Maths B

# Mathématiques B (X)

École polytechnique. Concours d’admission 2023.

Mardi 18 avril 2023, 08h00 – 12h00.

Filière MP-MPI. Épreuve n° 3.

Durée : 4 heures.

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

## Notations

On note $\mathbb{R}$ l’ensemble des nombres réels.

On note $\mathbb{R}_+^*$ l’ensemble des nombres réels strictement positifs.

Étant donné $\rho \in \mathbb{R}_+^*$, on pose $U_\rho = \left]-\rho, \rho\right[$.

On note $\mathcal{D}_\rho(\mathbb{R})$ le $\mathbb{R}$-espace vectoriel des fonctions $U_\rho \to \mathbb{R}$ qui sont développables en série entière sur l’intervalle $U_\rho$.

Par définition, pour toute fonction $f \in \mathcal{D}_\rho(\mathbb{R})$, on a une écriture de la forme $f(t) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n$ ($a_n \in \mathbb{R}$) valable pour tout $t \in U_\rho$. On rappelle que les $a_n$ sont uniquement déterminés par $f$.

On rappelle également que, pour tout réel $r \in \mathbb{R}_+^*$ tel que $r < \rho$, la série $\sum_n |a_n| r^n$ est convergente et on pose :

$$
\|f\|_r = \sum_{n=0}^{\infty} |a_n| \, r^n.
$$

## Matrices

Si $n$ et $m$ sont deux entiers, on note $\mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{R})$ l’ensemble des matrices à $n$ lignes et $m$ colonnes à coefficients dans $\mathbb{R}$.

Lorsque $m = n$, on note plus simplement $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ pour $\mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{R})$.

On note $I_n \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ la matrice identité.

Pour $M \in \mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{R})$, on note $M^{\mathrm{T}} \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ la matrice transposée de $M$.

On note $S_n(\mathbb{R})$ l’ensemble des matrices symétriques de taille $n$ à coefficients dans $\mathbb{R}$, c’est-à-dire des matrices $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $M^{\mathrm{T}} = M$.

On dit qu’une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est orthogonale si $M^{\mathrm{T}} \cdot M = I_n$.

Une fonction $f : U_\rho \to \mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{R})$ est dite développable en série entière sur $U_\rho$ si toutes ses fonctions coefficients le sont.

On note $\mathcal{D}_\rho(\mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{R}))$ l’ensemble des fonctions $U_\rho \to \mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{R})$ qui sont développables en série entière sur $U_\rho$ au sens précédent et $\mathcal{D}_\rho(S_n(\mathbb{R}))$ les fonctions de $\mathcal{D}_\rho(\mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{R}))$ qui sont à valeurs dans $S_n(\mathbb{R})$.

Pour $M \in \mathcal{D}_\rho(\mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{R}))$ et $a \in U_\rho$, on note $M|_{t=a}$ la matrice obtenue en évaluant tous les coefficients de $M$ au point $a$.

On note encore $M^{\mathrm{T}} \in \mathcal{D}_\rho(\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R}))$ l’unique élément tel que $(M^{\mathrm{T}})|_{t=a} = (M|_{t=a})^{\mathrm{T}}$ pour $a \in U_\rho$ et $I_n \in \mathcal{D}_\rho(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}))$ la fonction constante de valeur $I_n$.

Soit $k$ un entier. Si $n = n_1 + \cdots + n_k$ avec $n_1, \ldots, n_k$ entiers et $M_i \in \mathcal{M}_{n_i}(\mathbb{R})$ pour $i \in \{1, \ldots, n\}$, on note $\mathrm{Diag}(M_1, \ldots, M_k) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ la matrice diagonale par blocs suivante :

$$
\begin{pmatrix}
M_1 & & 0 \\
& \ddots & \\
0 & & M_k
\end{pmatrix}.
$$

Si $M_i \in \mathcal{D}_\rho(\mathcal{M}_{n_i}(\mathbb{R}))$ pour $i \in \{1, \ldots, n\}$, on note $\mathrm{Diag}(M_1, \ldots, M_k) \in \mathcal{D}_\rho(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}))$ l’élément défini par $\mathrm{Diag}(M_1, \ldots, M_k)|_{t=a} = \mathrm{Diag}(M_1|_{t=a}, \ldots, M_k|_{t=a})$ pour $a \in U_\rho$.

Pour $M \in \mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{R})$, on note :

- $\ker(M)$ le sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^m$ formé des vecteurs $v$ tels que $Mv = 0$,
- $\operatorname{im}(M)$ le sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ formé des vecteurs de la forme $Mv$, $v \in \mathbb{R}^m$.

## Polynômes

Soit $n \in \mathbb{N}$ un entier naturel. On note $\mathbb{R}_n[X]$ l’ensemble des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à $n$. On note $\mathcal{D}_\rho(\mathbb{R}_n[X])$ l’ensemble des fonctions de $U_\rho$ vers $\mathbb{R}_n[X]$ de la forme $t \mapsto \sum_{i=0}^{n} f_i(t) X^i$ avec $f_i \in \mathcal{D}_\rho(\mathbb{R})$ pour $0 \leqslant i \leqslant n$. On notera dans la suite simplement $f_0 + f_1 X + \cdots + f_n X^n$ une telle fonction.

Si $P = f_0 + f_1 X + \cdots + f_n X^n \in \mathcal{D}_\rho(\mathbb{R}_n[X])$, on note $\deg P$ l’entier $\max\{i \mid f_i \neq 0\}$. On dit que $P$ est unitaire de degré $d$ si $P$ est de la forme

$$
P = f_0 + f_1 X + \cdots + f_{d-1} X^{d-1} + X^d.
$$

Pour $P = f_0 + f_1 X + \cdots + f_n X^n \in \mathcal{D}_\rho(\mathbb{R}_n[X])$ (avec $f_i \in \mathcal{D}_\rho(\mathbb{R})$) et $a \in U_\rho$, on note $P|_{t=a}$ le polynôme

$$
P|_{t=a} = f_0(a) + f_1(a) \, X + \cdots + f_n(a) \, X^n \in \mathbb{R}[X].
$$

Soit $m \in \mathbb{N}$. Si $P \in \mathcal{D}_\rho(\mathbb{R}_n[X])$ et si $M \in \mathcal{D}_\rho(\mathcal{M}_m(\mathbb{R}))$, on note $P(M)$ la fonction

$$
a \mapsto P|_{t=a}(M|_{t=a}).
$$

Dans tout le problème, on fixe un nombre réel $\rho$ strictement positif.

## Première partie

1. Montrer que, pour tout $\rho > 0$ et tous $m, n \in \mathbb{N}^*$, les ensembles $\mathcal{D}_\rho(\mathbb{R})$, $\mathcal{D}_\rho(\mathbb{R}_n[X])$ et $\mathcal{D}_\rho(\mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{R}))$ sont stables par somme.

2. Montrer que, pour tout $\rho > 0$ et tout $n \in \mathbb{N}^*$, les ensembles $\mathcal{D}_\rho(\mathbb{R})$ et $\mathcal{D}_\rho(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}))$ sont stables par produit.

3. Soit $r \in \mathbb{R}_+^*$ tel que $r \leqslant \rho$. Montrer que l’application $\mathcal{D}_\rho(\mathbb{R}) \to \mathcal{D}_r(\mathbb{R})$ qui à une fonction $f$ associe sa restriction à $U_r$ est injective.

Dans la suite, on identifiera $\mathcal{D}_\rho(\mathbb{R})$ à un sous-anneau de $\mathcal{D}_r(\mathbb{R})$.

4. Soit $r \in \mathbb{R}_+^*$ tel que $r < \rho$. Montrer que $\|\cdot\|_r$ est une norme sur $\mathcal{D}_\rho(\mathbb{R})$ et que $\|fg\|_r \leqslant \|f\|_r \cdot \|g\|_r$ pour tout $f, g \in \mathcal{D}_\rho(\mathbb{R})$.

5. Soit $r \in \mathbb{R}_+^*$ tel que $r < \rho$. Soit $(f_n)_{n \geqslant 0}$ une suite d’éléments de $\mathcal{D}_\rho(\mathbb{R})$. On suppose que $\sum_{n \geqslant 0} \|f_n\|_r$ converge. Montrer que $\sum_{n \geqslant 0} f_n$ converge normalement sur $U_r$ vers une fonction $f \in \mathcal{D}_r(\mathbb{R})$. Montrer que $\sum_{n \geqslant 0} f_n$ converge également vers $f$ pour la norme $\|\cdot\|_r$.

6. Soit $f \in \mathcal{D}_\rho(\mathbb{R})$ tel que $f(0) \neq 0$. Le but de cette question est de montrer qu’il existe $r \in \mathbb{R}_+^*$, $r \leqslant \rho$ tel que $\dfrac{1}{f} \in \mathcal{D}_r(\mathbb{R})$.

6a. Montrer que l’on peut supposer sans perte de généralité que $f(0) = 1$.

On écrit à présent $f(t) = \sum_{i=0}^{\infty} a_i t^i$ et on suppose que $a_0 = 1$.

6b. Uniquement dans cette sous-question, on suppose qu’il existe $r \in \mathbb{R}_+^*$ tel que $r \leqslant \rho$ et $g \in \mathcal{D}_r(\mathbb{R})$ tels que $f(t) \, g(t) = 1$ pour tout $t \in U_r$.

On écrit $g(t) = \sum_{i=0}^{\infty} b_i t^i$. Montrer que :

$$
b_0 = 1
$$

$$
\text{pour } n \geqslant 1, \quad b_n = -(b_0 a_n + \cdots + b_{n-1} a_1).
$$

On définit à présent la suite $(b_n)_{n \geqslant 0}$ par la formule de récurrence ci-dessus.

6c. Montrer qu’il existe $c \in \mathbb{R}_+^*$ tel que $|a_n| \leqslant c^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

6d. Montrer que $|b_n| \leqslant (2c)^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

6e. Conclure.

7. Montrer que $\mathcal{D}_\rho(\mathbb{R})$ est un anneau intègre.

## Deuxième partie

Soit $n \in \mathbb{N}$ un entier naturel. Pour $P = f_0 + f_1 X + \cdots + f_n X^n \in \mathcal{D}_\rho(\mathbb{R}_n[X])$ et $r, s \in \mathbb{R}_+^*$ avec $r < \rho$, on définit :

$$
\|P\|_{r,s} = \sum_{i=0}^{n} \|f_i\|_r \cdot s^i.
$$

8. Soient $n, m \in \mathbb{N}$ et soient $r, s \in \mathbb{R}_+^*$, $r < \rho$.

8a. Montrer que $\|\cdot\|_{r,s}$ est une norme sur $\mathcal{D}_\rho(\mathbb{R}_n[X])$.

8b. Montrer que si $P \in \mathcal{D}_\rho(\mathbb{R}_n[X])$ et $Q \in \mathcal{D}_\rho(\mathbb{R}_m[X])$, alors $PQ \in \mathcal{D}_\rho(\mathbb{R}_{n+m}[X])$ et

$$
\|PQ\|_{r,s} \leqslant \|P\|_{r,s} \cdot \|Q\|_{r,s}.
$$

9. Soient $A, B \in \mathcal{D}_\rho(\mathbb{R}_n[X])$. On suppose que $B$ est unitaire de degré $d \leqslant n$.

9a. Montrer qu’il existe des éléments $Q \in \mathcal{D}_\rho(\mathbb{R}_{n-d}[X])$ et $R \in \mathcal{D}_\rho(\mathbb{R}_{d-1}[X])$ uniquement déterminés tels que $A = BQ + R$.

Les éléments $Q$ et $R$ sont appelés respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$.

9b. Soient de plus $r, s \in \mathbb{R}_+^*$ avec $r < \rho$. Montrer que, si $\|B - X^d\|_{r,s} < s^d$, alors

$$
\|Q\|_{r,s} \leqslant \frac{\|A\|_{r,s}}{s^d - \|B - X^d\|_{r,s}} \quad \text{et} \quad \|R\|_{r,s} \leqslant \frac{s^d \cdot \|A\|_{r,s}}{s^d - \|B - X^d\|_{r,s}}.
$$

(On pourra commencer par traiter le cas où $B = X^d$.)

On se propose à présent de démontrer le théorème suivant.

**Théorème 1.** *Soit $n \in \mathbb{N}$ un entier naturel et soit $P \in \mathcal{D}_\rho(\mathbb{R}_n[X])$ unitaire. Soit $\lambda \in \mathbb{R}$ une racine de $P|_{t=0}$ de multiplicité $d$. Alors il existe $r \in \mathbb{R}_+^*$ tel que $r \leqslant \rho$ et $F \in \mathcal{D}_r(\mathbb{R}_d[X])$ et $G \in \mathcal{D}_r(\mathbb{R}_{n-d}[X])$ unitaires tels que $P = FG$ et $F|_{t=0} = (X - \lambda)^d$.*

Pour cela, on se donne $P = f_0 + f_1 X + \cdots + f_n X^n \in \mathcal{D}_\rho(\mathbb{R}_n[X])$.

On suppose dans un premier temps que $\lambda = 0$, que $f_0(0) = \cdots = f_{d-1}(0) = 0$ et que $f_d$ est la fonction constante égale à $1$.

10. Soit $F \in \mathcal{D}_\rho(\mathbb{R}_d[X])$ unitaire et tel que $F|_{t=0} = X^d$. Soit $R$ le reste de la division euclidienne de $P$ par $F$. Montrer que $F + R$ est unitaire de degré $d$ et que $(F + R)|_{t=0} = X^d$.

On définit une suite de polynômes $(F_i)_{i \geqslant 0}$ par la formule de récurrence suivante :

$$
F_0 = f_0 + f_1 X + \cdots + f_d X^d
$$

$$
\text{pour } i \geqslant 0, \quad F_{i+1} = F_i + R_i
$$

où $R_i$ désigne le reste de la division euclidienne de $P$ par $F_i$ (voir question 9a). On note $Q_i$ le quotient de la division euclidienne de $P$ par $F_i$. On déduit de la question 10 que tous les polynômes $F_i$ sont unitaires de degré $d$.

On se donne de plus $r, s \in \mathbb{R}_+^*$ avec $r < \rho$ et on pose, pour $i \in \mathbb{N}$ :

$$
\alpha_i = s^{-d} \cdot \|F_i - X^d\|_{r,s} \, ; \quad \beta_i = \|1 - Q_i\|_{r,s} \, ; \quad \varepsilon_i = s^{-d} \cdot \|R_i\|_{r,s}.
$$

11. Montrer que l’on peut choisir $r$ et $s$ de sorte que $\alpha_0 + 2\varepsilon_0 \leqslant \dfrac{1}{3}$ et $\beta_0 + \varepsilon_0 \leqslant \dfrac{1}{3}$.

À partir de maintenant, et jusqu’à la fin de cette partie, nous faisons cette hypothèse sur $r$ et $s$.

12. Vérifier que, pour tout $i \in \mathbb{N}$, on a la relation :

$$
(1 - Q_i) \cdot R_i = (Q_{i+1} - Q_i) \cdot F_{i+1} + R_{i+1}.
$$

13. Montrer que, pour tout $i \in \mathbb{N}$, on a $\alpha_{i+1} \leqslant \alpha_i + \varepsilon_i$ et si $\alpha_{i+1} < 1$ alors :

$$
\beta_{i+1} \leqslant \beta_i + \frac{\beta_i \varepsilon_i}{1 - \alpha_{i+1}} \quad \text{et} \quad \varepsilon_{i+1} \leqslant \frac{\beta_i \varepsilon_i}{1 - \alpha_{i+1}}.
$$

14. En déduire que, pour tout $i \in \mathbb{N}$, on a :

- $\alpha_i \leqslant \alpha_0 + 2 \cdot (1 - 2^{-i}) \cdot \varepsilon_0$,
- $\beta_i \leqslant \beta_0 + (1 - 2^{-i}) \cdot \varepsilon_0$,
- $\varepsilon_i \leqslant 2^{-i} \cdot \varepsilon_0$.

15a. Montrer que la suite $(F_i)_{i \geqslant 0}$ converge pour la norme $\|\cdot\|_{r,s}$ vers un polynôme unitaire $F \in \mathcal{D}_r(\mathbb{R}_n[X])$ de degré $d$ qui vérifie $F|_{t=0} = X^d$.

15b. Montrer qu’il existe $G \in \mathcal{D}_r(\mathbb{R}_n[X])$ tel que $P = FG$.

16. Démontrer le théorème 1.

17. Soit $f \in \mathcal{D}_\rho(\mathbb{R})$ tel que $f(0) > 0$. Montrer qu’il existe $\rho_f \in \mathbb{R}_+^*$ tel que $\rho_f \leqslant \rho$ et tel que $f > 0$ sur $U_{\rho_f}$ et $\sqrt{f} \in \mathcal{D}_{\rho_f}(\mathbb{R})$.

## Troisième partie

On dit qu’une matrice $M \in \mathcal{D}_\rho(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}))$ est orthogonale si $M^{\mathrm{T}} \cdot M = I_n$.

Le but de cette partie est de démontrer le théorème suivant.

**Théorème 2.** *Soit $M \in \mathcal{D}_\rho(S_n(\mathbb{R}))$. Alors il existe $r \in \mathbb{R}_+^*$ tel que $r \leqslant \rho$ et une matrice orthogonale $P \in \mathcal{D}_r(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}))$ telle que $P^{\mathrm{T}} \cdot M \cdot P$ est diagonale.*

On considère $M \in \mathcal{D}_\rho(S_n(\mathbb{R}))$ et on pose $\chi = \det(XI_n - M) \in \mathcal{D}_\rho(\mathbb{R}_n[X])$.

18. Montrer que $M|_{t=0}$ admet une valeur propre réelle.

Dans la suite, on fixe une valeur propre réelle $\lambda$ de $M|_{t=0}$ et on note $d$ sa multiplicité comme racine de $\chi|_{t=0}$. Par le théorème 1 il existe $\rho_1 \in \mathbb{R}_+^*$, $\rho_1 \leqslant \rho$ tel que $\chi$ se factorise sous la forme $\chi = FG$ avec $F \in \mathcal{D}_{\rho_1}(\mathbb{R}_d[X])$ et $G \in \mathcal{D}_{\rho_1}(\mathbb{R}_{n-d}[X])$ et $F|_{t=0} = (X - \lambda)^d$.

19. Uniquement dans cette question, on suppose que $d = n$. Montrer qu’il existe une matrice symétrique $M_0 \in \mathcal{D}_{\rho_1}(S_n(\mathbb{R}))$ telle que $M = \lambda I_n + t M_0$ pour tout $t \in U_{\rho_1}$.

On pose $A = F(M)$ et $B = G(M)$ ; on a donc $A, B \in \mathcal{D}_{\rho_1}(S_n(\mathbb{R}))$.

Pour $a \in U_{\rho_1}$, on pose $A_a = A|_{t=a}$ et $B_a = B|_{t=a}$.

20. Montrer qu’il existe deux matrices $U \in \mathcal{M}_{n,d}(\mathbb{R})$ et $V \in \mathcal{M}_{n,n-d}(\mathbb{R})$ telles que :

- $\operatorname{im}(B_0 U) = \operatorname{im}(B_0)$,
- $\operatorname{im}(A_0 V) = \operatorname{im}(A_0)$ et
- la matrice par blocs $(B_0 U \mid A_0 V)$ est inversible.

On pose $Q = (BU \mid AV) \in \mathcal{D}_{\rho_1}(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}))$. Pour $\rho \in \mathbb{R}_+^*$, on note $\mathrm{GL}_n(\mathcal{D}_\rho(\mathbb{R}))$ l’ensemble des éléments $M \in \mathcal{D}_\rho(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}))$ tels que, pour tout $a \in U_\rho$, la matrice $M|_{t=a}$ est inversible et l’application $a \mapsto (M|_{t=a})^{-1}$ de $U_\rho$ dans $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ est un élément, noté $M^{-1}$, de $\mathcal{D}_\rho(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}))$.

21. Montrer qu’il existe $\rho_2 \in \mathbb{R}_+^*$, $\rho_2 \leqslant \rho_1$ tel que $Q \in \mathrm{GL}_n(\mathcal{D}_{\rho_2}(\mathbb{R}))$. (On pourra utiliser le résultat de la question 6.)

22. On considère un nombre réel $a \in U_{\rho_2}$.

22a. Montrer que $\operatorname{im}(B_a U) \oplus \operatorname{im}(A_a V) = \mathbb{R}^n$.

22b. Montrer les égalités :

- $\operatorname{im}(B_a U) = \operatorname{im}(B_a) = \ker(A_a)$ et
- $\operatorname{im}(A_a V) = \operatorname{im}(A_a) = \ker(B_a)$.

(On pourra commencer par montrer les inclusions de la gauche vers la droite, puis utiliser un argument de dimensions.)

23. Montrer que $Q^{-1} \cdot M \cdot Q = \mathrm{Diag}(M_1, M_2)$ avec $M_1 \in \mathcal{D}_{\rho_2}(\mathcal{M}_d(\mathbb{R}))$, $M_2 \in \mathcal{D}_{\rho_2}(\mathcal{M}_{n-d}(\mathbb{R}))$.

24. Montrer que, pour tout $a \in U_{\rho_2}$, la somme directe de la question 22a est orthogonale pour le produit scalaire usuel sur $\mathbb{R}^n$.

25. Montrer qu’il existe $\rho_3 \in \mathbb{R}_+^*$ tel que $\rho_3 \leqslant \rho_2$ et des matrices $R_1 \in \mathrm{GL}_d(\mathcal{D}_{\rho_3}(\mathbb{R}))$, $R_2 \in \mathrm{GL}_{n-d}(\mathcal{D}_{\rho_3}(\mathbb{R}))$ telles que la matrice $Q \cdot \mathrm{Diag}(R_1, R_2)$ soit orthogonale. (On pourra utiliser le résultat de la question 17.)

26. Démontrer le théorème 2.