Physique A

# X PC — Physique A 2026 · Corrigé brut

*Corrigé rédigé par IA (La Belle Copie), non officiel. Signalez toute erreur.*

*Techniques modernes de spectrométrie de masse de molécules complexes.* Durée 4 h, calculatrice interdite. 43 questions, deux parties indépendantes.

## I — Ionisation par électronébuliseur

### Condensateur plan

#### Question 1

Les armatures sont supposées grandes devant leur écartement. Entre elles, le champ est uniforme et normal aux plaques. Il est nul dans le métal. On applique le théorème de Gauss à un petit cylindre de section $\mathrm dS$ qui traverse l'armature chargée $+\sigma$. Seule la face située entre les armatures contribue au flux : $E\,\mathrm dS=\sigma\,\mathrm dS/\varepsilon_0$. On obtient le théorème de Coulomb :

$$\boxed{E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}}$$

Le champ est dirigé de l'armature positive vers l'armature négative, perpendiculairement aux plaques.

#### Question 2

$$\boxed{u_e=\frac12\,\varepsilon_0E^2}$$

#### Question 3

Le condensateur est isolé : sa charge $Q=\sigma S$ est constante. On écarte l'armature mobile de $\mathrm dx$. Le champ $E=\sigma/\varepsilon_0$ ne change pas, seul le volume $Sx$ occupé par le champ varie, et l'énergie stockée vaut $U(x)=\frac12\varepsilon_0E^2Sx$. Pour un système isolé, la force s'obtient par $F_x=-\dfrac{\partial U}{\partial x}\Big|_Q=-\frac12\varepsilon_0E^2S<0$ : elle tend à rapprocher les armatures. Par unité de surface :

$$\boxed{P=\frac12\,\varepsilon_0E^2=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}}$$

**Sens : la force attire chaque armature vers l'autre.** La surface du conducteur est donc tirée vers l'extérieur du métal, du côté où règne le champ, quel que soit le signe de $\sigma$.

### Goutte chargée sphérique ; critère de stabilité de Rayleigh

#### Question 4

La distribution est à symétrie sphérique, donc $\vec E=E(r)\,\vec e_r$. Le théorème de Gauss sur la sphère de rayon $r>R$ donne $4\pi r^2E=Q/\varepsilon_0$ :

$$\vec E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\,\vec e_r\quad(r>R),\qquad \boxed{P=\frac12\varepsilon_0E(R)^2=\frac{Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0R^4}}$$

La force est dirigée vers l'extérieur de la goutte, selon $+\vec e_r$.

#### Question 5

La force électrostatique, dirigée vers l'extérieur, l'emporte sur la cohésion, dirigée vers l'intérieur, lorsque

$$\frac{Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0R^4}>\frac{\gamma}{R}\iff Q^2>32\pi^2\varepsilon_0\gamma R^3 .$$

$$\boxed{Q>Q_{\lim}=4\pi\sqrt{2\,\varepsilon_0\gamma R^3}}$$

Comme $Q_{\lim}\propto R^{3/2}$, une goutte qui s'évapore à charge constante finit par devenir instable.

### Cône de Taylor

#### Question 6

La région extérieure au cône est vide de charges. En électrostatique, l'équation de Maxwell-Gauss $\operatorname{div}\vec E=0$ jointe à $\vec E=-\overrightarrow{\operatorname{grad}}V$ donne l'équation de Laplace :

$$\boxed{\Delta V=0}$$

Le liquide est conducteur et à l'équilibre : le champ y est nul, donc le potentiel y est uniforme. **La surface du cône est une équipotentielle :** $V(r,\theta_0,\varphi)=\text{cte}$ pour tout $r$ et tout $\varphi$.

#### Question 7

À l'équilibre, en tout point de la surface, la pression électrostatique compense la tension superficielle : $\frac12\varepsilon_0E^2=k\,\gamma/r$, où $k$ est une constante. Donc

$$\boxed{E\propto r^{-1/2}}$$

#### Question 8

$V=V_0+r^\delta f(\theta)$ ne dépend pas de $\varphi$, et $\vec E=-\dfrac{\partial V}{\partial r}\vec e_r-\dfrac1r\dfrac{\partial V}{\partial\theta}\vec e_\theta=-r^{\delta-1}\big(\delta f\,\vec e_r+f'\,\vec e_\theta\big)$. Le module est donc proportionnel à $r^{\delta-1}$. La question 7 impose $\delta-1=-\frac12$ :

$$\boxed{\delta=\frac12}$$

#### Question 9

Le problème est invariant par rotation autour de l'axe du jet, donc $V$ ne dépend pas de $\varphi$. Le laplacien est un opérateur différentiel du second ordre, homogène de degré $-2$ en $r$ : appliqué à $r^{1/2}f(\theta)$, chacun de ses termes est de la forme $r^{1/2-2}$ multiplié par une combinaison de $f$, $f'$ et $f''$ qui ne dépend que de $\theta$. Le facteur commun $r^{-3/2}$ ne s'annule pas pour $r>0$. L'équation $\Delta V=0$ se réduit donc à une relation entre $f(\theta)$, $f'(\theta)$ et $f''(\theta)$ seuls : **c'est une équation différentielle linéaire du second ordre en $f(\theta)$**. Le terme en $f''$ provient des dérivées secondes par rapport à $\theta$.

On peut vérifier ce résultat avec l'expression du laplacien en coordonnées sphériques, qui n'est pas exigible et n'est pas fournie par l'énoncé. On trouve $\dfrac{1}{\sin\theta}(\sin\theta f')'+\dfrac34f=0$.

#### Question 10

Sur la surface, $V(r,\theta_0)=V_0+r^{1/2}f(\theta_0)$ doit être indépendant de $r$, alors que $r^{1/2}$ ne l'est pas. Il faut donc

$$\boxed{f(\theta_0)=0}$$

Le cône est alors au potentiel $V_0$. La solution de l'équation du second ordre qui reste régulière sur l'axe $\theta=0$ (le jet) et qui s'annule en $\theta_0$ fixe l'angle : $\pi-\theta_0\simeq49{,}3^\circ$.

![Figure 1 — Cône de Taylor : la surface θ = θ0 est l'équipotentielle V = V0, θ est mesuré depuis le jet (π − θ0 ≈ 49,3°) ; ½ε0E² équilibre la tension en γ/r et σ ∝ r^(−1/2) croît vers la pointe](/figures/corriges/x_pc_physique-a_2026/q06-q10-cone-taylor.svg)

#### Question 11

Au voisinage de la surface d'un conducteur, $\sigma=\varepsilon_0E$ (question 1 appliquée localement). Avec $E\propto r^{-1/2}$ :

$$\boxed{\sigma\propto r^{-1/2}}$$

La densité de charge croît sans limite vers la pointe ($r\to0$). Le jet part de la région la plus chargée de la surface : il emporte une charge par unité de volume de liquide très élevée. Les gouttelettes de très petit rayon qu'il produit portent donc une charge proche de la limite de Rayleigh, qui est grande devant leur volume ($Q_{\lim}/R^3\propto R^{-3/2}$). Elles sont ainsi fortement chargées, ce qui conduit aux ions multichargés.

## II — Spectrométrie de masse à résonance cyclotronique ionique

#### Question 12

L'équation du mouvement s'écrit $m\dfrac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dt}=q(\vec E+\vec v\wedge\vec B)$, soit $\dfrac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dt}=\dfrac qm(\vec E+\vec v\wedge\vec B)$. Les champs étant connus, la trajectoire ne dépend des caractéristiques de l'ion que par $q/m$. Deux ions de même rapport $m/q$ ont des trajectoires identiques pour les mêmes conditions initiales. **On n'accède qu'à $m/q$.**

#### Question 13

La charge électrique est quantifiée : l'ion provient de la molécule par ajout (protonation en ESI) ou retrait d'un nombre entier de charges élémentaires. Donc $q=ze$ avec $z\in\mathbb N^*$.

Les pics principaux correspondent à la même protéine de masse $M$ portant $z$ protons, de masse voisine de 1 u. On a donc $(m/z)=M/z+1$. Deux pics voisins correspondent à $z$ et $z+1$. Pour les pics à $1999{,}30$ et $1888{,}29$ :

$$z\,(1999{,}30-1)=(z+1)(1888{,}29-1)\;\Rightarrow\;z=\frac{1887{,}29}{111{,}01}=17{,}0 .$$

On obtient donc $\boxed{z=17}$ pour le pic à $1999{,}30$. Pour le pic à $1000{,}15$, on a $\dfrac{1000{,}15-1}{1999{,}30-1}=\dfrac12$, d'où $\boxed{z=34}$ (on obtiendrait de même $z=34$ avec le voisin $971{,}54$, qui correspond à $z=35$).

$$\boxed{M\simeq17\times1998{,}3\simeq3{,}40\times10^4\ \text{u}}$$

Les autres pics de la série redonnent la même valeur, par exemple $2124{,}14$ pour $z=16$ ou $1030{,}42$ pour $z=33$. Si l'on néglige la masse des protons, on trouve $m\simeq34\,000$ u, ce qui ne change pas l'ordre de grandeur.

Une protéine est faite de C, H, N, O et S, avec environ autant d'hydrogènes que d'atomes lourds : la masse moyenne par atome est d'environ 7 u. On en déduit

$$\boxed{N_{\text{atomes}}\sim\frac{3{,}4\times10^4}{7}\sim5\times10^3}$$

#### Question 14

**On utilise un solénoïde long** de $n$ spires par mètre, parcouru par un courant continu $I$. À l'intérieur, loin des extrémités, il crée $\vec B=\mu_0nI\,\vec e_z$, uniforme et constant. Pour atteindre plusieurs teslas, on utilise une bobine supraconductrice refroidie à l'hélium liquide. Des bobines de Helmholtz conviennent pour des champs plus faibles.

#### Question 15

On calcule $\vec v\wedge\vec B=(\dot y B,\,-\dot x B,\,0)$. Le PFD donne :

$$\boxed{m\ddot x=qB\dot y,\qquad m\ddot y=-qB\dot x,\qquad m\ddot z=0}$$

#### Question 16

En formant la première équation plus $i$ fois la deuxième : $m(\ddot x+i\ddot y)=qB(\dot y-i\dot x)=-iqB(\dot x+i\dot y)$, donc

$$\ddot Z=-i\frac{qB}{m}\dot Z .$$

Avec $Z=Z_0e^{-i\omega_0t}$, on a $\dot Z=-i\omega_0Z$ et $\ddot Z=-\omega_0^2Z$, d'où $-\omega_0^2=-i\frac{qB}m(-i\omega_0)=-\frac{qB}{m}\omega_0$. Puisque $\omega_0\neq0$ :

$$\boxed{\omega_0=\frac{qB}{m}},\qquad \ddot Z+i\omega_0\dot Z=0 .$$

*Vérification* : pour $q>0$, $Z=Z_0e^{-i\omega_0t}$ décrit un cercle parcouru dans le sens horaire, c'est-à-dire dans le sens négatif autour de $\vec B$. C'est bien le sens de rotation d'une charge positive : sur un cercle centré en $O$, la force $q\vec v\wedge\vec B$ doit être centripète, ce que l'on vérifie en $(x,y)=(R,0)$ avec $\vec v=-R\omega_0\vec e_y$, où $q\vec v\wedge\vec B=-qR\omega_0B\,\vec e_x$. La pulsation a la dimension attendue : $[qB/m]=\mathrm s^{-1}$.

### Excitation

#### Question 17

L'affixe de la force vaut $F_x+iF_y=F(\cos\omega t-i\sin\omega t)=Fe^{-i\omega t}$, d'où

$$\boxed{\ddot Z+i\omega_0\dot Z=\frac Fm\,e^{-i\omega t}}$$

#### Question 18

$m/\tau$ s'exprime en $\mathrm{kg\cdot s^{-1}}$ (force divisée par vitesse) : **$\tau$ est un temps.** C'est le temps d'amortissement de la vitesse, puisque $m\dot{\vec v}=-\frac m\tau\vec v$ donne $\vec v\propto e^{-t/\tau}$. On rencontre une force analogue dans le **modèle de Drude** de la conduction électrique, où les collisions des porteurs sont modélisées par $-\frac m\tau\vec v$. On la rencontre aussi comme frottement fluide linéaire à faible vitesse (loi de Stokes).

#### Question 19

L'affixe du frottement est $-\frac m\tau\dot Z$, d'où

$$\ddot Z+\Big(i\omega_0+\frac1\tau\Big)\dot Z=\frac Fm e^{-i\omega t}.$$

On cherche $Z=Z_0e^{-i\omega t}$ : $Z_0\big[-\omega^2+\omega_0\omega-i\omega/\tau\big]=F/m$, donc

$$\boxed{Z_0=\frac{F}{m\,\omega\,\big(\omega_0-\omega-\frac i\tau\big)}}$$

#### Question 20

$$|Z_0|=\frac{F}{m\omega\sqrt{(\omega_0-\omega)^2+1/\tau^2}} .$$

Si le frottement est faible, au sens $\omega_0\tau\gg1$, le second facteur présente un pic aigu en $\omega=\omega_0$, de hauteur $\tau$ et de largeur $\sim1/\tau\ll\omega_0$. Sur cet intervalle, le facteur $1/\omega$ varie peu. $|Z_0|$ présente donc une résonance en $\omega\simeq\omega_0$, où il atteint $F\tau/(m\omega_0)$, grand devant sa valeur hors résonance $\sim F/(m\omega_0^2)$. $|Z_0|$ vaut $|Z_0|_{\max}/\sqrt2$ pour $|\omega-\omega_0|=1/\tau$. On en déduit

$$\boxed{\Delta\omega\sim\frac1\tau}$$

(la largeur à mi-hauteur de $|Z_0|^2$ vaut exactement $2/\tau$). Le facteur de qualité est $\omega_0\tau$.

![Figure 2 — Amplitude |Z0(ω)| calculée pour ω0τ = 20 et ω0τ = 5 : pic en ω0 de hauteur Fτ/(mω0) et de largeur 2/τ à |Z0|max/√2](/figures/corriges/x_pc_physique-a_2026/q20-resonance-amplitude.svg)

#### Question 21

$\omega_0=zeB/m$ donne $\dfrac{\delta(m/z)}{m/z}=\dfrac{\delta\omega_0}{\omega_0}$. Deux espèces ne sont séparées que si leurs pulsations diffèrent d'au moins $\Delta\omega\sim1/\tau$. La plus petite différence relative de masse détectable vaut donc

$$\frac{\delta m}{m}\sim\frac{1}{\omega_0\tau}=\frac{m}{zeB\tau}.$$

Pour un $\tau$ fixé par le gaz résiduel, **elle est d'autant plus petite que $z$ et $B$ sont grands**, car $\omega_0$ croît comme $zB$ alors que la largeur du pic reste $\sim1/\tau$.

#### Question 22

La force vaut $\vec F=qE\cos\omega t\,\vec e_x$, d'affixe

$$F_x+iF_y=qE\cos\omega t=\frac{qE}2e^{-i\omega t}+\frac{qE}2e^{-i(-\omega)t}.$$

La première composante, $(F_x,F_y)=\frac{qE}2(\cos\omega t,-\sin\omega t)$, est de la forme de la question 17 avec $F=qE/2$ et la pulsation $\omega$. La seconde, $\frac{qE}2(\cos\omega t,+\sin\omega t)$, est de la même forme avec la pulsation $-\omega$. Ce sont deux forces tournantes de sens opposés.

L'équation est linéaire : le régime forcé est la somme des deux réponses de la question 19, la seconde obtenue en changeant $\omega$ en $-\omega$ :

$$\boxed{Z(t)=\frac{qE}{2m\omega}\left[\frac{e^{-i\omega t}}{\omega_0-\omega-\frac i\tau}-\frac{e^{i\omega t}}{\omega_0+\omega-\frac i\tau}\right]}$$

Pour $\omega>0$, seul le premier dénominateur devient petit, de module $1/\tau$ en $\omega=\omega_0$. Le second reste de l'ordre de $2\omega_0$. **La résonance est donc due à la composante de pulsation $+\omega$**, qui tourne dans le même sens que l'ion. L'autre composante donne une contribution plus faible d'un facteur $\sim1/(\omega_0\tau)$.

![Figure 3 — La force qE cos ωt, portée par x, est la somme de deux forces d'amplitude qE/2 tournant en sens opposés ; seule la composante +ω, horaire comme l'ion, résonne](/figures/corriges/x_pc_physique-a_2026/q22-deux-champs-tournants.svg)

#### Question 23

**On utilise deux plaques métalliques planes parallèles**, perpendiculaires à $\vec e_x$ et distantes de $\ell$, reliées à un générateur de tension sinusoïdale $u(t)=U\cos\omega t$. Loin des bords, le champ entre elles est $\vec E=\frac{U}{\ell}\cos\omega t\,\vec e_x$, donc $E=U/\ell$.

#### Question 24

On se place en $\omega=\omega_0$, sans frottement, et l'on ne garde que la composante résonante, d'amplitude $qE/2$ :

$$\boxed{\ddot Z+i\omega_0\dot Z=\frac{qE}{2m}e^{-i\omega_0t}}$$

#### Question 25

Avec $Z=iAt\,e^{-i\omega_0t}$, on a $\dot Z=(iA+A\omega_0t)e^{-i\omega_0t}$ et $\ddot Z=(2A\omega_0-iA\omega_0^2t)e^{-i\omega_0t}$, donc

$$\ddot Z+i\omega_0\dot Z=\big(2A\omega_0-iA\omega_0^2t-A\omega_0+iA\omega_0^2t\big)e^{-i\omega_0t}=A\omega_0e^{-i\omega_0t}.$$

L'identification donne $A\omega_0=\dfrac{qE}{2m}$, soit

$$\boxed{A=\frac{qE}{2m\omega_0}=\frac{E}{2B}}$$

Cette valeur ne dépend ni de $q$ ni de $m$.

#### Question 26

$Z=At\,e^{i(\pi/2-\omega_0t)}$ donne en polaires $r=At$ et $\theta=\frac\pi2-\omega_0t$. En éliminant $t$ :

$$\boxed{r=\frac{A}{\omega_0}\Big(\frac\pi2-\theta\Big)=\frac{E}{2B\omega_0}\Big(\frac\pi2-\theta\Big)}$$

**La trajectoire est une spirale d'Archimède** partant de l'origine. Elle est parcourue dans le sens horaire (θ décroissant) et son pas entre deux spires est constant, égal à $2\pi A/\omega_0=\pi E/(B\omega_0)$.

![Figure 4 — Trajectoire à la résonance : spirale d'Archimède issue de O, parcourue dans le sens horaire, de pas constant 2πA/ω0 (B sortant, q > 0)](/figures/corriges/x_pc_physique-a_2026/q26-spirale-archimede.svg)

En $t=0^+$, l'ion part de $O$ selon $+\vec e_y$ ($Z\simeq iAt$), puis s'écarte de l'origine à la vitesse radiale constante $A$.

**Rôles des deux champs.** Le champ magnétique ne travaille pas : il courbe la trajectoire et impose la pulsation de rotation $\omega_0$. Le champ électrique (sa composante résonante) reste en phase avec la vitesse de l'ion. Il lui fournit de l'énergie à chaque tour, ce qui fait croître la vitesse $v\simeq A\omega_0t$ et donc le rayon.

#### Question 27

Le rayon $r=\frac{E}{2B}t$ doit devenir aussi grand que possible, tout en restant inférieur à la taille de la cellule. Il faut donc $r(t_E)\sim d$, ce qui donne

$$\boxed{t_E\sim\frac{Bd}{E}}$$

(à un facteur numérique près).

#### Question 28

**L'uniformité du champ magnétique est la plus importante.** La grandeur mesurée est $\omega_0=qB/m$. Si $B$ varie dans la cellule, la pulsation de l'ion dépend de sa position : le pic s'élargit, la résonance se dégrade (l'ion se désaccorde de l'excitation) et $m/z$ est mesuré avec une erreur relative $\delta B/B$. Une non-uniformité de $E$ ne modifie que la vitesse $A=E/(2B)$ de croissance du rayon, c'est-à-dire l'amplitude atteinte, et non la fréquence mesurée.

#### Question 29

L'équipartition de l'énergie attribue $\frac12k_BT$ à chaque degré de liberté de translation, soit $\frac{p_x^2}{2m}\sim\frac12k_BT$ :

$$\boxed{p\sim\sqrt{m\,k_BT}}$$

#### Question 30

Pour un mouvement circulaire dans le plan perpendiculaire à $\vec B$, on a $\frac{mv^2}r=qvB$, donc $r=\frac{p_\perp}{qB}\sim\frac{\sqrt{mk_BT}}{qB}$. La condition $r\ll d$ s'écrit $mk_BT\ll q^2B^2d^2$, soit

$$\boxed{m\ll m_{\max}=\frac{q^2B^2d^2}{k_BT}}$$

### Piégeage

#### Question 31

La force magnétique est orthogonale à $\vec B=B\vec e_z$, et la troisième équation de la question 15 s'écrit $m\ddot z=0$. **Rien ne retient l'ion selon $z$** : son mouvement selon cet axe est uniforme, $z=z_0+v_zt$. La vitesse thermique $v_z\neq0$ l'amène sur une paroi de la cellule.

#### Question 32

$\vec E=-\overrightarrow{\operatorname{grad}}V$ :

$$\boxed{E_x=\alpha x,\qquad E_y=\alpha y,\qquad E_z=-\alpha\beta z}$$

La cellule est vide de charges, donc $\Delta V=0$ : $\frac\alpha2(-2-2+2\beta)=\alpha(\beta-2)=0$. Comme $\alpha\neq0$ :

$$\boxed{\beta=2}$$

#### Question 33

Selon $z$, $m\ddot z=qE_z=-2q\alpha z$, soit $\ddot z+\frac{2q\alpha}{m}z=0$. Pour $q\alpha>0$, c'est l'équation d'un oscillateur harmonique : l'ion oscille autour de $z=0$ à la pulsation

$$\boxed{\omega_p=\sqrt{\frac{2q\alpha}{m}}}$$

#### Question 34

Dans le plan, la force supplémentaire a pour affixe $q(E_x+iE_y)=q\alpha Z$ : elle est radiale et dirigée vers l'extérieur. L'équation de la question 16 devient $m\ddot Z=-iqB\dot Z+q\alpha Z$, soit, avec $q\alpha/m=\omega_p^2/2$ :

$$\boxed{\ddot Z+i\omega_0\dot Z-\frac{\omega_p^2}{2}Z=0}$$

#### Question 35

Avec $Z=Z_0e^{-i\omega t}$ et $Z_0\neq0$ : $-\omega^2+\omega_0\omega-\frac{\omega_p^2}2=0$, soit $\omega^2-\omega_0\omega+\frac{\omega_p^2}{2}=0$. Le discriminant $\omega_0^2-2\omega_p^2$ est positif car $\omega_p\ll\omega_0$. Il existe donc deux racines réelles :

$$\boxed{\omega_\pm=\frac{\omega_0\pm\sqrt{\omega_0^2-2\omega_p^2}}{2}}$$

Avec $\sqrt{\omega_0^2-2\omega_p^2}\simeq\omega_0-\omega_p^2/\omega_0$ :

$$\boxed{\omega_+\simeq\omega_0-\frac{\omega_p^2}{2\omega_0},\qquad \omega_-\simeq\frac{\omega_p^2}{2\omega_0}}$$

#### Question 36

La pulsation rapide $\omega_+$ est la pulsation cyclotron modifiée. Elle est abaissée de $\frac{\omega_p^2}{2\omega_0}$, ce qui représente une correction relative $\frac{\omega_p^2}{2\omega_0^2}\ll1$ : **la résonance n'est que légèrement décalée.** La seconde solution décrit un mouvement de rotation dans le plan à la pulsation $\omega_-\simeq\frac{\omega_p^2}{2\omega_0}\ll\omega_0$, beaucoup plus lent (c'est le mouvement magnétron). Avec $\omega_p^2=2q\alpha/m$ et $\omega_0=qB/m$ :

$$\boxed{\omega_-\simeq\frac{\alpha}{B}}$$

Cette pulsation est **indépendante de $m/q$**.

![Figure 5 — Mouvement dans le plan avec piégeage : boucles rapides à ω+ dont le centre tourne lentement à ω−, dans le même sens horaire (rapport ω+/ω− exagéré)](/figures/corriges/x_pc_physique-a_2026/q36-cyclotron-magnetron.svg)

### Détection

#### Question 37

$$\boxed{V_i=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\sum_{j\neq i}\frac{q_j}{\|\vec r_i-\vec r_j\|}}$$

#### Question 38

On note $G_{ij}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0\|\vec r_i-\vec r_j\|}=G_{ji}$ pour $i\neq j$. Alors

$$\sum_iq_iV'_i=\sum_i\sum_{j\neq i}G_{ij}\,q_iq'_j,\qquad \sum_iq'_iV_i=\sum_i\sum_{j\neq i}G_{ij}\,q'_iq_j .$$

Dans la seconde somme, on échange les indices muets $i$ et $j$. L'ensemble des couples $(i,j)$ avec $i\neq j$ est invariant par cet échange, et $G_{ji}=G_{ij}$ : la seconde somme devient $\sum_j\sum_{i\neq j}G_{ij}q'_jq_i$, c'est-à-dire la première. D'où

$$\boxed{\sum_{i=0}^{N-1}q_iV'_i=\sum_{i=0}^{N-1}q'_iV_i}$$

#### Question 39

On suppose les plaques grandes devant leur écartement ($S\gg d^2$) et l'on néglige les effets de bord. Entre elles, sans charge, le potentiel ne dépend que de $y$ et vérifie $V''(y)=0$ : il est affine. Avec $V'(\pm d/2)=\pm V/2$, on obtient $V'(y)=Vy/d$, donc

$$\boxed{V'_0=\frac{V\,y_0}{d}}$$

#### Question 40

On applique le théorème de réciprocité aux trois objets : la charge en $y_0$ et les deux électrodes.

$$q_0V'_0+q_1V'_1+q_2V'_2=q'_0V_0+q'_1V_1+q'_2V_2 .$$

Le membre de droite est nul ($q'_0=0$ et $V_1=V_2=0$). À gauche, on obtient $q\frac{Vy_0}{d}+\frac V2(q_2-q_1)=0$, d'où

$$\boxed{\Delta q=q_2-q_1=-\frac{2q\,y_0}{d}}$$

La charge induite suit à chaque instant l'ordonnée $y_0(t)$ de l'ion. Après l'excitation, l'ion tourne à la pulsation $\omega_+\simeq\omega_0$ : $y_0(t)$, donc $\Delta q(t)$, oscille à cette pulsation. Comme $q_1+q_2=-q$ (influence totale), le courant dans le fil qui relie les électrodes vaut $i=\frac{\mathrm dq_2}{\mathrm dt}=\frac12\frac{\mathrm d\Delta q}{\mathrm dt}=-\frac qd\dot y_0$. Ce courant est sinusoïdal à la pulsation $\omega_0$. **Mesurer sa fréquence donne $\omega_0$, donc $m/z=eB/\omega_0$**, sans capter l'ion (la détection est non destructive).

![Figure 6 — Réciprocité : configuration réelle (ion q en y0, électrodes 1 et 2 reliées au potentiel nul, excitation selon x) et configuration auxiliaire (électrodes à ∓V/2, potentiel affine, V′0 = Vy0/d)](/figures/corriges/x_pc_physique-a_2026/q39-q41-electrodes-detection.svg)

#### Question 41

Les faces perpendiculaires à $x$ portent déjà les électrodes d'excitation, qui créent le champ selon $x$ (question 23). Des électrodes de détection perpendiculaires à $y$ ne sont pas en regard des électrodes d'excitation. Par symétrie, les deux plaques de détection reçoivent la même influence du champ d'excitation, ce qui s'élimine dans $q_2-q_1$. **On évite ainsi que la tension d'excitation, élevée, induise directement sur les électrodes de détection un signal parasite** qui masquerait le très faible signal dû aux ions.

#### Question 42

La fréquence associée à un ion est

$$f=\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{B}{2\pi}\,\frac{e}{m_u}\,\frac{1}{(m/z)_{\mathrm u}},$$

où $(m/z)_{\mathrm u}$ est la valeur lue en abscisse de la figure 2. La fréquence la plus élevée correspond au plus petit $m/z$ du spectre, $(m/z)_{\mathrm u}\simeq9\times10^2$ :

$$f_{\max}\simeq\frac{7\times10^8}{2\pi\times9\times10^2}\simeq\frac{7\times10^8}{5{,}7\times10^3}\simeq1{,}2\times10^5\ \mathrm{Hz}.$$

Le critère de Shannon-Nyquist impose une fréquence d'échantillonnage supérieure à $2f_{\max}$ :

$$\boxed{f_{e,\min}\simeq2{,}5\times10^5\ \mathrm{Hz}}$$

(environ 250 kHz). La correction $\omega_+<\omega_0$ est négligeable.

#### Question 43

D'après la question 40, la charge induite $\Delta q=-2zey_0/d$ est proportionnelle à $z$. De plus, à rayon de trajectoire donné (le rayon $At_E$ ne dépend pas de $z$), le courant $i=-\frac{ze}{d}\dot y_0$ est proportionnel à $z\,\omega_0$. Pour une molécule donnée, $\omega_0\propto z$, donc le courant croît comme $z^2$. **Un ion multichargé donne un signal de détection bien plus intense**, donc un meilleur rapport signal sur bruit et une meilleure sensibilité. Cet avantage s'ajoute au gain en résolution de la question 21.