Physique A
X-ENSPC2026
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## Présentation du sujet
**Thème.** *Techniques modernes de spectrométrie de masse de molécules complexes.* Le sujet suit les deux étapes d'une mesure de masse moléculaire. On produit d'abord des ions multichargés par électronébulisation (ESI). On mesure ensuite leur rapport $m/z$ par résonance cyclotronique ionique à transformée de Fourier (FT-ICR). L'épreuve dure 4 heures, **sans calculatrice**, et compte **43 questions**. L'énoncé prévient que la plupart se traitent de façon concise, et c'est vrai : beaucoup tiennent en trois lignes.
- **Partie I, électronébuliseur (Q1-11).** On établit la pression électrostatique $P=\frac12\varepsilon_0E^2$ sur un conducteur, à partir du condensateur plan. On l'oppose ensuite à la tension superficielle, d'abord pour une goutte sphérique (limite de Rayleigh, en $Q\propto R^{3/2}$), puis pour le cône de Taylor. Là, l'équilibre local impose $E\propto r^{-1/2}$, donc un potentiel en $r^{1/2}f(\theta)$, et une condition aux limites qui fixe l'angle du cône.
- **Partie II, cyclotron (Q12-36).** Après une question de lecture de spectre (déterminer les états de charge et la masse d'une protéine), on étudie l'ion dans $\vec B$ uniforme avec la variable complexe $Z=x+iy$. On obtient la pulsation cyclotron, la résonance forcée avec frottement et sa largeur $1/\tau$, la décomposition d'un champ rectiligne en deux champs tournants, la croissance séculaire en spirale à la résonance, puis le confinement thermique et le piégeage quadrupolaire (mouvements cyclotron modifié et magnétron).
- **Partie II, détection (Q37-43).** Le théorème de réciprocité de Green, démontré pour des charges ponctuelles, donne la charge induite par un ion sur deux plaques. On termine par le critère de Shannon et l'intérêt des charges élevées.
**Notions mobilisées.** Théorèmes de Gauss et de Coulomb, énergie électrostatique, équation de Laplace, conducteur à l'équilibre, gradient en sphériques, PFD avec force de Lorentz, notation complexe, résonance et facteur de qualité, équipartition, oscillateur harmonique, superposition, échantillonnage.
**Difficulté et longueur.** Le niveau technique est modéré. La difficulté tient à la **rigueur des signes** : la convention $e^{-i\omega t}$ et le sens de rotation conditionnent toute la partie II, et l'énoncé insiste sur la vérification de $\omega_0$. Elle tient aussi aux **questions qualitatives** (Q11, Q21, Q28, Q41, Q43), où il faut un argument physique précis plutôt qu'un discours.
**Questions à ne pas laisser passer.** Q1-8, Q10, Q12, Q14-19, Q23, Q29-33 et Q37-39 relèvent du cours ou d'un calcul direct. La détection (Q37-40) est indépendante de tout le reste : c'est un point de reprise idéal.
**Gestion du temps.** On peut viser environ 50 min pour la partie I, 2 h 30 pour la partie II (dont 25 min pour la détection) et 15 min de relecture des signes.
## Partie I — Ionisation par électronébuliseur
On établit d'abord l'outil central, la pression électrostatique, sur le cas le plus simple. On l'applique ensuite à deux géométries. Outils : Gauss, énergie électrostatique, équation de Laplace.
### Question 1
> [!INDICATION]
> C'est un théorème de cours sur le champ au voisinage immédiat d'une surface chargée. Pensez à une surface de Gauss adaptée.
> [!INDICATION]
> Le champ est nul dans le métal. Seule une face d'un petit cylindre traversant l'armature voit un flux.
#### Solution
Les armatures sont grandes devant leur écartement. Le champ est uniforme et normal entre elles, et nul dans le métal. Un cylindre de section $\mathrm dS$ traversant l'armature chargée $+\sigma$ reçoit un flux uniquement par sa face intérieure : $E\,\mathrm dS=\sigma\,\mathrm dS/\varepsilon_0$.
$$\boxed{E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}}$$
Le champ est dirigé de l'armature positive vers l'armature négative.
### Question 2
> [!INDICATION]
> C'est une formule de cours, analogue électrique de $B^2/(2\mu_0)$.
#### Solution
$$\boxed{u_e=\frac12\varepsilon_0E^2}$$
### Question 3
> [!INDICATION]
> Faites un raisonnement énergétique : déplacez virtuellement une armature et regardez comment varie l'énergie stockée.
> [!INDICATION]
> Choisissez la situation la plus simple, un condensateur isolé (charge fixée). Que devient alors le champ quand l'écartement change ?
#### Solution
À charge $Q=\sigma S$ fixée, $E=\sigma/\varepsilon_0$ ne dépend pas de l'écartement $x$. L'énergie vaut $U=\frac12\varepsilon_0E^2\,Sx$, et pour un système isolé :
$$F_x=-\frac{\partial U}{\partial x}\Big|_Q=-\frac12\varepsilon_0E^2S .$$
$$\boxed{P=\frac12\varepsilon_0E^2=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}}$$
La force est attractive : chaque armature est tirée vers l'autre, c'est-à-dire, pour le conducteur, vers l'extérieur du métal, du côté où règne le champ. Le résultat ne dépend pas du signe de $\sigma$.
> [!PIEGE]
> Écrire $P=\sigma E$ donne un résultat deux fois trop grand. Les charges d'une armature ne subissent que le champ créé par l'autre armature, $\sigma/(2\varepsilon_0)$, et non le champ total. La méthode énergétique évite ce piège.
> [!METHODE]
> Pour une force électrostatique sur un conducteur, le travail virtuel à charge constante est la méthode la plus sûre : $F=-\partial U/\partial x|_Q$. À potentiel constant, le générateur fournit de l'énergie, et le signe s'inverse ($F=+\partial U/\partial x|_V$).
### Question 4
> [!INDICATION]
> La goutte conductrice porte sa charge en surface, avec la symétrie sphérique. Le théorème de Gauss donne le champ extérieur.
> [!INDICATION]
> Évaluez ensuite le champ juste à l'extérieur de la surface et reportez-le dans le résultat de la question 3.
#### Solution
La symétrie sphérique impose $\vec E=E(r)\vec e_r$, et le théorème de Gauss donne, pour $r>R$, $\vec E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\vec e_r$. À la surface :
$$\boxed{P=\frac{Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0R^4}}$$
Cette force est dirigée vers l'extérieur de la goutte.
### Question 5
> [!INDICATION]
> Comparez les deux forces surfaciques, qui sont de sens opposés.
> [!INDICATION]
> Elles ne dépendent pas de $R$ de la même manière. Isolez $Q$ dans l'inégalité.
#### Solution
L'électrostatique l'emporte si $\dfrac{Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0R^4}>\dfrac\gamma R$, soit
$$\boxed{Q>Q_{\lim}=4\pi\sqrt{2\varepsilon_0\gamma R^3}}$$
Une goutte qui s'évapore à charge constante voit $Q_{\lim}\propto R^{3/2}$ diminuer : elle finit par se fragmenter, et le processus recommence sur les gouttes filles.
> [!METHODE]
> Origine du facteur $\sqrt2$ de la note de bas de page : pour une sphère, la surpression de Laplace due à la tension superficielle vaut $2\gamma/R$, pas $\gamma/R$. En remplaçant $\gamma/R$ par $2\gamma/R$, on retrouve exactement la limite de Rayleigh $Q_R=8\pi\sqrt{\varepsilon_0\gamma R^3}=\sqrt2\,Q_{\lim}$. L'énoncé simplifie volontairement le modèle. On répond avec ses données.
### Question 6
> [!INDICATION]
> Partez de l'équation de Maxwell-Gauss dans une région sans charge, en électrostatique.
> [!INDICATION]
> Que vaut le champ à l'intérieur d'un conducteur à l'équilibre ? Qu'en déduit-on pour le potentiel ?
#### Solution
On a $\operatorname{div}\vec E=0$ et $\vec E=-\overrightarrow{\operatorname{grad}}V$, d'où l'équation de Laplace :
$$\boxed{\Delta V=0}$$
Dans le liquide conducteur à l'équilibre, $\vec E=\vec 0$, donc $V$ y est uniforme. **La surface du cône est une équipotentielle** : $V(r,\theta_0)$ est indépendant de $r$.
### Question 7
> [!INDICATION]
> Écrivez l'égalité des deux forces surfaciques en un point de la surface situé à la distance $r$ du sommet.
#### Solution
$\frac12\varepsilon_0E^2=k\gamma/r$, avec $k$ une constante, donc
$$\boxed{E\propto r^{-1/2}}$$
### Question 8
> [!INDICATION]
> Calculez le gradient du potentiel proposé en coordonnées sphériques. Quelle puissance de $r$ apparaît dans chacune des composantes ?
#### Solution
On a $\vec E=-\partial_rV\,\vec e_r-\frac1r\partial_\theta V\,\vec e_\theta=-r^{\delta-1}(\delta f\,\vec e_r+f'\,\vec e_\theta)$. Donc $\|\vec E\|\propto r^{\delta-1}$, et la condition $\delta-1=-1/2$ donne
$$\boxed{\delta=\frac12}$$
> [!PIEGE]
> Le terme constant $V_0$ ne contribue pas au champ. Il ne faut pas en tenir compte pour déterminer $\delta$.
### Question 9
> [!INDICATION]
> Pourquoi $V$ ne dépend-il pas de $\varphi$ ? Comment chaque terme du laplacien se comporte-t-il quand on multiplie toutes les longueurs par un facteur constant ?
> [!INDICATION]
> Le laplacien contient deux dérivations par rapport à des longueurs. Appliqué à $r^{1/2}f(\theta)$, quelle puissance de $r$ chaque terme fait-il apparaître ?
#### Solution
Le problème est invariant par rotation autour de l'axe du jet, donc $V$ ne dépend pas de $\varphi$. Le laplacien est un opérateur du second ordre, homogène de degré $-2$ en $r$. Appliqué à $r^{1/2}f(\theta)$, il donne $r^{-3/2}$ multiplié par une expression qui ne contient que $f$, $f'$ et $f''$, fonctions de $\theta$. Après simplification par $r^{-3/2}\neq0$, l'équation $\Delta V=0$ ne contient plus $r$. **C'est une équation différentielle linéaire du second ordre en $f(\theta)$** (le terme en $f''$ vient des dérivées secondes angulaires).
Pour aller plus loin (hors attendu) : avec l'expression du laplacien sphérique, on trouve $\frac{1}{\sin\theta}(\sin\theta f')'+\frac34f=0$, l'équation de Legendre d'indice $1/2$.
> [!JURY]
> Le rapport 2025 relève que beaucoup de candidats confondent le choix des coordonnées sphériques avec l'hypothèse d'une symétrie sphérique. Ici, le repère est sphérique, mais le problème n'a que la symétrie de révolution : $V$ dépend de $r$ et de $\theta$.
> [!METHODE]
> En PC, l'expression du laplacien en coordonnées sphériques n'est pas exigible et doit être fournie. Quand elle ne l'est pas, on raisonne par homogénéité ou par séparation des variables, comme ici.
### Question 10
> [!INDICATION]
> La condition de la question 6 doit être vérifiée pour toutes les valeurs de $r$ sur la surface $\theta=\theta_0$.
#### Solution
$V(r,\theta_0)=V_0+r^{1/2}f(\theta_0)$ doit être indépendant de $r$, donc
$$\boxed{f(\theta_0)=0}$$
Le potentiel du cône vaut alors $V_0$. L'angle est fixé par deux conditions. L'équation du second ordre a, à un facteur près, une seule solution régulière sur l'axe $\theta=0$, où se trouve le jet. La condition $f(\theta_0)=0$ sélectionne alors $\theta_0$ : le premier zéro de cette solution est $\theta_0\simeq130{,}7^\circ$, soit $\pi-\theta_0\simeq49{,}3^\circ$.
### Question 11
> [!INDICATION]
> Reliez la densité surfacique de charge au champ au voisinage d'un conducteur.
> [!INDICATION]
> Regardez ensuite ce qui se passe en $r\to0$, et rappelez-vous que $Q_{\lim}$ varie moins vite que le volume quand $R$ diminue.
#### Solution
$\sigma=\varepsilon_0E$, donc
$$\boxed{\sigma\propto r^{-1/2}}$$
La densité de charge augmente fortement vers la pointe. Le jet part de la zone la plus chargée : il transporte beaucoup de charge par unité de volume de liquide. Ses gouttelettes, très petites, peuvent porter une charge élevée par rapport à leur volume ($Q_{\lim}/R^3\propto R^{-3/2}$). Les fragmentations de Rayleigh successives produisent alors des ions multichargés.
## Partie II — Spectrométrie de masse à résonance cyclotronique ionique
On lit d'abord un spectre de masse. On met ensuite en équations l'ion dans $\vec B$ avec la variable complexe $Z$, puis on ajoute successivement l'excitation, le frottement, le piégeage et la détection. Outils : PFD, notation complexe, résonance, superposition, réciprocité.
### Question 12
> [!INDICATION]
> Écrivez le PFD avec la force de Lorentz, puis divisez par $m$.
#### Solution
$\dfrac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dt}=\dfrac qm(\vec E+\vec v\wedge\vec B)$. Les champs étant connus, $q$ et $m$ n'interviennent que par leur quotient. Deux ions de même $q/m$ ont la même trajectoire pour les mêmes conditions initiales. **On n'accède donc qu'à $m/q$.**
### Question 13
> [!INDICATION]
> La charge est quantifiée. Deux pics voisins de la série correspondent à des états de charge consécutifs de la même molécule.
> [!INDICATION]
> Les rapports $1999{,}30$ et $1000{,}15$ sont dans un rapport 2 : ils ne suffisent pas à fixer $z$. Utilisez un pic voisin de l'un d'eux, par exemple $1888{,}29$, et écrivez que la masse est la même.
> [!INDICATION]
> En ESI, l'ion est la molécule protonée : chaque charge apporte environ 1 u de masse. Vous pouvez en tenir compte.
#### Solution
L'ion se forme par ajout ou retrait d'un nombre entier de charges élémentaires : $q=ze$ avec $z\in\mathbb N^*$.
Pour une protéine de masse $M$ portant $z$ protons, $(m/z)=M/z+1$. Pour les pics voisins $1999{,}30$ (charge $z$) et $1888{,}29$ (charge $z+1$) :
$$z\times1998{,}30=(z+1)\times1887{,}29\Rightarrow z=\frac{1887{,}29}{111{,}01}=17{,}0 .$$
On trouve donc $z=17$ pour le pic à $1999{,}30$, et $z=34$ pour celui à $1000{,}15$, puisque $(1000{,}15-1)\times2=1998{,}30$.
$$\boxed{M\simeq17\times1998{,}3\simeq3{,}40\times10^4\ \mathrm u}$$
Tous les pics de la série redonnent $M\simeq33\,970$ u à 3 u près ($2265{,}52$ pour $z=15$, $1030{,}42$ pour $z=33$, etc.). La masse moyenne par atome d'une protéine (C, H, N, O, S, avec à peu près autant de H que d'atomes lourds) est d'environ 7 u :
$$\boxed{N_{\text{atomes}}\sim5\times10^3}$$
> [!PIEGE]
> Le pic à $897{,}77$ n'appartient pas à la série : avec $z=38$, il donnerait $34\,077$ u. Utilisez des pics voisins de la série principale, sans en sauter un.
> [!METHODE]
> Avec deux pics consécutifs $p_1>p_2$, pour les états de charge $z$ et $z+1$, on a $z\simeq\dfrac{p_2-1}{p_1-p_2}$. Contrôlez ensuite sur un troisième pic : ce test à peu de frais détecte une erreur d'indexation.
### Question 14
> [!INDICATION]
> Quel dispositif de cours crée un champ magnétique uniforme dans tout un volume ?
#### Solution
**On utilise un solénoïde long** parcouru par un courant continu $I$, avec $n$ spires par mètre : à l'intérieur, loin des bords, $\vec B=\mu_0nI\vec e_z$. Pour plusieurs teslas, la bobine est supraconductrice et refroidie à l'hélium liquide. Les bobines de Helmholtz conviennent pour des champs modérés.
### Question 15
> [!INDICATION]
> Calculez composante par composante le produit vectoriel $\vec v\wedge B\vec e_z$.
#### Solution
$\vec v\wedge\vec B=(\dot yB,-\dot xB,0)$, d'où
$$\boxed{m\ddot x=qB\dot y,\quad m\ddot y=-qB\dot x,\quad m\ddot z=0}$$
### Question 16
> [!INDICATION]
> Combinez les deux premières équations pour faire apparaître $\ddot Z$ et $\dot Z$.
> [!INDICATION]
> Pour vérifier le signe, choisissez un point particulier de la trajectoire circulaire et contrôlez que la force magnétique y est bien centripète.
#### Solution
$m(\ddot x+i\ddot y)=qB(\dot y-i\dot x)=-iqB\dot Z$. Avec $Z=Z_0e^{-i\omega_0t}$ : $-\omega_0^2=-\frac{qB}{m}\omega_0$, donc
$$\boxed{\omega_0=\frac{qB}{m}},\qquad\ddot Z+i\omega_0\dot Z=0 .$$
Vérification : pour $q>0$, le cercle est parcouru dans le sens horaire. En $(R,0)$, la vitesse est $-R\omega_0\vec e_y$ et $q\vec v\wedge\vec B=-qR\omega_0B\vec e_x$, qui est bien centripète. La dimension est correcte : $[qB/m]=\mathrm{s^{-1}}$.
> [!JURY]
> Le rapport 2025 recommande de tester les résultats dans des cas particuliers, surtout quand les questions s'enchaînent. Il insiste aussi sur le respect de la convention $\exp(-i\omega t)$ de l'énoncé. C'est exactement l'enjeu ici : une erreur de signe sur $\omega_0$ se propage à toute la partie II.
### Question 17
> [!INDICATION]
> Formez l'affixe complexe $F_x+iF_y$ de la force et reconnaissez une exponentielle.
#### Solution
$F_x+iF_y=F(\cos\omega t-i\sin\omega t)=Fe^{-i\omega t}$, donc
$$\boxed{\ddot Z+i\omega_0\dot Z=\frac Fme^{-i\omega t}}$$
Cette force tourne dans le sens horaire, comme l'ion positif.
### Question 18
> [!INDICATION]
> Raisonnez sur les dimensions : $m/\tau$ multiplié par une vitesse donne une force.
> [!INDICATION]
> Cherchez dans le cours un modèle où les collisions d'une particule chargée avec son environnement sont décrites par un terme proportionnel à la vitesse.
#### Solution
$[m/\tau]=\mathrm{kg\cdot s^{-1}}$, donc **$\tau$ est un temps**. C'est le temps d'amortissement de la vitesse, puisque $\vec v\propto e^{-t/\tau}$ sous l'effet de cette seule force. On rencontre ce terme dans le **modèle de Drude** de la conduction, où il décrit les collisions des électrons (et $\tau$ est le temps moyen entre deux collisions), ainsi que dans le frottement fluide linéaire à faible vitesse (loi de Stokes).
> [!JURY]
> Le rapport 2025 signale que des candidats ne savent pas écrire une force de frottement fluide : erreurs de signe ou de dépendance en vitesse. Ici, la force est donnée, mais il faut la reporter correctement, sous la forme $-\frac m\tau\dot Z$, dans l'équation complexe.
### Question 19
> [!INDICATION]
> Ajoutez l'affixe du frottement, puis remplacez les dérivations par des multiplications par $-i\omega$.
#### Solution
$\ddot Z+(i\omega_0+\frac1\tau)\dot Z=\frac Fme^{-i\omega t}$. Avec $Z=Z_0e^{-i\omega t}$ : $Z_0(-\omega^2+\omega_0\omega-i\omega/\tau)=F/m$, d'où
$$\boxed{Z_0=\frac{F}{m\omega\left(\omega_0-\omega-\frac i\tau\right)}}$$
### Question 20
> [!INDICATION]
> Étudiez le module de $Z_0$. Quel facteur varie rapidement au voisinage de $\omega_0$ quand $\tau$ est grand ?
> [!INDICATION]
> Pour la largeur, cherchez l'écart à $\omega_0$ pour lequel les deux termes sous la racine sont du même ordre.
#### Solution
$$|Z_0|=\frac{F}{m\omega\sqrt{(\omega_0-\omega)^2+\tau^{-2}}} .$$
Si $\omega_0\tau\gg1$, le dénominateur est minimal en $\omega\simeq\omega_0$, où $|Z_0|\simeq F\tau/(m\omega_0)$. Cette valeur est grande devant la valeur hors résonance, $\sim F/(m\omega_0^2)$ : il y a résonance. $|Z_0|$ chute d'un facteur $\sqrt2$ pour $|\omega-\omega_0|=1/\tau$, donc
$$\boxed{\Delta\omega\sim\frac1\tau}$$
Le facteur de qualité vaut $\omega_0\tau$.
> [!JURY]
> Le rapport 2025 note que des candidats ont du mal à exprimer une résonance comme un **dénominateur minimal, et non strictement nul**. Ici, le dénominateur ne s'annule jamais : il atteint seulement son minimum $1/\tau$.
### Question 21
> [!INDICATION]
> Reliez l'écart relatif de $m/z$ à l'écart relatif de pulsation. Quand deux pics de largeur $\Delta\omega$ sont-ils séparés ?
#### Solution
$\dfrac{\delta(m/z)}{m/z}=\dfrac{\delta\omega_0}{\omega_0}$. Deux espèces sont séparées si $\delta\omega_0\gtrsim\Delta\omega\sim1/\tau$. La résolution relative vaut donc
$$\frac{\delta m}{m}\sim\frac{1}{\omega_0\tau}=\frac{m}{zeB\tau}.$$
**Elle s'améliore quand $z$ et $B$ augmentent**, car $\omega_0$ croît alors que la largeur, fixée par $\tau$, ne change pas.
> [!METHODE]
> En spectroscopie, la résolution relative est l'inverse du facteur de qualité : $\delta\omega/\omega\sim1/Q$. On augmente $Q$ en augmentant la fréquence ou la durée de vie du mouvement.
### Question 22
> [!INDICATION]
> Écrivez $\cos\omega t$ comme une demi-somme d'exponentielles complexes.
> [!INDICATION]
> La seconde exponentielle s'écrit $e^{-i(-\omega)t}$. La question 19 s'applique donc à chaque terme, et la linéarité permet de sommer les réponses.
> [!INDICATION]
> Pour savoir laquelle résonne, regardez lequel des deux dénominateurs peut devenir petit pour $\omega>0$.
#### Solution
$$F_x+iF_y=qE\cos\omega t=\frac{qE}2e^{-i\omega t}+\frac{qE}2e^{-i(-\omega)t}.$$
Le premier terme correspond à $(F_x,F_y)=\frac{qE}2(\cos\omega t,-\sin\omega t)$, de la forme de la question 17 avec $F=qE/2$ et la pulsation $\omega$. Le second correspond à la même forme avec la pulsation $-\omega$ : ce sont deux forces tournant en sens opposés. Par linéarité :
$$\boxed{Z(t)=\frac{qE}{2m\omega}\left[\frac{e^{-i\omega t}}{\omega_0-\omega-\frac i\tau}-\frac{e^{i\omega t}}{\omega_0+\omega-\frac i\tau}\right]}$$
Le premier dénominateur tombe à $1/\tau$ en $\omega=\omega_0$, alors que le second reste voisin de $2\omega_0$. **La composante de pulsation $+\omega$, qui tourne dans le même sens que l'ion, est responsable de la résonance.**
> [!PIEGE]
> Pour la composante $-\omega$, le changement $\omega\to-\omega$ s'applique **partout** dans $Z_0$, y compris au facteur $1/\omega$ placé devant. C'est de là que vient le signe moins entre les deux termes.
> [!JURY]
> Le rapport 2025 relève une tendance à prendre systématiquement la partie réelle pour se débarrasser de la notation complexe. Ici, c'est $Z$ lui-même qui code les deux coordonnées $x$ et $y$ : il ne faut surtout pas en prendre la partie réelle trop tôt.
### Question 23
> [!INDICATION]
> Quel dispositif de cours crée un champ électrique uniforme ? Comment le rendre sinusoïdal ?
#### Solution
**On utilise deux plaques planes parallèles**, perpendiculaires à $\vec e_x$ et distantes de $\ell$, alimentées par un générateur de tension $U\cos\omega t$. Loin des bords, le champ entre elles vaut $\vec E=\frac U\ell\cos\omega t\,\vec e_x$.
### Question 24
> [!INDICATION]
> Repartez de l'équation de la question 17 en remplaçant $F$ par l'amplitude de la composante résonante.
#### Solution
$$\boxed{\ddot Z+i\omega_0\dot Z=\frac{qE}{2m}e^{-i\omega_0t}}$$
### Question 25
> [!INDICATION]
> Dérivez deux fois l'expression proposée (dérivée d'un produit). Les termes proportionnels à $t$ doivent se compenser.
#### Solution
$\dot Z=(iA+A\omega_0t)e^{-i\omega_0t}$ et $\ddot Z=(2A\omega_0-iA\omega_0^2t)e^{-i\omega_0t}$. Donc $\ddot Z+i\omega_0\dot Z=A\omega_0e^{-i\omega_0t}$, et
$$\boxed{A=\frac{qE}{2m\omega_0}=\frac{E}{2B}}$$
Le coefficient $A$ est indépendant de $q$ et de $m$ : tous les ions en résonance s'écartent du centre à la même vitesse.
> [!METHODE]
> Un oscillateur non amorti forcé exactement à sa pulsation propre a une réponse dont l'amplitude croît linéairement avec le temps (solution « séculaire » en $t\,e^{-i\omega_0t}$). L'amortissement limite cette croissance et redonne l'amplitude finie de la question 20.
### Question 26
> [!INDICATION]
> Mettez $i$ sous forme exponentielle, puis lisez le module et l'argument de $Z(t)$.
> [!INDICATION]
> Éliminez $t$ entre $r(t)$ et $\theta(t)$. Quel type de courbe obtient-on quand le rayon est une fonction affine de l'angle ?
#### Solution
$Z=At\,e^{i(\pi/2-\omega_0t)}$ donne $r=At$ et $\theta=\pi/2-\omega_0t$, d'où
$$\boxed{r=\frac{E}{2B\omega_0}\Big(\frac\pi2-\theta\Big)}$$
C'est une **spirale d'Archimède** issue de l'origine. L'ion part selon $+\vec e_y$ puis tourne dans le sens horaire, avec des spires concentriques équidistantes dont l'écart est $2\pi A/\omega_0$.
**Rôles des champs.** Le champ magnétique ne travaille pas : il impose la rotation à $\omega_0$. Le champ électrique résonant reste en phase avec la vitesse. Il fournit continûment de l'énergie, ce qui fait croître la vitesse et donc le rayon.
### Question 27
> [!INDICATION]
> Le rayon croît linéairement avec le temps. Écrivez qu'il atteint, à la fin de l'excitation, une valeur de l'ordre de la taille de la cellule.
#### Solution
On écrit $r(t_E)=\frac{E}{2B}t_E\sim d$, d'où
$$\boxed{t_E\sim\frac{Bd}{E}}$$
(à un facteur numérique près).
### Question 28
> [!INDICATION]
> Demandez-vous quelle grandeur l'appareil mesure et de quel champ elle dépend.
#### Solution
**L'uniformité de $\vec B$ est la plus importante.** La grandeur mesurée est $\omega_0=qB/m$. Si $B$ varie dans la cellule, la pulsation de l'ion dépend de sa position : il se désaccorde de l'excitation, le pic s'élargit et $m/z$ est faussé d'une quantité relative $\delta B/B$. Une non-uniformité de $E$ ne change que la vitesse de croissance $A=E/(2B)$ du rayon, c'est-à-dire l'amplitude, et non la fréquence.
### Question 29
> [!INDICATION]
> Appliquez l'équipartition de l'énergie à un degré de liberté de translation.
#### Solution
On a $\frac{p^2}{2m}\sim\frac12k_BT$, d'où
$$\boxed{p\sim\sqrt{mk_BT}}$$
### Question 30
> [!INDICATION]
> Exprimez le rayon d'un mouvement circulaire uniforme dans $\vec B$ en fonction de la quantité de mouvement.
#### Solution
On a $r=\dfrac{p_\perp}{qB}\sim\dfrac{\sqrt{mk_BT}}{qB}$. La condition $r\ll d$ s'écrit
$$\boxed{m\ll m_{\max}=\frac{q^2B^2d^2}{k_BT}}$$
Comme $m_{\max}\propto z^2$, les ions multichargés repoussent la limite des masses analysables.
### Question 31
> [!INDICATION]
> Relisez la troisième équation de la question 15.
#### Solution
$m\ddot z=0$ : la force magnétique n'a pas de composante selon $\vec B$. **Le mouvement selon $z$ est uniforme**, et toute vitesse thermique $v_z\neq0$ amène l'ion sur une paroi.
### Question 32
> [!INDICATION]
> Calculez le gradient, puis utilisez l'équation locale que vérifie le potentiel dans une région vide de charges.
#### Solution
$$\boxed{E_x=\alpha x,\quad E_y=\alpha y,\quad E_z=-\alpha\beta z}$$
$\Delta V=\alpha(\beta-2)=0$, donc
$$\boxed{\beta=2}$$
> [!METHODE]
> Comme $\Delta V=0$, un potentiel électrostatique ne peut pas être confinant dans les trois directions : la somme des trois « raideurs » est nulle. Le confinement selon $z$ se paie par un champ centrifuge dans le plan.
### Question 33
> [!INDICATION]
> Projetez le PFD sur $z$. Reconnaissez une équation de cours.
#### Solution
$m\ddot z=-2q\alpha z$. Pour $q\alpha>0$, c'est un oscillateur harmonique de pulsation
$$\boxed{\omega_p=\sqrt{\frac{2q\alpha}{m}}}$$
### Question 34
> [!INDICATION]
> Formez l'affixe de la force électrique dans le plan $(x,y)$ : elle s'exprime simplement à l'aide de $Z$.
#### Solution
L'affixe vaut $q(E_x+iE_y)=q\alpha Z$. Avec $q\alpha/m=\omega_p^2/2$ :
$$\boxed{\ddot Z+i\omega_0\dot Z-\frac{\omega_p^2}2Z=0}$$
### Question 35
> [!INDICATION]
> On obtient une équation du second degré en $\omega$. Regardez le signe de son discriminant.
> [!INDICATION]
> Pour la limite, développez la racine carrée au premier ordre en $\omega_p^2/\omega_0^2$.
#### Solution
On obtient $\omega^2-\omega_0\omega+\frac{\omega_p^2}2=0$. Le discriminant $\omega_0^2-2\omega_p^2$ est positif, d'où
$$\boxed{\omega_\pm=\frac{\omega_0\pm\sqrt{\omega_0^2-2\omega_p^2}}2}$$
$$\boxed{\omega_+\simeq\omega_0-\frac{\omega_p^2}{2\omega_0},\qquad\omega_-\simeq\frac{\omega_p^2}{2\omega_0}}$$
> [!PIEGE]
> Pour $\omega_-$, le développement à l'ordre zéro donne $0$, ce qui n'est pas un résultat utile : il faut aller jusqu'au premier ordre. Un contrôle rapide : la somme des racines vaut $\omega_0$ et leur produit $\omega_p^2/2$.
### Question 36
> [!INDICATION]
> Comparez $\omega_+$ à $\omega_0$. Exprimez ensuite $\omega_-$ avec les définitions de $\omega_p$ et de $\omega_0$ : que deviennent $q$ et $m$ ?
#### Solution
Le décalage relatif de la résonance, $\frac{\omega_p^2}{2\omega_0^2}\ll1$, est faible : **la résonance n'est que légèrement déplacée.** Le second mouvement de rotation dans le plan (mouvement magnétron) a la pulsation $\omega_-\ll\omega_0$, avec
$$\boxed{\omega_-\simeq\frac{q\alpha/m}{qB/m}=\frac\alpha B}$$
Cette pulsation est **indépendante de $m/q$**.
### Détection
On montre qu'un ion en mouvement induit sur deux plaques reliées une charge qui suit sa position. Le lemme de réciprocité évite de résoudre un problème d'électrostatique avec des conducteurs. Cette sous-partie est indépendante du reste.
### Question 37
> [!INDICATION]
> Il suffit de superposer les potentiels coulombiens des autres charges.
#### Solution
$$\boxed{V_i=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\sum_{j\neq i}\frac{q_j}{\|\vec r_i-\vec r_j\|}}$$
### Question 38
> [!INDICATION]
> Écrivez les deux membres comme des doubles sommes. Quelle propriété de symétrie le coefficient d'interaction entre $i$ et $j$ possède-t-il ?
> [!INDICATION]
> Dans l'une des deux sommes, renommez les indices muets.
#### Solution
Posons $G_{ij}=\dfrac1{4\pi\varepsilon_0\|\vec r_i-\vec r_j\|}=G_{ji}$. Alors $\sum_iq_iV'_i=\sum_{i}\sum_{j\neq i}G_{ij}q_iq'_j$ et $\sum_iq'_iV_i=\sum_i\sum_{j\neq i}G_{ij}q'_iq_j$. L'échange des indices muets $i\leftrightarrow j$ laisse invariant l'ensemble des couples $i\neq j$. Avec $G_{ji}=G_{ij}$, il transforme la seconde somme en la première :
$$\boxed{\sum_iq_iV'_i=\sum_iq'_iV_i}$$
> [!JURY]
> Le rapport 2025 met en garde contre les pseudo-raisonnements qui partent du résultat pour y revenir. Ici, il faut partir des deux expressions et montrer leur égalité, sans poser la relation pour la vérifier.
### Question 39
> [!INDICATION]
> Entre deux grandes plaques parallèles sans charge, de quelle variable dépend le potentiel ? Quelle équation vérifie-t-il ?
#### Solution
On suppose $S\gg d^2$ et l'on néglige les effets de bord. Le potentiel ne dépend que de $y$ et vérifie $V''=0$ : il est affine. Avec $V'(\pm d/2)=\pm V/2$ :
$$\boxed{V'_0=\frac{Vy_0}{d}}$$
### Question 40
> [!INDICATION]
> Écrivez le théorème de réciprocité pour les trois objets (charge, électrode 1, électrode 2), en reportant les valeurs connues dans chaque configuration.
> [!INDICATION]
> L'un des deux membres est identiquement nul. Pour la fréquence, demandez-vous comment $y_0$ évolue au cours du temps après l'excitation.
#### Solution
On écrit $qV'_0+q_1V'_1+q_2V'_2=q'_0V_0+q'_1V_1+q'_2V_2=0$, soit $q\frac{Vy_0}d+\frac V2(q_2-q_1)=0$ :
$$\boxed{\Delta q=-\frac{2q\,y_0}{d}}$$
$\Delta q$ suit l'ordonnée de l'ion. Celui-ci tourne à $\omega_+\simeq\omega_0$, donc $\Delta q(t)$ oscille à cette pulsation. Avec $q_1+q_2=-q$, le courant dans le fil de liaison vaut $i=\frac{\mathrm dq_2}{\mathrm dt}=-\frac qd\dot y_0$. **L'analyse en fréquence de ce courant donne $\omega_0$, donc $m/z$**, sans capter l'ion.
> [!PIEGE]
> Le courant dans le fil est $\mathrm dq_2/\mathrm dt$, et non $\mathrm d(\Delta q)/\mathrm dt$. Ces deux quantités diffèrent d'un facteur 2 puisque $q_1+q_2$ est constant.
> [!METHODE]
> Le théorème de réciprocité (ou théorème de Green) ramène le calcul de charges induites par une charge ponctuelle à un problème sans charge, souvent trivial. C'est le principe du théorème de Shockley-Ramo, utilisé dans tous les détecteurs à électrodes.
### Question 41
> [!INDICATION]
> Quelles électrodes occupent déjà les faces perpendiculaires à $x$ ? Que se passerait-il si les électrodes de détection leur faisaient face ?
#### Solution
Les faces perpendiculaires à $x$ portent les électrodes d'excitation, soumises à une tension élevée. Si les électrodes de détection leur faisaient face, la tension d'excitation y induirait directement des charges, c'est-à-dire un signal parasite énorme devant le signal des ions. **Perpendiculairement à $y$, les électrodes de détection sont orthogonales à l'excitation** : par symétrie, l'influence de celle-ci est la même sur les deux plaques et s'élimine dans $q_2-q_1$.
### Question 42
> [!INDICATION]
> Quelle fréquence est la plus élevée dans le signal ? Elle correspond à une extrémité du spectre de la figure 2.
> [!INDICATION]
> Exprimez $f$ à l'aide de $e/m_u$ et de la valeur de $m/z$ lue en abscisse. Appliquez ensuite le critère de Shannon.
#### Solution
$$f=\frac{qB}{2\pi m}=\frac{B}{2\pi}\frac{e}{m_u}\frac1{(m/z)_{\mathrm u}} .$$
La fréquence maximale correspond au plus petit $m/z$, $\simeq9\times10^2$ :
$$f_{\max}\simeq\frac{7\times10^8}{2\pi\times900}\simeq\frac{7\times10^8}{5{,}7\times10^3}\simeq1{,}2\times10^5\ \mathrm{Hz}.$$
Le critère de Shannon donne
$$\boxed{f_{e,\min}=2f_{\max}\simeq2{,}5\times10^5\ \mathrm{Hz}}$$
> [!PIEGE]
> Les erreurs classiques consistent à prendre le plus grand $m/z$, qui correspond à la fréquence la plus basse, à confondre $\omega$ et $f$ (facteur $2\pi$), ou à oublier le facteur 2 de Shannon.
> [!JURY]
> Le rapport 2025 rappelle que, quand les applications numériques sont rares, il faut les mener avec soin, et qu'une expression non évaluée ne compte pas comme application numérique. Sans calculatrice, donnez une valeur avec deux chiffres significatifs et une unité.
### Question 43
> [!INDICATION]
> Regardez comment $\Delta q$, puis le courant, dépendent de la charge de l'ion. Pensez aussi à la dépendance de $\omega_0$ en $z$.
#### Solution
$\Delta q=-2zey_0/d$ est proportionnelle à $z$. Le rayon atteint après excitation, $At_E$, ne dépend pas de $z$, et le courant $i=-\frac{ze}d\dot y_0$ est proportionnel à $z\,\omega_0$. Pour une molécule donnée, il croît donc comme $z^2$. **Un ion multichargé produit un signal bien plus intense**, donc un meilleur rapport signal sur bruit : c'est un gain de sensibilité, qui s'ajoute au gain de résolution de la question 21.
## Bilan
**Méthodes à retenir.**
- Pression électrostatique $P=\frac12\varepsilon_0E^2=\sigma^2/(2\varepsilon_0)$ par travail virtuel à charge constante. Elle tire toujours la surface du conducteur vers le vide.
- Équilibre « électrostatique contre tension superficielle » : comparer les lois d'échelle ($R^{-4}$ contre $R^{-1}$, $E^2\propto1/r$).
- Recherche de solutions de l'équation de Laplace de la forme $r^\delta f(\theta)$ : l'homogénéité ramène le problème à une équation différentielle angulaire, et la condition d'équipotentielle donne $f(\theta_0)=0$.
- Mouvement dans $\vec B$ avec $Z=x+iy$ : $\ddot Z+i\omega_0\dot Z=0$ et $\omega_0=qB/m$. Il faut toujours vérifier le sens de rotation.
- Résonance : largeur $\Delta\omega\sim1/\tau$, résolution $1/(\omega_0\tau)$. Un champ rectiligne est la somme de deux champs tournants, dont un seul résonne.
- Forçage exactement à la pulsation propre sans amortissement : réponse séculaire en $t\,e^{-i\omega_0t}$, ici une spirale d'Archimède.
- Théorème de réciprocité pour les charges induites, et critère de Shannon ($f_e>2f_{\max}$).
**Prérequis à revoir.** Théorème de Coulomb, énergie électrostatique, gradient en coordonnées sphériques, force de Lorentz, notation complexe, équipartition, équation de Laplace et ses conséquences.
**Questions transposables.** Pression électrostatique (bulles chargées, électrets, actionneurs), cyclotron et magnétron (piège de Penning), décomposition d'une polarisation rectiligne en deux circulaires (RMN, optique), charge induite et théorème de Shockley-Ramo (détecteurs), lecture d'un spectre ESI (protéomique).
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