Physique A
X-ENSPC2025
# Corrigé — X-ENS 2025, Physique A, filière PC
> **Concours** : École polytechnique / ESPCI (XE) — Concours d'admission 2025
> **Épreuve** : Physique A, n° 3 — filière **PC** — durée 4 h, calculatrice interdite
> **Thème** : *Miroirs à retournement temporel* (Mathias Fink) — invariance des équations de propagation par renversement du temps, refocalisation d'ondes.
> **Fil directeur** : on part de l'invariance par renversement du temps de la mécanique et de l'équation d'ondes, on construit un « miroir à retournement temporel » (enregistrer puis réémettre en chronologie inverse) d'abord à 1D, puis à 3D à symétrie sphérique (où apparaît la limite de diffraction), enfin en milieu *réverbérant* (Fabry-Pérot 1D puis cavité 3D) où l'on montre que **plus le milieu est complexe, meilleure est la refocalisation**.
**Carte stratégique (d'après le rapport du jury).**
- Le jury insiste : *« une bonne copie peut être concise »*, ne pas surinterpréter, mener **soigneusement les rares A.N.**, et **vérifier ses résultats dans des cas particuliers** (les questions s'enchaînent, une erreur se propage — typiquement Q13→Q18, Q28→Q30, Q34→Q37).
- Pièges signalés : ajout parasite de la gravité (Q1, Q3) ; « pseudo-démonstrations » qui partent de la solution (Q6) ; confondre *coordonnées* sphériques et *symétrie* sphérique (Q21) ; prendre la partie réelle trop tôt (Q22-23) ; oublier de relier la longueur caractéristique à λ (Q25) ; proposer autre chose que la diffraction (Q26) ; laisser « 1600π » comme A.N. (Q27) ; oublier la non-nullité des termes en $a_n^2$ (Q35).
- Questions « refuge » indépendantes du reste : **Q34–Q37** (le jury les signale comme point de reprise).
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## Questions préliminaires de mécanique
### Q1 — Équation horaire dans un champ électrique uniforme
**Stratégie.** PFD sur la seule force électrique (l'énoncé ne mentionne **que** $\vec E$ : ne pas ajouter le poids).
**Rédaction.**
Référentiel galiléen, particule $(m,q)$, force $\vec F = q\vec E = qE_0\,\vec u_x$.
Le PFD donne $$m\ddot{\vec r} = qE_0\,\vec u_x \;\Rightarrow\; \ddot x = \frac{qE_0}{m},\quad \ddot y=\ddot z=0 .$$
Avec $\vec r(0)=\vec 0$ et $\vec v(0)=v_0\vec u_x$, deux intégrations : $$\boxed{\;\vec r(t)=\left(\tfrac{1}{2}\frac{qE_0}{m}t^2+v_0 t,\;0,\;0\right)\;}$$
**Homogénéité** : $\frac{qE_0}{m}$ est en $\frac{\mathrm{C}\cdot\mathrm{V\,m^{-1}}}{\mathrm{kg}}=\frac{\mathrm N}{\mathrm{kg}}=\mathrm{m\,s^{-2}}$, donc le terme en $t^2$ est bien une longueur. ✔
**Commentaire du correcteur.** *Peu d'erreurs, mais dans plus de la moitié des copies une force de gravité absente de l'énoncé a été rajoutée.* Le mouvement est purement 1D selon $\vec u_x$ : ni poids, ni composante transverse.
### Q2 — Invariance par renversement du temps (champ électrique)
**Stratégie.**
Appliquer $t\to-t$ **et** $v_0\to-v_0$ à la solution, comparer à la solution initiale.
**Rédaction.**
Avec $t\to -t$ : $x(-t)=\tfrac12\frac{qE_0}{m}t^2 - v_0 t$.
En imposant de plus $v_0\to -v_0$ : $$x(-t)\big|_{v_0\to-v_0}=\tfrac12\tfrac{qE_0}{m}t^2+v_0 t = x(t).$$
La trajectoire est **inchangée** : il y a **invariance par renversement du temps**.
On pouvait le voir directement sur l'équation $m\ddot x=qE_0$, du **second ordre** en $t$ donc insensible à $t\to-t$ (la vitesse initiale, elle, change nécessairement de signe).
**Commentaire du correcteur.** *Le changement de signe de $v_0$ a parfois été présenté comme une contrainte nécessaire à l'invariance.* Ce n'est pas une hypothèse ad hoc : renverser le temps **impose** $\vec v\to-\vec v$ (la vitesse est une dérivée première du temps). L'invariance est la **conséquence** que l'on constate, pas quelque chose que l'on force.
### Q3 — Équation horaire avec frottement fluide
**Stratégie.**
Remplacer $\vec F_{\text{él}}$ par $\vec F=-K\vec v$ (l'énoncé dit *« à la place »*, pas *« en plus »* — et toujours pas de poids).
ODE linéaire du premier ordre en vitesse.
**Rédaction.** $m\dot{\vec v}=-K\vec v$, projection sur $\vec u_x$ : $\dot v_x=-\frac{K}{m}v_x$, d'où $$v_x(t)=v_0\,e^{-Kt/m},\qquad x(t)=\int_0^t v_x\,dt'=\frac{mv_0}{K}\Big(1-e^{-Kt/m}\Big).$$ $$\boxed{\;\vec r(t)=\left(\frac{mv_0}{K}\big(1-e^{-Kt/m}\big),\,0,\,0\right)\;}$$
**Vérifications.**
À $t=0$ : $x=0$, $\dot x=v_0$ ✔ (conditions initiales respectées).
Quand $t\to+\infty$, $x\to \frac{mv_0}{K}$ (distance d'arrêt finie), ce qui est physiquement attendu pour un mobile freiné.
**Homogénéité** : $K$ en $\mathrm{kg\,s^{-1}}$, donc $\frac{mv_0}{K}$ en $\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m\,s^{-1}}}{\mathrm{kg\,s^{-1}}}=\mathrm m$ ✔ et $\frac{K}{m}$ en $\mathrm{s^{-1}}$ ✔.
**Commentaire du correcteur.** *Calcul moins heureux qu'en Q1, encore davantage quand la gravitation a été ajoutée à tort. Quelques candidats ne savent pas écrire une force de frottement fluide (signe, dépendance en vitesse). La vérification des conditions initiales aurait permis de détecter des erreurs.*
On soigne donc le signe $\vec F=-K\vec v$ et on **teste** systématiquement $x(0)$, $\dot x(0)$.
### Q4 — Invariance par renversement du temps (frottement)
**Stratégie.** Regarder la parité en $t$ de l'équation, ou tester la trajectoire renversée.
**Rédaction.**
L'équation $m\dot v_x=-Kv_x$ contient une dérivée **première** en temps du côté inertiel comparée à un terme en $v$.
Sous $t\to-t$, $\dot v_x\to-\dot v_x$ tandis que le terme de frottement suit $v_x\to-v_x$ ; l'équation devient $m\dot v_x=+Kv_x$, **différente** de l'originale.
La solution renversée $x(-t)=\frac{mv_0}{K}(1-e^{+Kt/m})$ diverge et n'est pas une trajectoire physique (elle correspondrait à un mobile *accéléré* par le fluide). **Il n'y a donc pas invariance par renversement du temps.**
**Commentaire du correcteur.** *Question souvent bien traitée.* Le contraste avec Q2 est le cœur du problème : la dissipation brise la symétrie temporelle.
### Q5 — Origine de la différence
**Stratégie.** Question qualitative : viser la **parité en $\partial_t$**, pas un vocabulaire mal maîtrisé.
**Rédaction.**
La force électrique $q\vec E$ ne dépend **pas de la vitesse** : sous $t\to-t$ elle est inchangée, comme le terme d'inertie $m\ddot{\vec r}$ (dérivée **seconde**, paire).
La force de frottement $-K\vec v$ dépend de la **dérivée première** du temps (impaire) : elle change de signe sous $t\to-t$ alors que l'inertie ne change pas, ce qui **rompt** l'équilibre de l'équation.
Mathématiquement : l'invariance $t\to-t$ laisse invariants les termes en dérivées d'ordre **pair** et change le signe des termes d'ordre **impair**. Une équation invariante par renversement du temps ne doit contenir que des dérivées temporelles d'ordre pair. Le frottement, dissipatif, introduit une **flèche du temps**.
**Commentaire du correcteur.** *Une fraction significative des copies invoque le caractère « conservatif » de la force électrique et fait, à tort, un lien avec l'uniformité du champ.* Le bon critère n'est ni « conservatif » ni « uniforme » mais la **dépendance en vitesse** (parité de l'ordre de dérivation temporelle).
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## Ondes et renversement du temps
Équation d'ondes scalaire, milieu homogène de célérité $c_0$, sans excitation : $$\Delta u-\frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=0. \tag{1}$$
### Q6 — $u(x,-t)$ est-elle solution ?
**Stratégie.** Poser proprement le changement de variable $t'=-t$ et reporter dans (1) — **ne pas** partir des solutions admises pour « prouver » l'invariance.
**Rédaction.** Soit $v(x,t)\equiv u(x,-t)$.
Posons $t'=-t$, alors $\frac{\partial}{\partial t}=-\frac{\partial}{\partial t'}$ et donc $\frac{\partial^2}{\partial t^2}=\frac{\partial^2}{\partial t'^2}$.
L'opérateur temporel n'apparaît qu'au **second ordre** dans (1) : $$\Delta v-\frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2 v}{\partial t^2}=\Delta u\big|_{t'}-\frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t'^2}\Big|_{t'}=0,$$ puisque $u$ vérifie (1) en tout instant, en particulier en $t'$.
**Donc $u(x,-t)$ est aussi solution.** Physiquement : la propagation est **réversible** — le film de l'onde joué à l'envers reste une évolution physiquement admissible.
**Commentaire du correcteur.** *Question traitée de façons très diverses : partir des solutions admises pour « démontrer » l'invariance, faire apparaître des dérivées « par rapport à $-t$ » sans changement de variable, ou énoncer le résultat comme une évidence.* La rigueur exige le changement de variable explicite $t'=-t$ ci-dessus.
### Q7 — Solution causale d'une source en $x=0$
**Stratégie.** Solution de d'Alembert : deux ondes progressives sortantes, de même amplitude par symétrie ; préciser la nullité hors du support.
**Rédaction.**
La source en $x=0$ émet $s(t)$ ; elle engendre une onde vers les $x>0$ et une onde vers les $x<0$, de même amplitude par symétrie.
La solution causale (retardée, nulle avant l'arrivée du front) s'écrit :
$$\boxed{\,u_0(x,t)=\tfrac12\,s\!\left(t-\dfrac{|x|}{c_0}\right)\, }\quad\Longleftrightarrow\quad
u_0(x,t)=\begin{cases}\tfrac12\,s\!\left(t-\frac{x}{c_0}\right)&x>0\\[4pt]\tfrac12\,s\!\left(t+\frac{x}{c_0}\right)&x<0\end{cases}$$
- le terme $\tfrac12 s(t-x/c_0)$ ($x>0$) est l'onde se propageant vers les **$x$ croissants**, retardée du temps de vol $x/c_0$ ;
- le terme $\tfrac12 s(t+x/c_0)$ ($x<0$) est l'onde se propageant vers les **$x$ décroissants** ;
- le facteur $\tfrac12$ traduit le partage symétrique de l'émission (et assure la continuité en $x=0$ : $u_0(0^\pm,t)=\tfrac12 s(t)$).
**Homogénéité** : l'argument $t-|x|/c_0$ est bien un temps ($|x|/c_0$ en s). ✔
**Commentaire du correcteur.** *Beaucoup de copies imposent une forme en cosinus sans démarche de décomposition (et en oubliant le terme de phase).* Une impulsion quelconque $s(t)$ ne se réduit pas à un cosinus ; si l'on décompose, il faut une **phase**. *Autre erreur : la solution générale n'est pas la simple somme des deux morceaux — il faut préciser que chaque morceau est **nul** hors du demi-espace où il est défini* (d'où l'écriture avec $|x|$).
### Q8 — Solution non-causale (renversement du temps)
**Stratégie.**
Appliquer $t\to t'=-t$ à $u_0$, avec **soin** sur l'argument.
**Rédaction.** L'onde renversée est $u_0(x,-t')$.
Comme $u_0(x,t)=\tfrac12 s(t-|x|/c_0)$, on remplace $t$ par $-t'$ : $$\boxed{\;u_0^{\text{nc}}(x,t')=\tfrac12\,s\!\left(-t'-\dfrac{|x|}{c_0}\right),\qquad t'\le 0.\;}$$
**Interprétation.**
Pour $x>0$, le terme $\tfrac12 s(-t'-x/c_0)$ : à phase constante $-t'-x/c_0=\text{cste}$, quand $t'$ croît $x$ **décroît** — l'onde se propage **vers l'origine**.
Il s'agit d'ondes **convergentes** (entrantes) qui viennent se focaliser sur la source en $t'=0$ : c'est la solution **anti-causale** (avancée), le « passé » de l'onde causale rejoué à rebours.
**Commentaire du correcteur.**
*Erreur malheureuse : remplacer $t'(=-t)$ par $-t'$ (et non $-t$) dans les expressions de Q7.*
On substitue bien $t\to -t'$, ce qui donne l'argument $-t'-|x|/c_0$ (et non $t'-|x|/c_0$).
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## Passage d'une interface
Interface en $x=0$ : célérité $c_1$ pour $x\le0$, $c_2$ pour $x>0$.
Onde incidente d'amplitude $1$ depuis $x=-\infty$, transmise $t_{12}$, réfléchie $r_{12}$.
### Q9 — (Aucune question)
**Le rapport le confirme : « aucune question n'était posée ici ».**
Il s'agit uniquement de la mise en place des notations $r_{12},t_{12}$ (onde incidente $1$, réfléchie $r_{12}$ vers $-\infty$, transmise $t_{12}$ vers $+\infty$) exploitées aux questions suivantes.
Aucun point à rédiger.
### Q10 — Schéma renversé temporellement
**Stratégie.** Le renversement du temps **inverse tous les sens de propagation** ; on garde les mêmes amplitudes et on recompte incidentes/sortantes.
**Rédaction.** On renverse le sens de chacune des trois ondes de Q9 :
| Onde (Q9) | Milieu | Sens Q9 | Sens après $t\to-t$ | Rôle |
|---|---|---|---|---|
| amplitude $1$ | 1 (gauche) | $\to +x$ | $\to -x$ | **sortante** vers $-\infty$ |
| amplitude $r_{12}$ | 1 (gauche) | $\to -x$ | $\to +x$ | **incidente** (depuis la gauche) |
| amplitude $t_{12}$ | 2 (droite) | $\to +x$ | $\to -x$ | **incidente** (depuis la droite) |
$$\underbrace{r_{12}\;(\to+x)}_{\text{incidente gauche}}\quad\Big|\quad\underbrace{t_{12}\;(\to-x)}_{\text{incidente droite}}\qquad\Longrightarrow\qquad \underbrace{1\;(\to -x)}_{\text{seule sortante}}$$
**Deux ondes sont incidentes** sur l'interface ($r_{12}$ venant de la gauche, $t_{12}$ venant de la droite) et **une seule onde en repart** (amplitude $1$, vers la gauche).
Fait remarquable : **aucune onde ne repart vers la droite** — les deux ondes entrantes interfèrent pour ne renvoyer de l'énergie que vers $-\infty$.
**Commentaire du correcteur.** *Résultats embrouillés, milieux 1 et 2 parfois inversés.*
On prend garde à repérer le milieu de chaque onde : $r_{12}$ et l'onde « $1$ » sont dans le milieu 1, $t_{12}$ dans le milieu 2.
### Q11 — Relations de Stokes $r_{21},t_{21}$
**Stratégie.**
Décomposer la situation renversée de Q10 en **superposition de deux situations usuelles** (une incidence $1\!\to\!2$ et une incidence $2\!\to\!1$), puis identifier avec Q10.
**Rédaction.** La situation renversée = superposition de :
- **(A)** onde $r_{12}$ incidente depuis la gauche (situation usuelle $1\to2$) : engendre une réfléchie $r_{12}\,r_{12}$ (vers $-x$, milieu 1) et une transmise $r_{12}\,t_{12}$ (vers $+x$, milieu 2) ;
- **(B)** onde $t_{12}$ incidente depuis la droite (situation duale $2\to1$, d'où $r_{21},t_{21}$) : engendre une réfléchie $t_{12}\,r_{21}$ (vers $+x$, milieu 2) et une transmise $t_{12}\,t_{21}$ (vers $-x$, milieu 1).
Identification avec Q10 (sortante gauche $=1$, sortante droite $=0$) :
$$\text{(vers }-x,\text{ milieu 1)}:\quad r_{12}^2+t_{12}t_{21}=1,\qquad
\text{(vers }+x,\text{ milieu 2)}:\quad r_{12}t_{12}+t_{12}r_{21}=0.$$
De la seconde ($t_{12}\neq0$) : $\boxed{\,r_{21}=-r_{12}\,}$ ; de la première : $\boxed{\,t_{12}\,t_{21}=1-r_{12}^{\,2}\,}$.
Ce sont les **relations de Stokes**.
**Commentaire du correcteur.** *Questions 11–12 peu réussies ; lorsque le schéma de Q10 était juste, il a souvent été refait faux ici.* On **réutilise** exactement le schéma de Q10 sans le redessiner.
### Q12 — Vérification en optique
**Stratégie.** Coefficients de Fresnel en amplitude (incidence normale) entre indices $n_1,n_2$, puis tester les deux relations de Stokes.
**Rédaction.** En amplitude (champ), à incidence normale :
$$r_{12}=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2},\quad t_{12}=\frac{2n_1}{n_1+n_2},\quad r_{21}=\frac{n_2-n_1}{n_1+n_2},\quad t_{21}=\frac{2n_2}{n_1+n_2}.$$
- **Première relation** : $r_{21}=\dfrac{n_2-n_1}{n_1+n_2}=-r_{12}$ ✔.
- **Seconde relation** : $t_{12}t_{21}=\dfrac{4n_1n_2}{(n_1+n_2)^2}$ et $1-r_{12}^2=\dfrac{(n_1+n_2)^2-(n_1-n_2)^2}{(n_1+n_2)^2}=\dfrac{4n_1n_2}{(n_1+n_2)^2}$ ✔.
**Les deux relations sont donc bien vérifiées** pour une onde optique (attention : relations valables sur les coefficients d'**amplitude** du champ, non sur ceux d'intensité).
**Commentaire du correcteur.** *Le rapport ne détaille pas Q12 séparément (regroupée avec Q11, « peu réussie »).* Piège classique : mélanger coefficients d'amplitude et de puissance — ici on reste sur l'amplitude, seul cadre où les relations de Stokes s'écrivent aussi simplement.
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## Miroir à retournement temporel en milieu homogène
### Q13 — Signal reçu $R(t)$
**Stratégie.**
Lire $u_0$ (Q7) au point du miroir $x=x_0>0$.
**Rédaction.** $R(t)=u_0(x_0,t)=\tfrac12\,s\!\left(t-\dfrac{x_0}{c_0}\right)$. $$\boxed{\;R(t)=\tfrac12\,s\!\left(t-\dfrac{x_0}{c_0}\right)\;}$$
**Vérification** : le front atteint $M$ à $t=x_0/c_0$ (retard, signe $-$) : si $s$ démarre à $t=0$, $R$ démarre à $t=x_0/c_0>0$. ✔
**Commentaire du correcteur.** *Bien réussie.
La solution incorrecte en $t+x_0/c$ aurait été évitée par vérification à $t=x_0/c$ — d'autant que cette erreur impactait toutes les questions suivantes.*
Le retard s'écrit toujours $t-x_0/c_0$.
### Q14 — Tracé de $s(t)$, $R(t)$, $R_{RT}(t)$
**Stratégie.** Choisir un signal **asymétrique** et de durée finie, pour que le renversement soit **visible**.
**Rédaction.** On choisit par exemple une impulsion brève à front raide (une « dent » asymétrique) démarrant à $t=0$.
```
s(t) ▁▟▀▚▁_________________________________ (impulsion brève, asymétrique, vers t≈0)
R(t) _______▁▟▀▚▁_______________________ ... (idem, retardée de x0/c0, amplitude 1/2)
R_RT(t) _____________________________▁▚▀▟▁____ (même motif RETOURNÉ, autour de t≈2T)
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
0 T 2T
```
- $R(t)=\tfrac12 s(t-x_0/c_0)$ : motif de $s$ retardé, tassé vers le début de $[0,T]$ ;
- $R_{RT}(t)=R(2T-t)$ : le **même** motif **retourné** dans le temps et centré vers $2T$ ; ce qui arrivait juste avant $T$ est réémis juste après $T$, ce qui arrivait près de $t=0$ est réémis près de $t=2T$.
L'asymétrie du motif rend le retournement lisible (le front raide passe « de l'autre côté »).
**Commentaire du correcteur.** *Schémas dans l'ensemble corrects ; on salue l'imagination pour distinguer début et fin du signal. Mais un certain nombre de candidats choisissent un signal périodique ou symétrique en $t=T$, ce qui empêche de voir le retournement.* D'où le choix d'un motif **franchement asymétrique**.
### Q15 — Expression de $R_{RT}(t)$
**Stratégie.**
Traduire « lecture en chronologie inverse à partir de $t=T$ sur une durée $T$ » par $t\mapsto 2T-t$.
**Rédaction.** $R_{RT}(t)=R(2T-t)=\tfrac12\,s\!\big((2T-t)-\tfrac{x_0}{c_0}\big)$. $$\boxed{\;R_{RT}(t)=\tfrac12\,s(t'),\qquad t'=2T-t-\dfrac{x_0}{c_0}\;}\qquad (T\le t\le 2T)$$
**Homogénéité/cohérence** : $t'$ est un temps ; à $t=T$, $t'=T-x_0/c_0$ (fin du signal reçu) et à $t=2T$, $t'=-x_0/c_0$ (retour au tout début) — la chronologie est bien inversée. ✔
**Commentaire du correcteur.** *Traitement inégal de Q15–18 ; avoir vu le retournement en Q14 n'a pas suffi à le voir ici.*
L'argument doit contenir $-t$ (renversement) : $t'=2T-t-x_0/c_0$.
### Q16 — Champ $u_{RT}(x,t)$ pour $x\le x_0$
**Stratégie.** $M$ en $x_0$ réémet $R_{RT}$ ; l'onde vers la gauche est $R_{RT}$ au temps retardé $t-(x_0-x)/c_0$ (distance $x_0-x$ parcourue vers $-x$).
**Rédaction.** $$u_{RT}(x,t)=R_{RT}\!\left(t-\frac{x_0-x}{c_0}\right)=\tfrac12\,s\!\left(2T-\Big(t-\frac{x_0-x}{c_0}\Big)-\frac{x_0}{c_0}\right)=\tfrac12\,s\!\left(2T-t-\frac{x}{c_0}\right).$$ $$\boxed{\;u_{RT}(x,t)=\tfrac12\,s(t'),\qquad t'=2T-t-\dfrac{x}{c_0}\quad (x\le x_0)\;}$$
On note que $t'$ ne dépend plus de $x_0$ : le champ ne « garde pas la trace » de la position du miroir.
**Commentaire du correcteur.** *(Regroupé Q15–18.)*
On vérifie la cohérence : en $x=x_0$, $t'=2T-t-x_0/c_0$, on retrouve bien $R_{RT}(t)$ de Q15. ✔
### Q17 — Signal $s_{RT}(t)$ reçu en $x=0$
**Stratégie.**
Faire $x=0$ dans $u_{RT}$.
**Rédaction.** $s_{RT}(t)=u_{RT}(0,t)=\tfrac12\,s(2T-t)$. $$\boxed{\;s_{RT}(t)=\tfrac12\,s(2T-t)\;}$$
C'est **le signal source retourné temporellement** (à un décalage $2T$ près) : l'onde revient se focaliser sur la source en revivant son passé.
C'est exactement ce qu'illustre la figure d'ouverture (miroir à renversement du temps : le champ « remonte le temps » et se reconcentre sur la source).
**Commentaire du correcteur.** *Le lien demandé avec les figures d'ouverture n'a pas remis en cause des résultats ne présentant **pas** de retournement temporel — ce qui aurait dû interpeler.*
Le résultat **doit** faire apparaître $s(2T-t)$ (argument en $-t$) : sinon, il n'y a pas de retournement et c'est le signe d'une erreur amont (Q15/16) à corriger.
### Q18 — Deux miroirs : champ $u_{RT2}(x,t)$
**Stratégie.** Ajouter le miroir symétrique en $-x_0$ (même enregistrement, réémission simultanée) ; superposer. Par symétrie $x\to-x$, son champ vers la droite se déduit de Q16.
**Rédaction.**
Le miroir en $-x_0$ produit, pour $x\ge-x_0$, l'onde $\tfrac12 s\!\big(2T-t+\tfrac{x}{c_0}\big)$ (résultat de Q16 avec $x\to-x$).
Superposition pour $-x_0\le x\le x_0$ : $$\boxed{\;u_{RT2}(x,t)=\tfrac12\,s\!\left(2T-t-\frac{x}{c_0}\right)+\tfrac12\,s\!\left(2T-t+\frac{x}{c_0}\right)\;}$$
En posant $\theta=2T-t$ : $u_{RT2}=\tfrac12\big[s(\theta-\tfrac{x}{c_0})+s(\theta+\tfrac{x}{c_0})\big]$.
C'est **la solution causale de Q7 renversée temporellement** (à l'origine des temps près).
En $x=0$ : $u_{RT2}(0,t)=s(2T-t)$ — les deux demi-ondes recombinent l'**amplitude entière** de la source (le facteur $\tfrac12$ de Q17 a disparu).
**Commentaire du correcteur.** *(Regroupé Q15–18 ; la propagation d'une erreur sur $R_{RT}$ en Q15 pouvait ruiner jusqu'à Q18.)* Le second miroir récupère l'information partie vers $-\infty$ : c'est indispensable pour reconstruire le champ complet.
### Q19 — Impulsion brève : champ autour de $t=2T$
**Stratégie.**
Prendre $s$ = impulsion brève ; tracer $u_{RT2}$ à $t<2T$, $t=2T$, $t>2T$ et identifier causal/anti-causal.
**Rédaction.** Avec $\theta=2T-t$ et une impulsion :
- **$t<2T$ ($\theta>0$)** : $\tfrac12 s(\theta-x/c_0)$ (localisée en $x=c_0\theta>0$, se déplaçant vers $-x$) et $\tfrac12 s(\theta+x/c_0)$ (en $x=-c_0\theta<0$, se déplaçant vers $+x$) : **deux impulsions convergeant vers l'origine** → solution **anti-causale** (Q8).
- **$t=2T$ ($\theta=0$)** : les deux impulsions se superposent en $x=0$ → **focalisation** sur la source.
- **$t>2T$ ($\theta<0$)** : deux impulsions **divergentes** s'éloignant de l'origine → solution **causale** (Q7).
```
t<2T : →| (•) |← (deux impulsions entrantes)
t=2T : (⊙) (focalisation à l'origine)
t>2T : ←| ( ) |→ (deux impulsions sortantes)
-x0 0 +x0
```
**Commentaire du correcteur.** *Représentations inégales ; l'énoncé précisait « impulsion brève », ce qui n'a pas toujours été suivi (schémas avec ondes harmoniques).
Certaines copies hésitent à superposer en $t=2T$ ou à représenter $t>2T$.
L'identification des ondes causales a été raisonnablement traitée.*
### Q20 — Ne recréer que la solution anti-causale
**Stratégie.** Il faut **annuler** le champ pour $t\ge2T$, c'est-à-dire empêcher la re-divergence après focalisation.
**Rédaction.**
Un renversement temporel *complet* exige de renverser aussi la **source** : la source doit se comporter en $t\simeq2T$ comme un **puits** (source « négative ») qui **absorbe** exactement l'onde convergente au moment où elle se focalise, de sorte qu'aucune onde divergente ne reparte ($u=0$ pour $t\ge2T$).
Concrètement, on replace à l'origine la source initiale émettant le signal retourné $-s(2T-t)$ (monopôle absorbant), qui interfère destructivement avec l'onde entrante après focalisation.
**Commentaire du correcteur.** *Solution couramment proposée : placer un matériau absorbant à la source, sans se poser la question de la mise en œuvre.* Un simple « absorbant » passif est insuffisant en principe : il faut une source active jouant le rôle de **puits** synchronisé (c'est la notion de *time-reversal sink*).
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## Considérations spatiales
### Q21 — Équation d'ondes à symétrie sphérique
**Stratégie.** Symétrie sphérique ⇒ $u=u(r,t)$ seul : **annuler les termes angulaires** du laplacien.
**Rédaction.**
Pour $u(r,t)$, $\Delta u=\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial^2(ru)}{\partial r^2}$, d'où (1) :
$$\frac{1}{r}\frac{\partial^2(ru)}{\partial r^2}-\frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=0
\;\Longleftrightarrow\;
\boxed{\;\frac{\partial^2(ru)}{\partial r^2}-\frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2(ru)}{\partial t^2}=0\;}$$
(en multipliant par $r$). Ainsi **$ru$ obéit à l'équation d'ondes 1D** — c'est la clé des questions suivantes.
**Commentaire du correcteur.** *Beaucoup de candidats ont confondu coordonnées sphériques et problème à symétrie sphérique* — c'est-à-dire ont conservé les termes en $\partial_\theta,\partial_\varphi$. La symétrie sphérique impose $\partial_\theta=\partial_\varphi=0$.
### Q22 — Régime monochromatique
**Stratégie.**
Poser $u(r,t)=\Re\{\underline u(r,\omega)e^{-i\omega t}\}$ dans l'équation sur $ru$ ; garder l'écriture complexe.
**Rédaction.** $\partial_t^2\to-\omega^2$ sur l'amplitude complexe.
Avec $k=\omega/c_0$ : $$\boxed{\;\frac{d^2\big(r\,\underline u\big)}{dr^2}+k^2\,\big(r\,\underline u\big)=0\;}$$ équation de Helmholtz 1D portant sur $r\underline u(r,\omega)$.
**Commentaire du correcteur.** *Plutôt bien traitée. Plus difficile d'aborder la suite si l'ODE ne portait pas sur $r\,u(r)$. Curieuse tendance à vouloir prendre la partie réelle pour se débarrasser de la notation complexe* — au contraire, on **conserve** l'amplitude complexe $\underline u(r,\omega)$ tant que le calcul n'est pas fini.
### Q23 — Ondes convergente et divergente
**Stratégie.**
Résoudre pour $r\underline u$, revenir à $\underline u$, puis **justifier** le sens de propagation avec la convention $e^{-i\omega t}$.
**Rédaction.** $r\underline u=A\,e^{ikr}+B\,e^{-ikr}$, d'où $\underline u=\dfrac{A}{r}e^{ikr}+\dfrac{B}{r}e^{-ikr}$.
Le champ réel associé :
- $\dfrac{A}{r}e^{i(kr-\omega t)}$ : phase $kr-\omega t=\text{cste}\Rightarrow r$ **croît** avec $t$ → onde **divergente** ;
- $\dfrac{B}{r}e^{-i(kr+\omega t)}$ : phase $kr+\omega t=\text{cste}\Rightarrow r$ **décroît** avec $t$ → onde **convergente**.
$$\boxed{\;\underline u_d(r,\omega)=U_d\,\frac{e^{ikr}}{r}\quad(\text{divergente}),\qquad \underline u_c(r,\omega)=U_c\,\frac{e^{-ikr}}{r}\quad(\text{convergente})\;}$$
**Commentaire du correcteur.** *Principal oubli : **justifier** le caractère convergent/divergent (à faire via le sens de propagation de la phase avec $e^{-i\omega t}$, pas via le comportement à l'infini).
Nombreuses confusions dans la notation complexe (dépendance $e^{-i\omega t}$ laissée dans $\underline u(r,\omega)$).
Peu judicieux d'absorber le $1/r$ dans $U_c$* (on le perd dès Q24) : on garde explicitement le facteur $1/r$.
### Q24 — Relation entre $U_c$ et $U_d$ (finitude en $r=0$)
**Stratégie.**
Superposer les deux ondes après retournement et imposer $\underline u$ fini en $r=0$.
**Rédaction.** Champ total $\underline u=\dfrac{U_c\,e^{-ikr}+U_d\,e^{ikr}}{r}$.
Quand $r\to0$, le numérateur tend vers $U_c+U_d$, donc $\underline u\sim\dfrac{U_c+U_d}{r}$ **diverge** sauf si $$\boxed{\;U_c+U_d=0\;\Longrightarrow\;U_d=-U_c=-U_0\;}$$ (en posant $U_c=U_0$).
Alors $\underline u=U_0\dfrac{e^{-ikr}-e^{ikr}}{r}=-2iU_0\dfrac{\sin(kr)}{r}$, effectivement **fini** en $r=0$ (limite $-2iU_0 k$).
**Commentaire du correcteur.** *Bien traitée quand Q23 l'était.* La finitude au centre est l'exigence physique qui lie les deux amplitudes.
### Q25 — Module du champ total
**Stratégie.**
Tracer $|\underline u|$ ; identifier la fonction sinus cardinal et la longueur caractéristique reliée à $\lambda$.
**Rédaction.** $$|\underline u(r)|=2|U_0|\,\frac{|\sin(kr)|}{r}=2|U_0|\,k\,\left|\operatorname{sinc}(kr)\right|,\qquad \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}.$$
Maximum en $r=0$ (où $\sin(kr)/r\to k$, valeur $2|U_0|k$), premier **zéro** en $kr=\pi$, soit $$\boxed{\;r_0=\frac{\pi}{k}=\frac{\lambda}{2}\;}\qquad(k=2\pi/\lambda).$$
La tache de refocalisation a donc une largeur caractéristique **$\sim\lambda/2$** (demi-longueur d'onde acoustique).
```
|u|
|•
| \ lobe central de largeur ~ λ/2
| \ _
| \___ / \___ … (lobes secondaires décroissants)
+----|----|----|----> r
0 λ/2 λ
```
**Commentaire du correcteur.** *Seule une infime fraction relie la longueur caractéristique à la longueur d'onde acoustique.
Rappel : $\sin(x)/x=1$ en $x=0$.
Des modules sont parfois tracés négatifs* — un module est **positif**, et le point clé est $r_0=\lambda/2$.
### Q26 — Limite fondamentale
**Stratégie.** Nommer la limite (taille de tache $\sim\lambda/2$) et une application.
**Rédaction.** La refocalisation ne peut pas être ponctuelle : sa largeur $\sim\lambda/2$ est fixée par la **limite de diffraction** (limite d'Abbe/Rayleigh) — on ne peut concentrer une onde sur une échelle plus petite que sa longueur d'onde. On la retrouve dans la **résolution des systèmes d'imagerie** : microscopie optique, échographie/imagerie acoustique, sonar (pouvoir séparateur $\sim\lambda$).
**Commentaire du correcteur.** *Florilège de propositions erronées, de la mécanique quantique à la relativité.* La bonne réponse est la **diffraction** (rien de quantique ni de relativiste ici) ; l'application naturelle est la **résolution** d'un dispositif d'imagerie.
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## Contraintes expérimentales
### Q27 — Nombre de capteurs
**Stratégie.** Aire de la sphère divisée par l'aire élémentaire $\lambda^2/4$ — et **finir l'A.N.** par un nombre.
**Rédaction.**
Sphère de rayon $10\lambda$ : aire $\mathcal A=4\pi(10\lambda)^2=400\pi\lambda^2$.
Chaque capteur couvre $\lambda^2/4$ : $$N=\frac{400\pi\lambda^2}{\lambda^2/4}=1600\pi\approx\boxed{5{,}0\times10^{3}\ \text{capteurs}}\quad(\simeq 5027).$$ $N$ est bien sans dimension. ✔
**Commentaire du correcteur.** *Généralement bien traitée, hormis l'A.N. Une réponse du type « $1600\pi+1$ » n'est pas un résultat d'application numérique.* Sans calculatrice, on estime $1600\pi\approx1600\times3{,}14\approx5027$ : il faut **livrer le nombre**.
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## Miroir à renversement du temps en milieu réverbérant — Cavité Fabry-Pérot
Deux interfaces en $x=\pm L$ ; célérité $c_2$ dans $-L<x<L$, $c_1$ ailleurs ; coefficients $t_{12},t_{21},r_{12},r_{21}$.
### Q28 — Champ $R(t)$ reçu en $M$ (réflexions multiples)
**Stratégie.**
Sommer les trajets : trajet direct + allers-retours dans la cavité, en distinguant les célérités $c_1$ (hors cavité) et $c_2$ (dans la cavité).
**Rédaction.**
Source en $-x_0$ ($x_0>L$), $M$ en $+x_0$.
Trajet **direct** : $-x_0\to -L$ (longueur $x_0-L$, célérité $c_1$), transmission $t_{12}$, traversée $-L\to+L$ (longueur $2L$, célérité $c_2$), transmission $t_{21}$, puis $+L\to x_0$ (longueur $x_0-L$, célérité $c_1$).
Retard direct : $$\tau_0=\frac{2(x_0-L)}{c_1}+\frac{2L}{c_2}.$$
Chaque **aller-retour supplémentaire** dans la cavité : réflexion en $+L$ (côté milieu 2 → coefficient $r_{21}$), retour $+L\to-L$, réflexion en $-L$ ($r_{21}$), retour $-L\to+L$ : facteur $r_{21}^{2}$ et retard supplémentaire $4L/c_2$.
D'où (avec le $\tfrac12$ d'émission vers $M$, cf. Q7) : $$\boxed{\;R(t)=\frac{t_{12}\,t_{21}}{2}\sum_{n=0}^{\infty} r_{21}^{\,2n}\;s\!\left(t-\tau_0-n\,\frac{4L}{c_2}\right),\qquad \tau_0=\frac{2(x_0-L)}{c_1}+\frac{2L}{c_2}.\;}$$
**Homogénéité** : $\tau_0$ et $4L/c_2$ sont des temps ✔ ; $|r_{21}|<1$ assure la convergence.
**Commentaire du correcteur.** *Bien abordée mais sélective, réussie à des degrés divers : prise en compte (ou non) des réflexions multiples, et des termes de retard — longueurs des allers-retours et **célérités distinctes** $c_1,c_2$.* Le soin porte sur ces deux points.
### Q29 — Allure de $R(t)$ pour $s$ gaussienne
**Stratégie.** $s(t)=e^{-t^2/2\tau^2}$, $\tau$ court : train d'impulsions gaussiennes espacées, d'amplitude géométriquement décroissante.
**Rédaction.** $R(t)$ est une **succession de gaussiennes** identiques (largeur $\tau$) centrées en $t=\tau_0+n\,\dfrac{4L}{c_2}$, d'amplitude $\dfrac{t_{12}t_{21}}{2}\,r_{21}^{2n}$ décroissant géométriquement (facteur $r_{21}^2\in[0,1[$).
```
R(t) | ▲
| █ enveloppe ~ (r21²)ⁿ (décroissance géométrique)
| █ ▲
| █ █ ▲
| █ █ █ ▲ .....
+----|----|----|----|----------> t
τ0 +4L/c2 +8L/c2 ...
```
**Commentaire du correcteur.** *Traitée de manière variée ; de façon surprenante l'allure gaussienne de $s(t)$ a parfois été remplacée par une exponentielle décroissante.* Chaque **pic** est gaussien (largeur $\tau$) ; c'est l'**enveloppe** des sommets qui décroît géométriquement, à ne pas confondre.
### Q30 — Signal $s_{RT}(t)$ reçu en $-x_0$
**Stratégie.** $M$ réémet $R_{RT}(t)=R(2T-t)$ ; le retour vers $-x_0$ applique **le même filtre** (mêmes réflexions).
Le signal reçu est donc le filtre de cavité appliqué deux fois.
**Rédaction.**
Notons $h$ le filtre source$\to M$ : $R=h*s$ avec $h(t)=\dfrac{t_{12}t_{21}}{2}\sum_n r_{21}^{2n}\delta\!\big(t-\tau_0-n\tfrac{4L}{c_2}\big)$.
Par réciprocité, $s_{RT}=h*R_{RT}$, d'où $$\boxed{\;s_{RT}(t)=\left(\frac{t_{12}t_{21}}{2}\right)^{\!2}\sum_{n,m\ge0} r_{21}^{\,2(n+m)}\;s\!\left(2T-t+ (n-m)\frac{4L}{c_2}\right).\;}$$
Le terme **$n=m$** donne $s(2T-t)$ (l'impulsion retournée, refocalisée) avec le poids $\big(\tfrac{t_{12}t_{21}}{2}\big)^2\sum_n r_{21}^{4n}$ ; les termes **$n\neq m$** produisent une **traîne** d'échos décalés de $(n-m)\,4L/c_2$.
```
s_RT(t) | █ (pic principal ~ s(2T−t), n=m)
| ▂ ▄ █ ▄ ▂ (échos parasites n≠m)
+--------|--------|-------> t (centré sur 2T)
```
**On ne retrouve donc PAS exactement $s(t)$** : le pic refocalisé est accompagné d'une traîne d'échos.
**Commentaire du correcteur.** *Bien traitée analytiquement (selon la réponse à Q28), moins bien pour le graphe.* Le point physique : un **capteur unique** dans la cavité ne reconstruit pas parfaitement le signal (à rapprocher de Q33).
### Q31 — Réponse monochromatique $R(\omega)$
**Stratégie.**
Injecter $s(t)=\Re\{S(\omega)e^{-i\omega t}\}$ dans Q28 ; un retard $\tau$ donne un facteur $e^{+i\omega\tau}$ (convention $e^{-i\omega t}$) ; sommer la série géométrique.
**Rédaction.** $s(t-\tau)\to S(\omega)e^{i\omega\tau}$, donc
$$R(\omega)=\frac{t_{12}t_{21}}{2}\,S(\omega)\,e^{i\omega\tau_0}\sum_{n=0}^\infty\big(r_{21}^2\,e^{i\,4\omega L/c_2}\big)^n
=\boxed{\;\frac{t_{12}t_{21}}{2}\,\frac{e^{i\omega\tau_0}}{1-r_{21}^2\,e^{i\,4\omega L/c_2}}\,S(\omega)\;}$$
(série géométrique convergente car $|r_{21}^2 e^{i4\omega L/c_2}|=r_{21}^2<1$).
**Commentaire du correcteur.** *Les candidats arrivent assez aisément à la série géométrique, mais peinent à exprimer une résonance pour un dénominateur **minimal** (et non strictement nul).* On garde donc $R(\omega)$ sous forme fractionnaire pour Q32.
### Q32 — Fréquences de résonance
**Stratégie.**
Résonance = **module du dénominateur minimal** $|1-r_{21}^2 e^{i4\omega L/c_2}|$, atteint quand la phase vaut $2\pi p$.
**Rédaction.** $|1-r_{21}^2 e^{i4\omega L/c_2}|$ est minimal ($=1-r_{21}^2$, non nul) lorsque $e^{i4\omega L/c_2}=1$, i.e. $\dfrac{4\omega L}{c_2}=2\pi p$ ($p\in\mathbb N^*$) : $$\boxed{\;f_p=\frac{p\,c_2}{4L}\;}\qquad\text{soit}\qquad \boxed{\;2L=p\,\frac{\lambda_2}{2}\;}\ \ \Big(\lambda_2=\tfrac{c_2}{f}\Big).$$
La **longueur $2L$ de la cavité est un multiple de la demi-longueur d'onde** (condition de résonance d'un Fabry-Pérot : un aller-retour $4L$ contient un nombre entier de longueurs d'onde).
**Commentaire du correcteur.** *La résonance correspond à un dénominateur **minimal**, non nul (car $|r_{21}|<1$).
Certains ont répondu à Q32 sans Q31 en invoquant la longueur $2L$ de la cavité* — ce raccourci donne le bon résultat $2L=p\lambda_2/2$, mais la voie propre passe par le dénominateur de $R(\omega)$.
### Q33 — Pourquoi un capteur unique ne reconstruit pas le signal
**Stratégie.** Relier la reconstruction imparfaite (Q30) au **filtrage fréquentiel** de la cavité (Q31-32).
**Rédaction.**
La réponse $R(\omega)$ n'est pas plate : elle présente des **pics de résonance** aux $f_p=pc_2/4L$ et des creux entre eux — la cavité agit comme un **filtre en peigne dépendant de la fréquence**.
Le retournement temporel avec un capteur unique applique un spectre $\propto|R(\omega)|^2$, qui **pondère inégalement** les fréquences : le signal reconstruit est **filtré** (déformé spectralement) et ne peut égaler $s(t)$, dont le spectre était quelconque.
En milieu homogène, au contraire, le transfert était non sélectif : la reconstruction y était fidèle.
**Commentaire du correcteur.** *Le fait que la cavité joue un rôle de **filtre dépendant de la fréquence** a été fréquemment compris.* C'est bien l'argument attendu.
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## Milieu réverbérant (3D)
Réponse reçue en $M$ : $\displaystyle R(t)=\sum_{n=0}^{N_t}a_n\,s(t-t_0-n\tau)$, $a_n$ aléatoires dans $[-1,1]$, **moyenne nulle**, indépendantes, $N_t\gg1$.
### Q34 — Signal $s_{RT}(t)$ reçu à l'origine
**Stratégie.**
Par retour inverse, $M$ émet $R_{RT}(t)=R(2T-t)$ ; le canal $M\to$ origine applique la **même** modification (mêmes $a_n$, $\tau$).
D'où une **double somme**.
**Rédaction.**
Reçu à l'origine $=\displaystyle\sum_{m=0}^{N_t}a_m\,R_{RT}(t-t_0-m\tau)$ avec $R_{RT}(t)=\sum_n a_n\,s(2T-t-t_0-n\tau)$ :
$$s_{RT}(t)=\sum_{m}a_m\sum_{n}a_n\,s\big(2T-(t-t_0-m\tau)-t_0-n\tau\big)
=\boxed{\;\sum_{n=0}^{N_t}\sum_{m=0}^{N_t}a_n a_m\,s\big(2T-t+(m-n)\tau\big)\;}$$
(les $t_0$ se compensent).
**Commentaire du correcteur.** *Une expression correcte de la double somme a été peu fréquemment obtenue, Q35–37 en découlant.*
Le point délicat est bien la **double** sommation sur $n$ et $m$.
### Q35 — Valeur en $t=2T$
**Stratégie.** $\tau$ (durée d'une impulsion) $\approx$ espacement : $s(k\tau)\approx0$ pour $k\neq0$, $s(0)$ maximal.
Seule la **diagonale $m=n$** survit.
**Rédaction.** $s_{RT}(2T)=\sum_{n,m}a_n a_m\,s\big((m-n)\tau\big)$.
Comme les impulsions ne se recouvrent pas ($s(k\tau)\approx s(0)\,\delta_{k0}$), seuls les termes $m=n$ contribuent : $$\boxed{\;s_{RT}(2T)=s(0)\sum_{n=0}^{N_t}a_n^{\,2}\;}$$
Contrairement à $R$ où les $a_n$ (moyenne nulle) se compensent, ici **chaque $a_n^2>0$** : la somme est **cohérente** et grande.
En moyenne, avec $\langle a_n^2\rangle=\int_{-1}^{1}\frac{a^2}{2}\,da=\tfrac13$ : $$s_{RT}(2T)\approx s(0)\,(N_t+1)\langle a^2\rangle\approx \frac{N_t}{3}\,s(0)\;\propto\;N_t.$$
Un **pic de refocalisation** d'amplitude $\propto N_t$ apparaît en $t=2T$.
**Commentaire du correcteur.** *La **non-nullité des contributions en $a_n^2$** a été rarement comprise.* C'est le cœur du résultat : les termes diagonaux s'ajoutent **en phase** (tous positifs), d'où un pic proportionnel au nombre d'échos.
### Q36 — Champ aux instants $t=2T+k\tau$
**Stratégie.** Même mécanisme : ne survivent que les termes $m-n=k$.
**Rédaction.** $s_{RT}(2T+k\tau)=\sum_{n,m}a_n a_m\,s\big((m-n-k)\tau\big)=s(0)\sum_{n}a_n\,a_{n+k}$ (termes $m=n+k$).
Pour $k\neq0$, c'est une somme de produits $a_n a_{n+k}$ de variables **indépendantes à moyenne nulle** : $$\boxed{\;\langle s_{RT}(2T+k\tau)\rangle=0,\qquad \sqrt{\langle s_{RT}^2\rangle}\sim s(0)\sqrt{N_t}\quad(k\neq0).\;}$$
Ces contributions forment un **fond aléatoire** d'amplitude typique $\propto\sqrt{N_t}$ (marche aléatoire), bien inférieure au pic $\propto N_t$ de $t=2T$.
**Commentaire du correcteur.** *« En découle de Q35 » (regroupé Q34–37).*
Le contraste $k=0$ (cohérent, $\propto N_t$) vs $k\neq0$ (incohérent, $\propto\sqrt{N_t}$) est l'aboutissement.
### Q37 — Commentaire
**Stratégie.** Synthétiser : contraste pic/fond et rôle bénéfique de la complexité du milieu.
**Rédaction.**
Le signal refocalisé se présente comme un **pic net** en $t=2T$, d'amplitude $\propto N_t$, émergeant d'un **fond** d'échos parasites d'amplitude $\propto\sqrt{N_t}$.
Le rapport signal/bruit vaut donc $$\frac{\text{pic}}{\text{fond}}\sim\frac{N_t}{\sqrt{N_t}}=\sqrt{N_t}.$$
**Plus le milieu est réverbérant** (grand $N_t$, beaucoup d'échos), **meilleure est la refocalisation** : un **capteur unique** placé dans un milieu complexe se comporte comme une large ouverture virtuelle et rivalise avec — voire surpasse — le réseau de capteurs de la sphère en milieu homogène (Q24-27).
C'est exactement la thèse annoncée en introduction : *« ces expériences sont d'autant plus performantes que le milieu de propagation est complexe »*. La diversité des trajets, loin de nuire, est mise à profit par le retournement temporel.
**Commentaire du correcteur.** *(Regroupé Q34–37 : point de reprise possible, indépendant du reste.)* Le message final du problème — la réverbération **améliore** la refocalisation via l'accumulation cohérente des termes $a_n^2$ — est le résultat que le jury attend en conclusion.
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*Fin du corrigé.* Les rares points laissés ouverts par l'énoncé (choix de la forme précise de $s$ aux Q14/Q19, normalisation exacte de l'amplitude de source) sont sans incidence sur les résultats encadrés, qui reposent tous sur la structure des retards et des coefficients de réflexion/transmission.