Maths B

# Mathématiques B (X)

École polytechnique. Concours d’admission 2024.

Mardi 16 avril 2024, 08h00 – 12h00.

Filières MP-MPI. Épreuve n° 3.

Durée : 4 heures.

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

Le sujet comporte quatre parties. La première partie est indépendante des trois autres.

## Notations

On note $\mathbb{N}$ l’ensemble des entiers naturels, $\mathbb{N}^*$ l’ensemble des entiers naturels non nuls, $\mathbb{Z}$ l’ensemble des entiers relatifs, $\mathbb{R}$ l’ensemble des nombres réels et $\mathbb{C}$ l’ensemble des nombres complexes. On note également $\mathbb{C}^*$ l’ensemble des nombres complexes non nuls.

Si $E$ désigne un $\mathbb{R}$-espace vectoriel et si $v_1, \ldots, v_k$ sont des éléments de $E$, on note $\mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_k)$ le sous-espace vectoriel de $E$ engendré par les vecteurs $v_1, \ldots, v_k$.

Si $k \geqslant 1$ est un entier et si $E$ désigne un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie, on note $\mathcal{C}^k(\mathbb{R}, E)$ l’ensemble des fonctions de classe $\mathcal{C}^k$ de $\mathbb{R}$ dans $E$.

Soit $(E, \|\cdot\|)$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé de dimension finie. Si $U$ est un ouvert de $E$ et $f : U \to E$ une fonction différentiable, pour tout $x \in U$ on note $df(x)$ la différentielle de $f$ en $x$. On rappelle que $df(x)$ est alors un endomorphisme $\mathbb{R}$-linéaire de $E$. Si $g$ est un endomorphisme $\mathbb{R}$-linéaire de $E$, on note $\|g\|$ sa norme d’opérateur, c’est-à-dire

$$
\|g\| = \sup\bigl\{\|g(v)\| \mid v \in E,\ \|v\| \leqslant 1\bigr\}.
$$

Pour $a \in E$ et $r > 0$ un nombre réel positif, on note $B(a, r)$ la boule ouverte de centre $a$ et rayon $r$ et $\overline{B}(a, r)$ la boule fermée de centre $a$ et rayon $r$.

On note $\mathrm{Id}_E$ l’application identité de $E$ dans $E$.

Si $p$ et $q$ désignent deux entiers naturels non nuls, on note $\mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{C})$ l’ensemble des matrices à $p$ lignes et $q$ colonnes à coefficients dans $\mathbb{C}$. Si $p = q$, on note $\mathcal{M}_p(\mathbb{C})$ pour $\mathcal{M}_{p,p}(\mathbb{C})$ et $\mathrm{GL}_p(\mathbb{C})$ l’ensemble des matrices inversibles de $\mathcal{M}_p(\mathbb{C})$. On identifie également le $\mathbb{C}$-espace vectoriel $\mathbb{C}^p$ avec le $\mathbb{C}$-espace vectoriel des vecteurs colonnes $\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{C})$.

Si $A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{C})$, on note $\exp(A) \in \mathcal{M}_p(\mathbb{C})$ l’exponentielle de la matrice $A$.

## Première partie

Soit $q : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une application continue, périodique de période $T > 0$. On considère l’équation différentielle

$$
y'' + qy = 0. \tag{1}
$$

1a. Justifier l’existence de deux solutions $y_1$ et $y_2$ dans $\mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ à (1) telles que :

$$
\begin{cases}
y_1(0) = 1 \\
y_1'(0) = 0
\end{cases}
\quad \text{et} \quad
\begin{cases}
y_2(0) = 0 \\
y_2'(0) = 1.
\end{cases}
$$

Justifier que $\mathrm{Vect}(y_1, y_2)$ est l’ensemble des solutions de (1) dans $\mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{C})$.

1b. Montrer que :

$$
\forall t \in \mathbb{R}, \quad y_1(t) y_2'(t) - y_1'(t) y_2(t) = 1.
$$

2. Montrer que si $y \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ est une solution de (1), alors la fonction $t \mapsto y(t + T)$ l’est aussi. En déduire que pour tout $t \in \mathbb{R}$ :

$$
y(t + T) = y(T) y_1(t) + y'(T) y_2(t).
$$

3. Soit $\mu \in \mathbb{C}^*$, et soit $\lambda \in \mathbb{C}$ tel que $\mu = e^{\lambda T}$. Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes.

(a) L’équation (1) possède une solution $y \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ non nulle qui vérifie :

$$
\forall t \in \mathbb{R}, \quad y(t + T) = \mu y(t).
$$

(b) Le nombre complexe $\mu$ est solution de l’équation d’inconnue $x$ :

$$
x^2 - \bigl(y_1(T) + y_2'(T)\bigr) x + 1 = 0.
$$

(c) L’équation différentielle (1) possède une solution $y \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ non nulle telle que :

$$
\forall t \in \mathbb{R}, \quad y(t) = e^{\lambda t} u(t),
$$

où $u \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ est une fonction $T$-périodique.

4. Soient $\mu_1, \mu_2$ les racines complexes de l’équation d’inconnue $x$ :

$$
x^2 - \bigl(y_1(T) + y_2'(T)\bigr) x + 1 = 0.
$$

4a. Montrer que si $\mu_1 \neq \mu_2$ et si $\lambda$ est un nombre complexe tel que $\mu_1 = e^{\lambda T}$, alors pour toute solution $y$ de (1), il existe deux fonctions $T$-périodiques $w_1$ et $w_2$, ainsi que deux nombres complexes $\alpha$ et $\beta$ tels que

$$
\forall t \in \mathbb{R}, \quad y(t) = \alpha e^{\lambda t} w_1(t) + \beta e^{-\lambda t} w_2(t).
$$

4b. Supposons que $\mu_1 = \mu_2$. Montrer que $\mu_1 = \mu_2 = \pm 1$ et que l’équation (1) admet une solution périodique dans $\mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{C})$.

## Deuxième partie

Soit $a \in E$ et soit $U$ un ouvert de $E$ contenant $a$. Soit $f : U \to E$ une application de classe $\mathcal{C}^1$ sur $U$ telle que $df(a) = \mathrm{Id}_E$.

5a. Soient $V$ un ouvert convexe de $E$ et $h$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ de $V$ dans $E$. On suppose qu’il existe un réel $C \geqslant 0$ tel que pour tout $x \in V$, $\|dh(x)\| \leqslant C$. Montrer que pour tous $x_1$ et $x_2$ dans $V$, on a $\|h(x_2) - h(x_1)\| \leqslant C \|x_2 - x_1\|$.

5b. Montrer qu’il existe un nombre réel $r > 0$ tel que $\overline{B}(a, r) \subset U$ et

$$
\forall x_1, x_2 \in \overline{B}(a, r), \quad \|f(x_1) - f(x_2)\| \geqslant \frac{1}{2} \|x_1 - x_2\|.
$$

Nous fixons désormais un réel $r > 0$ vérifiant ces conditions dont la valeur sera utilisée dans la suite des questions de cette deuxième partie.

5c. Montrer que pour tout $x \in B(a, r)$, l’application linéaire $df(x)$ est injective.

6. Soit $y_0 \in E$ tel que $\|y_0 - f(a)\| \leqslant \dfrac{r}{4}$.

6a. Montrer que l’application

$$
g : \overline{B}(a, r) \longrightarrow \mathbb{R}, \qquad x \longmapsto \|y_0 - f(x)\|^2
$$

admet un minimum atteint en un point $x_0$ de $B(a, r)$.

6b. Montrer que $f(x_0) = y_0$.

7. On note $W = \bigl\{y \in E \mid \|y - f(a)\| < \dfrac{r}{4}\bigr\}$ et $V = f^{-1}(W) \cap B(a, r)$.

7a. Justifier que $V$ et $W$ sont des ouverts de $E$.

7b. Montrer que

$$
f|_V : V \longrightarrow W, \qquad x \longmapsto f(x)
$$

est une bijection continue de $V$ sur $W$ dont la réciproque est une fonction continue sur $W$.

## Troisième partie

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. On note $\mathbb{C}[A]$ l’ensemble des éléments de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ de la forme $P(A)$ où $P \in \mathbb{C}[X]$ est un polynôme. On note

$$
\bigl(\mathbb{C}[A]\bigr)^* = \bigl\{B \in \mathbb{C}[A] \cap \mathrm{GL}_n(\mathbb{C}) \mid B^{-1} \in \mathbb{C}[A]\bigr\}.
$$

8a. Justifier que $\mathbb{C}[A]^*$ est un sous-groupe abélien de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$.

8b. Montrer que $\bigl(\mathbb{C}[A]\bigr)^* = \mathbb{C}[A] \cap \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$.

9. Montrer que $\exp\bigl(\mathbb{C}[A]\bigr) \subset \bigl(\mathbb{C}[A]\bigr)^*$.

10. Pour $a \in \mathbb{R}$, on définit l’application

$$
Z_a : [0, 1] \longrightarrow \mathbb{C}, \qquad t \longmapsto t + i a t(1 - t).
$$

10a. Montrer que l’application

$$
\left]0, 1\right[ \times \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{C}, \qquad (t, a) \longmapsto Z_a(t)
$$

est injective.

10b. Soient $M_1$ et $M_2$ deux éléments de $\bigl(\mathbb{C}[A]\bigr)^*$. Montrer qu’il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que

$$
\forall t \in [0, 1], \quad M(t) = Z_a(t) M_1 + \bigl(1 - Z_a(t)\bigr) M_2 \in \bigl(\mathbb{C}[A]\bigr)^*.
$$

10c. En déduire que $\bigl(\mathbb{C}[A]\bigr)^*$ est connexe par arcs.

11a. Montrer qu’il existe un ouvert $U$ de $\mathbb{C}[A]$ contenant $0$ et un ouvert $V$ de $\mathbb{C}[A]$ contenant la matrice identité $I_n$ tels que la fonction exponentielle induit une bijection continue de $U \subset \mathbb{C}[A]$ sur $V$ dont la réciproque est une fonction continue sur $V$.

11b. En déduire que $\exp\bigl(\mathbb{C}[A]\bigr)$ est un ouvert de $\mathbb{C}[A]$.

12. Montrer que $\exp\bigl(\mathbb{C}[A]\bigr)$ est un fermé de $\bigl(\mathbb{C}[A]\bigr)^*$.

13. On veut montrer que $\exp\bigl(\mathbb{C}[A]\bigr) = \bigl(\mathbb{C}[A]\bigr)^*$. On suppose que $\exp\bigl(\mathbb{C}[A]\bigr) \neq \bigl(\mathbb{C}[A]\bigr)^*$ et on fixe $M_1, M_2 \in \bigl(\mathbb{C}[A]\bigr)^*$ telles que $M_1 \in \exp\bigl(\mathbb{C}[A]\bigr)$ et $M_2 \notin \exp\bigl(\mathbb{C}[A]\bigr)$.

13a. Montrer qu’il existe une application continue $f$ de $\bigl(\mathbb{C}[A]\bigr)^*$ dans $\{0, 1\}$ telle que $f(M_1) = 0$ et $f(M_2) = 1$.

13b. Conclure.

14. Conclure que $\exp\bigl(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\bigr) = \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$.

## Quatrième partie

Soient $T > 0$ un nombre réel et $n \in \mathbb{N}^*$ un entier naturel. Soit

$$
A : \mathbb{R} \longrightarrow \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), \qquad t \longmapsto A(t)
$$

une application continue sur $\mathbb{R}$ et $T$-périodique. On considère le système différentiel

$$
X'(t) = A(t) X(t) \tag{2}
$$

où $X$ est une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}^n$, de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$.

15. Montrer qu’il existe $\mu \in \mathbb{C}^*$ et une solution $Y \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}, \mathbb{C}^n)$ non nulle de (2) tels que

$$
\forall t \in \mathbb{R}, \quad Y(t + T) = \mu Y(t).
$$

Soit $\mathcal{S}$ l’espace des solutions dans $\mathcal{C}^1(\mathbb{R}, \mathbb{C}^n)$ de (2). Soit $(Y_1, Y_2, \ldots, Y_n)$ une base de $\mathcal{S}$. Pour $t \in \mathbb{R}$, on note $M(t)$ la matrice dont les colonnes sont $Y_1(t), \ldots, Y_n(t)$. On dispose ainsi d’une application $M$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.

16a. Montrer que pour tout nombre réel $t$, $M(t) \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ et $M'(t) = A(t) M(t)$.

16b. Montrer que la matrice $\bigl(M(t)\bigr)^{-1} M(t + T)$ est indépendante de $t \in \mathbb{R}$.

16c. En déduire qu’il existe $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telle que :

$$
\forall t \in \mathbb{R}, \quad M(t + T) = M(t) \exp(TB).
$$

16d. En déduire qu’il existe une application $Q : \mathbb{R} \to \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ continue sur $\mathbb{R}$ et $T$-périodique telle que

$$
\forall t \in \mathbb{R}, \quad M(t) = Q(t) \exp(tB).
$$

(On appelle cette identité la forme normale de la matrice $M$.)

On admet qu’il existe deux matrices $D$ et $N$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telles que $D$ est diagonalisable, $N$ est nilpotente et

$$
B = D + N \quad \text{et} \quad DN = ND.
$$

Il existe donc une matrice $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ et une matrice diagonale $\Delta$ telles que $D = P \Delta P^{-1}$.

17a. Pour $t \in \mathbb{R}$, on note $Z_1(t), Z_2(t), \ldots, Z_n(t) \in \mathbb{C}^n$ les colonnes de la matrice $M(t) P$. Montrer que $(Z_1, Z_2, \ldots, Z_n)$ est une base de l’espace $\mathcal{S}$.

17b. Soient $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ les nombres complexes tels que $\Delta = \mathrm{Diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)$. Pour tous $0 \leqslant i \leqslant n - 1$, $1 \leqslant k \leqslant n$ et $t \in \mathbb{R}$, on note $R_{i,k}(t)$ la $k$-ième colonne de la matrice $\dfrac{1}{i!} Q(t) N^i P$. Montrer que pour tout $k \in \{1, 2, \ldots, n\}$, on a

$$
Z_k(t) = e^{\lambda_k t} \left( \sum_{i=0}^{n-1} t^i R_{i,k}(t) \right)
$$

et vérifier que les applications $R_{i,k}$ sont continues sur $\mathbb{R}$ et $T$-périodiques.

17c. En déduire que si les parties réelles des $\lambda_i$ pour $1 \leqslant i \leqslant n$ sont strictement négatives et si $Y$ est une solution quelconque de (2), alors

$$
\lim_{t \to +\infty} Y(t) = 0.
$$

18a. Montrer que si $B$ a une valeur propre de la forme $\lambda = i \dfrac{2k\pi}{mT}$ avec $k \in \mathbb{Z}$ et $m \in \mathbb{N}^*$, alors (2) a une solution $mT$-périodique non nulle.

18b. On suppose qu’il existe $m \in \mathbb{N}^*$ tel que (2) possède une solution $mT$-périodique non nulle. Montrer que $\exp(TB)$ possède une valeur propre qui est une racine $m$-ième de l’unité.

19. Dans cette question, on suppose que (2) possède une solution $T'$-périodique $X$ avec $T' \notin \mathbb{Q} T$. Montrer que pour tous $t \in \mathbb{R}$ et $u \in \mathbb{R}$, on a

$$
A(u) X(t) = A(t) X(t).
$$

On pourra utiliser sans démonstration le fait que si $G$ est un sous-groupe de $(\mathbb{R}, +)$ qui n’est pas de la forme $\mathbb{Z} a$ pour $a \in \mathbb{R}$, alors $G$ est dense dans $\mathbb{R}$.

20. On suppose dans cette question qu’il n’existe pas de sous-espace vectoriel $V \subset \mathbb{C}^n$, différent de $\{0\}$ et $\mathbb{C}^n$, tel que, pour tout $t \in \mathbb{R}$, $V$ est stable par $A(t)$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $A$ et sur $B$ pour que (2) ait au moins une solution périodique non nulle.

21. Soit le système différentiel

$$
X'(t) = A(t) X(t) + b(t), \tag{3}
$$

où $b : \mathbb{R} \to \mathbb{C}^n$ est une fonction continue sur $\mathbb{R}$ et $T$-périodique.

On suppose que $1$ n’est pas valeur propre de $\exp(TB)$. Montrer que (3) possède une unique solution $T$-périodique.

22. Résoudre le système différentiel

$$
\begin{cases}
x'(t) = x(t) - \cos(t) \, y(t) \\
y'(t) = \cos(t) \, x(t) + y(t)
\end{cases}
$$

et déterminer sa forme normale (voir la question 16d).