Maths B

# Composition de mathématiques – B – (X)

École polytechnique — Concours d'admission 2014 — Filière MP

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

*Toute affirmation doit être justifiée. On prendra soin à la clarté et à la précision de la rédaction.*

## Notations

Soit $d$ un entier strictement positif. On note $\mathcal{M}_d(\mathbf{R})$ l'espace vectoriel des matrices carrées réelles de taille $d$ et $I_d$ désigne la matrice identité. Le produit de deux matrices $A$ et $B$ de $\mathcal{M}_d(\mathbf{R})$ est noté $A \times B$ ou simplement $AB$. On appelle commutateur de $A$ et $B$ la matrice

$$[A, B] = AB - BA.$$

On rappelle que l'exponentielle d'une matrice carrée $A \in \mathcal{M}_d(\mathbf{R})$ est définie par

$$\exp(A) = I_d + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{A^n}{n!}.$$

On munit $\mathcal{M}_d(\mathbf{R})$ d'une norme d'algèbre $\|\cdot\|$, c'est-à-dire que pour toutes matrices $A$, $B$ de $\mathcal{M}_d(\mathbf{R})$,

$$\|AB\| \leq \|A\| \, \|B\|.$$

On note $\mathrm{GL}_d(\mathbf{R})$ le groupe linéaire des matrices de $\mathcal{M}_d(\mathbf{R})$ qui sont inversibles, et $\mathrm{SL}_d(\mathbf{R})$ le sous-groupe de $\mathrm{GL}_d(\mathbf{R})$ formé des matrices de déterminant $1$.

La première et la troisième parties sont consacrées à l'étude de matrices carrées de taille $d = 3$. La deuxième partie est largement indépendante des autres parties.

## Première partie

On considère l'ensemble des matrices carrées de taille $3$ triangulaires supérieures strictes :

$$\mathbf{L} = \left\{ M_{p,q,r} \ \middle|\ (p, q, r) \in \mathbf{R}^3 \right\} \qquad \text{où} \qquad M_{p,q,r} = \begin{pmatrix} 0 & p & r \\ 0 & 0 & q \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

On définit $\mathbf{H} = \left\{ I_3 + M \ \middle|\ M \in \mathbf{L} \right\}$.

**1.** Calculer l'exponentielle de la matrice $M_{p,q,r}$.

**2a.** Montrer que l'on définit une loi de groupe $*$ sur $\mathbf{L}$ en posant pour $M, N \in \mathbf{L}$ :

$$M * N = M + N + \frac{1}{2}[M, N].$$

On explicitera l'inverse de $M_{p,q,r}$.

**2b.** Déterminer les matrices $M_{p,q,r} \in \mathbf{L}$ qui commutent avec tous les éléments de $\mathbf{L}$ pour la loi $*$. $(\mathbf{L}, *)$ est-il commutatif ?

**3.** Montrer que pour toutes matrices $M, N \in \mathbf{L}$, on a :

$$(\exp M) \times (\exp N) = \exp(M * N).$$

**4.** Soient $M$ et $N$ deux éléments de $\mathbf{L}$. Montrer que

$$\exp([M, N]) = \exp(M) \exp(N) \exp(-M) \exp(-N).$$

**5.** Montrer que $\mathbf{H}$ muni du produit usuel des matrices est un sous-groupe de $\mathrm{SL}_3(\mathbf{R})$ et que

$$\exp : (\mathbf{L}, *) \to (\mathbf{H}, \times)$$

est un isomorphisme de groupes.

## Deuxième partie

On considère dans cette partie deux matrices $A$ et $B$ de $\mathcal{M}_d(\mathbf{R})$.

Dans les questions **6** et **7**, on suppose de plus que $A$ et $B$ commutent avec $[A, B]$.

**6a.** Montrer que $[A, \exp(B)] = \exp(B) [A, B]$.

**6b.** Déterminer une équation différentielle vérifiée par $t \mapsto \exp(tA) \exp(tB)$.

**6c.** En déduire la formule :

$$\exp(A) \exp(B) = \exp\left( A + B + \frac{1}{2}[A, B] \right).$$

**7.** On note $\mathcal{L} = \mathrm{Vect}(A, B, [A, B])$.

**7a.** Si $M, N \in \mathcal{L}$, montrer que $[M, N]$ commute avec $M$ et $N$.

**7b.** Soit $G = \left\{ \exp(M) \ \middle|\ M \in \mathcal{L} \right\}$. Montrer que $(G, \times)$ est un groupe et que l'application

$$\Phi : \mathbf{H} \to G, \quad \exp(M_{p,q,r}) \mapsto \exp(pA + qB + r[A, B]),$$

est un morphisme de groupes.

Dans toute la suite de cette partie, $A$ et $B$ sont à nouveau deux matrices quelconques de $\mathcal{M}_d(\mathbf{R})$.

**8.** Soit $(D_n)_{n \in \mathbf{N}}$ une suite de $\mathcal{M}_d(\mathbf{R})$ qui converge vers $D \in \mathcal{M}_d(\mathbf{R})$. Elle est donc bornée : soit $\lambda > 0$ tel que pour tout entier $n \in \mathbf{N}$, $\|D_n\| \leq \lambda$.

**8a.** Soit $k \in \mathbf{N}$. Justifier que $\dfrac{n!}{(n - k)! \, n^k} \to 1$ quand $n \to +\infty$ et que si $n \geq k$ (et $n \geq 1$),

$$0 \leq 1 - \frac{n!}{(n - k)! \, n^k} \leq 1.$$

En déduire que

$$\left( I_d + \frac{D_n}{n} \right)^n - \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} (D_n)^k \to 0 \quad \text{quand } n \to +\infty.$$

**8b.** Montrer que pour tous entiers $k \geq 1$ et $n \geq 0$,

$$\left\| (D_n)^k - D^k \right\| \leq k \lambda^{k-1} \|D_n - D\|.$$

**8c.** Conclure que $\left( I_d + \dfrac{D_n}{n} \right)^n \to \exp(D)$ quand $n \to +\infty$.

**9a.** Soit $D \in \mathcal{M}_d(\mathbf{R})$ telle que $\|D\| \leq 1$. Montrer qu'il existe une constante $\mu > 0$ indépendante de $D$ telle que

$$\left\| \exp(D) - I_d - D \right\| \leq \mu \|D\|^2.$$

**9b.** Montrer qu'il existe une constante $\nu > 0$, et pour tout $n \geq 1$ une matrice $C_n \in \mathcal{M}_d(\mathbf{R})$, tels que

$$\exp\left( \frac{A}{n} \right) \exp\left( \frac{B}{n} \right) = I_d + \frac{A}{n} + \frac{B}{n} + C_n \quad \text{et} \quad \|C_n\| \leq \frac{\nu}{n^2}.$$

**10.** Déduire de ce qui précède que

$$\exp(A + B) = \lim_{n \to +\infty} \left( \exp\left( \frac{A}{n} \right) \exp\left( \frac{B}{n} \right) \right)^n.$$

## Troisième partie

Soit $T$ un réel strictement positif. On note $E(T)$ l'ensemble constitué des couples $(u, v)$ de fonctions continues sur $[0, T]$ à valeurs réelles.

Un *chemin de Carnot contrôlé* par $(u, v) \in E(T)$ est une application $\gamma : [0, T] \to \mathcal{M}_3(\mathbf{R})$ de classe $C^1$ solution de l'équation différentielle matricielle :

$$
\begin{cases}
\gamma'(t) = u(t) \gamma(t) M_{1,0,0} + v(t) \gamma(t) M_{0,1,0}, \\
\gamma(0) = I_3,
\end{cases}
$$

où les matrices $M_{1,0,0}$ et $M_{0,1,0}$ ont été introduites dans la première partie.

**11a.** Pour tout $(u, v) \in E(T)$, justifier l'existence d'un unique chemin de Carnot contrôlé par $(u, v)$.

**11b.** Montrer que $\gamma$ vérifie

$$\forall t \in [0, T], \qquad \gamma(t) \in \mathbf{H},$$

et calculer explicitement, en fonction de $t$, $u$ et $v$ les fonctions $p(t)$, $q(t)$ et $r(t)$ telles que

$$\gamma(t) = \exp(M_{p(t), q(t), r(t)}).$$

**12.** Pour tout $(\theta, \varphi) \in \mathbf{R}^2$ et $t \in \mathbf{R}$, on définit les contrôles

$$u_{\theta, \varphi}(t) = \sin(\theta - \varphi t) \qquad \text{et} \qquad v_{\theta, \varphi}(t) = \cos(\theta - \varphi t),$$

et on note $\gamma_{\theta, \varphi}(t) = \exp(M_{p(t), q(t), r(t)})$ le chemin de Carnot contrôlé par $(u_{\theta, \varphi}, v_{\theta, \varphi})$.

**12a.** On suppose $\varphi \neq 0$. Calculer $p(t)$ et $q(t)$ et vérifier que

$$r(t) = \frac{t \varphi - \sin(t \varphi)}{2 \varphi^2}.$$

**12b.** Calculer de même $\gamma_{\theta, 0}(t)$.

La sphère de Carnot est l'ensemble :

$$B(1) = \left\{ (p, q, r) \in \mathbf{R}^3 \ \middle|\ \exists (\theta, \varphi) \in [-\pi, \pi] \times [-2\pi, 2\pi],\ \gamma_{\theta, \varphi}(1) = \exp(M_{p, q, r}) \right\}.$$

**13.** On définit les fonctions $f$ et $g$ sur $]0, 2\pi]$ par :

$$f(s) = \frac{2(1 - \cos s)}{s^2} \qquad \text{et} \qquad g(s) = \frac{s - \sin s}{2 s^2}.$$

Montrer que $f$ et $g$ se prolongent par continuité sur $[0, 2\pi]$ ; que $f$ est alors une bijection continue de $[0, 2\pi]$ sur un ensemble qu'on précisera ; et que $g$ atteint son maximum en $\pi$.

**14.** Montrer que si $(p, q, r) \in B(1)$ avec $r \geq 0$ alors $r = g \circ f^{-1}(p^2 + q^2)$. Énoncer et établir une réciproque.

On pourra donner l'allure de la fonction $s \mapsto g \circ f^{-1}(s^2)$ pour $s \in [0, 1]$ et notamment les tangentes en $s = 0$ et $s = 1$.

**15.** Montrer l'existence d'une constante $c_1 > 0$ telle que pour tout $(p, q, r) \in B(1)$, on ait

$$c_1^{-1} \leq p^2 + q^2 + |r| \leq c_1.$$

**16a.** Montrer que pour tout $(p, q, r) \in \mathbf{R}^3 \setminus \{(0, 0, 0)\}$, il existe un unique $\lambda > 0$ tel que :

$$(\lambda p,\ \lambda q,\ \lambda^2 r) \in B(1).$$

**16b.** En déduire que pour tout point $A \in \mathbf{H}$, il existe un réel positif $T(A)$ et des paramètres $(\theta, \varphi)$ (dépendants également de $A$) tels que $A$ soit l'extrémité du chemin de Carnot contrôlé par $(u_{\theta, \varphi}, v_{\theta, \varphi}) \in E(T(A))$.

**16c.** Montrer l'existence d'une constante $c_2 > 0$ telle que pour tout $(p, q, r) \in \mathbf{R}^3$,

$$c_2^{-1} \sqrt{p^2 + q^2 + |r|} \leq T(\exp(M_{p, q, r})) \leq c_2 \sqrt{p^2 + q^2 + |r|}.$$