Maths B

# Mathématiques B (X)

Ecole polytechnique — Concours d'admission 2021

Mardi 13 avril 2021

08h00 - 12h00

Filiere MP - Epreuve n° 3

*Durée : 4 heures*

*L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve*

Dans tout le sujet, $(\Omega, \mathscr{A}, P)$ désigne un espace probabilisé sur lequel seront définies les différentes variables aléatoires. On admet que toutes les variables aléatoires introduites peuvent bien être construites sur cet espace. On note $P(A)$ la probabilité d'un événement $A \subset \Omega$ et $E(X)$ l'espérance d'une variable aléatoire $X$ sur $(\Omega, \mathscr{A}, P)$ à valeurs réelles.

On rappelle que si $s \in \mathopen]1, +\infty\mathclose[$, la série $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n^{-s}$ converge et on note $\zeta(s)$ sa limite.

On dit qu'une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\mathbb{N}^*$ suit la loi zeta de paramètre $s > 1$ si, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$,

$$
P(X = n) = \zeta(s)^{-1} \frac{1}{n^s}.
$$

Si $n \in \mathbb{N}^*$ et $p$ est un nombre premier, on note $\nu_p(n)$ la valuation de $n$ en $p$. On note également $(p_k)_{k \geqslant 1}$ la suite croissante des nombres premiers.

Si $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $\chi_4(2n) = 0$ et $\chi_4(2n - 1) = (-1)^{n-1}$. On pourra utiliser sans justification que, pour $m$ et $n$ dans $\mathbb{N}^*$, on a $\chi_4(mn) = \chi_4(m)\chi_4(n)$.

Le sujet comporte quatre parties, et les parties II et III sont indépendantes de la partie I.

## Partie I

Soit $s > 1$ un nombre réel et soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}^*$ suivant la loi zeta de paramètre $s$. Si $n \in \mathbb{N}^*$, on note $\{n \mid X\}$ l'événement « $n$ divise $X$ » et $\{n \nmid X\}$ l'événement complémentaire.

**1a.** Calculer $P(n \mid X)$ pour $n \in \mathbb{N}^*$.

**1b.** Soit $(\alpha_i)_{i \in \mathbb{N}^*}$ une suite d'entiers naturels. Montrer que les événements

$$
\{p_1^{\alpha_1} \mid X\},\ \{p_2^{\alpha_2} \mid X\}, \ldots, \{p_k^{\alpha_k} \mid X\}, \ldots
$$

sont mutuellement indépendants.

**2a.** Soit $r \geqslant 1$ un entier. Montrer que

$$
P\left(\bigcap_{i=1}^{r} \{p_i \nmid X\}\right) = \prod_{i=1}^{r} (1 - p_i^{-s}).
$$

**2b.** En déduire que

$$
\zeta(s)^{-1} = \lim_{n \to +\infty} \prod_{k=1}^{n} (1 - p_k^{-s}).
$$

**3a.** Montrer que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, la variable aléatoire $\nu_{p_k}(X) + 1$ suit la loi géométrique de paramètre $(1 - p_k^{-s})$.

**3b.** Montrer que, pour $r \in \mathbb{N}^*$, $k_1 < \cdots < k_r$ dans $\mathbb{N}^*$ et $(n_1, \ldots, n_r) \in \mathbb{N}^r$, on a

$$
\begin{aligned}
&P\big(\nu_{p_{k_1}}(X) = n_1, \ldots, \nu_{p_{k_r}}(X) = n_r\big) \\
&\qquad = \sum_{\ell = 0}^{r} (-1)^\ell \sum_{\substack{(\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_r) \in \{0, 1\}^r \\ \varepsilon_1 + \cdots + \varepsilon_r = \ell}} P\big(\nu_{p_{k_1}}(X) \geqslant n_1 + \varepsilon_1,\ \nu_{p_{k_2}}(X) \geqslant n_2 + \varepsilon_2,\ \ldots,\ \nu_{p_{k_r}}(X) \geqslant n_r + \varepsilon_r\big).
\end{aligned}
$$

**3c.** En déduire que les variables aléatoires $\nu_{p_1}(X), \ldots, \nu_{p_k}(X), \ldots$ sont mutuellement indépendantes.

Si $n \in \mathbb{N}^*$, on note, pour $i \in \{0, 1, 2, 3\}$,

$$
r_i(n) = \operatorname{Card}\{d \in \mathbb{N} : d \equiv i\ [4] \text{ et } d \mid n\}.
$$

On pose $g(n) = r_1(n) - r_3(n)$.

**4a.** Montrer que si $m$ et $n$ sont deux entiers naturels non nuls et premiers entre eux, on a $g(mn) = g(m)g(n)$.

**4b.** Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, et tout nombre premier $p$, on a

$$
g(p^n) =
\begin{cases}
1 & \text{si } p = 2, \\
n + 1 & \text{si } p \equiv 1\ [4], \\
\dfrac{1}{2}\big(1 + (-1)^n\big) & \text{si } p \equiv 3\ [4].
\end{cases}
$$

**5.** Soit $(f_n)_{n \geqslant 1}$ une suite de fonctions de $\mathbb{N}^*$ dans $\mathbb{R}$ telle que, pour tout $x \in \mathbb{N}^*$, la suite $(f_n(x))_{n \geqslant 1}$ converge vers un réel $f(x)$ quand $n$ tend vers $+\infty$. On suppose qu'il existe une fonction $h : \mathbb{N}^* \to [0, +\infty[$ telle que $h(X)$ est d'espérance finie et telle que $|f_n(m)| \leqslant h(m)$ pour tous $m$ et $n$ dans $\mathbb{N}^*$. Justifier que $E(f(X))$ est d'espérance finie et montrer que

$$
\lim_{n \to +\infty} E(f_n(X)) = E(f(X)).
$$

**6a.** On note $r(n)$ le nombre de diviseurs $d \geqslant 1$ de $n$. Montrer que la série $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} r(n)\, n^{-s}$ converge et que sa somme vaut $\zeta(s)^2$.

**6b.** En déduire que la série $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} g(n)\, n^{-s}$ converge.

**7a.** Montrer que la suite de fonctions $\displaystyle\left(x \mapsto \prod_{k=1}^{n} p_k^{\nu_{p_k}(x)}\right)_{n \geqslant 1}$ de $\mathbb{N}^*$ dans $\mathbb{N}^*$ converge simplement vers la fonction identité.

**7b.** Montrer que

$$
E(g(X)) = \lim_{n \to +\infty} \prod_{k=1}^{n} E\big(g(p_k^{\nu_{p_k}(X)})\big).
$$

**8a.** Montrer que si $p$ est un nombre premier tel que $p \equiv 1\ [4]$, on a

$$
E\big(g(p^{\nu_p(X)})\big) = \frac{1}{1 - p^{-s}}.
$$

**8b.** Calculer $E\big(g(p^{\nu_p(X)})\big)$ si $p$ est un nombre premier vérifiant $p \equiv 3\ [4]$.

**8c.** En déduire

$$
E(g(X)) = \lim_{n \to +\infty} \prod_{k=1}^{n} \frac{1}{1 - \chi_4(p_k)\, p_k^{-s}}.
$$

**9a.** Montrer que, si $p$ est un nombre premier,

$$
E\big(\chi_4(p^{\nu_p(X)})\big) = \frac{1 - p^{-s}}{1 - \chi_4(p)\, p^{-s}}.
$$

**9b.** Montrer que

$$
E(\chi_4(X)) = \frac{1}{\zeta(s)} \lim_{n \to +\infty} \prod_{k=1}^{n} \frac{1}{1 - \chi_4(p_k)\, p_k^{-s}}.
$$

**9c.** En déduire que la série

$$
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^s}
$$

est convergente et que sa somme vaut $E(g(X))$.

## Partie II

**10a.** Soit $n \in \mathbb{N}$. Expliciter un polynôme $P_n \in \mathbb{R}_n[X]$ tel que, pour tout $\theta \in \mathbb{R}$,

$$
\sin((2n+1)\theta) = \sin(\theta)\, P_n(\sin^2(\theta)).
$$

*Indication : on pourra développer $(\cos(\theta) + i\sin(\theta))^{2n+1}$.*

**10b.** Déterminer les racines de $P_n$ et en déduire que, pour tout $x \in \mathbb{R}$,

$$
P_n(x) = (2n+1) \prod_{k=1}^{n} \left(1 - \frac{x}{\sin^2\big(\frac{k\pi}{2n+1}\big)}\right).
$$

**10c.** En déduire que, pour tout $x \in \mathbb{R}$,

$$
\sin(\pi x) = (2n+1) \sin\left(\frac{\pi x}{2n+1}\right) \prod_{k=1}^{n} \left(1 - \frac{\sin^2\big(\frac{\pi x}{2n+1}\big)}{\sin^2\big(\frac{k\pi}{2n+1}\big)}\right).
$$

Soit $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$. Soit $m \in \mathbb{N}$ tel que $m > |x|$. On pose, pour $n \in \mathbb{N}$ tel que $n > m$ :

$$
u_{m,n}(x) = (2n+1) \sin\left(\frac{\pi x}{2n+1}\right) \prod_{k=1}^{m} \left(1 - \frac{\sin^2\big(\frac{\pi x}{2n+1}\big)}{\sin^2\big(\frac{k\pi}{2n+1}\big)}\right)
$$

et

$$
v_{m,n}(x) = \prod_{k=m+1}^{n} \left(1 - \frac{\sin^2\big(\frac{\pi x}{2n+1}\big)}{\sin^2\big(\frac{k\pi}{2n+1}\big)}\right).
$$

**11a.** Montrer que les suites, indexées par $n$, $(u_{m,n}(x))_{n > m}$ et $(v_{m,n}(x))_{n > m}$ sont convergentes dans $\mathbb{R}^*$.

On note $v_m(x)$ la limite de $(v_{m,n}(x))_{n > m}$.

**11b.** Montrer que, pour $n \in \mathbb{N}$ tel que $n > m$, on a

$$
1 \geqslant v_{m,n}(x) \geqslant \prod_{k=m+1}^{n} \left(1 - \frac{\pi^2 x^2}{4k^2}\right)
$$

et en déduire que $\displaystyle\lim_{m \to +\infty} v_m(x) = 1$.

**11c.** En déduire que, pour tout $x \in \mathbb{R}$,

$$
\sin(\pi x) = \pi x \lim_{n \to +\infty} \prod_{k=1}^{n} \left(1 - \frac{x^2}{k^2}\right).
$$

## Partie III

On rappelle que la suite $\displaystyle\left(\Big(\sum_{k=1}^{n} k^{-1}\Big) - \ln(n)\right)_{n \geqslant 1}$ converge. On note $\gamma$ sa limite.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Pour $x \in \mathopen]0, +\infty\mathclose[$, on pose

$$
\Gamma_n(x) = \frac{1}{x}\, e^{-\gamma x} \prod_{k=1}^{n} \frac{e^{x k^{-1}}}{1 + x k^{-1}}.
$$

**12.** Montrer que la suite de fonctions $(\Gamma_n)_{n \geqslant 1}$ converge simplement sur $]0, +\infty[$ vers une fonction $\Gamma$ de $]0, +\infty[$ vers $]0, +\infty[$.

**13.** Montrer que, pour tout $x \in ]0, +\infty[$, on a $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$.

**14a.** Montrer que la fonction $\Gamma$ est de classe $\mathscr{C}^2$ et que, pour tout $x \in ]0, +\infty[$,

$$
(\ln \Gamma)''(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(x+k)^2}.
$$

**14b.** Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (\ln \Gamma)''(x) = 0$.

Soit $f : ]0, +\infty[ \to ]0, +\infty[$ une fonction de classe $\mathscr{C}^2$ telle que la fonction $\ln(f)$ est convexe et vérifie $f(1) = 1$ et $f(x+1) = xf(x)$ pour tout $x > 0$.

**15a.** Montrer que la fonction

$$
S : \begin{cases}
]0, +\infty[ & \longrightarrow \mathbb{R} \\
x & \longmapsto \ln\dfrac{f(x)}{\Gamma(x)}
\end{cases}
$$

est $1$-périodique et convexe.

**15b.** En déduire que $f = \Gamma$.

**16.** Montrer que pour tous $a \in ]0, +\infty[$ et $x \in ]0, +\infty[$ :

$$
\int_0^{+\infty} \frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+a}}\, \mathrm{d}t = \frac{\Gamma(x)\Gamma(a)}{\Gamma(x+a)}.
$$

*Indication : on pourra poser, pour $x \in ]0, +\infty[$, $f(x) = \dfrac{\Gamma(x+a)}{\Gamma(a)} \displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+a}}\, \mathrm{d}t$.*

**17.** Montrer que pour tout $x \in ]0, 1[$ :

$$
\int_0^{+\infty} \frac{t^{x-1}}{1+t}\, \mathrm{d}t = \frac{\pi}{\sin(\pi x)}.
$$

## Partie IV

**18a.** Montrer que pour tout $x \in ]0, 1[$ :

$$
\frac{\pi}{\sin(\pi x)} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n+x} + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n+1-x}.
$$

**18b.** En déduire que, pour $x \in \mathopen]-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\mathclose[$ :

$$
\frac{\pi}{\cos(\pi x)} = \sum_{k=0}^{+\infty} \left(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^{2k+1}}\right) 2^{2k+2}\, x^{2k}.
$$

**18c.** En déduire que la fonction

$$
v : \begin{cases}
\mathopen]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\mathclose[ & \longrightarrow \mathbb{R} \\
x & \longmapsto \dfrac{1}{\cos(x)}
\end{cases}
$$

est développable en série entière et que, pour tout $k \in \mathbb{N}$,

$$
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^{2k+1}} = \frac{\pi^{2k+1}}{2^{2k+2}\, (2k)!}\, E_{2k},
$$

où, pour tout $k \in \mathbb{N}$, $E_{2k} = v^{(2k)}(0)$.

**19a.** Montrer que, pour $n \in \mathbb{N}^*$,

$$
\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{2n}{2k} E_{2k} = 0
$$

et en déduire les valeurs de $E_0$, $E_2$ et $E_4$.

**19b.** Calculer $E(g(X))$ lorsque $X$ est une variable aléatoire suivant la loi zeta de paramètre $3$ puis de paramètre $5$.