On se donne aussi une suite de polynômes à coefficients réels \((P_{n})_{n \in \mathbf{N}}\) telle que pour tout \(n\), \(P_{n}(-1) \neq 0\). Pour tout \(n \in \mathbf{N}\), on pose

\[
T_{n} = \frac{1}{P_{n}(-1)} \int_{0}^{1} \frac{P_{n}(-1) - P_{n}(t)}{1 + t} \, \omega(t) \, dt.
\]

**9a.** Montrer que

\[
S - T_{n} = \int_{0}^{1} \frac{P_{n}(t)}{P_{n}(-1)(1 + t)} \, \omega(t) \, dt.
\]

**9b.** En déduire que

\[
\left| S - T_{n} \right| \leq \frac{S M_{n}}{\left| P_{n}(-1) \right|}
\]

où \(M_{n} = \displaystyle\sup_{t \in [0,\, 1]} \left| P_{n}(t) \right|\).

**10.** Dans cette question, on choisit comme suite de polynômes \(P_{n}(x) = (1 - x)^{n}\). Donner une majoration explicite de \(\left| S - T_{n} \right|\), en fonction de \(S\) et \(n\).

**11.** Dans cette question, on choisit comme suite de polynômes \(P_{n}(x) = (1 - 2x)^{n}\). Donner une majoration explicite de \(\left| S - T_{n} \right|\), en fonction de \(S\) et \(n\).

**12a.** Démontrer l’existence et l’unicité d’une suite de polynômes \((P_{n})_{n \in \mathbf{N}}\) vérifiant les conditions suivantes : pour tout \(n \in \mathbf{N}\), pour tout \(t \in \mathbf{R}\),

\[
\deg P_{n} = n, \qquad P_{n}(\sin^{2} t) = \cos(2nt)
\]

**12b.** Calculer \(P_{n}(-1)\) pour tout \(n \in \mathbf{N}\).

**12c.** Donner une majoration explicite de \(\left| S - T_{n} \right|\).

### Quatrième partie : comparaison des méthodes sur un exemple

Dans cette partie,

\[
u_{n} = \frac{1}{n + 1}, \qquad
S = \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^{k} u_{k}, \qquad
S_{n} = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} u_{k}, \qquad
E_{n} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(k + 1) \, 2^{k+1}}
\]

et

\[
T_{n} = \frac{1}{P_{n}(-1)} \int_{0}^{1} \frac{P_{n}(-1) - P_{n}(t)}{1 + t} \, dt,
\]

où les \(P_{n}\) sont les polynômes de la question **12**.

**13.** Donner un équivalent de \(S - S_{n}\) et de \(S - E_{n}\). Comparez la vitesse de convergence de \(T_{n}\) avec celle de \(S_{n}\) et \(E_{n}\). Donner un équivalent de \(S - T_{n}\).

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