Maths B

# Mathématiques B (X)

Ecole polytechnique — Concours d'admission 2019

Vendredi 19 avril 2019 - 8h00 – 12h00

Filiere MP - Epreuve n° 3

*Durée : 4 heures*

*L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve*

## Notations

Si $n \in \mathbb{N}$ est un entier naturel et $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, on note $\mathscr{C}^n(I)$ l'espace vectoriel des fonctions sur $I$, à valeurs réelles, de classe $\mathscr{C}^n$, c'est à dire $n$ fois dérivables sur $I$ et dont la $n$-ième dérivée est continue sur $I$.

On munit $\mathscr{C}^0([-1, 1])$ de la norme $\|\cdot\|_\infty$ définie par :

$$
\|f\|_\infty = \sup_{t \in [-1, 1]} |f(t)|.
$$

Soit $y \in I$. On dira qu'une fonction $u : I \to \mathbb{R}$ est de classe $\mathscr{C}^n$ au voisinage de $y$ s'il existe un intervalle $J$ ouvert non vide tel que $y \in J$ et $u \in \mathscr{C}^n(I \cap J)$.

Soit $(x, p) \mapsto H(x, p)$ une fonction continue sur $[-1, 1] \times \mathbb{R}$ à valeurs réelles. Le but de ce problème est d'étudier certaines fonctions $u$ vérifiant l'équation fonctionnelle

$$
\forall x \in [-1, 1], \qquad u(x) + H(x, u'(x)) = 0. \tag{1}
$$

## Partie I

On suppose dans cette partie qu'il existe une fonction $u \in \mathscr{C}^1(]-1, 1[)$ vérifiant

$$
\begin{cases}
u(x) + |u'(x)| = 0 & \text{pour tout } x \in [-1, 1], \\
u(-1) = u(1) = -1.
\end{cases} \tag{2}
$$

**1a.** Justifier que l'application $x \mapsto |u'(x)|$ est une fonction de $\mathscr{C}^1(]-1, 1[)$ et en déduire que $u$ est de classe $\mathscr{C}^2$ au voisinage de tout point $y \in ]-1, 1[$ tel que $u'(y) \neq 0$. Calculer l'expression de $u''(y)$ en fonction de $u'(y)$ en de tels points.

**1b.** Montrer que si $y \in ]-1, 1[$ est tel que $u'(y) = 0$, alors $u'$ est dérivable en $y$ et $u''(y) = 0$.

**2.** En déduire que $u$ est une fonction de $\mathscr{C}^2(]-1, 1[)$, qu'elle vérifie sur $[-1, 1]$ l'équation différentielle

$$
u'' = u
$$

et conclure qu'une telle fonction $u$ n'existe pas.

**3.** Montrer que les fonctions $u_0$ et $u_1$ définies par $u_0(x) = -e^{-1+|x|}$ et $u_1(x) = -e^{1-|x|}$ sur $[-1, 1]$ sont des fonctions de $\mathscr{C}^0([-1, 1])$ et vérifient

$$
\begin{cases}
u(x) + |u'(x)| = 0, & \text{pour tout } x \in [-1, 1] \setminus \{0\}, \\
u(-1) = u(1) = -1.
\end{cases}
$$

## Partie II

Soit $u \in \mathscr{C}^0(]-1, 1[)$.

On définit le **sur-différentiel** de $u$ en $x \in ]-1, 1[$ comme l'ensemble des $p \in \mathbb{R}$ pour lesquels il existe une fonction $\varphi$ de classe $\mathscr{C}^1$ au voisinage de $x$, avec $\varphi'(x) = p$ et telle que $u - \varphi$ admet un **maximum local** en $x$. On note cet ensemble $D^+ u(x)$.

On définit le **sous-différentiel** de $u$ en $x \in ]-1, 1[$ comme l'ensemble des $p \in \mathbb{R}$ pour lesquels il existe une fonction $\varphi$ de classe $\mathscr{C}^1$ au voisinage de $x$, avec $\varphi'(x) = p$ et telle que $u - \varphi$ admet un **minimum local** en $x$. On note cet ensemble $D^- u(x)$.

**4.** Soit $x_0 \in ]-1, 1[$. Montrer que si $u$ est de classe $\mathscr{C}^1$ au voisinage de $x_0$ alors

$$
D^+ u(x_0) = D^- u(x_0) = \{u'(x_0)\}.
$$

**5.** Soit $x_0 \in ]-1, 1[$. On suppose que $D^+ u(x_0)$ et $D^- u(x_0)$ sont non vides.

**5a.** Prouver qu'il existe $\varphi_1, \varphi_2$ de classe $\mathscr{C}^1$ au voisinage de $x_0$ et $\delta > 0$ tels que

$$
u(x_0) = \varphi_1(x_0) = \varphi_2(x_0)
$$

et pour tout $|x - x_0| < \delta$,

$$
\varphi_1(x) \leqslant u(x) \leqslant \varphi_2(x).
$$

**5b.** En déduire que $u$ est dérivable en $x_0$. Déterminer $D^+ u(x_0)$ et $D^- u(x_0)$.

**6a.** Soit $x_0 \in ]-1, 1[$. Soit $0 < r < \min(|1 - x_0|, |1 + x_0|)$. En considérant la fonction définie par $\varphi_{x_0, r}(x) = \dfrac{1}{r^2 - |x - x_0|^2}$ sur l'intervalle ouvert $I_{x_0}(r) = ]x_0 - r, x_0 + r[$, montrer qu'il existe $y \in I_{x_0}(r)$ tel que $D^+ u(y) \neq \emptyset$.

**6b.** Démontrer que l'ensemble $\{y \in ]-1, 1[,\ D^+ u(y) \neq \emptyset\}$ est dense dans $]-1, 1[$.

**7a.** Soit $x_0 \in ]-1, 1[$ tel que $D^+ u(x_0) \neq \emptyset$. Soit $p \in D^+ u(x_0)$. Montrer que

$$
\lim_{\varepsilon \to 0^+} \sup_{\substack{y \in [x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon] \cap [-1, 1] \\ y \neq x_0}} \frac{u(y) - u(x_0) - p(y - x_0)}{|y - x_0|} \leqslant 0. \tag{3}
$$

Dans les sous-questions 7b à 7e on considère $x_0 \in ]-1, 1[$ et $p \in \mathbb{R}$ satisfaisant (3). Le but est de montrer qu'alors réciproquement $p \in D^+ u(x_0)$.

**7b.** On pose, pour $r > 0$,

$$
\varphi(r) = \max\left\{0,\ \sup_{\substack{y \in [x_0 - r, x_0 + r] \cap [-1, 1] \\ y \neq x_0}} \frac{u(y) - u(x_0) - p(y - x_0)}{|y - x_0|}\right\}
$$

et $\varphi(0) = 0$. Justifier que, pour tout $r > 0$, $\varphi(r)$ est un nombre réel bien défini, puis que, pour tout $x \in ]-1, 1[$,

$$
u(x) \leqslant u(x_0) + p(x - x_0) + \varphi(|x - x_0|)\, |x - x_0|.
$$

**7c.** Montrer que la fonction $\rho$ définie sur $[0, +\infty[$ par $\rho(r) = \int_0^r \varphi(s)\, ds$ appartient à $\mathscr{C}^1([0, +\infty[)$ et vérifie

$$
\rho(0) = \rho'(0) = 0.
$$

**7d.** Prouver que

$$
\forall r \geqslant 0, \qquad \rho(2r) \geqslant \varphi(r)\, r.
$$

**7e.** Conclure que $p \in D^+ u(x_0)$ et que, pour tout $x_0 \in ]-1, 1[$,

$$
D^+ u(x_0) = \left\{ p \in \mathbb{R},\ \lim_{\varepsilon \to 0^+} \sup_{\substack{y \in [x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon] \cap [-1, 1] \\ y \neq x_0}} \frac{u(y) - u(x_0) - p(y - x_0)}{|y - x_0|} \leqslant 0 \right\}.
$$

*On peut montrer de même (mais on ne demande pas de le vérifier) que pour tout $x_0 \in ]-1, 1[$,*

$$
D^- u(x_0) = \left\{ p \in \mathbb{R},\ \lim_{\varepsilon \to 0^+} \inf_{\substack{y \in [x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon] \cap [-1, 1] \\ y \neq x_0}} \frac{u(y) - u(x_0) - p(y - x_0)}{|y - x_0|} \geqslant 0 \right\}.
$$

**8.** Soit $x_0 \in ]-1, 1[$. Montrer que le résultat de la question 4 est toujours valable en supposant uniquement $u$ dérivable en $x_0$.

**9.** Soit $x_0 \in ]-1, 1[$ tel que $D^+ u(x_0) \neq \emptyset$. Démontrer que $D^+ u(x_0)$ est un intervalle fermé.

**10.** On suppose dans cette question que $u$ est **concave** sur $[-1, 1]$. Soit $x_0 \in ]-1, 1[$.

**10a.** Soient $y_1, y_2 \in [-1, 1] \setminus \{x_0\}$ avec $y_1 < y_2$. Prouver que

$$
\frac{u(y_1) - u(x_0)}{y_1 - x_0} \geqslant \frac{u(y_2) - u(x_0)}{y_2 - x_0}.
$$

**10b.** Montrer que

$$
\lim_{y \to x_0^-} \frac{u(y) - u(x_0)}{y - x_0} =: \ell^- \quad \text{et} \quad \lim_{y \to x_0^+} \frac{u(y) - u(x_0)}{y - x_0} =: \ell^+
$$

sont bien définies et que $D^+ u(x_0) = [\ell^+, \ell^-]$.

**10c.** Démontrer que

$$
D^+ u(x_0) = \{p \in \mathbb{R},\ \forall x \in [-1, 1],\ u(x) \leqslant u(x_0) + p(x - x_0)\}.
$$

En déduire que $u$ admet un maximum en $x_0$ si et seulement si $0 \in D^+ u(x_0)$.

## Partie III

Soit $(x, p) \mapsto H(x, p)$ une fonction continue sur $[-1, 1] \times \mathbb{R}$ à valeurs réelles. On suppose qu'il existe une fonction continue croissante $\omega : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$, vérifiant $\omega(0) = 0$, telle que, pour tous $x, y \in [-1, 1]$, et pour tout $p \in \mathbb{R}$,

$$
|H(x, p) - H(y, p)| \leqslant \omega\big(|x - y|(1 + |p|)\big). \tag{4}
$$

On dit que $u \in \mathscr{C}^0([-1, 1])$ est une **sur-solution** de (1) si pour tout $x \in ]-1, 1[$, pour tout $p \in D^- u(x)$,

$$
u(x) + H(x, p) \geqslant 0.
$$

On dit que $u \in \mathscr{C}^0([-1, 1])$ est une **sous-solution** de (1) si pour tout $x \in ]-1, 1[$, pour tout $p \in D^+ u(x)$,

$$
u(x) + H(x, p) \leqslant 0.
$$

**11a.** Montrer que si $u \in \mathscr{C}^1(]-1, 1[)$ vérifie

$$
\forall x \in ]-1, 1[, \qquad u(x) + H(x, u'(x)) = 0,
$$

alors $u$ est sur-solution et sous-solution de (1).

**11b.** Montrer que si $u$ est à la fois sur-solution et sous-solution de (1), alors en tout point $x \in ]-1, 1[$ au voisinage duquel $u$ est de classe $\mathscr{C}^1$, on a

$$
u(x) + H(x, u'(x)) = 0.
$$

On souhaite démontrer que si $u$ est une sous-solution et $v$ une sur-solution de (1) telles que

$$
u(y) \leqslant v(y) \qquad \text{pour } y \in \{-1, 1\},
$$

alors

$$
u \leqslant v \qquad \text{sur } [-1, 1].
$$

Dans les questions 12 à 15 on suppose par l'absurde qu'il existe $y_0 \in [-1, 1]$ pour lequel $u(y_0) > v(y_0)$.

**12.** Montrer que la fonction $u - v$ atteint son maximum sur $[-1, 1]$ en un point $x_0 \in ]-1, 1[$ et $M := \max_{x \in [-1, 1]}(u(x) - v(x)) > 0$. Montrer qu'il existe $\eta > 0$ tel que pour tout $(x, y) \in [-1, 1]^2$ vérifiant

$$
|x - y| \leqslant \sqrt{2\big(\|u\|_\infty + \|v\|_\infty\big)\eta},
$$

on a

$$
|u(x) - u(y)| + |v(x) - v(y)| < M/2
$$

et

$$
\omega\big(|x - y| + 2|v(x) - v(y)|\big) < M/2,
$$

où $\omega$ est la fonction intervenant en (4).

Pour un paramètre $\eta$ obtenu grâce à la question précédente, on considère la fonction $\Phi_\eta : [-1, 1]^2 \to \mathbb{R}$, définie par

$$
\Phi_\eta(x, y) = u(x) - v(y) - \frac{|x - y|^2}{2\eta}.
$$

**13.** Démontrer que $\Phi$ atteint son maximum sur $[-1, 1]^2$ en un point $(x_\eta, y_\eta) \in [-1, 1]^2$ tel que $\Phi_\eta(x_\eta, y_\eta) \geqslant M$.

**14a.** Montrer que

$$
|x_\eta - y_\eta| \leqslant \sqrt{2\big(\|u\|_\infty + \|v\|_\infty\big)\eta}.
$$

**14b.** En déduire que $|x_\eta| \neq 1$ et $|y_\eta| \neq 1$.

**14c.** Conclure que

$$
\frac{x_\eta - y_\eta}{\eta} \in D^+ u(x_\eta) \cap D^- v(y_\eta).
$$

**15.** Prouver que

$$
u(x_\eta) - v(y_\eta) \leqslant \omega\big(|x_\eta - y_\eta| + 2|v(x_\eta) - v(y_\eta)|\big)
$$

et obtenir une contradiction. Conclure.

## Partie IV

**16a.** Calculer le sur-différentiel et le sous-différentiel de la fonction $u_0$ de la question 3 pour tout $x \in ]-1, 1[ \setminus \{0\}$.

**16b.** Montrer que

$$
D^+ u_0(0) = [-e^{-1}, e^{-1}] \quad \text{et} \quad D^- u_0(0) = \emptyset.
$$

**16c.** Vérifier que $u_0$ est sur-solution et sous-solution de (1) pour $H(x, p) = |p|$.

**16d.** Qu'en est-il de $u_1$ ?

**16e.** En déduire que $u_0$ est l'unique fonction continue vérifiant $u_0(-1) = u_0(1) = -1$ et qui soit sur-solution et sous-solution de (1) pour $H(x, p) = |p|$.

Soit $\varepsilon \in ]0, 1[$. On pose

$$
\lambda_\varepsilon^\pm = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4\varepsilon}}{2\varepsilon}
$$

et on définit la fonction $u_\varepsilon : [-1, 1] \to \mathbb{R}$ par la formule

$$
u_\varepsilon(x) = \frac{-\lambda_\varepsilon^- e^{\lambda_\varepsilon^+ |x|} + \lambda_\varepsilon^+ e^{\lambda_\varepsilon^- |x|}}{\lambda_\varepsilon^- e^{\lambda_\varepsilon^+} - \lambda_\varepsilon^+ e^{\lambda_\varepsilon^-}}.
$$

**17.** Montrer que $u_\varepsilon$ est de classe $\mathscr{C}^2$ sur $[-1, 1]$ et vérifie

$$
\begin{cases}
u_\varepsilon(x) + |u_\varepsilon'(x)| - \varepsilon u_\varepsilon''(x) = 0 & \text{pour tout } x \in [-1, 1], \\
u_\varepsilon(-1) = u_\varepsilon(1) = -1.
\end{cases} \tag{5}
$$

**18a.** Montrer que $u_\varepsilon$ est l'unique solution de classe $\mathscr{C}^2$ sur $[-1, 1]$ à (5).

**18b.** Soit $(\varepsilon_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de $]0, 1[$ tendant vers $0$. Prouver que $(u_{\varepsilon_n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément sur $[-1, 1]$ lorsque $n \to +\infty$ vers une fonction que l'on déterminera.